Визначення3 . 3 Нехай - деяка функція, - її область визначення і - деякий (відкритий) інтервал (можливо, з та/або) 7 . Назвемо функцію безперервної на інтерваліякщо безперервна в будь-якій точці, тобто для будь-якого існує (у скороченому записі:

Нехай тепер - (замкнутий) відрізок . Назвемо функцію безперервний на відрізку, якщо безперервна на інтервалі , безперервна праворуч у точці і безперервна ліворуч у точці , тобто

приклад3 . 13 Розглянемо функцію (функція Хевісайду) на відрізку , . Тоді безперервна на відрізку (попри те, що у точці вона має розрив першого роду).

Рис.3.15.Графік функції Хевісайду

Аналогічне визначення можна дати і напівінтервалів виду і , включаючи випадки і . Однак можна узагальнити дане визначення на випадок довільного підмножини в такий спосіб. Введемо спочатку поняття індукованоюна бази: нехай - база, всі закінчення якої мають непусті перетину з . Позначимо через і розглянемо безліч усіх. Неважко тоді перевірити, що багато буде базою. Тим самим було визначено бази , і , де , і -- бази непроколотих двосторонніх (відповідно лівих, правих) околиць точки (їх визначення див. на початку поточного розділу).

Визначення3 . 4 Назвемо функцію безперервний на безлічі, якщо

Неважко бачити, що тоді при і при цьому визначення збігається з тими, що були дано вище спеціально для інтервалу та відрізка.

Нагадаємо, що всі елементарні функціїбезперервні у всіх точках своїх областей визначення і, отже, безперервні на будь-яких інтервалах та відрізках, що лежать у їх областях визначення.

Оскільки безперервність на інтервалі та відрізку визначається крапково, має місце теорема, яка є безпосереднім наслідком теореми 3.1:

Теорема3 . 5 Нехай і -- функції та - інтервал або відрізок, що лежить у . Нехай і безперервні на . Тоді функції , , неперервні на . Якщо ще при всіх , то функція також неперервна на .

З цієї теорії випливає наступне твердження, так само, як з теорії 3.1 - пропозиція 3.3:

Пропозиція3 . 4 Безліч всіх функцій, неперервних на інтервалі або відрізку - Це лінійне простір:

Більше складне властивість безперервної функції висловлює така теорема.

Теорема3 . 6 (про коріння безперервної функції) Нехай функція безперервна на відрізку , причому і - Числа різних знаків. (Будемо для певності вважати, що , а .) Тоді існує хоча б одне таке значення , що (тобто існує хоча б один корінь рівняння ).

Доказ. Розглянемо середину відрізка. Тоді або, або, або. У першому випадку корінь знайдено: це . В інших двох випадках розглянемо ту частину відрізка, на кінцях якої функція набуває значень різних знаків: у разі або у разі . Вибрану половину відрізка позначимо через і застосуємо до неї ту саму процедуру: розділимо на дві половини і де , і знайдемо . У разі корінь знайдено; у разі розглядаємо далі відрізок , у разі - відрізок і т.д.

Послідовні поділки відрізка навпіл

Отримуємо, що або на деякому кроці буде знайдено корінь, або буде побудовано систему вкладених відрізків

в якій кожен наступний відрізок вдвічі коротший за попередній. Послідовність - незнижена і обмежена зверху (наприклад, числом); отже (за теоремою 2.13), вона має межу . Послідовність - Незростаюча та обмежена знизу (наприклад, числом); отже, існує межа . Оскільки довжини відрізків утворюють спадну геометричну прогресію (зі знаменником), то вони прагнуть до 0, і тобто. Покладемо тепер. Тоді

і

оскільки функція безперервна. Однак, по побудові послідовностей і , і , отже, за теоремою про перехід до межі в нерівності (теорема 2.7), і, тобто і. Значить, і - корінь рівняння.

приклад3 . 14 Розглянемо функцію на відрізку. Оскільки і - числа різних знаків, то функція звертається до 0 в деякій точці інтервалу . Це означає, що рівняння має корінь.

Рис.3.17.Графічне уявлення кореня рівняння

Доведена теорема фактично дає нам спосіб знаходження кореня, хоча б наближеного, з будь-яким заданим наперед ступенем точності. Це метод поділу відрізка навпіл, описаний при доказі теореми. Більш докладно з цим та іншими, більш ефективними способами наближеного знаходження кореня ми познайомимося нижче, після того, як вивчимо поняття та властивості похідної.

