Типові динамічні ланки сау. Типові динамічні ланки Основні типові динамічні ланки систем автоматичного керування

Типові ланки САУ та їх характеристики

Типові динамічні ланки

Типовою динамічною ланкоюСАУ є складовою частиною системи, яка описується диференціальним рівнянням не вище другого порядку. Ланка, як правило, має один вхід та один вихід. За динамічними властивостями типові ланки поділяються на такі різновиди: позиційні, диференціюючі та інтегруючі.
Позиційними ланкамиє такі ланки, у яких у встановленому режимі спостерігається лінійна залежністьміж вхідними та вихідними сигналами. При постійному рівні вхідного сигналу сигнал виході також прагне постійного значення.
Диференціюючимиє такі ланки, які у встановленому режимі вихідний сигнал пропорційний похідної за часом від вхідного сигналу.
Інтегруючимиє такі ланки, які мають вихідний сигнал пропорційний інтегралу за часом від вхідного сигналу.
Ланка вважається заданою і певною, якщо відома його передатна функція або диференціальне рівняння. Крім того, ланки мають часові та частотні характеристики.
Наявність нульових коренів у чисельнику чи знаменнику ПФ типових ланок - це ознака для розбиття останніх на три групи:

Позиційні ланки: 1, 2, 3, 4, 5, - немає нульових коренів, і, отже, у сфері низьких частот (тобто. у встановленому режимі), мають коефіцієнт передачі рівний k.
Інтегруючі ланки: 6, 7, 8 - мають нульовий корінь-полюс, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, що прагне до нескінченності.
Диференціюючі ланки: 9, 10 - мають нульовий корінь-нуль, і, отже, в області низьких частот, мають коефіцієнт передачі, що прагне нуля.

Залежно від величини самовирівнювання розрізняють три типи об'єктів управління: стійкий (з позитивним самовирівнюванням); нейтральний (з нульовим самовирівнюванням); нестійкий (з негативним самовирівнюванням). Ознакою негативного самовирівнювання є негативний знак перед вихідною величиною в лівій частині диференціального рівнянняабо поява негативного знака у вільного члена знаменника передавальної функції (наявність позитивного полюса).

Під законом регулювання(Управління) розуміється алгоритм або функціональна залежність, що визначає керуючий вплив u(t) на об'єкт:
u(t) = F(Δ) , де - помилка регулювання.
Закони регулювання бувають:
- Лінійні:
або (3.1)
- Нелінійні: .
Крім того, закони регулювання можуть бути реалізовані в безперервному вигляді або цифровому. Цифрові закони регулювання реалізуються шляхом побудови регуляторів за допомогою коштів обчислювальної техніки(Мікро ЕОМ або мікропроцесорних систем).
Наявність у (3.1) чутливості регулятора до пропорційної, до інтегральних або диференціальних складових первинної інформації x(t), визначає тип регулятора:
1. P- пропорційний;
2. I- Інтегральний;
3. PI- пропорційно інтегральний (ізодромний);
4. PD- пропорційно диференціальний;
5. і складніші варіанти - PID, PIID, PIDD, ...
Нелінійні закони регулювання поділяються на:
1. функціональні;
2. логічні;
3. оптимізують;
4. параметричні.
У складі структури САУ міститься керуючий пристрій, який називається регулятором і виконує основні функції управління шляхом вироблення керуючого впливу U в залежності від помилки (відхилення), тобто. U = f(?). Закон регулювання визначає вид цієї залежності без урахування інерційності елементів регулятора. Закон регулювання визначає основні якісні та кількісні характеристикисистем.

6.4. Тимчасові характеристики ланок САУ

Найважливішою характеристикою САР та її складових елементів є перехідні та імпульсні перехідні (імпульсні) функції.
Аналітичне визначення перехідних функцій та характеристик ґрунтується на наступних положеннях. Якщо задана передатна функція системи або окремої ланки W(р) і відомий вхідний сигнал X(t), вихідний сигнал Y(t) визначається наступним співвідношенням:

Таким чином, зображення вихідного сигналу є твір передавальної функції зображення вхідного сигналу . Сигнал y(t) у явному вигляді отримав після переходу від зображення до оригіналу y(t). Для більшості випадків лінійних системта складових елементів розроблені таблиці, що дозволяють здійснювати перехід від зображень до оригіналу та назад. У цьому розділі представлено таблицю 3.1 переходів для найпоширеніших випадків.
Оскільки зображення одиничного ступінчастого впливу дорівнює 1/p, зображення перехідної функції визначається співвідношенням:

Отже, для перехідної функції необхідно передатну функцію розділити на p і виконувати перехід від зображення до оригіналу.
Зображення одиничного імпульсу дорівнює 1. Тоді зображення імпульсної функції визначається виразом:

Таким чином, передавальна функція є зображенням імпульсної функції.
Імпульсна та перехідна функції, як і передатна функція, є вичерпними характеристиками системи за нульових початкових умов. За ними можна визначити вихідний сигнал за довільних вхідних впливів.

