З курсу алгебри шкільної програмипереходимо до конкретики. У цій статті ми докладно вивчимо особливий вигляд раціональних виразів – раціональні дроби, а також розберемо, які характерні тотожні перетворення раціональних дробівмають місце.

Відразу відзначимо, що раціональні дроби в тому сенсі, в якому ми їх визначимо нижче, у деяких підручниках алгебри називають дробами алгебри. Тобто, у цій статті ми під раціональними та алгебраїчними дробами розумітимемо одне й те саме.

Зазвичай почнемо з визначення та прикладів. Далі поговоримо про приведення раціонального дробу до нового знаменника та про зміну знаків у членів дробу. Після цього розберемо, як скорочення дробів. Нарешті, зупинимося на поданні раціонального дробу як суми кількох дробів. Усю інформацію надаватимемо прикладами з докладними описами рішень.

Навігація на сторінці.

Визначення та приклади раціональних дробів

Раціональні дроби вивчаються під час уроків алгебри у 8 класі. Ми будемо використовувати визначення раціонального дробу, яке дається у підручнику алгебри для 8 класів Ю. Н. Макарічева та ін.

У даному визначенніне уточнюється, чи мають багаточлени у чисельнику та знаменнику раціонального дробу бути багаточленами стандартного виду чи ні. Тому, вважатимемо, що у записах раціональних дробів можуть міститися як багаточлени стандартного виду, і не стандартного.

Наведемо кілька прикладів раціональних дробів. Так, x/8 і - Раціональні дроби. А дроби і не підходять під озвучене визначення раціонального дробу, тому що в першій з них у чисельнику стоїть не багаточлен, а в другій і в чисельнику та в знаменнику знаходяться вирази, що не є багаточленами.

Перетворення чисельника та знаменника раціонального дробу

Чисельник і знаменник будь-якого дробу є самодостатніми. математичні висловлювання, у разі раціональних дробів – це багаточлени, у окремому випадку – одночлени та числа. Тому, з чисельником та знаменником раціонального дробу, як і з будь-яким виразом, можна проводити тотожні перетворення. Іншими словами, вираз у чисельнику раціонального дробу можна замінювати тотожно рівним йому виразом, як і знаменник.

У чисельнику та знаменнику раціонального дробу можна виконувати тотожні перетворення. Наприклад, у чисельнику можна провести угруповання та приведення подібних доданків, а у знаменнику – добуток кількох чисел замінити його значенням. Оскільки чисельник і знаменник раціонального дробу є багаточлени, то з ними можна виконувати і характерні для багаточленів перетворення, наприклад, приведення до стандартного вигляду або подання у вигляді твору.

Для наочності розглянемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Перетворіть раціональний дріб так, щоб у чисельнику виявився багаточлен стандартного вигляду, а в знаменнику – добуток багаточленів.

Рішення.

Приведення раціональних дробів до нового знаменника в основному застосовується при складанні та відніманні раціональних дробів.

Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Основну властивість дробу можна використовувати для зміни знаків у членів дробу. Справді, множення чисельника і знаменника раціонального дробу на -1 рівносильне зміні їх знаків, а результаті вийде дріб, тотожно рівна даної. До такого перетворення доводиться досить часто звертатися під час роботи з раціональними дробами.

Таким чином, якщо одночасно змінити знаки у чисельника і знаменника дробу, то вийде дріб, що дорівнює вихідному. Цьому твердженню відповідає рівність.

Наведемо приклад. Раціональний дріб можна замінити тотожно рівним їй дробом зі зміненими знаками чисельника і знаменника виду.

З дробами можна провести ще одне тотожне перетворення, у якому змінюється знак або чисельнику, чи знаменнику. Озвучимо відповідне правило. Якщо замінити знак дробу разом із знаком чисельника чи знаменника, то вийде дріб, що тотожно дорівнює вихідному. Записаному твердженню відповідають рівності та .

Довести ці рівності нескладно. В основі доказу лежать властивості множення чисел. Доведемо перше їх: . За допомогою аналогічних перетворень доводиться і рівність.

Наприклад, дріб можна замінити виразом або .

На закінчення цього пункту наведемо ще дві корисні рівності. Тобто, якщо змінити знак лише у чисельника чи тільки знаменника, то дріб змінить свій знак. Наприклад, і .

Розглянуті перетворення, що дозволяють змінювати знак у членів дробу, часто застосовуються під час перетворення дробово раціональних виразів.

Скорочення раціональних дробів

В основі наступного перетворення раціональних дробів, що має назву скорочення раціональних дробів, лежить все також основна властивість дробу. Цьому перетворенню відповідає рівність , де a, b та c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові.

