Інтегрування – це одна з основних операцій у матаналізі. Таблиці відомих первісних можуть бути корисні, але зараз вони після появи систем комп'ютерної алгебри втрачають свою значущість. Нижче знаходиться список найбільш первісних, що зустрічаються.

Таблиця основних інтегралів

Інший, компактний варіант

Таблиця інтегралів від тригонометричних функцій

Від раціональних функцій

Від ірраціональних функцій

Інтеграли від трансцендентних функцій

"C" – довільна константа інтегрування, яка визначається, якщо відоме значення інтеграла в будь-якій точці. Кожна функція має безліч первісних.

Більшість школярів і студентів мають проблеми з обчисленням інтегралів. На цій сторінці зібрані таблиці інтеграліввід тригонометричних, раціональних, ірраціональних та трансцендентних функцій, які допоможуть у вирішенні. Ще вам допоможе таблиця похідних.

Відео - як знаходити інтеграли

Якщо вам не зовсім зрозуміла дана тема, перегляньте відео, в якому все докладно пояснюється.

Головні інтеграли, які має знати кожен студент

Перелічені інтеграли – це базис, основа основ. Ці формули, безумовно, слід запам'ятати. При обчисленні складніших інтегралів вам доведеться постійно користуватися ними.

Зверніть особливу увагу на формули (5), (7), (9), (12), (13), (17) та (19). Не забувайте при інтегруванні додавати до відповіді довільну постійну С!

Інтеграл від константи

∫ A d x = A x + C (1)

Інтегрування статечної функції

Насправді, можна було обмежитися лише формулами (5) і (7), але решта інтегралів із цієї групи зустрічається настільки часто, що варто приділити їм трохи уваги.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Інтеграли від показової функції та від гіперболічних функцій

Зрозуміло, формулу (8) (мабуть, найзручнішу для запам'ятовування) можна як окремий випадок формули (9). Формули (10) та (11) для інтегралів від гіперболічного синуса та гіперболічного косинуса легко виводяться з формули (8), але краще просто запам'ятати ці співвідношення.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Базові інтеграли від тригонометричних функцій

Помилка, яку часто роблять студенти: плутають знаки у формулах (12) та (13). Запам'ятавши, що похідна синуса дорівнює косінусу, багато хто чомусь вважає, що інтеграл від функції sinxдорівнює сosx. Це не так! Інтеграл від синуса дорівнює "мінус косинусу", а ось інтеграл від cosx дорівнює "просто синусу":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Інтеграли, що зводяться до зворотних тригонометричних функцій

Формула (16), що призводить до арктангенсу, природно, є окремим випадком формули (17) при a=1. Аналогічно, (18) – окремий випадок (19).

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Більш складні інтеграли

Ці формули теж бажано запам'ятати. Вони також використовуються досить часто, а їх висновок досить стомлюючий.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

Загальні правила інтегрування

1) Інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі відповідних інтегралів: ∫(f(x) + g(x)) d x = ∫ f(x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Інтеграл від різниці двох функцій дорівнює різниці відповідних інтегралів: ∫(f(x) − g(x)) d x = ∫ f(x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Константу можна виносити за знак інтеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Легко помітити, що властивість (26) – це просто комбінація властивостей (25) та (27).

4) Інтеграл від складної функції, якщо внутрішня функціяє лінійною: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Тут F(x) - первісна для функції f(x). Зверніть увагу: ця формула підходить тільки для випадку, коли внутрішня функція має вигляд Ax+B.

Важливо: немає універсальної формулидля інтеграла від виконання двох функцій, а також для інтеграла від дробу:

∫ f(x) g(x) d x = ? ∫ f(x) g(x) d x = ? (30)

Це не означає, звичайно, що дріб чи твір не можна проінтегрувати. Просто щоразу, побачивши інтеграл типу (30), вам доведеться винаходити спосіб боротьби з ним. У якихось випадках вам допоможе інтегрування частинами, десь доведеться зробити заміну змінною, а іноді допомогу можуть надати навіть "шкільні" формули алгебри або тригонометрії.

Простий приклад обчислення невизначеного інтеграла

Приклад 1. Знайти інтеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Скористаємося формулами (25) і (26) (інтеграл від суми або різниці функцій дорівнює сумі або різниці відповідних інтегралів. Отримуємо: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Згадаймо, що константу можна виносити за знак інтеграла (формула (27)). Вираз перетворюється на вигляд

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

А тепер просто скористаємось таблицею основних інтегралів. Нам потрібно буде застосувати формули (3), (12), (8) та (1). Проінтегруємо статечну функцію, синус, експоненту та константу 1. Не забудемо додати в кінці довільну постійну С:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Після елементарних перетворень отримуємо остаточну відповідь:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Перевірте себе диференціюванням: візьміть похідну від отриманої функції та переконайтеся, що вона дорівнює вихідному підінтегральному виразу.

