Середня лінія трикутника - це відрізок, що з'єднує середини 2-х сторін. Відповідно, кожного трикутника три середніх лінії. Знаючи якість середньої лінії, і навіть довжини сторін трикутника та її кути, можна знайти довжину середньої лінії.

Вам знадобиться

• Сторони трикутника, кути трикутника

Інструкція

1. Нехай у трикутнику ABC MN - середня лінія, що з'єднує середини сторін AB (точка M) і AC (точка N). За властивістю середня лінія трикутника, що з'єднує середини 2-х сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині. Отже, середня лінія MN буде паралельна стороні BC і дорівнюватиме BC/2. Отже, для визначення довжини середньої лінії трикутника досить знати довжину сторони саме цієї третьої сторони.

2. Нехай зараз відомі сторони, середини яких з'єднує середня лінія MN, тобто AB і AC, а також кут BAC між ними. Тому що MN – середня лінія, то AM = AB/2, а AN = AC/2. (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Звідси, MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Якщо відомі сторони AB і AC, то середню лінію MN можна знайти, знаючи кут ABC чи ACB. Нехай, скажімо, відомий кут ABC. Тому що за якістю середньої лінії MN паралельна BC, то кути ABC і AMN – відповідні, і, отже, ABC = AMN. Тоді за теоремою косінусів: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Отже, бік MN можна знайти з квадратного рівняння(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0.

Порада 2: Як виявити сторону квадратного трикутника

Квадратний трикутник найбільш чітко називається прямокутним трикутником. Співвідношення між сторонами та кутами цієї геометричної фігури детально розглядаються у математичній дисципліні тригонометрії.

Вам знадобиться

• – аркуш паперу;
• - Ручка;
• – таблиці Брадіса;
• - Калькулятор.

Інструкція

1. Виявіть бікпрямокутного трикутниказа допомогою теореми Піфагора. Відповідно до цієї теореми, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: с2 = a2+b2 , де с - гіпотенуза трикутника, a та b – його катети. Щоб застосувати це рівняння, треба знати довжину будь-яких 2-х сторін прямокутного трикутника .

2. Якщо за умовами задані розміри катетів, знайдіть довжину гіпотенузи. Для цього за допомогою калькулятора вийміть квадратний коріньіз суми катетів, кожен із яких заздалегідь зведіть у квадрат.

3. Обчисліть довжину одного з катетів, якщо вести розміри гіпотенузи та іншого катета. За допомогою калькулятора витягніть квадратний корінь з різниці гіпотенузи в квадраті і вестимого катета, також зведеного в квадрат.

4. Якщо в задачі задані гіпотенуза і один з гострих кутів, що прилягають до неї, використовуйте таблиці Брадіса. У них наведено значення тригонометричних функційдля великої кількостікутів. Скористайтеся калькулятором із функціями синуса та косинуса, а також теоремами тригонометрії, які описують співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника .

5. Виявіть катети за допомогою основних тригонометричних функцій: a = c * sin?, b = c * cos?, де а - катет, що протилежить до кута?, b - катет, що прилягає до кута?. Подібним чином порахуйте розмір сторін трикутника, якщо задані гіпотенуза та інший гострий кут: b = c * sin?, a = c * cos?, де b - катет, що протилежить до кута?

6. У випадку, коли ведемо катет a і гострий кут, що прилягає до нього?, не забувайте, що в прямокутному трикутникусума гострих кутів незмінно дорівнює 90 °: ? +? = 90 °. Розшукайте значення кута, що протилежить до катета а: ? = 90 ° -?. Або скористайтесь тригонометричними формуламиприведення: sin? = sin (90 ° -?) = cos?; tg? = tg (90 ° -?) = ctg? = 1/tg?.

7. Якщо вестим катет а і гострий кут, що протилежить до нього?, за допомогою таблиць Брадіса, калькулятора і тригонометричних функцій обчисліть гіпотенузу за формулою: c=a*sin?, катет: b=a*tg?.

