Слайд 3
Правильні багатокутники
Слайд 4
«Три якості: великі знання, звичка мислити і шляхетність почуттів – необхідні для того, щоб людина була освіченою в повному розумінніслова».Н.Г.Чернишевський
Слайд 5
Слайд 6
Симонів монастир
Слайд 7
А чи знаєте ви?
Які геометричні фігурими вже вивчені? Які їхні елементи? Яка постать називається багатокутником? Яка найменша кількість сторін може мати багатокутник? Який багатокутник називається опуклим? Покажіть на малюнку опуклі та неопуклі багатокутники. Поясніть, які кути називаються кутами опуклого багатокутника, зовнішніми кутами. За якою формулою обчислюється сума кутів опуклого багатокутника? Що таке периметр багатокутника?
Слайд 8
Питання до кросворду: Сторони, кути та вершини багатокутника? Як називається багатокутник з рівними сторонами та кутами? 3. Як називається фігура, яку можна розбити на кінцеве число трикутників? 4.Частина кола? 5. Кордон багатокутника? 6.Елемент кола? 7. Елемент багатокутника? 8. Кордон кола? 9. Чи багатокутник з найменшим числом сторін? 10. Кут, вершина якого знаходиться в центрі кола? 11.Інший вид кута кола? 12.Сума довжин сторін багатокутника? 13. Багатокутник, який знаходиться в одній напівплощині щодо прямої, що містить будь-яку його сторону?
Слайд 9
Слайд 10
Слайд 11
Чому дорівнює кожен із кутів правильного а)десятикутника; б) n-кутника.
Слайд 12
Кут правильного n-кутника
Слайд 13
Слайд 14
Практична робота. 1. Семиголова вежа Білого містау плані була правильним шестикутником, усі сторони якого дорівнювали 14 м. Викресліть план цієї вежі. 2. Виміряйте кут АОВ. Яку частину його величина від величини повного кута O? Як можна обчислити величину цього кута, знаючи кількість сторін багатокутника? 3.Виміряйте кут CAK - зовнішній кут багатокутника. Обчисліть суму зовнішнього кута CAK та внутрішнього кута CAB. Чому сума цих кутів завжди становить 180? Чому дорівнює сума зовнішніх кутів правильного шестикутника, взятих по одному при кожній вершині?
Слайд 15
Слайд 16
Діаметр основи вежі Дуло – 16м. Викресліть план основи 16-гранної вежі, використовуючи при побудові величину кута, під яким з центру кола видно сторону багатокутника. Обчисліть внутрішній та зовнішній кути цього 16-кутника. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів правильного 16-кутника, взятих по одному при кожній вершині? Чому дорівнює сума зовнішніх кутів правильного n-кутникавзятих по одному при кожній вершині? №1082, 1083.
З історії З історії Правильні багатокутники були відомі ще в давнину. У єгипетських та вавилонських старовинних пам'ятниках зустрічаються правильні чотирикутники, шестикутники та восьмикутники у вигляді зображень на стінах та прикрас, висічених їх каменем. Давньогрецькі вчені стали виявляти велику цікавість до правильних багатокутників ще з часів Піфагора. Вчення про правильні багатокутники було систематизовано та викладено у 4 книзі «Початок» Евкліда.
ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАНИКИ ПЛАТОНОВИ тіла: Тетраедр – «вогонь» Куб – «земля» Октаедр – «повітря» Додекаедр – «весь світ» Ікосаедр – «вода»
ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ У ПРИРОДІ Правильні багатокутники У ПРИРОДІ Правильні багатокутники зустрічаються в природі. Один із прикладів – це бджолині стільники, які є прямокутником, покритим правильними шестикутниками. На цих шестикутниках бджоли вирощують із воску комірки, що є прямими шестикутними призмами. Вони бджоли і відкладають мед, та був знову покривають суцільним прямокутником з воску.
Джерела інформації: Дитяча енциклопедія "Я пізнаю світ" Математика, Москва, АСТ,1998. ru.wikipedia.org/wiki/Історія математики А..І.Азевич Двадцятьуроків гармонії: Гуманітарно-математичний курс.-М.: Школа-Прес,1998.
Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Багатогранник - це тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників.
Правильні багатогранники
Скільки існує правильних багатогранників? - Як вони визначаються, які властивості мають? -Де зустрічаються, чи мають практичне застосування?
Випуклий багатогранник називається правильним, якщо всі його грані – рівні правильні багатокутникиі в кожній його вершині сходиться те саме число ребер.
«едра» – грань «тетра» – чотири гекси» – шість «окта» – вісім «додека» – дванадцять «ікоса» – двадцять Назви цих багатогранників прийшли з Стародавню Греціюі в них вказано кількість граней.