Зведена таблиця інтегралів

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = r c t g x + C = − a r c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0)

Завантажте таблицю інтегралів (частина II) за цим посиланням

Якщо Ви навчаєтесь у ВНЗ, якщо у Вас виникли складнощі з вищою математикою (математичний аналіз, лінійна алгебра, теорія ймовірностей, статистика), якщо Вам потрібні послуги кваліфікованого викладача, зайдіть на сторінку репетитора з вищої математики. Вирішуватимемо Ваші проблеми разом!

Можливо, вас зацікавлять також

Рішення інтегралів – завдання легке, але лише обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього не можна обійтися в математиці.

Вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, Але все-таки. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.

Невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f(x) .

Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .

Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.

Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати первісні елементарних функцій, їх зручно звести до таблиці та користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів

Певний інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русішлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл – це сума нескінченно великої кількості нескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо графік якоїсь функції.

Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат та графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:

Точки а та b називаються межами інтегрування.

« Інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтегралу

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості не певного інтегралу, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.

• Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

• Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:

• Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Правильно також для різниці:

Властивості певного інтегралу

• Лінійність:

• Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

• При будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади вирішення інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл та приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.

Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться у професійний сервіс для студентів, і будь-який потрійний або криволінійний інтегралпо замкнутій поверхні стане вам під силу.

>> Методи інтегрування

Основні методи інтегрування

Визначення інтеграла, певний і невизначений інтеграл, таблиця інтегралів, формула Ньютона-Лейбніца, інтегрування частинами, приклади обчислення інтегралів.

Невизначений інтеграл

Функція F(x), що диференціюється в даному проміжку X, називається первісної функції f(x), або інтегралом від f(x), якщо для кожного x ∈X справедлива рівність:

F "(x) = f(x). (8.1)

Знаходження всіх первісних для цієї функції називається її інтегрування. Невизначеним інтегралом функції f(x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функційдля функції f(x); позначення -

Якщо F(x) - якась первоподібна для функції f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

де С-довільна постійна.

Таблиця інтегралів

Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості невизначеного інтегралу та список табличних інтегралів:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Список табличних інтегралів

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctg x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Заміна змінної

Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної або підстановки,що дозволяє приводити інтеграли до табличної форми.

Якщо функція f(z) неперервна на [α,β], функція z =g(x) має безперервну похідну і α ≤ g(x) ≤ β, то

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

причому після інтегрування у правій частині слід зробити підстановку z = g (x).

Для доказу достатньо записати вихідний інтеграл у вигляді:

∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Наприклад:

1)

2) .

Метод інтегрування частинами

Нехай u = f(x) та v = g(x) - функції, що мають безперервні . Тоді, за творами,

d(uv))= udv + vdu або udv = d(uv) - vdu.

Для вираження d(uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ця формула виражає правило інтегрування частинами. Воно наводить інтегрування виразу udv=uv"dx до інтегрування виразу vdu=vu"dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u = x, dv = cosxdx, отже du=dx, v=sinx. Тоді

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Певний інтеграл

Поняття певного інтеграла вводиться в такий спосіб. Нехай на відрізку визначено функцію f(x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на nчастин точками a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума виду f(ξ i)Δ x i називається інтегральною сумою, а її межа при λ = maxΔx i → 0, якщо вона існує і кінцева, називається певним інтеграломфункції f(x) від aдо bі позначається:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функція f(x) у разі називається інтегрованої на відрізку, числа a та b носять назву нижньої та верхньої межі інтегралу.

Для певного інтеграла справедливі такі характеристики:

4), (k = const, k R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Остання властивість називається теорема про середнє значення.

Нехай f(x) безперервна на . Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

і має місце формула Ньютона-Лейбніца, що пов'язує певний інтеграл з невизначеним:

F(b) - F(a). (8.6)

Геометрична інтерпретація: певний інтеграл є площею криволінійної трапеції, обмеженою зверху кривою y=f(x), прямими x = a і x = b і відрізком осі Ox.

Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами та інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду -це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються таким чином:

(8.7)

Якщо ця межа існує і кінцева, то називається схожим невласним інтегралом від f(x)на інтервалі [а,+ ∞), а функцію f(x) називають інтегрованої на нескінченному проміжку[а + ∞). Інакше про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞,b] та (-∞, + ∞):

Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f(x) безперервна для всіх значень xвідрізка , крім точки з, в якій f(x) має нескінченний розрив, то невласним інтегралом II роду від f(x) в межах від a до bназивається сума:

якщо ці межі є і кінцеві. Позначення:

Приклади обчислення інтегралів

Приклад 3.30.Обчислити ∫dx/(x+2).

