Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні методи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або подання підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Для знаходження скористаємося тим самим інтегралом:

приклад 3.Для знаходження треба взяти

приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді і використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання у чисельнику використовуємо формулу куба суми  , а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записана одна загальна постійна (а не окремі при інтегруванні кожного доданку). Надалі також пропонується опускати в процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків доти, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну в кінці рішення).

Приклад 10Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

приклад 12.Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

приклад 13.Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на розглянутому проміжку.

Доказ. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині є складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім здобудемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, за наслідком з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. о неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тодіf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доказ.

За визначенням інтегралу f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву і праву частини рівності наkі отримати твердження, що доводиться, з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первообразной.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2, тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 – 6 (при підстановці замість tвиразу (x+ 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x– 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійного доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б виразити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в цьому випадку простіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є співмножником підінтегрального виразу шуканого інтеграла. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді

Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні більше складних інтеграліввам доведеться постійно ними користуватися.

Зверніть особливу увагу на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді довільну постійну С!

Інтеграл від константи

∫ A d x = A x + C (1)

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадокформули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косінусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinxдорівнює сosx. Це не так! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, а їх висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫(f(x) − g(x)) d x = ∫ f(x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функції, якщо внутрішня функціяє лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формулидля інтеграла від виконання двох функцій, а також для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ? ∫ f(x) g(x) d x = ? (30)

Це не означає, звичайно, що дріб чи твір не можна проінтегрувати. Просто щоразу, побачивши інтеграл типу (30), вам доведеться винаходити спосіб боротьби з ним. У якихось випадках вам допоможе інтегрування частинами, десь доведеться зробити заміну змінною, а іноді допомогу можуть надати навіть "шкільні" формули алгебри або тригонометрії.

Простий приклад обчислення невизначеного інтеграла

Приклад 1. Знайти інтеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Скористаємося формулами (25) і (26) (інтеграл від суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці відповідних інтегралів. Отримуємо: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Згадаймо, що константу можна виносити за знак інтеграла (формула (27)). Вираз перетворюється на вигляд

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно буде застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0)

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням

Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли труднощі з вищою математикою ( математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні послуги кваліфікованого викладача, зайдіть на сторінку репетитора з математики . Вирішуватимемо Ваші проблеми разом!

Можливо, вас зацікавлять також

Визначення 1

Первісна $F(x)$ для функції $y=f(x)$ на відрізку $$ - це функція , яка є диференційованою у кожній точці цього відрізка і її похідної виконується таку рівність:

Визначення 2

Сукупність всіх первісних заданої функції$y=f(x)$, визначеної деякому відрізку, називається невизначеним інтегралом від заданої функції $y=f(x)$. Невизначений інтеграл позначається символом $\int f(x)dx$.

З таблиці похідних та визначення 2 отримуємо таблицю основних інтегралів.

Приклад 1

Перевірити справедливість формули 7 з таблиці інтегралів:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x) = tgx]

Приклад 2

Перевірити справедливість формули 8 з таблиці інтегралів:

\[\int ctgxdx =\ln |sin x|+C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $ln |sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 3

Перевірити справедливість формули 11" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Продиференціюємо праву частину: $ frac (1) (a) arctg frac (x) (a) + C $.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 4

Перевірити справедливість формули 12 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C, \, \, C = const.

Продиференціюємо праву частину: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 5

Перевірити справедливість формули 13" з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

Продиференціюємо праву частину: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2) ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 6

Перевірити справедливість формули 14 з таблиці інтегралів:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C, \, \, C = const.

Продиференціюємо праву частину: $ + l |

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Похідна вийшла рівною підінтегральною функцією. Отже, формула вірна.

Приклад 7

Знайти інтеграл:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Скористаємося теоремою про інтеграл суми:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Скористаємося теоремою про винесення постійного множника за знак інтеграла:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

За таблицею інтегралів:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

При обчисленні першого інтеграла скористаємося правилом 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Отже,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1 ) +C_(2) \]

Інтегрування – це одна з основних операцій у матаналізі. Таблиці відомих первісних можуть бути корисні, але зараз вони після появи систем комп'ютерної алгебри втрачають свою значущість. Нижче знаходиться список найбільш первісних, що зустрічаються.

Таблиця основних інтегралів

Інший, компактний варіант

Таблиця інтегралів від тригонометричних функцій

Від раціональних функцій

Від ірраціональних функцій

Інтеграли від трансцендентних функцій

"C" – довільна константа інтегрування, яка визначається, якщо відоме значення інтеграла в будь-якій точці. Кожна функція має безліч первісних.

Більшість школярів і студентів мають проблеми з обчисленням інтегралів. На цій сторінці зібрані таблиці інтеграліввід тригонометричних, раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій, які допоможуть у вирішенні. Ще вам допоможе таблиця похідних.

Відео - як знаходити інтеграли

Якщо вам не зовсім зрозуміла дана тема, перегляньте відео, в якому все докладно пояснюється.