З наведеної рівності стає зрозуміло, що скорочення раціонального дробу передбачає порятунок від загального множника в його чисельнику та знаменнику.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб.

Рішення.

Відразу видно загальний множник 2 виконаємо скорочення на нього (при записі загальні множники, на які скорочують, зручно закреслювати). Маємо . Так як x 2 = x x і y 7 = y 3 y 4 (при необхідності дивіться ), то зрозуміло, що x є загальним множником чисельника і знаменника отриманого дробу, як і y 3 . Проведемо скорочення на ці множники: . На цьому скорочення завершено.

Вище ми виконували скорочення раціонального дробу послідовно. А можна було виконати скорочення в один крок, відразу скоротивши дріб на 2 x y 3 . У цьому випадку рішення виглядало б так: .

Відповідь:

.

При скороченні раціональних дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності, чисельник і знаменник раціонального дробу розкласти на множники. Якщо загального множника немає, то вихідний раціональний дріб не потребує скорочення, інакше – проводиться скорочення.

У процесі скорочення раціональних дробів можуть бути різні нюанси. Основні тонкощі на прикладах і деталях розібрані у статті скорочення алгебраїчних дробів.

Завершуючи розмову про скорочення раціональних дробів, відзначимо, що це перетворення є тотожним, а основна складність у його проведенні полягає у розкладанні на множники багаточленів у чисельнику та знаменнику.

Подання раціонального дробу у вигляді суми дробів

Досить специфічним, але в деяких випадках дуже корисним, виявляється перетворення раціонального дробу, що полягає в його поданні у вигляді суми кількох дробів, або суми виразу і дробу.

Раціональний дріб, у чисельнику якого знаходиться багаточлен, що є сумою кількох одночленів, завжди можна записати як суму дробів з однаковими знаменниками, в чисельниках яких знаходяться відповідні одночлени. Наприклад, . Таке уявлення пояснюється правилом складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками.

Взагалі, будь-який раціональний дріб можна у вигляді суми дробів безліччю різних способів. Наприклад, дріб a/b можна як суму двох дробів – довільної дробу c/d і дробу, рівної різниці дробів a/b і c/d . Це твердження справедливе, оскільки має місце рівність . Наприклад, раціональний дріб можна подати у вигляді суми дробів у різний спосіб: Подаємо вихідний дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу. Виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком, ми отримаємо рівність . Значення вираз n 3 +4 за будь-якого цілому n є цілим числом. А значення дробу є цілим числом тоді й лише тоді, коли його знаменник дорівнює 1 −1 3 або −3 . Цим значенням відповідають значення n=3 n=1 n=5 і n=−1 відповідно.

Відповідь:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список литературы.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Рівняння, що містять змінну в знаменнику, можна вирішувати двома способами:

Привівши дроби до спільного знаменника

Використовуючи основну властивість пропорції

Незалежно від обраного способу необхідно після знаходження коренів рівняння вибрати зі знайдених допустимі значення, тобто ті, які не звертають знаменника $0$.

1 спосіб. Приведення дробів до спільного знаменника.

Приклад 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Рішення:

1.Перенесемо дріб із правої частини рівняння в лівий

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Для того, щоб правильно це зробити, пригадаємо, що при перенесенні елементів в іншу частину рівняння змінюється знак перед виразами на протилежний. Значить, якщо у правій частині перед дробом був знак «+», то в лівій перед нею буде знак «-». Тоді в лівій частині отримаємо різницю дробів.

2.Тепер відзначимо що у дробів різні знаменники, отже у тому, щоб скласти різницю необхідно привести дроби до спільного знаменника. Спільним знаменником буде добуток багаточленів, що стоять у знаменниках вихідних дробів: $(2x-1)(x+3)$

Щоб отримати тотожне вираз, чисельник і знаменник першого дробу необхідно помножити на многочлен $(x+3)$, а другий на многочлен $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(х+3))((2x-1)(х+3))-\frac((x-5)(2х-1))((x+3)( 2х-1)) = 0 \]

Виконаємо перетворення в чисельнику першого дробу-зробимо множення многочленів. Згадаємо, що для цього необхідно помножити перший доданок першого багаточлена помножити на кожен доданок другого багаточлена, потім другий доданок першого багаточлена помножити на кожен доданок другого багаточлена і результати скласти

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=(2х)^2+6х+3х +9\]

Наведемо подібні доданки в отриманому виразі

\[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=(2х)^2+6х+3х +9=\] \[(=2х)^2+9х+9\]

Виконаємо аналогічно перетворення в чисельнику другого дробу-зробимо множення многочленів

