ЗАВДАННЯ C2 ЄДИНОГО ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МАТЕМАТИКИ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНИ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ

Куликова Анастасія Юріївна

студент 5 курсу, кафедра мат. аналізу, алгебри та геометрії ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга

Ганєєва Айгуль Рифівна

науковий керівник, канд. пед. наук, доцент ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга

У завданнях ЄДІз математики в останні рокиз'являються завдання обчислення відстані від точки до площині. У цій статті на прикладі одного завдання розглянуто різні методизнаходження відстані від точки до площини. Для вирішення різних завдань можна використати найбільш підходящий метод. Розв'язавши завдання одним методом, іншим методом можна перевірити правильність отриманого результату.

Визначення.Відстань від точки до площини, що не містить цієї точки, є довжина відрізка перпендикуляра, опущеного з цієї точки на дану площину.

Завдання.Дан прямокутний паралелепіпед АBЗDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами AB=2, BC=4, AA 1 =6. Знайдіть відстань від точки Dдо площини АСD 1 .

1 спосіб. Використовуючи визначення. Знайти відстань r( D, АСD 1) від точки Dдо площини АСD 1 (рис. 1).

Рисунок 1. Перший спосіб

Проведемо DH⊥АС, отже по теремі про три перпендикуляри D 1 H⊥АСі (DD 1 H)⊥АС. Проведемо пряму DTперпендикулярно D 1 H. Пряма DTлежить у площині DD 1 H, отже DT⊥AC. Отже, DT⊥АСD 1.

АDCзнайдемо гіпотенузу АСта висоту DH

З прямокутного трикутника D 1 DH знайдемо гіпотенузу D 1 Hта висоту DT

Відповідь: .

2 спосіб.Метод обсягів (використання допоміжної піраміди). Завдання даного типу можна звести до завдання про обчислення висоти піраміди, де висота піраміди є відстанню від точки до площини. Довести, що ця висота і є відстань, яку шукає; знайти обсяг цієї піраміди двома способами та виразити цю висоту.

Зазначимо, що з даному методі немає потреби у побудові перпендикуляра з цієї точки до даної площині.

Прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, усі грані якого є прямокутниками.

AB=CD=2, BC=AD=4, AA 1 =6.

Шуканою відстанню буде висота hпіраміди ACD 1 D, опущеної з вершини Dна підставу ACD 1 (рис. 2).

Обчислимо обсяг піраміди ACD 1 Dдвома способами.

Обчислюючи, першим способом за основу приймемо ∆ ACD 1 , тоді

Обчислюючи, другим способом за основу приймемо ∆ ACDтоді

Прирівняємо праві частини останніх двох рівностей, отримаємо

Рисунок 2. Другий спосіб

З прямокутних трикутників АСD, ADD 1 , CDD 1 знайдемо гіпотенузи, використовуючи теорему Піфагора

ACD

Обчислимо площу трикутника АСD 1 , використовуючи формулу Герона

Відповідь: .

3 спосіб. Координатний метод.

Нехай дана точка M(x 0 ,y 0 ,z 0) та площина α , задана рівнянням ax+by+cz+d=0 у прямокутній декартовій системі координат. Відстань від точки Mдо площини можна обчислити за формулою:

Введемо систему координат (рис. 3). Початок координат у точці У;

Пряма АВ- вісь хпряма НД- вісь yпряма BB 1 - вісь z.

3. Третій спосіб

B(0,0,0), А(2,0,0), З(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Нехай aх+by+ cz+ d=0 – рівняння площини ACD 1 . Підставляючи в нього координати точок A, C, D 1 отримаємо:

Рівняння площини ACD 1 набуде вигляду

Відповідь: .

4 спосіб. Векторний метод.

Введемо базис (рис. 4), .

Малюнок 4. Четвертий спосіб

Розглянемо у просторі деяку площину π і довільну точку M 0 . Виберемо для площини одиничний нормальний вектор n з початкомв деякій точці М 1 ? Тоді (рис. 5.5)

р(М 0 ,π) = | пр n M 1 M 0 | = | nM 1 M 0 |, (5.8)

оскільки |n| = 1.

Якщо площина π задана в прямокутної системикоординат своїм загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C) і як одиничний нормальний вектор можна вибрати

Нехай (x 0 ; y 0 ; z 0) і (x 1 ; y 1 ; z 1) координати точок M 0 і M 1 . Тоді виконано рівність Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, оскільки точка M 1 належить площині, і можна знайти координати вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1; z 0 -z 1). Записуючи скалярний твір nM 1 M 0 в координатній формі та перетворюючи (5.8), отримуємо

оскільки Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на множник, що нормує, рівний довжинівідповідного вектора.

Пошук відстані від точки до площини - часта задача, що виникає при вирішенні різних завдань аналітичної геометрії, наприклад, до цього завдання можна звести знаходження відстані між двома прямими, що схрещуються, або між прямою і паралельною їй площиною.

Розглянемо площину $β$ і точку $M_0$ з координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не що належить площині $β$.

Визначення 1

Найкоротшою відстанню між точкою та площиною буде перпендикуляр, опущений з точки $М_0$ на площину $β$.

Малюнок 1. Відстань від точки до площини. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Нижче розглянуто, як знайти відстань від точки до площини координатним методом.

Висновок формули для координатного методу пошуку відстані від точки до площини у просторі

Перпендикуляр з точки $M_0$, що перетинається з площиною $β$ у точці $M_1$ з координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежить на прямій, напрямним вектором якої є нормальний вектор площини $β$. У цьому довжина одиничного вектора $n$ дорівнює одиниці. Відповідно до цього, відстань від $β$ до точки $M_0$ складе:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, де $\vec(M_1M_0)$ - нормальний вектор площини $β$, а $\vec(n)$ - одиничний нормальний вектор аналізованої площини.