Зауважимо, що теорема не стверджує, що й умови виконані, то корінь -- єдиний. Як показує наступний малюнок, коріння може бути і більше одного (на малюнку їх 3).

Декілька коренів функції, що приймає значення різних знаків у кінцях відрізка

Однак, якщо функція монотонно зростає або монотонно зменшується на відрізку, в кінцях якого набуває значень різних знаків, то корінь - єдиний, тому що строго монотонна функція кожне своє значення набуває рівно в одній точці, в тому числі і значення 0.

Рис.3.19.Монотонна функція не може мати більше одного кореня

Безпосереднім наслідком теореми про корені безперервної функції є така теорема, яка сама по собі має дуже важливе значення в математичному аналізі.

Теорема3 . 7 (про проміжне значення безперервної функції) Нехай функція безперервна на відрізку і (будемо для певності вважати, що ). Нехай - деяке число, що лежить між і . Тоді існує така точка , що .

Рис.3.20. Безперервна функція набуває будь-якого проміжного значення

Доказ. Розглянемо допоміжну функцію , де . Тоді і . Функція , очевидно, безперервна, і з попередньої теоремі існує така точка , що . Але це рівність означає, що .

Зауважимо, що якщо функція не є безперервною, то вона може набувати не всіх проміжних значень. Наприклад, функція Хевісайда (див. приклад 3.13) набуває значення , , але ніде, в тому числі і на інтервалі , не набуває, скажімо, проміжного значення . Справа в тому, що функція Хевісайда має розрив у точці , що лежить саме в інтервалі.

Для подальшого вивчення властивостей функцій, безперервних на відрізку, нам знадобиться наступна тонка властивість системи речових чисел (ми вже згадували його в розділі 2 у зв'язку з теоремою про межу монотонно зростаючої обмеженої функції): для будь-якого обмеженого знизу множини (тобто такого, що при всіх і деякому; нижньою граннюмножини ) є точна нижня грань, тобто найбільше з чисел , таких що за всіх . Аналогічно, якщо множина обмежена зверху, то вона має точну верхню грань: це найменша з верхніх граней(Для яких при всіх).

Рис.3.21.Нижня і верхня грані обмеженої множини

Якщо, то існує зростаюча послідовність точок, яка прагне. Точно так само якщо, то існує невпинна послідовність точок, яка прагне до.

Якщо точка належить множині , є найменшим елементом цієї множини: ; аналогічно, якщо , то.

Крім того, для подальшого нам знадобиться така

Лемма3 . 1 Нехай -- безперервна функціяна відрізку , і безліч тих точок , в яких (або , або ) не порожньо. Тоді в безлічі є найменше значення , таке що при всіх .

Рис.3.22. Найменший аргумент, у якому функція приймає задане значення

Доказ. Оскільки - обмежена множина (це частина відрізка), то вона має точну нижню грань. Тоді існує незростаюча послідовність, така що при. При цьому, за визначенням множини. Тому, переходячи до межі, отримуємо, з одного боку,

а з іншого боку, внаслідок безперервності функції ,

Отже, , отже точка належить безлічі і .

У випадку, коли безліч задано нерівністю, ми маємо за всіх і за теоремою про перехід до межі в нерівності отримуємо

звідки , Що означає, що і . Так само у разі нерівності перехід до межі в нерівності дає

звідки, і.

Теорема3 . 8 (Про обмеженість безперервної функції) Нехай функція безперервна на відрізку . Тоді обмежена на , тобто існує така постійна , що при всіх .

Рис.3.23. Безперервна на відрізку функція обмежена

Доказ. Припустимо зворотне: нехай не обмежена, наприклад, зверху. Тоді всі множини , , , не порожні. По попередній лемі у кожному з цих множин є найменше значення , . Покажемо, що

Справді, . Якщо якась точка з , наприклад , лежить між і , то

тобто - проміжне значення між і. Отже, за теоремою про проміжне значення безперервної функції існує точка , така що , та . Але , всупереч припущенню у тому, що -- найменше значення з безлічі . Звідси випливає, що з усіх .

Так само далі доводиться, що з усіх , за всіх , тощо. буд. Отже, — зростаюча послідовність, обмежена зверху числом . Тому існує. З безперервності функції випливає, що існує , але при , отже межі немає. Отримана суперечність доводить, що функція обмежена згори.