Таблиця 3.1

Зображення по Лапласу та оригінали

Зображення	Оригінал f(t)

Передавальні функції та тимчасові характеристики типових ланок наведено у таблиці 3.2.

Таблиця 3.2

Тимчасові характеристики типових ланок

Тип ланки	Передавальні функції	Тимчасові функції
Позиційні ланки
Підсилювальне
Аперіодичне 1-го порядку
Аперіодичне 2-го порядку T 1 ≥2T 2
Коливальне 0<ξ<1
Консервативне
Інтегруючі ланки
Інтегруюче ідеальне
Інтегруюче інерційне
Ізодромне 1-го порядку
Ізодромне 2-го порядку
Диференціюючі ланки
Ідеальне диференціююче
Диференціююча інерційна
Форсуюче 1-го порядку
	6.4. Частотні характеристики ланок САУ

У разі реальної експлуатації САУ часто виникає необхідність визначити реакцію на періодичні сигнали, тобто. визначити сигнал на виході САУ, якщо на один із входів періодично подається сигнал гармонійної форми. Вирішення цієї задачі можливо отримати шляхом використання частотних характеристик. Частотні характеристики можуть бути отримані експериментальним чи аналітичним шляхом. При аналітичному визначенні вихідним моментом є одна з передатних функцій САУ (з управління або збурювання). Можливе також визначення частотних характеристик виходячи з передавальних функцій розімкнутої системи та передавальної функції помилково.
Якщо задана передатна функція W(р), то шляхом підставки p=jω отримуємо частотну передатну функцію W(jω), яка є комплексним виразом тобто. W(jω)=U(ω)+jV(ω), де U(ω) - речова складова, а V(ω) - уявна складова. Частотна передатна функція може бути представлена у показовій формі:

W(jω)=A(ω)e jφ(ω) (3.2)

Де - модуль; - аргумент частотної передавальної функції.

Функція A(ω), представлена при зміні частоти від 0 до отримало назву амплітудної частотної характеристики (АЧХ).
Функція Φ(ω), представлена за зміни частоти від 0 до називається фазової частотної характеристикою (ФЧХ).
Таким чином, диференціальне рівняння руху системи пов'язує вхідний та вихідний сигнали (тобто функції часу), ПФ зв'язує зображення Лапласа тих самих сигналів, а частотна ПФ пов'язує їх спектри.
Частотна передатна функція W(jω) може бути представлена комплексної площині. Графічне відображення для всіх частот спектра відносин вихідного сигналу САУ до вхідного, представлених у комплексній формі, буде амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ) або годографом Найквіста. Величина відрізка від початку координат до кожної точки годографа показує у скільки разів на цій частоті вихідний сигнал більший за вхідний - АЧХ, а зсув фази між сигналами визначається кутом до згаданого відрізка - ФЧХ. При цьому негативний фазовий зсув представляється обертанням вектора на комплексній площині за годинниковою стрілкою відносно позитивної речової осі, а позитивний фазовий зсув представляється обертанням проти годинникової стрілки.
Для спрощення графічного представлення частотних характеристик, а також для полегшення аналізу процесів у частотних областях використовуються логарифмічні частотні характеристики: логарифмічна амплітудна частотна характеристика (л.а.ч.х.) та логарифмічна фазова частотна характеристика (л.ф.ч.х.) . При побудові логарифмічних характеристик на шкалі частот замість відкладається lg(ω) і одиницею вимірювання є декада. Декадою називається інтервал частот, що відповідає зміні частоти у 10 разів. При побудов л.а.ч.х. на осі ординат одиницею вимірювання є децибел [дБ], який є співвідношенням L=20 lg А(ω). Один децибел є збільшення амплітуди виходу в раз. Верхня напівплощина л.а.г. відповідає значенням А>1 (посилення амплітуди), а нижня напівплощина - значенням А<1 (ослабление амплитуды). Точка пересечения л.а.х. с осью абсцисс соответствует частоті зрізу ω ср, При якій амплітуда вихідного сигналу дорівнює вхідний.
Для л.ф.ч.г. на осі частот використовується логарифмічний масштаб, а кутів - натуральний масштаб. Насправді логарифмічні частотні характеристики будуються на суміщеній системі координат, які представлені на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Схема координат для логарифмічних характеристик