$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5 = (2х) ^ 2-11х + 5 $

Тоді рівняння набуде вигляду:

\[\frac((2х)^2+9х+9)((2x-1)(х+3))-\frac((2х)^2-11х+5)((x+3)(2х- 1)) = 0 \]

Тепер дроби з однаковим знаменником, отже можна робити віднімання. Згадаймо, що при відніманні дробів з однаковим знаменником з чисельника першого дробу необхідно відняти чисельник другого дробу, знаменник залишити колишнім

\[\frac((2х)^2+9х+9-((2х)^2-11х+5))((2x-1)(х+3))=0\]

Перетворимо вираз у чисельнику. Для того, щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «-», треба змінити всі знаки перед доданками, що стоять у дужках на протилежні.

\[(2х)^2+9х+9-\left((2х)^2-11х+5\right)=(2х)^2+9х+9-(2х)^2+11х-5\]

Наведемо подібні доданки

$(2х)^2+9х+9-\left((2х)^2-11х+5\right)=(2х)^2+9х+9-(2х)^2+11х-5=20х+4 $

Тоді дріб набуде вигляду

\[\frac((\rm 20х+4))((2x-1)(х+3))=0\]

3.Дроб дорівнює $0$, якщо його чисельник дорівнює 0. Тому ми прирівнюємо чисельник дробу до $0$.

\[(\rm 20х+4=0)\]

Вирішимо лінійне рівняння:

4. Проведемо вибірку коріння. Це означає, що необхідно перевірити, чи не звертаються знаменники вихідних дробів $0$ при знайденому корінні.

Поставимо умову, що знаменники не дорівнюють $0$

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Отже, допустимі всі значення змінних, крім $-3$ і $0,5$.

Знайдений нами корінь є допустимим значенням, отже, його сміливо можна вважати коренем рівняння. Якби знайдений корінь був би не допустимим значенням, то такий корінь був би стороннім і, звичайно, не був увімкнений у відповідь.

Відповідь:$-0,2.$

Тепер можемо скласти алгоритм розв'язання рівняння, яке містить змінну у знаменнику

Алгоритм розв'язання рівняння, що містить змінну у знаменнику

Перенести всі елементи з правої частини рівняння до лівої. Для отримання тотожного рівняння необхідно змінити всі знаки, що стоять перед виразами у правій частині протилежні

Якщо в лівій частині ми отримаємо вираз із різними знаменниками, то наводимо їх до загального, використовуючи основну властивість дробу. Виконати перетворення, використовуючи тотожні перетворення і отримати підсумковий дріб, що дорівнює $0$.

Прирівняти чисельник до $0$ і знайти коріння рівняння, що вийшло.

Проведемо вибірку коренів, тобто. знайти допустимі значення змінних, які не звертають знаменник $0$.

2 спосіб. Використовуємо основну властивість пропорції

Основною властивістю пропорції і те, що добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів.

Приклад 2

Використовуємо цю властивість для вирішення цього завдання

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1.Знайдемо і прирівняємо добуток крайніх та середніх членів пропорції.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2х)^2+3х+6х+9=(2х)^2-10х-х+5\]

Розв'язавши отримане рівняння, ми знайдемо коріння вихідного

2.Знайдемо допустимі значення змінної.

З попереднього рішення (1 спосіб) ми вже виявили, що допустимі будь-які значення, крім $-3$ і $0,5$.

Тоді, встановивши, що знайдений корінь є допустимим значенням, ми з'ясували, що $-0,2$ буде коренем.

Тема: Повторення курсу алгебри 8 класу

Урок: Алгебраїчні дроби

Для початку давайте згадаємо, що таке алгебраїчні дроби. Алгебраїчним дробом називають вираз виду, де - багаточлени,- чисельник,- знаменник.

Оскільки - многочлени, необхідно мати на увазі стандартні дії, можливі з многочленами, саме: приведення до стандартного вигляду, розкладання на множники, і навіть скорочення чисельника і знаменника.

Приклад №1

Скоротіть дріб

Скористаємося формулами скороченого множення для квадрата суми та різниці квадратів.

Коментарі: спочатку ми розклали дріб на множники за допомогою формул скороченого множення, а далі скористалися однією з основних властивостей дробу: і чисельник, і знаменник дробу алгебри можна помножити або розділити на один і той же багаточлен, у тому числі число, яке не дорівнює 0 . Таким чином виходить, що і чисельник, і знаменник розділили на многочлен , тому обов'язково необхідно врахувати, що це многочлен не дорівнює 0, т. е. .

Приклад №2

З умови нам поки що не ясно, який зв'язок між цими двома функціями. Для цього нам необхідно спростити першу з них шляхом розкладання на множники.

але потрібно не забути про умову скорочення дробу, тобто про те, що

Після всіх скорочень ми отримуємо, що

лише з тією відмінністю, що .

