Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб постояти графік функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх на рівняння функції, і за ними обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного спрямування осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k менше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a не є функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значенняфункції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

Лінійною функцієюназивається функція виду y = kx + b, задана на багатьох дійсних чисел. Тут k- Кутовий коефіцієнт (дійсне число), b – вільний член (дійсне число), x- Незалежна змінна.

В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = bграфік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kxяка є прямою пропорційністю.

b – довжина відрізка, Який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

Геометричний зміст коефіцієнта k – кут нахилупрямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь. Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з числа b;

3) Парність та непарність лінійної функції залежать від значень коефіцієнтів kі b.

a) b ≠ 0, k = 0,отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0,отже y = kx - непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0,отже y = kx + b – функція загального вигляду;

d) b = 0, k = 0,отже y = 0 – як парна, і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0)- Точка перетину з віссю абсцис.

Ой: y = 0k + b = b, отже (0; b)- Точка перетину з віссю ординат.

Зауваження.Якщо b = 0і k = 0, то функція y = 0звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0і k = 0, то функція y = bне звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-b/k; +∞),

y = kx + b- негативна при xз (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-∞; -b/k),

y = kx + b- негативна при xз (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + bпозитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b негативна по всій області визначення.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + bзростає по всій області визначення,

k< 0 , отже y = kx + bзменшується по всій області визначення.

8) Графіком лінійної функції є пряма. Для побудови прямої достатньо знати дві точки. Положення прямої на координатній площині залежить від значень коефіцієнтів kі b. Нижче наведено таблицю, яка наочно це ілюструє.