Відео на тему

Середня лінія трикутника

Властивості

• середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
• при проведенні всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівних трикутника, Подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
• середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній чверті площі вихідного трикутника.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Перша лінія з'єднує дві протилежні сторони. Друга з'єднує 2 інші протилежні сторони. Третя з'єднує центри двох діагоналей (не у всіх чотирикутниках центри перетинаються)

• Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
• Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
• Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
• Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.
• У довільному чотирикутнику вектор середньої лінії дорівнює напівсумі векторів основ.

Середня лінія трапеції

Середня лінія трапеції- Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін цієї трапеції. Відрізок, що з'єднує середини основ трапеції, називають другою середньою лінією трапеції.

Властивості

• середня лінія паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.

також

Примітки

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Середня летальна доза
• Середня лінія трапеції

Дивитись що таке "Середня лінія" в інших словниках:

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ- (1) трапеції відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі; (2) трикутника відрізок, що з'єднує середини двох сторін цього трикутника: третя сторона при цьому. Велика політехнічна енциклопедія

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ- трикутника (трапеції) відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). Великий Енциклопедичний словник

середня лінія- 24 середня лінія: Уявна лінія, що проходить через профіль різьблення так, що товщина виступу дорівнює ширині канавки. Джерело … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

середня лінія- трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). * * * СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції) … Енциклопедичний словник

середня лінія- vidurio linija statusas t sritis kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stalo paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas

середня лінія- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas

середня лінія- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikst(el)ę pusiau. atitikmenys: англ. centre line; midtrack line vok. Mittellinie, f rus. середня лінія … Sporto terminų žodynas

Середня лінія- 1) С. л. трикутника, відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (третю сторону називають основою). С. л. трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині; площі частин трикутника, куди ділить його з. л., … … Велика радянська енциклопедія

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ- Трикутник відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника. Третя сторона трикутника у своїй зв. основою трикутника. С. л. трикутника паралельна до основи і дорівнює половині його довжини. У кожному трикутнику С. л. відсікає від… … Математична енциклопедія

СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ- трикутника (трапеції), відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника (бічних сторін трапеції). Природознавство. Енциклопедичний словник

Книги

• Ручка кулькова "Jotter Luxe K177 West M" (синя) (1953203) , . Кулькова ручка в подарунковій упаковці. Колір листа: синій. Лінія: середня. Вироблено у Франції.

Тема уроку

Середня лінія трикутника

Цілі уроку

Закріпити знання школярів про трикутники;
Ознайомити учнів із поняттям, як середня лінія трикутника;
Сформувати знання учнів про властивості трикутників;
Продовжувати навчати дітей застосування властивостей фігур під час вирішення завдань;
Розвивати логічне мислення, посидючість та увага учнів.

Завдання уроку

Формувати знання школярів про середню лінію трикутників;
Перевірити знання учнів з пройдених тем про трикутники;
Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.
Розвивати у школярів інтерес до точних наук;
Продовжувати формувати вміння учнів викладати свої думки та володіти математичною мовою;

План уроку

1. Середня лінія трикутника. Основні поняття.
2. Середня лінія трикутника, теореми та властивості.
3. Повторення раніше вивченого матеріалу.
4. Основні лінії трикутника та їх властивості.
5. Цікаві фактиз галузі математики.
6. Домашнє завдання.

Середня лінія трикутника

Середньою лінією трикутника називають такий відрізок, який з'єднує середини двох сторін цього трикутника.

У кожному трикутнику є три середні лінії, які утворюють ще один новий трикутник, розташований усередині.

Вершини новоствореного трикутника знаходяться на серединах сторін цього трикутника.

У кожному трикутнику можна провести три середні лінії.

Тепер давайте детальніше зупинимося на цій темі. Подивіться малюнок трикутника вгорі. Перед вами трикутник АВС, на якому проводяться середні лінії. Відрізки MN, MP і NP утворюють усередині цього трикутника ще один трикутник MNP.

Властивості середньої лінії трикутника

Кожна середня лінія трикутника, що з'єднує середини його сторін, має такі властивості:

1. Середня лінія трикутника паралельна його третій стороні і дорівнює її половині.