Головною перевагою логарифмічних частотних показників є можливість побудови в багатьох випадках майже без обчислювальної роботи, тобто. будувати асимптотичні л.ч.х.
(3.3)
тобто. передавальну функцію будь-якої САУ в загальному випадку можна подати як добуток передавальних функцій наступного виду:
- де: K r , r, T, ξ, - постійні величини, причому K r >0, r>0, T>0, 0<ξ<1.
У цьому випадку побудова л.а.г. проводиться за виразом

Побудова л.ф.г. проводиться за виразом
Таким чином, результуюча л.а.г. визначається підсумовуванням л.а.г. складових типових ланок, а результуюча Л.Ф.Х. - відповідно до підсумовування л.ф.х. складових типових ланок.

Що таке динамічна ланка? На попередніх заняттях ми розглядали окремі частини системи автоматичного керування та називали їх елементами системи автоматичного керування. Елементи можуть мати різний фізичний вигляд та конструктивне оформлення. Головне, що на такі елементи подається певний вхідний сигнал х( t ) , та як відгук на цей вхідний сигнал, елемент системи управління формує деякий вихідний сигнал у ( t ) . Далі ми встановили, що зв'язок між вихідним та вхідним сигналами визначається динамічними властивостями елемента управління, які можна подати у вигляді передавальної функції W(s). Так ось, динамічним ланкою називається будь-який елемент системи автоматичного управління, має певний математичний опис, тобто. для якого відома передатна функція.

Мал. 3.4. Елемент (а) та динамічна ланка (б) САУ.

Типові динамічні ланки- Це мінімально необхідний набір ланок для опису системи керування довільного вигляду. До типових ланок відносяться:

пропорційна ланка;

аперіодична ланка першого порядку;

аперіодична ланка II-го порядку;

коливальна ланка;

інтегруюча ланка;

ідеальна диференціююча ланка;

форсуюча ланка першого порядку;

форсуюча ланка ІІ-го порядку;

ланка з чистим запізненням.

Пропорційна ланка

Пропорційна ланка інакше ще називається безінерційним .

1. Передавальна функція.

Передатна функція пропорційної ланки має вигляд:

W(s) = Kде К – коефіцієнт посилення.

Пропорційна ланка описується рівнянням алгебри:

у(t) = K· х(t)

Прикладами таких пропорційних ланок можуть бути важільний механізм, жорстка механічна передача, редуктор, електронний підсилювач сигналів на низьких частотах, дільник напруги та ін.

4. Перехідна функція .

Перехідна функція пропорційна ланки має вигляд:

h(t) = L -1 = L -1 = K· 1(t)

5. Вагова функція.

Вагова функція пропорційної ланки дорівнює:

w(t) = L -1 = K·δ(t)

Мал. 3.5. Перехідна функція, вагова функція, АФЧХ та АЧХ пропорційної ланки .

6. Частотні характеристики .

Знайдемо АФЧХ, АЧХ, ФЧХ та ЛАХ пропорційної ланки:

W(jω ) = K = K +0·j

A(ω ) =
= K

φ(ω) = arctg(0/K) = 0

L(ω) = 20·lg = 20·lg(K)

Як випливає з наведених результатів, амплітуда вихідного сигналу не залежить від частоти. Насправді жодна ланка не в змозі рівномірно пропускати всі частоти від 0 до ¥, як правило на високих частотах, коефіцієнт посилення стає меншим і прагнути до нуля при ω → ∞. Таким чином, математична модель пропорційної ланки є деякою ідеалізацією реальних ланок .

Аперіодична ланка I -ого порядку

Аперіодичні ланки інакше ще називаються інерційними .

1. Передавальна функція.