Назва правильного багатогранника Вид грані Число вершин ребер граней граней, що сходяться в одній вершині Тетраедр Правильний трикутник 4 6 4 3 Октаедр Правильний трикутник 6 12 8 4 Ікосаедр Правильний трикутник 12 30 20 5 Кубе 6 Правильний п'ятикутник 20 30 12 3 Дані про правильні багатогранники
Запитання (проблема): Скільки існує правильних багатогранників? Як встановити їхню кількість?
α n = (180 °(n -2)) : n При кожній вершині багатогранника не менше трьох плоских кутів, і їх сума повинна бути меншою за 360 ° . Форма граней Кількість граней при одній вершині Сума плоских кутів при вершині багатогранника Висновок про існування багатогранника α = 3 α = 4 α = 5 α = 6 α = 3 α = 4 α = 3 α = 4 α = 3
Л. Керрол
Великі математики старовини Архімед Евклід Піфагор
Детально описав властивості правильних багатогранників давньогрецького вченого Платона. Саме тому правильні багатогранники називаються тіла Платона.
тетраедр - вогонь куб - земля октаедр - повітря ікосаедр - вода додекаедр - всесвіт
Багатогранники в науках про космос та землю
Йоганн Кеплер (1571-1630) – німецький астроном та математик. Один із творців сучасної астрономії – відкрив закони руху планет (закони Кеплера)
кубок Кеплера Космічний
"Екосаедро - додекаедрова структура Землі"
Багатогранники у мистецтві та архітектурі
Альбрехт Дюрер (1471-1528) "Меланхолія"
Сальвадор Далі «Таємна Вечеря»
Сучасні архітектурні спорудиу вигляді багатогранників
Олександрійський маяк
Цегляний багатогранник швейцарського архітектора
Сучасна будівля в Англії
Багатогранники у природі ФЕОДАРІЯ
Пірит (сірчистий колчедан) Монокристал алюмокалієвих галунів Кристали червоної мідної руди ПРИРОДНІ КРИСТАЛИ
Поварена сіль складається з кристалів у формі куба Мінерал сильвін також має кристалічні ґратиу вигляді куба. Молекули води мають форму тетраедра. Мінерал куприт утворює кристали у формі октаедрів. Кристали піриту мають форму додекаедр.
Алмаз У формі октаедра кристалізуються алмаз, хлорид натрію, флюорит, олівін та інші речовини.
Історично першою формою огранювання, що з'явилося в XIV столітті, став октаедр. Алмаз Шах Маса алмазу 88,7 карата
Завдання Англійська королева дала вказівку зробити огранювання вздовж ребер алмазу золотою ниткою. Але огранювання не було зроблено, оскільки ювелір не зумів розрахувати максимальну довжинузолоту нитку, а сам алмаз йому не показали. Ювеліру було повідомлено такі дані: число вершин В=54, число граней Г=48, довжина найбільшого ребра L=4мм. Знайти максимальну довжину золотої нитки.
Правильний багатогранник Число Граней Вершин Рёбер Тетраедр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаедр 8 6 12 Додекаедр 12 20 30 Ікосаедр 20 12 30 Дослідницька робота"Формула Ейлера"
Теорема Ейлер. Для будь-якого опуклого багатогранника + Г - 2 = Р де В - число вершин, Г - число граней, Р - число ребер цього багатогранника.
ФІЗМИНУТКА!
Завдання Знайдіть кут між двома ребрами правильного октаедра, які мають спільну вершину, але не належать до однієї грані.
Завдання Знайти висоту правильного тетраедра з ребром 12 см.
Кристал має форму октаедра, що складається з двох правильних пірамідіз загальною основою, ребро основи піраміди 6 см. висота октаедра 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні кристала
Площа поверхні Тетраедр Ікосаедр Додекаедр Гексаедр Октаедр
Завдання на будинок: mnogogranniki.ru Користуючись розгортками виготовити моделі 1-го правильного багатогранника зі стороною 15 см, 1-го напівправильного багатогранника
Дякую за роботу!
Cлайд 1
Cлайд 2
Визначення правильного багатокутника. Правильний багатокутник - це опуклий багатокутник, у якого рівні всі сторони та всі (внутрішні) кути.
Cлайд 3
Cлайд 4
Окружність, описана біля правильного багатокутника. Теорема: біля будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж лише одну. Коло називається описаним біля багатокутника, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.
Cлайд 5
Окружність, вписана у правильний багатокутник. Коло називається вписаним у багатокутник, якщо всі сторони багатокутника стосуються цього кола. Теорема: У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло, і до того ж лише одну.