Таким чином, ми бачимо, що сторона АС паралельна MN, яка вдвічі менша, ніж сторона АС.

2. Середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники.

Якщо ми подивимося на трикутник АВС, то побачимо, що середні лінії MN, MP і NP розділили його на чотири рівні трикутники, і в результаті утворилися трикутники MBN, PMN, NCP і AMP.

3. Середня лінія трикутника відсікає від цього трикутника подібний, площа якого дорівнює одній четвертій вихідному трикутнику.

Так, наприклад, у трикутнику АВС середня лінія MP відсікає від даного трикутника, утворюючи трикутник AMP, площа якого дорівнює одній четвертій трикутнику АВС.

Трикутники

У попередніх класах ви вже вивчали таку геометричну фігуру, як трикутник і знаєте, які бувають види трикутників, чим вони відрізняються і які властивості мають.

Трикутник відноситься до найпростіших геометричним фігурам, які мають три сторони, три кути та їх площа обмежена трьома точками та трьома відрізками, які попарно з'єднують ці точки.

Ось ми згадали визначення трикутника, а зараз давайте повторимо все, що ви знаєте про цю фігуру, відповівши на запитання:

4. Які види трикутників ви вже вивчили? Перерахуйте їх.
5. Дайте визначення кожному із видів трикутників.
6. Чому дорівнює площа трикутника?
7. Чому дорівнює сума кутів цієї геометричної фігури?
8. Які типи трикутників вам відомі? Назвіть їх.
9. Які знаєте трикутники за типом рівних сторін?
10. Дайте визначення гіпотенузи.
11. Скільки гострих кутів може бути у трикутнику?

Основні лінії трикутника

До основних ліній трикутника відносяться: медіана, бісектриса, висота та серединний перпендикуляр.

Медіана

Медіаною трикутника називають відрізок, який з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони даного трикутника.

Властивості медіан трикутника

1. Вона ділить трикутник на два інших, рівних за площею;
2. Усі медіани цієї постаті перетинаються лише у точці. Ця точка ділить їх щодо два до одного, починаючи відлік від вершини, і називається центром тяжкості трикутника;
3. Медіани поділяють цей трикутник на шість рівновеликих.

Бісектриса

Промінь, що виходить із вершини і, проходячи між сторонами кута, ділить його навпіл, називається бісектрисою цього кута.

А якщо відрізок бісектриси кута з'єднує його вершину з точкою, що лежить на протилежній стороні трикутника, то він називається бісектрисою трикутника.

Властивості бісектрис трикутника

1. Бісектриса кута є геометричне місце точок, які рівновіддалені від сторін даного кута.
2. Бісектриса внутрішнього кутатрикутника ділить протилежну сторону на відрізки, які є пропорційними прилеглим сторонам трикутника.
3. Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину бісектрис цієї фігури.

Висота

Перпендикуляр, який проведений з вершини до фігури до прямої, яка є протилежною стороноютрикутника називається його висотою.

Властивості висот трикутника

1. Висота, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на два подібні.
2. Якщо трикутник є гострокутним, його дві висоти відсікають від цього трикутника йому подібні.

Середній перпендикуляр

Серединним перпендикуляром трикутника називають пряму, яка проходить через середину відрізка, розташованого перпендикулярно до цього відрізка.

Властивості серединних перпендикулярів трикутника

1. Будь-яка точка серединного перпендикуляра до відрізка, рівновіддалена від його кінців. У цьому випадку буде вірним і зворотне твердження.
2. Точка перетину серединних перпендикулярів, які проведені до сторін трикутника, є центром кола, яке описано біля цього трикутника.

Цікаві факти з галузі математики

Чи буде вам новиною дізнатися, що за розшифрування секретного листування уряду Іспанії, Франсуа Вієта хотіли відправити на багаття, оскільки вважали, що дізнатися шифр міг тільки диявол, а людині це не під силу.