Передатна функція аперіодичного ланки першого порядку має вигляд:

W(s) = K/(T· s + 1)

де K – коефіцієнт посилення; T – стала часу, характеризує інерційність системи, тобто. тривалість перехідного процесу у ній. Оскільки постійна часу характеризує певний часовий інтервал , то її величина має бути завжди позитивною, тобто. (T> 0).

2. Математичний опис ланки.

Аперіодична ланка першого порядку описується диференціальним рівнянням першого порядку:

T· dу(t)/ dt+ у(t) = KВ·х(t)

3. Фізична реалізація ланки.

Прикладами аперіодичного ланки першого порядку можуть бути: електричний RC-фільтр; термоелектричний перетворювач; резервуар із стислим газом тощо.

4. Перехідна функція .

Перехідна функція апериодического ланки I-ого порядку має вигляд:

h(t) = L -1 = L -1 = K - K · e -t/T = K · (1 - e -t/T )

Мал. 3.6. Перехідна характеристика аперіодичного ланки І-го порядку.

Перехідний процес аперіодичного ланки першого порядку має експоненційний вигляд. Значення, що встановилося, дорівнює: h вуст = K. Дотична в точці t = 0 перетинає лінію значення, що встановилося в точці t = T. У момент часу t = T перехідна функція приймає значення: h(T) ≈ 0.632·K, тобто. за час T перехідна характеристика набирає лише близько 63% від встановленого значення.

Визначимо час регулювання T у для аперіодичного ланки першого порядку. Як відомо з попередньої лекції, час регулювання – це час, після якого різниця між поточним і встановленим значеннями не перевищуватиме певної заданої малої величини Δ. (Як правило, Δ задається як 5 % від встановленого значення).

h(T у) = (1 - Δ) · h вуст = (1 - Δ) · K = K · (1 - e - T у / T), звідси е - T у / T = Δ, тоді T у / T = -ln(Δ), У результаті отримуємо T у = [-ln(Δ)] · T.

При Δ = 0,05 T у = - ln (0.05) · T ≈ 3 · T.

Інакше кажучи, час перехідного процесу апериодического ланки I-ого порядку приблизно 3 разу перевищує постійну часу.

При дослідженні систем управління вони зазвичай видаються як взаємозалежної сукупності окремих елементів – динамічних ланок. Динамічним ланкою називають пристрій будь-якого фізичного вигляду та конструктивного оформлення, що має вхід та вихід, як показано на малюнку 2.1, і для якого задано рівняння (зазвичай диференціальне), що зв'язує сигнали на вході та виході.

Рисунок 2.1 – Схема динамічної ланки

Класифікація динамічних ланок проводиться у вигляді диференціального рівняння. Одними і тими ж диференціальними рівняннями можуть описуватись пристрої будь-якого типу (електричні, електромеханічні, гідравлічні, теплові тощо), що дозволяє використовувати для проектування різних пристроїв однакові підходи.

Якщо рівняння, що зв'язує сигнали , лінійно, то говорять про лінійну динамічну ланку

Рівняння лінійної динамічної ланки має такий вигляд:

де - Постійні коефіцієнти; .

Однак вид диференціального рівняння не є єдиною ознакою, за якою проводиться порівняння динамічних ланок.

Основними характеристиками ланокє:

Диференціальні рівняння руху;

Передавальні функції;

Тимчасові характеристики (перехідна функція, імпульсна (вагова) функція;

Частотні характеристики (амплітудно-частотні характеристики, амлітудно-фазові частотні характеристики, логарифмічні частотні характеристики).

Передатною функцієюзвенаназивається відношення зображень вихідного та вхідного сигналів при нульових початкових умовах. Підвергнемо рівняння (2.1) перетворення Лапласа, вважаючи початкові умови нульовими та замінюючи оригінали сигналів їх зображеннями:

Звідси отримаємо

Відношення (2.2) не залежить від зображень сигналів і визначається лише параметрами динамічної ланки , , має вигляд дробово-раціональної функції.

Рівняння виду

називають характеристичним рівнянням динамічного ланки, оскільки знаменник передавальної функції – це характеристичний поліном диференціального рівняння, що описує динамічне ланка.

Тимчасові характеристикизумовлюють динамічні властивості ланки. Вони визначаються на виході ланки під час подачі на вхід типових сигналів.