Cлайд 6
Нехай А1 А 2 …А n - правильний багатокутник, О-центр описаного кола. За доказом теореми 1 ми з'ясували, що ∆ ОА1А2 = ∆ОА2А3= ∆ОАnА1 , тому висоти цих трикутників, проведені з вершини О, також рівні. Тому коло з центром Про радіусом ВІН проходить через точки Н1 , Н2, Нn і стосується сторін багатокутника цих точках, тобто. коло вписано в даний багатокутник. Дано: АВСD ... Аn - правильний багатокутник. Довести: у будь-який правильний багатокутник можна вписати коло, і до того ж лише одну.
Cлайд 7
Доведемо, що вписане коло лише одне. Припустимо, що існує інше вписане коло з центром О та радіусом ОА. Тоді її центр рівновіддалений від сторін багатокутника, тобто. точка О1 лежить на кожній із бісектрис кутів багатокутника, і тому збігається з точкою Про перетину цих бісектрис.
Cлайд 8
А D B C O Дано: АВСD…Аn - правильний багатокутник. Довести: біля будь-якого правильного багатокутника можна провести коло, і до того ж лише одну. Доказ: Проведемо бісектриси ВО та СО рівних кутів АВС та ВСD. Вони перетнуться, тому що кути багатокутника опуклі і кожен менший за 180⁰. Нехай точка їх перетину – О. Тоді, провівши відрізки ОА та OD, отримаємо ΔВОА, ΔВОС та ΔСОD. ΔВОА = ΔВОС за першою ознакою рівності трикутників (ВО – загальна, АВ=ВС, кут 2 = кут 3). Аналогічно ΔВОС=ΔCOD. 1 2 3 4 Т.к. кут2 = куті 3 як половини рівних кутів, то ΔВОС - рівнобедрений. Цьому трикутнику дорівнюють ΔВОА і ΔCOD => вони теж рівнобедрені, отже, ОА=ОВ=ОС=OD, тобто. точки А, В, З і D рівновіддалені від точки Про і лежать на колі (О; ОВ). Аналогічно та інші вершини багатокутника лежать на цьому ж колі.
Cлайд 9
Доведемо тепер, що описане коло лише одне. Розглянемо якісь три вершини багатокутника, наприклад А, В, С. Т.к. через ці точки проходить лише одне коло, то біля багатокутника АВС...Аn можна описати лише одне коло. o A B C D
Cлайд 10
Наслідки. Наслідок №1 Окружність, вписана у правильний багатокутник, стосується сторін багатокутника у тому серединах. Наслідок №2 Центр кола, описаного біля правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в той самий багатокутник.
Cлайд 11
Формула обчислення площі правильного багатокутника. Нехай S – площа правильного n-кутника, a1 – його сторона, Р – периметр, а r та R – радіуси відповідно до вписаного та описаного кіл. Доведемо, що
Cлайд 12
Для цього з'єднаємо центр даного багатокутника з його вершинами. Тоді багатокутник розіб'ється на n рівних трикутниківплоща кожного з яких дорівнює Отже,
Cлайд 13
Формула для обчислення сторони правильного багатокутника. Виведемо формули: Для виведення цих формул скористаємося малюнком. У прямокутному трикутникуА1Н1О А1 А2 А3 Аn H2 H1 Hn H3 Отже,
Cлайд 14
Вважаючи у формулі n = 3, 4 і 6, отримаємо вирази для сторін правильного трикутника, квадрата та правильного шестикутника:
Cлайд 15
Завдання №1 Дано: коло(О; R) Побудувати правильний n-кутник. коло розділимо на n рівних дуг. І тому проведемо радіуси ОА1, ОА2,…, ОАn цього кола те щоб кут А1ОА2= кут А2ОА3 =…= кут Аn-1ОАn= кут АnОА1= 360°/n (на малюнку n=8). Якщо тепер провести відрізки А1А2, А2А3, ..., Аn-1Аn, АnА1, то отримаємо n-кутник А1А2 ... Аn. Трикутники А1ОА2, А2ОА3, ..., АnОА1 рівні один одному, тому А1А2 = А2А3 = ... = Аn-1Аn = АnА1. Звідси випливає, що А1А2…Аn-правильний n-кутник. Побудова правильних багатокутників.
Cлайд 16
Завдання №2 Дано: А1, А2...Аn - правильний n - кутник Побудувати правильний 2n-кутник Рішення. Опишемо біля нього коло. Для цього побудуємо бісектриси кутів А1 і А2 і позначимо буквою Про точку їх перетину. Потім проведемо коло з центром О радіусу ОА1. Розділимо дуги А1А2, А2А3..., Аn А1 навпіл Кожну з точок поділу В1, В2, ..., Вn з'єднаємо відрізками з кінцями відповідної дуги. Для побудови точок В1, В2, ..., Вn можна скористатися середнім перпендикулярами до сторін даного n - косинця. На малюнку в такий спосіб побудований правильний дванадцятикутник А1 В1 А2 В2... А6 В6.