Чи відомо вам, що першою людиною, яка запропонувала нумерувати крісла, ряди та місця, був Рене Декарт? Аристократи-театрали навіть просили короля Франції дати за це Декарту нагороду, але, на жаль, король відмовив, тому що вважав, що давати нагороди філософу - це нижче за його гідність.

Через учнів, які могли запам'ятати теорему Піфагора, але не змогли її зрозуміти, цю теорему називали «ослиним мостом». Це означало, що учень осел, який не зміг подолати міст. У разі мостом вважали теорему Піфагора.

Письменники казкарі присвячували свої твори не лише міфічним героям, людям та звіряткам, а й математичним символам. Так, наприклад, автор знаменитої «Червоної Шапочки», написав казку про кохання циркуля та лінійки.

Домашнє завдання

1. Перед вами зображено три трикутники, дайте відповідь, чи є проведені в трикутниках лінії середніми?
2. Скільки середніх ліній можна збудувати в одному трикутнику?

3. Дано трикутник АВС. Знайдіть сторони трикутника АВС, якщо середні лінії мають такі розміри: OF = 5,5 см, FN = 8 см, ON = 7 см.

У вирішенні планиметричних завдань, окрім сторін і кутів фігури, нерідко активну участь беруть інші величини – медіани, висоти, діагоналі, бісектриси та інші. До них належить і середня лінія.
Якщо вихідний багатокутник - трапеція, то що є його середня лінія? Даний відрізок є частиною прямої, яка перетинає бічні сторони фігури посередині і розташовується паралельно двом іншим сторонам - основам.

Як знайти середню лінію трапеції через лінію середини та основи

Якщо відомі величина верхньої та нижньої основ, то розрахувати невідоме допоможе вираз:

a, b – основи, l – середня лінія.

Як знайти середню лінію трапеції через площу

Якщо у вихідних даних є значення площі фігури, то за допомогою даної величини також можна обчислити довжину лінії середини трапеції. Скористаємося формулою S = (a+b)/2*h,
S - площа,
h – висота,
a, b – основи.
Але оскільки l = (a+b)/2, то S = l*h, отже l=S/h.

Як знайти середню лінію трапеції через основу та кути при ньому

За наявності довжини більшої основи фігури, її висоти, а також відомих градусних заходівкутів при ньому, вираз для знаходження лінії середини трапеції матиме такий вигляд:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, причому
l – потрібна величина,
a – більша основа,
α, β – кути при ньому,
h – висота фігури.

Якщо відомо значення меншої основи (за тих же інших даних), знайти лінію середини допоможе співвідношення:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – потрібна величина,
b – менша основа,
α, β – кути при ньому,
h – висота фігури.

Знайти середню лінію трапеції через висоту, діагоналі та кути

Розглянемо ситуацію, коли в умовах завдання є значення діагоналей фігури, кути, які вони утворюють, перетинаючи один з одним, а також висота. Розрахувати середню лінію можна за допомогою виразів:

l=(d1*d2)/2h*sinγ або l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – лінія середини,
d1, d2 – діагоналі,
φ, γ – кути між ними,
h – висота фігури.

Як знайти середню лінію трапеціїДля рівнобедреної фігури

Якщо базова фігура – ​​трапеція рівнобедрена, наведені вище формули матимуть такий вигляд.

• За наявності значень підстав трапеції змін у виразі не станеться.

l = (a+b)/2, a, b – основи, l – середня лінія.

• Якщо відомі висота, основа та кути, до нього прилеглі, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – лінія середини,
a, b - основи (b< a),
α – кути при ньому,
h – висота фігури.

• Якщо відома бічна сторона трапеції та одна з підстав, то визначити потрібну величину можна, звернувшись до виразу:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – лінія середини,
a, b - основи (b< a),
h – висота фігури.

• При відомих значеннях висоти, діагоналей (а вони рівні між собою) та кутах, утворених в результаті їх перетину, лінію середини можна знайти таким чином:

l=(d*d)/2h*sinγ або l=(d*d)/2h*sinφ,

l – лінія середини,
d – діагоналі,
φ, γ – кути між ними,
h – висота фігури.