Перехідна функціяабо перехідна характеристика є перехідним процесом на виході ланки, що виникає при подачі на його вхід стрибкоподібного впливу при величині стрибка, що дорівнює одиниці (рисунок 2.2). Така дія називається одиничною ступінчастою функцією і позначається

Ступінчаста функція є поширеним видом вхідного впливу в САУ. До такого виду впливу можна віднести миттєву зміну навантаження електрогенератора, зростання моменту на валу двигуна, миттєву зміну завдання на частоту обертання двигуна, миттєвий поворот командної системи осі.

Рисунок 2.2 – Поодинока ступінчаста (а) та перехідна (б) функції

Зображення за Лапласом одиничної ступінчастої функції визначається як

Щоб визначити зображення перехідної функції за відомої передавальної функції ланки необхідно виконати таку операцію:

Оригінал знаходять за допомогою зворотного перетворення Лапласа (додаток Б), що застосовується (1.5).

імпульсна перехідна функція або вагова функція- Це реакція ланки на одиничну імпульсну функцію. Одинична імпульсна функція, або – функція, є похідною від одиничної ступінчастої функції:

Дельта-функція визначається виразом

Основна властивість дельта-функції полягає в тому, що

тобто вона має одиничну площу. Цю функцію можна описати як короткий, але сильний імпульс. Дельта-функція є також поширеним вхідним впливом в автоматичних системах. Наприклад, короткочасний удар навантаження на валу двигуна, короткочасний струм короткого замикання генератора, запобіжниками, що відключається і т.п.

Неважко встановити, що зображення-функції визначається

Зображення функції ваги є передатною функцією:

Тому знаходження оригіналу імпульсної перехідної функції необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа до передавальної функції ланки (системи).

Дельта-функція та функція ваги деякої ланки зображені на малюнку 2.3

Рисунок 2.3 – Дельта функція (а) та функція ваги (б)

Перехідна та імпульсна функції пов'язані співвідношеннями

Частотною характеристикоюдинамічної ланки називають функцію комплексного аргументу , отриману шляхом формальної заміни на виразі передавальної функції. Частотні характеристики отримують при розгляді руху ланки (системи) при подачі з його вхід гармонійного впливу.

Функцію , яку одержують з передавальної функції (2.2):

називають частотною передатною функцією.

Частотна передатна функція як функція комплексного аргументу може бути представлена у вигляді

де - дійсна (речова) частина; - Уявна частина; – модуль (амплітуда); - Аргумент (фаза) .

Амплітуда, фаза, дійсна і уявна частини функції є функціями частоти, тому частотна передатна функція використовується і представляється у вигляді амплітудно-фазової, дійсної, уявної, амплітудної та фазової частотних характеристик.

Таким чином, у ТАУ розглядають такі частотні характеристики динамічних ланок:

1. Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) -

2. Фазочастотна характеристика (ФЧХ) –

3. Речовинна частотна характеристика (ВЧХ) -

5. Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ), яка визначається як годограф вектора (крива, що описується кінцем цього вектора), побудований на комплексній площині при зміні частоти від 0 до .

Фізичний зміст частотних характеристик можна визначити в такий спосіб. При гармонійному впливі у стійких системах після закінчення перехідного процесу вихідна величина також змінюється за гармонічним законом, але з іншими амплітудою та фазою. При цьому відношення амплітуд вихідний та вхідний величин дорівнює модулю, а зсув фази - аргумент частотної передавальної функції. І, отже, амплітудна частотна характеристика показує зміну відношення амплітуд, а фазова частотна характеристика – зсув фази вихідної величини щодо вхідної залежно від частоти гармонійного впливу.

Загальний вид частотних показників представлений малюнку 2.4.

Малюнок 2.4 - Частотні характеристики:

амплітудно-фазова (а), амплітудно-частотна (б), фазо-частотна (в), речовинна частотна (г), уявна частотна (д) характеристики

Логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ).Логарифмічною амплітудною частотною характеристикою(ЛАЧХ) динамічної ланки називають таке уявлення амплітудної частотної характеристики (АЧХ), в якому модуль (амплітуда) частотної характеристики виражений у децибелах, а частота – у логарифмічному масштабі:

Логарифмічною фазовою частотною характеристикою(ЛФЧХ) динамічної ланки називають графік залежності фазо-частотної характеристики (ФЧХ) від логарифму частоти. При побудові логарифмічних характеристик осі абсцис відкладають частоту в логарифмічному масштабі, а на позначці, що відповідає значенню , пишуть саме значення . Досить часто ЛАЧХ і ЛФЧХ будуються однією графіку, щоб давати повне уявлення про властивості об'єкта.