Аналогічно доводиться, що обмежена знизу, звідки випливає затвердження теореми.

Очевидно, що послабити умови теореми не можна: якщо функція не є безперервною, то вона не повинна бути обмеженою на відрізку (наведемо як приклад функцію

на відрізку. Ця функція не обмежена на відрізку, оскільки має точку розриву другого роду, таку що при . Також не можна замінити за умови теореми відрізок інтервалом або напівінтервалом: як приклад розглянемо ту саму функцію на напівінтервалі . Функція безперервна цьому напівінтервалі, але необмежена, тому що при .

Пошук найкращих постійних, якими можна обмежити функцію зверху і знизу на заданому відрізку, природним чином призводить до завдання знайти мінімум і максимуму безперервної функції у цьому відрізку. Можливість вирішення цього завдання описується наступною теоремою.

Теорема3 . 9 (про досягнення екстремуму безперервною функцією) Нехай функція безперервна на відрізку . Тоді існує точка , така що при всіх (тобто - точка мінімуму: ), і існує точка , така що при всіх (тобто - точка максимуму: ). Іншими словами, мінімальне та максимальне 8 значення безперервної функції на відрізку існують і досягаються в деяких точках і цього відрізка.

Рис.3.24. Безперервна на відрізку функція досягає максимуму та мінімуму

Доказ. Оскільки по попередній теоремі функція обмежена зверху, існує точна верхня грань значень функції на -- число . Тим самим, множини , ,..., ,..., не порожні, і по попередній лемі в них є найменші значення : , . Ці не спадають (доводиться це твердження так само, як у попередній теоремі):

і обмежені зверху числом. Тому, за теоремою про межу монотонної обмеженої послідовності, існує межа , то й

по теоремі про перехід до межі нерівності, тобто . Але за всіх, і в тому числі. Звідси виходить, що , тобто максимум функції досягається в точці .

Аналогічно доводиться існування точки мінімуму.

У цій теоремі, як і в попередній, не можна послабити умови: якщо функція не є безперервною, вона може не досягати свого максимального або мінімального значення на відрізку, навіть будучи обмеженою. Наприклад візьмемо функцію

на відрізку. Ця функція обмежена на відрізку (очевидно, що) і однак значення 1 вона не приймає в жодній точці відрізка (зауважимо, що , а не 1). Справа в тому, що ця функція має розрив першого роду в точці , так що при межі не дорівнює значенню функції в точці 0. Далі, безперервна функція, задана на інтервалі або іншій множині, що не є замкнутим відрізком (на півінтервалі, півосі) також може не набувати екстремального значення. Як приклад розглянемо функцію на інтервалі. Очевидно, що функція безперервна і що , проте значення 0, ні значення 1 функція не приймає ні в якій точці інтервалу . Розглянемо також функцію на півосі. Ця функція безперервна на , зростає, набуває свого мінімального значення 0 в точці , але не набуває ні в якій точці максимального значення (хоча обмежена зверху числом і

Визначення. Якщо функція f(x) визначена на відрізку [ a, b], безперервна в кожній точці інтервалу ( a, b), у точці aбезперервна справа, у точці bбезперервна зліва, то кажуть, що функція f(x) безперервна на відрізку [a, b].

Іншими словами, функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], якщо виконано три умови:

1) "x 0 Î( a, b): f(x) = f(x 0);

2) f(x) = f(a);

3) f(x) = f(b).

Для функцій, безперервних на відрізку, розглянемо деякі властивості, які сформулюємо як наступних теорем, не проводячи доказів.

Теорема 1. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого та свого найбільшого значення.

Ця теорема стверджує (рис. 1.15), що у відрізку [ a, b] знайдеться така точка x 1 , що f(x 1) £ f(x) для будь-яких xз [ a, b] і що знайдеться точка x 2 (x 2 Î[ a, b]) така, що " xÎ[ a, b] (f(x 2) ³ f(x)).

Значення f(x 1) є найбільшим для цієї функції на [ a, b], а f(x 2) – найменшим. Позначимо: f(x 1) = M, f(x 2) =m. Тому що для f(x) виконується нерівність: " xÎ[ a, b] m£ f(x) £ M, Отримуємо наступне слідство з теореми 1.