• Відомі площа та висота фігури, тоді:

l=S/h,
S - площа,
h – висота.

• Якщо перпендикуляр-висота невідомий, його можна визначити за допомогою визначення тригонометричної функції.

h=c*sinα, тому
l=S/c*sinα,
l – лінія середини,
S - площа,
c – бічна сторона,
α- кут біля основи.

Середня лінія трикутника цікавий характеризує відрізок, так як володіє декількома властивостями, що дозволяють знайти просте рішення для здавалося б складного завдання. Тому розглянемо основні властивості середньої лінії та поговоримо про те, як знайти довжину цього відрізка у трикутнику.

Трикутник та його характеризуючі відрізки

Трикутник це фігура, що складається з трьох сторін та трьох кутів. Залежно від кутів трикутники поділяються на:

• Острокутні
• Тупокутні
• Прямокутні

Мал. 1. Види трикутників

Основними характеризуючими відрізками трикутника є:

• Медіана- Відрізок, що з'єднує вершину з серединою протилежної сторони.
• Бісектриса- Відрізок, що ділить кут навпіл
• Висота- перпендикуляр, опущений із вершини трикутника на протилежну сторону.

Мал. 2. Висота, медіана та бісектриса в трикутнику

Для кожного з відрізків, що характеризують, існує своя точка перетину. При з'єднанні трьох точок перетину медіан, бісектрис і висот виходить золотий переріз трикутника.

Однак існує й низка додаткових характеризуючих відрізків:

• Серединний перпендикуляр- Висота відновлена ​​з середини висоти. Як правило, серединний перпендикуляр триває до перетину з іншою стороною.
• Середня лінія- Відрізок, що з'єднує середини суміжних сторін.
• Радіус вписаного кола. Вписане коло - коло, що стосується кожної зі сторін трикутника.
• Радіус описаного кола.Описане коло - коло, що містить у собі всі сторони трикутника.

Суміжними сторонами трикутників називають сторони, які мають загальну вершину. У геометрії є поняття протилежних сторін, тобто. сторін, які лежать один навпроти одного і не мають спільних вершин. Але це поняття для трикутників не застосовується - будь-яка пара сторін у трикутнику є суміжною.

Властивість середньої лінії

Властивостей середньої лінії не так багато, але всі вони мають значення під час вирішення завдань. Справа в тому, що завдань на знаходження довжини середньої лінії мало, а тому деякі з них здатні побудувати учня в ступор за всієї своєї простоти.

Тому наведемо та обговоримо всі властивості середньої лінії трикутника:

• Середня лінія дорівнює половині основи. Взагалі правильніше сказати не половині основи, а половині протилежної сторони. Так як сторін у трикутнику 3, а основа всього одна. Але в загальному випадку, підставою можна вважати будь-яку зі сторін трикутника, тому подібне формулювання вважається допустимим. До того ж, її простіше вивчити. У загальному випадку за цією властивістю визначається довжина середньої лінії трикутника.
• Середня лінія паралельна до основи. З поняттям підстави тут та сама ситуація, що у минулому властивості.
• Середня лінія відсікає від трикутника малий подібний трикутник з коефіцієнтом подібності, що дорівнює 0,5
• Три середні лінії ділять трикутник на 4 рівних трикутника, подібних до великого трикутника з коефіцієнтом подібності 0,5

Мал. 3. Середні лінії у трикутнику

Власне формула довжини середньої лінії випливає із другої властивості:

$m=1\over(2)*a$- де m - середня лінія, а-сторона протилежна середній лінії.

Що ми дізналися?

Ми поговорили про другорядні характеризуючі відрізки, виділивши середню лінію. Навели властивості середніх ліній та поговорили про особливості формулювання цих властивостей. Розповіли, як виводиться формула довжини середньої лінії трикутника та як середня лінія розбиває трикутник. Всі ці властивості використовуються під час вирішення трикутників.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.3. Усього отримано оцінок: 174.