Одиницею є децибел, а одиницею логарифму частоти ЛЧХ – декада. Декадоюназивають інтервал, у якому частота змінюється удесятеро. При зміні частоти вдесятеро говорять, що вона змінилася на одну декаду.

При побудові ЛФЧХ відлік кутів йде по осі ординат у звичному масштабі у градусах чи радіанах.

Ось ординат при побудові ЛЧХ проводять через довільну точку, а чи не через точку (частоті відповідає нескінченно віддалена точка: при ). Оскільки початок координат найчастіше береться в точці .

8. Інтегруюча ланка із уповільненням

Тут – коефіцієнт посилення ланки – постійна часу, с.

Всі елементи системи незалежно від їх конструктивного виконання та призначення за своїми динамічними властивостями можна поділити на обмежену кількість типових динамічних. Під типовим динамічним ланкою розуміють елемент системи спрямованого дії, що описується в динаміці диференціальним рівнянням не вище другого порядку або рівнянням алгебри. Класифікують ланки саме у вигляді рівняння динаміки.

Всі ланки можна поділити на два типи: мінімально-фазові та мінімально-фазові.

Ланка є мінімально-фазовою, якщо її передатна функція має позитивні нулі або полюси, у таких ланок фазова характеристика не відповідає диференціальному рівнянню. Для мінімально-фазових ланок фазочастотна характеристика однозначно визначається амплітудно-частотною характеристикою.

Динамічні ланки можуть бути стійкими, якщо після застосування та зняття впливу його вихідна змінна прагне значення до моменту застосування впливу (тобто повертається у вихідний стан); нейтральними (астатичними), якщо при ступінчастому впливі вихідна змінна змінюється із постійною швидкістю (астатизм першого порядку) або постійним прискоренням (астатизм другого порядку); а після застосування та зняття впливу приходить у новий стійкий стан; нестійкі, якщо вихідна змінна після застосування та зняття обурення змінюється, не приходячи до деякого сталого стану.

Розглянемо мінімально-фазові ланки. За типом рівнянь динаміки їх можна класифікувати в такий спосіб.

Найпростіші ланки: а) безінерційне (підсилювальне, пропорційне); б) ідеально-інтегруючу, ідеально-диференціюючу;

Ланки першого порядку: а) інерційна ланка першого порядку (аперіодична); б) форсуюча ланка; в) реально-диференціююча ланка першого порядку; г) інтеграційно-диференціюючу (інерційно-форсуючу) першого порядку.

Ланки другого порядку: а) аперіодична (інерційна) ланка другого порядку; б) коливальне; в) консервативне.

Особливі ланки: ланка запізнення та ірраціональні ланки.

Розглянемо типові ланки, їх рівняння динаміки, передавальні функції та характеристики.

§1. Найпростіші ланки.

1) Безінерційна ланка.

Вихідний сигнал цієї ланки формою повторює вхідний сигнал. Рівняння динаміки

K - коефіцієнт пропорційності, який може бути визначений за статичною характеристикою

Рівняння ланки у зображеннях

та передатна функція

Отримаємо, замінивши у вираженні передавальної функції оператор Лапласа p оператор Фур'є jщ.

(Реакція на ступінчастий сигнал)

Малюнок 3.1

Реакція на імпульс

Ланка стійка.

АФЧХ отримаємо змінюючи частоту від нуля до нескінченності. З виразу W(jщ) видно, що комплексний коефіцієнт посилення залежить від частоти і буде зміщення вектора W(jщ). Таким чином, АФЧХ цієї ланки являє собою точку на речовій осі, віддалену на відстань K від початку координат.

Малюнок 3.2

Логарифмічні амплітудно та фазочастотні характеристики:

Таким чином ЛАЧХ пройде паралельно осі частот на відстані від неї (20 Lg K) визначається коефіцієнтом передачі, фазовий зсув у всьому діапазоні частот дорівнює нулю.

Малюнок 3.3

Приклади безінерційних ланок: зубчаста передача, передача важеля, дільник напруги, підсилювач.

2) Ідеально-інтегруюча ланка.

Вихідний сигнал цієї ланки дорівнює інтегралу від вхідного, рівняння динаміки має такий вигляд:

Де – час інтегрування.