У разі коли рівняння площини задано в загальному вигляді$Ax+ By + Cz + D=0$, координати нормального вектора площини є коефіцієнтами рівняння $\(A;B;C\)$, а одиничний нормальний вектор у цьому випадку має координати, що обчислюються за наступним рівнянням:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Тепер можна знайти координати нормального вектора $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\left(3\right)$.

Також виразимо коефіцієнт $D$, використовуючи координати точки, що лежить у площині $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координати одиничного нормального вектора з рівності $(2)$ можна підставити рівняння площині $β$, тоді маємо:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2 +B^2+C^2))\left(4\right)$

Рівність $(4)$ є формулою знаходження відстані від точки до площині у просторі.

Загальний алгоритм знаходження відстані від точки $M_0$ до площині

1. Якщо рівняння площини встановлено не в загальної формиДля початку необхідно привести його до загальної.
2. Після цього необхідно висловити з загального рівнянняплощині нормальний вектор даної площини через точку $M_0$ і точку, що належить заданої площиниДля цього потрібно скористатися рівністю $(3)$.
3. Наступний етап - пошук координат одиничного нормального вектора площини за формулою $ (2) $.
4. Нарешті, можна розпочати пошуку відстані від точки до площині, це здійснюється за допомогою обчислення скалярного добутку векторів $\vec(n)$ і $\vec(M_1M_0)$.

, Конкурс «Презентація до уроку»

Клас: 11

Презентація до уроку

Назад Вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Цілі:

• узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
• розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.

Обладнання:

• мультимедійний проектор;
• комп'ютер;
• листи з текстами завдань

ХІД ЗАНЯТТЯ

I. Організаційний момент

ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)

Повторюємо як визначається відстань від точки до площини

ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)

На занятті ми розглянемо різні способизнаходження відстані від точки до площини.

Перший метод: поетапно-обчислювальний

Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.

Вирішимо такі завдання:

№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.

Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.

№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 , усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .

Наступний метод: метод обсягів.

Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.

Розв'яжемо наступне завдання:

№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.

При вирішенні завдань координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = , де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0

Розв'яжемо наступне завдання:

№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .

Введемо систему координат з початком у точці А, вісь пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .

Тоді – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Отже, ρ =

Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних завдань.

Застосування даного методуполягає у застосуванні відомих опорних завдань, що формулюються як теореми.

Розв'яжемо наступне завдання:

№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 ​​до площині АВ1С.

Розглянемо застосування векторний метод.

№6. У одиничному кубі А…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDС 1 .

Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати при вирішенні цього завдання. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретної задачі та ваших уподобань.

IV. Робота у групах

Спробуйте розв'язати завдання різними способами.

№1. Ребро куба А ... D 1 дорівнює. Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .

№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC

№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .

№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.

V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія

Умови паралельності та перпендикулярності

1°. Умова компланарності двох площин

Нехай дані дві площини:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Коли вони компланарні (тобто паралельні чи збігаються)? Очевидно, це буде тоді і тільки тоді, коли їхні нормальні вектори є колінеарними. Застосовуючи критерій компланарності, отримуємо

Пропозиція 1.Дві площини компланарні тоді і лише тоді, коли векторний добуток їх нормальних векторів дорівнює нульовому вектору:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2 °. Умова збігу двох площин

Пропозиція 2.Площини (1) і (2) збігаються тоді і тільки тоді, коли всі чотири їх коефіцієнти пропорційні, тобто існує таке число λ, що

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Доказ.Нехай умови (3) виконані. Тоді рівняння другої площини може бути записано так:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, інакше було б A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, що суперечить умові n 2 ≠ 0 . Отже, останнє рівняння еквівалентне рівнянню (1), а це означає, що дві площини збігаються.

Нехай тепер, навпаки, відомо, що ці площини збігаються. Тоді їх нормальні вектори колінеарні, тобто існує таке число таке, що

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Рівняння (2) тепер можна переписати у вигляді:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Помножимо рівняння (1) на λ, отримаємо рівносильне рівняння першої площини (бо λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Візьмемо якусь точку ( x 0 , y 0 , z 0) з першої (а отже, і другої) площини та підставимо її координати в останні два рівняння; отримаємо вірні рівності:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Віднімаючи з верхнього нижнє, отримаємо D 2 − λ D 1 = 0, тобто. D 2 = λ D 1, QED.

3 °. Умова перпендикулярності двох площин

Очевидно, для цього необхідно достатньо, щоб нормальні вектори були перпендикулярні.

Пропозиція 3.Дві площини перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли скалярний добуток нормальних векторів дорівнює нулю:

(n 1 , n 2) = 0 .

Нехай дано рівняння площини

Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

і крапка M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Виведемо формулу відстані від точки до площини:

Візьмемо довільну точку Q = (x 1 , y 1 , z 1), що лежить у цій площині. Її координати задовольняють рівняння площини:

Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.

Зауважимо тепер, що відстань, яку шукає dдорівнює абсолютній величині проекції вектора на напрямок вектора n (тут ми беремо проекцію як числову величину, а чи не як вектор). Далі застосовуємо формулу для обчислення проекції:

Аналогічна формула справедлива на відстані dвід крапки M 0 = (x 0 , y 0) площині до прямої, заданої загальним рівнянням Ax + By + C = 0.