Слідство. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a,b] і на кінцях відрізка набуває значень різних знаків, то знайдеться така внутрішня точка x 0 відрізка [ a, b], у якій функція звертається до 0, тобто. $ x 0 Î ( a, b) (f(x 0) = 0).

Ця теорема стверджує, що графік функції y = f(x), безперервної на відрізку [ a, b], перетинає вісь Oxхоча б один раз, якщо значення f(a) та f(b) мають протилежні знаки. Так, (рис. 1.16) f(a) > 0, f(b) < 0 и функция f(x) звертається до 0 у точках x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3. Нехай функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], f(a) = A, f(b) = Bі A¹ B. (Рис. 1.17). Тоді для будь-якого числа C, укладеного між числами Aі B, знайдеться така внутрішня точка x 0 відрізка [ a, b], що f(x 0) = C.

Слідство. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b], m- Найменше значення f(x), M – найбільше значенняфункції f(x) на відрізку [ a, b], то функція приймає (хоча б один раз) будь-яке значення m, укладене між mі M, а тому відрізок [ m, M] є безліччю всіх значень функції f(x) на відрізку [ a, b].

Зауважимо, що якщо функція безперервна на інтервалі ( a, b) або має на відрізку [ a, b] точки розриву, теореми 1, 2, 3 для такої функції перестають бути вірними.

На закінчення розглянемо теорему існування зворотної функції.

Нагадаємо, що під проміжком розуміється відрізок або інтервал, або напівінтервал кінцевий або нескінченний.

Теорема 4. Нехай f(x) безперервна на проміжку X, зростає (або зменшується) на Xі має безліч значень проміжок Y. Тоді для функції y = f(x) існує зворотна функція x= j(y), визначена на проміжку Y, безперервна і зростаюча (або спадна) на Yз безліччю значень X.

Зауваження. Нехай функція x= j(y) є зворотною для функції f(x). Оскільки зазвичай аргумент позначають через x, а функцію через y, то запишемо зворотну функціюу вигляді y =j(x).

Приклад 1. Функція y = x 2 (рис. 1.8, а) на множині X= `і``. За умовою екстремуму `x=-1` - точка локального максимуму, а `x=1` - точка локального мінімуму. Оскільки `y^"=0` тільки в точках `x=1` та `x=-1`, то за теоремою Ферма інших точок екстремуму у функції немає.

Розглянемо важливий клас завдань, у яких використовується поняття похідної – завдання знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

Приклад 5.2

Знайти найбільше та найменше значення функції `y=x^3-3x` на відрізку: а) `[-2;0]`; б) ``.

а) З прикладу 5.1 слід, що функція зростає на `(-oo,-1]` і зменшується на `[-1,1]`.Так що `y(-1)>=y(x)` при всіх x in[-2;0]` і `y_"наиб"=y(-1)=2` - найбільше значення функції на відрізку `[-2;0]`. відрізка. Оскільки `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"найм"=-2` - найменше значення функції на відрізку `[-2;0]`.

б) Оскільки на промені ``, тому `y_"найм"=y(1)=-2`, `y_"найб"=y(3)=18`.

Зауваження

Відзначимо, що безперервна на відрізку функція завжди має найбільше та найменше значення.

Приклад 5.3

Знайти найбільше та найменше значення функції `y=x^3-12|x+1|` на відрізку `[-4;3]`.

Зазначимо, що функція безперервна на всій числовій прямій. Позначимо `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тоді `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишемо всі дослідження у таблиці:

`y_"наиб" = -1 `; `y_"найм"=-100`.

Безперервність елементарних функцій

Теореми про безперервність функцій випливають безпосередньо з відповідних теорем про межі.

Теорема.Сума, твір і приватне двох безперервних функцій є безперервна функція (для приватного за винятком тих значень аргументу, в яких дільник дорівнює нулю).

Теорема.Нехай функції u= φ (x) безперервна в точці х 0 , а функція y = f(u) безперервна в точці u 0 = φ (х 0). Тоді складна функція f(φ (x)) що складається з безперервних функцій, безперервна в точці x 0 .

Теорема.Якщо функція у = f(х) безперервна і строго монотонна на [ а; b] осі Ох, то зворотна функція у = φ (х) також безперервна і монотонна на відповідному відрізку [ c;d] осі Оу(Без доказу).

Безперервні на відрізку функції мають низку важливих властивостей. Сформулюємо їх як теорем, не наводячи доказів.