Передатна функція ланки

Перейдемо до вираження комплексного коефіцієнта передачі:

Тимчасові характеристики:

а) перехідна функція та характеристика

Малюнок 3.4

б) функція ваги та імпульсна перехідна характеристика

Малюнок 3.5

За імпульсною перехідною характеристикою видно, що ланка астатичне (астатизм першого порядку), після зняття обурення вихідна змінна приходить до нового значення, що встановилося.

Частотні властивості.

Амплітудно-фазова частотна характеристика

є негативним відрізком уявної півосі.

Малюнок 3.6

Логарифмічні частотні показники.

ЛАЧХ визначається виразом

і є пряму з негативним кутовим коефіцієнтом. При щ=1 точка перетину з віссю lg відповідає рівнянню

20lgK – 20lg = 0, lg = lg K, тобто. = K.

Тому її можна побудувати розрахувавши значення L(= 1) = 20lgK і через цю точку провести пряму з нахилом -20Дб/дек, або через точку lg=lgK.

Малюнок 3.7

Рівняння фазової показники, тобто. фазовий зсув, постійний і залежить від частоти, а характеристика ФЧХ паралельна осі частот.

Нахил ЛАЧХ -20Дб/дек означає, що зі збільшенням частоти в 10 разів (1 декада) модуль амплітудної характеристики зменшується на 20 Дб (у 10 разів).

Приклади ланки:

3) Ідеально-диференціююча ланка.

Вихідний сигнал цієї ланки пропорційний швидкості зміни вхідного сигналу та рівняння ланки

Рівняння у зображеннях

Передатна функція ланки

Комплексний коефіцієнт передачі

Тимчасові характеристики

а) перехідна функція та характеристика

Малюнок 3.9

б) функція вага та імпульсна перехідна характеристика

Два імпульси протилежної полярності.

Частотні властивості.

АФЧХ будується за виразом і є позитивним відрізком уявної осі. .

Малюнок 3.10

Логарифмічні характеристики

ЛАЧХ будується за виразом і є прямою з позитивним кутовим коефіцієнтом, вона перетинає вісь lgщ в точці

На частоті щ=1 L(щ) = 20lgK.

Таким чином, ЛАЧX можна побудувати розрахувавши точку і відклавши її на осі lgщ провести пряму з нахилом +20Дб/дек або через точку (при щ=1) 20lgK з тим же нахилом.

Малюнок 3.11

нахил +20Дб/дек, означає, що зі збільшенням частоти в 10 разів модуль амплітудної характеристики збільшується на 20Дб (10 разів).

Рівняння фазової показники - тобто. фазовий зсув залежить від частоти і ФЧХ проходить паралельно осі lgщ через позначку +90є.

§2. Ланки першого порядку.

Аперіодична (інерційна) ланка першого порядку.

Ця ланка у поступовій динаміці описується диференціальним рівнянням першого порядку.

де T - постійна часу, що характеризує інерційні властивості ланки;

K – коефіцієнт пропорційності, що характеризує статизм ланки (коефіцієнт статизму).

Запишемо рівняння у зображеннях

передавальна функція;

Заміною p на jщ перейдемо до комплексного коефіцієнта передачі

Тимчасові характеристики ланки

а) Перехідна функція та характеристика

рівняння експоненти;

Корінь характеристичного рівняння > Tp +1 = 0

Малюнок 3.13

Відповідно до рівняння перехідної характеристики h(t=T)=0,63K, тобто. за час рівне однієї постійної часу вихідна змінна досягає 0,63 від значення h(?).

h(t=3T) = 0,95 h(?); h(t=4T) = 0,98 h(?), тобто. перехідний процес за час рівний 4T вважатимуться завершившимся (tпер=(3ч4)T).

Постійну часу можна визначити за графіком h(t) (як показано малюнку) використовуючи властивість експоненти - проекція під дотичної на лінію встановленого значення дорівнює постійної часу чи визначаючи час який h(t) сягає значення 0,63 h(?).

Малюнок 3.14

Відповідно до виду тимчасових характеристик ланка є стійкою.

Частотні властивості.

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується за виразом при зміні частоти 0< щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.

Малюнок 3.15

При збільшенні частоти вектор W(jщ) зміщується за годинниковою стрілкою та фазовий зсув змінюється нуля до -90є.

логарифмічні характеристики.

Зазвичай будують асимптотичні ЛАЧХ, які є ламані лініїі дуже легко розраховуються. На низьких частотах другий доданок у виразі (*) дуже мало і його можна не враховувати, при другому доданок дає значення 10lg2 = 3,01, а при збільшенні частоти його внесок зростає.