Рішення.Позначимо t = x+2, тоді dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln | x +2 | + C.

Приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.

Рішення.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нехай t = cosx, тоді tgxdx = - dt / t = - ln | t | + C = -ln|cosx|+C.

приклад3.32 . Знайти ∫dx/sinx

Рішення.

приклад3.33. Знайти.

Рішення. =

.

приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.

Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u=arctgx, dv=dx. Тоді du = dx/(x 2 +1), v=x, звідки ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так як
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.

Рішення.Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тоді ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.

приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.

Рішення.Позначимо u = e x , dv = sinxdx, тоді du = e x dx, v = sinxdx = - cosx → e x sinxdx = - e cosx + ∫ e x cosxdx. Інтеграл ∫e x cosxdx також інтегруємо вроздріб: u = e x , dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Маємо:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.

приклад 3.37. Обчислити J = ∫cos(lnx)dx/x.

Рішення.Оскільки dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтеграла J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

приклад 3.38 . Обчислити J =.

Рішення.Враховуючи, що = d(lnx), робимо підстановку lnx = t. Тоді J = .

Перелічимо інтеграли від елементарних функцій, які іноді називають табличними:

Будь-яку з наведених вище формул можна довести, взявши похідну від правої частини (в результаті буде отримано підінтегральну функцію).

Методи інтегрування

Розглянемо деякі основні методи інтегрування. До них відносяться:

1. Метод розкладання(безпосереднього інтегрування).

Цей метод заснований на безпосередньому застосуванні табличних інтегралів, а також на застосуванні властивостей 4 і 5 невизначеного інтеграла (тобто на виносі за дужку постійного співмножника та/або подання підінтегральної функції у вигляді суми функцій – розкладання підінтегральної функції на доданки).

приклад 1.Наприклад, для знаходження(dx/x 4) можна безпосередньо скористатися табличним інтегралом дляx n dx. Справді,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

приклад 2.Для знаходження скористаємося тим самим інтегралом:

приклад 3.Для знаходження треба взяти

приклад 4.Щоб знайти, представимо підінтегральну функцію у вигляді і використовуємо табличний інтеграл для показової функції:

Розглянемо використання виносу за дужку постійного співмножника.

Приклад 5.Знайдемо, наприклад . Враховуючи, що отримаємо

Приклад 6.Знайдемо. Оскільки скористаємося табличним інтегралом Отримаємо

У наступних двох прикладах також можна використовувати винос за дужки та табличні інтеграли:

Приклад 7.

(використовуємо та );

Приклад 8.

(використовуємо і ).

Розглянемо складніші приклади, у яких використовується інтеграл суми.

Приклад 9.Наприклад, знайдемо
. Для застосування методу розкладання у чисельнику використовуємо формулу куба суми  , а потім отриманий багаточлен почленно розділимо на знаменник.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Слід зазначити, що наприкінці рішення записана одна загальна постійна (а не окремі при інтегруванні кожного доданку). Надалі також пропонується опускати в процесі рішення постійні від інтегрування окремих доданків доти, поки вираз містить хоча б один невизначений інтеграл (записуватимемо одну постійну в кінці рішення).

Приклад 10Знайдемо . Для вирішення цього завдання розкладемо на множники чисельник (після цього вдасться скоротити знаменник).

Приклад 11.Знайдемо. Тут можна використовувати тригонометричні тотожності.

Іноді, щоб розкласти вираз на доданки, доводиться застосовувати складніші прийоми.

приклад 12.Знайдемо . У підінтегральній функції виділимо цілу частину дробу . Тоді

приклад 13.Знайдемо

2. Метод заміни змінної (метод підстановки)

Метод заснований на наступній формулі: f(x)dx=f((t))`(t)dt, де x =(t) - функція, що диференціюється на розглянутому проміжку.

Доказ. Знайдемо похідні за змінною t від лівої та правої частин формули.

Зазначимо, що у лівій частині знаходиться складна функція, проміжним аргументом якої є x = (t). Тому, щоб диференціювати її поt, спочатку диференціюємо інтеграл по x, а потім здобудемо похідну від проміжного аргументу поt.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Похідна від правої частини:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Так як ці похідні рівні, за наслідком з теореми Лагранжа ліва і права частини формули, що доводиться, відрізняються на деяку постійну. Оскільки самі невизначені інтеграли визначені з точністю до невизначеного постійного доданку, то постійну в остаточному записі можна опустити. Доведено.