Теорема (Вейєрштраса). Якщо функція безперервна на відрізку, вона досягає цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значень.

Зображена малюнку 5 функція у = f(x) безперервна на відрізку [ а; b], набуває свого найбільшого значення Му точці x 1 , а найменше m -у точці х 2 . Для будь-кого х [а; b] має місце нерівність m ≤ f(x) ≤ М.

Слідство.Якщо функція безперервна на відрізку, вона обмежена у цьому відрізку.

Теорема (Больцано – Коші).Якщо функція у= f(x) безперервна на відрізку [ a; b] і набирає на його кінцях нерівні значення f(a) = Aі f(b) = =У, то на цьому відрізку вона набуває і всіх проміжних значень між Аі У.

Геометрично теорема очевидна (див. рис. 6).

Для будь-якого числа З, укладеного між Аі У, знайдеться крапка звсередині цього відрізка така, що f(з) = З. Пряма у = Зперетне графік функції принаймні в одній точці.

Слідство.Якщо функція у = f(x) безперервна на відрізку [ а; b] і його кінцях приймає значення різних знаків, то всередині відрізка [ а; b] знайдеться хоча б одна точка з, в якій дана функція f(x) звертається в нуль: f(з) = 0.

Геометричний змісттеореми: якщо графік безперервної функції переходить з одного боку осі Охна іншу, то він перетинає вісь Ox(Див. рис. 7).

Мал. 7.

Визначення 4. Функція називається безперервною на відрізку, якщо вона безперервна в кожній точці цього відрізка (у точці a безперервна справа, тобто, а в точці b безперервна зліва, тобто).

Усі основні елементарні функції безперервні у сфері визначення.

Властивості функцій, безперервних на відрізку:

• 1) Якщо функція безперервна на відрізку, вона обмежена у цьому відрізку (перша теорема Вейерштрасса).
• 2) Якщо функція безперервна на відрізку, то на цьому відрізку вона досягає свого найменшого значення та найбільшого значення (друга теорема Вейєрштраса) (див. рис. 2).
• 3) Якщо функція безперервна на відрізку і його кінцях приймає значення різних знаків, то всередині відрізка існує хоча б одна точка така, що (теорема Больцано-Коші).

Точки розриву функції та їх класифікація

функція безперервність точка відрізок

Точки, в яких умова безперервності не виконується, називаються точками розриву цієї функції. Якщо - точка розриву функції, то в ній не виконується хоча б одна з трьох умов безперервності функції, зазначених у визначеннях 1, 2, а саме:

1) Функція визначена в околиці точки, але не визначена у самій точці. Так, функція, розглянута в прикладі 2 а) має розрив у точці, так як не визначена в цій точці.

2) Функція визначена у точці та її околиці, існують односторонні межі і, але де вони рівні між собой: . Наприклад, функція з прикладу 2 б) визначена в точці та її околиці, але, оскільки, а.

3) Функція визначена в точці та її околиці, існують односторонні межі і вони рівні між собою, але не рівні значення функції в точці: . Наприклад, функція. Тут - точка розриву: у цій точці функція визначена, існують односторонні межі і рівні між собою, але, тобто.

Точки розриву функції класифікуються в такий спосіб.

Визначення 5. Точка називається точкою розриву першого роду функції, якщо в цій точці існують кінцеві межі і, але вони не рівні між собою: . Розмір називається у своїй стрибком функції у точці.

Визначення 6 . Точка називається точкою усуненого розриву функції, якщо в цій точці існують кінцеві межі і вони рівні між собою: , але сама функція не визначена в точці, або визначена, але.

Визначення 7. Точка називається точкою розриву другого роду функції, якщо в цій точці хоча б одна з односторонніх меж (або) не існує або дорівнює нескінченності.

Приклад 3. Знайти точки розриву наступних функцій та визначити їх тип: а) б)

Рішення. а) Функція визначена і безперервна на інтервалах, оскільки на кожному з цих інтервалів вона задана безперервними елементарними функціями. Отже, точками розриву цієї функції може лише ті точки, у яких функція змінює своє аналітичне завдання, тобто. точки в. Знайдемо односторонні межі функції у точці:

Оскільки односторонні межі є і кінцеві, але з рівні між собою, то точка є точкою розриву першого роду. Стрибок функції:

Для точки знаходимо.