Тому асимптотичну ЛАЧХ будують так:

для частоти за рівнянням – пряма паралельна осі частот;

для похилої лінії з нахилом -20 Дб/дек. Помилка частоті дорівнює 3Дб, тобто. точна L(щ) на цій частоті проходить нижче на 3Дб (показана пунктиром).

Малюнок 3.16

Фазова характеристика

Приклади ланки:

Диференціальним рівнянням першого порядку описуються перехідні процеси в магнітному підсилювачі (інерційний підсилювач), теплові процеси, процеси розчинення та осадження та інші технологічні процеси.

Інші ланки першого порядку можна розглядати як з'єднання найпростіших ланок і ланки аперіодичного або як поєднання найпростіших ланок.

Форсуюча ланка.

Малюнок 3.19

K1 – розмірний коефіцієнт (сек.), K2 – безрозмірний.

тобто. вихідний сигнал пропорційний вхідному та швидкості його зміни.

Комплексний коефіцієнт передачі

Тимчасові характеристики ланки

а)перехідна функція та характеристика

Малюнок 3.20

б) функція ваги та імпульсна перехідна характеристика

Малюнок 3.21

Ланка стійка

Частотні характеристики

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується за виразом

при зміні частоти 0< щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.

Малюнок 3.22

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика >

Асимптотична ЛАЧХ - ламана лінія, першому ділянці до - пряма паралельна осі частот і віддалена від неї на відстань 20lgK, на частоті відбувається злам і далі характеристика проходить з нахилом +20 Дб/дек.

Малюнок 3.23

Реально-диференціююча ланка

Цю ланку можна розглядати як послідовне з'єднання ідеально-диференціюючої ланки та аперіодичного першого порядку або як зустрічно-паралельне з'єднання безінерційної та ідеально-інтегруючої ланок.

Диференціальне рівняння ланки

Рівняння у зображеннях та передавальна функція

Комплексний коефіцієнт передачі

Тимчасова характеристика ланки

а) перехідна функція та характеристика

тобто. аналогічна функції ваги аперіодичного ланки першого порядку.

Малюнок 3.26

б) функція ваги та імпульсна перехідна характеристика.

Малюнок 3.27

Частотні властивості.

Амплітудно-фазова частотна характеристика при 0< щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.

Малюнок 3.28

Логарифмічна асимптотична амплітудно-частотна характеристика є ламаною лінією, до - нахил +20 Дб/дек далі пряма паралельна осі частот.

і може бути отримана як сума ЛАЧХ двох послідовно з'єднаних аперіодичного та ідеально-диференціюючого ланки.

Малюнок 3.29

Інерційно-форсуюча (інтегро-диференціююча) ланка.

Може бути отримано як послідовне з'єднання аперіодичного першого порядку та форсуючої ланки або зустрічно-паралельного з'єднання підсилювача і аперіодичного ланки першого порядку.

Диференціальне рівняння ланки:

Рівняння у зображеннях та передавальна функція

Комплексний коефіцієнт передачі

Властивості цієї ланки залежать від співвідношення постійних часу, якщо< 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если >1 - до диференціюючого.

Тимчасові характеристики ланки.

а) перехідна функція та показники.

Малюнок 3.34

б) функція ваги та імпульсна перехідна характеристика.

Малюнок 3.35

Частотні властивості ланки.

Амплітудно-фазова частотна характеристика будується за виразом при зміні частоти від нуля до нескінченності і її вигляд також залежить від співвідношення.

Малюнок 3.36

Логарифмічні характеристики асимптотична амплітудна також є ламані лінії і залежать від коефіцієнта в.

Малюнок 3.37

Немінімально-фазові ланки

Ланка є немінімально-фазовою ланкою, якщо зсув по фазі при 0< щ < ? превышает максимально можливе значеннядля цього рівняння динаміки.

Ланка є немінімально-фазовою, якщо її W(p) має позитивний нуль або полюс (корінь полінома чисельника чи знаменника). Однією і тією ж АЧХ ланки може відповідати різні ФЧХ.

Стійка мінімально-фазова інерційна ланка першого порядку

Рівняння:

маємо позитивний нуль

Корінь позитивного числа.

при 0< щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.

Тимчасові показники.

при T2 > T1