Вдала заміна змінної дозволяє спростити вихідний інтеграл, а найпростіших випадках звести його до табличного. У застосуванні цього методу розрізняють методи лінійної та нелінійної підстановки.

а) Метод лінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = 1 - 2x, тоді

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Слід зазначити, що нову змінну можна виписувати явно. У разі говорять про перетворення функції під знаком диференціала чи запровадження постійних і змінних під знак диференціала, - тобто. о неявної заміни змінної.

приклад 2.Наприклад, знайдемо cos(3x + 2)dx. За властивостями диференціала dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), тоді cos (3x + 2) dx = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

В обох розглянутих прикладах для знаходження інтегралів було використано лінійну підстановку t=kx+b(k0).

У випадку справедлива наступна теорема.

Теорема про лінійну підстановку. Нехай F(х) - деяка первісна для функції f(х). Тодіf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, де k та b - деякі постійні,k0.

Доказ.

За визначенням інтегралу f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Винесемо постійний множникkза знак інтеграла:kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Тепер можна розділити ліву і праву частини рівності наkі отримати твердження, що доводиться, з точністю до позначення постійного доданку.

Ця теорема стверджує, що якщо визначення інтеграла f(x)dx= F(x) + C замість аргументу х підставити вираз (kx+b), це призведе до появи додаткового множника 1/kперед первообразной.

З використанням доведеної теореми вирішимо такі приклади.

приклад 3.

Знайдемо . Тут kx + b = 3 -x, тобто. k = -1, b = 3. Тоді

приклад 4.

Знайдемо. Тут kx + b = 4x + 3, тобто k = 4, b = 3. Тоді

Приклад 5.

Знайдемо . Тут kx + b = -2x + 7, тобто. k = -2, b = 7. Тоді

.

Приклад 6.Знайдемо
. Тут kx + b = 2x + 0, тобто k = 2, b = 0.

.

Порівняємо отриманий результат прикладом 8, який був вирішений методом розкладання. Вирішуючи це завдання іншим методом, ми отримали відповідь
. Порівняємо отримані результати. Таким чином, ці вирази відрізняються один від одного на постійне доданок , тобто. отримані відповіді не суперечать одна одній.

Приклад 7.Знайдемо
. Виділимо у знаменнику повний квадрат.

У деяких випадках заміна змінної не зводить інтеграл безпосередньо до табличного, але може спростити рішення, уможлививши застосування на наступному кроці методу розкладання.

Приклад 8.Наприклад, знайдемо . Замінимо t = x + 2, тоді dt = d (x + 2) = dx. Тоді

,

де С = С 1 – 6 (при підстановці замість tвиразу (x+ 2) замість перших двох доданків отримаємо ½x 2 -2x– 6).

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t-1) / 2.

Підставимо замість tвираз (2x+ 1), розкриємо дужки і наведемо подібні.

Зазначимо, що у перетворень ми перейшли до іншого постійного доданку, т.к. групу постійних доданків у процесі перетворень можна було опустити.

б) Метод нелінійної підстановкирозглянемо з прикладу.

приклад 1.
. Нехай t = -x2. Далі можна було б виразити х через t, потім знайти вираз для dxі реалізувати заміну змінної в шуканому інтегралі. Але в цьому випадку простіше вчинити по-іншому. Знайдемо dt=d(-x 2) = -2xdx. Зазначимо, що вираз xdx є співмножником підінтегрального виразу шуканого інтеграла. Виразимо його з отриманої рівності xdx = - ½ dt. Тоді

= (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+ C

Розглянемо ще кілька прикладів.

приклад 2.Знайдемо . Нехай t = 1-x2. Тоді

приклад 3.Знайдемо . Нехай t =. Тоді

;

приклад 4.У разі нелінійної підстановки також зручно використовувати неявну заміну змінної.

Наприклад, знайдемо
. Запишемо xdx = = (-1/4) d (3 - 2x 2) (неявно замінили змінної t = 3 - 2x 2). Тоді

Приклад 5.Знайдемо . Тут також введемо змінну під знак диференціалу: (Неявна заміна t = 3 + 5x 3). Тоді

Приклад 6.Знайдемо . Оскільки ,

Приклад 7.Знайдемо. Оскільки, то

Розглянемо кілька прикладів, у яких виникає потреба поєднувати різні підстановки.

Приклад 8.Знайдемо
. Нехай t = 2x + 1, тоді x = (t - 1) / 2; dx = ½ dt.

Приклад 9.Знайдемо
. Нехай t = x-2, тоді x = t + 2; dx = dt.