Побудуємо графік двох функцій.

Ми бачимо яскраву відмінність цих двох графіків: по суті вони однакові, але на першому графіці нам необхідно виколоти точку з координатою (1; 0), оскільки ця точна не входить до ОДЗ першої функції.

Отже, ми з вами розглянули, що таке дріб, вирішили кілька прикладів про те, як важливо стежити за областю визначення (областю допустимих значень), тобто за тими значеннями, які може набувати.

Тепер перейдемо до питання, які дії можна робити з алгебраїчними дроями, крім тих, які вже були згадані вище.

Природно, алгебраїчні дроби, як і арифметичні дроби, можна складати, віднімати, множити, ділити, зводити в ступінь, отримуючи при цьому раціональні вирази алгебри (такі вирази, які складені з чисел, змінних за допомогою арифметичних операцій і зведення в натуральний ступінь). Після певних спрощень подібні вирази зводяться до дробів, для яких вихідними виразами також є дроби алгебри.

Список дій / умов, з якими можна зіткнутися, вирішуючи завдання на дроби алгебри:

Спростити раціональні вирази

Довести тотожність

Вирішувати раціональне рівняння

Спростити/обчислити дріб

Приклад №3

Вирішити найпростіше раціональне рівняння

Дроб дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0. У нашому випадку знаменник дорівнює . Отже, рішення дробу зводиться до лінійного рівняння

Приклад №4

Розв'язати рівняння

Насамперед спробуємо скоротити дріб

За умови, що .

Оскільки ми вже спростили дріб у лівій частині вихідного рівняння, то можемо підставити нове значення та вирішити рівняння.

Тепер давайте спробуємо виділити повний квадрат із отриманого квадратного рівняння

Скористаємося формулою скороченого множення для різниці квадратів

Добуток дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює 0. До того ж не забуваємо, що на початку у нас з'явилася умова існування нашого виразу у вигляді . Запишемо систему рівнянь.

=> => Ми бачимо, що суперечить нашій умові, що , тому у нас залишається тільки одна відповідь .

Отже, подивимося на особливості, які має наведений вище приклад:

1. Чисельник з різницею кубів і знаменник бажано скоротити відразу, оскільки це можливо в даному випадку і спростить подальше рішення рівняння, проте обов'язково потрібно пам'ятати про те, що знаменник дробу не може дорівнювати, 0 і записати цю умову.

2. Привівши дріб до квадратного рівняння, ми згадали один із методів розв'язання квадратних рівнянь- Метод виділення повного квадрата.

Ми з вами на даному уроцізгадали, що таке алгебраїчна дріб, які дії необхідно робити з чисельником і знаменником при вирішенні таких дробів, які дії можна виробляти з дробами такого виду і вирішили кілька простих завдань.

Список литературы

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. 5 видання. - М: Просвітництво, 2010.
3. Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.

1. Вся елементарна математика ().
2. Помічник школи ().
3. Інтернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнє завдання

У цій статті ми докладно зупинимося на скорочення алгебраїчних дробів. Спочатку розберемося, що розуміють під терміном «скорочення дробу алгебри», і з'ясуємо, чи завжди алгебраїчна дроб скоротима. Далі наведемо правило, що дозволяє проводити це перетворення. Нарешті, розглянемо рішення характерних прикладів, які дозволять усвідомити все тонкощі процесу.

Навігація на сторінці.

Що означає скоротити алгебраїчну дріб?

Вивчаючи, ми говорили про їхнє скорочення. ми назвали розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. Наприклад, звичайний дріб 30/54 можна скоротити на 6 (тобто розділити на 6 його чисельник і знаменник), що призведе нас до дробу 5/9 .

Під скороченням дробу алгебри розуміють аналогічну дію. Скоротити алгебраїчну дріб– це означає розділити її чисельник та знаменник на загальний множник. Але якщо загальним множником чисельника і знаменника звичайного дробу може бути тільки число, то загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може бути многочлен , зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчну дріб можна скоротити на число 3, що дасть дріб . Також можна виконати скорочення на змінну x , що призведе до виразу . Вихідний алгебраїчну дріб можна піддати скорочення на одночлен 3 x, а також на будь-який з багаточленів x + 2 x, 3 x 6 y, x 2 +2 x або y 3 x 2 +6 x y.

Кінцева мета скорочення алгебраїчного дробу полягає в отриманні дробу. простого вигляду, у разі – нескоротного дробу.

Чи будь-який алгебраїчний дріб підлягає скороченню?

Нам відомо, що звичайні дробиподіляються на . Нескоротні дроби не мають відмінних від одиниці загальних множників у чисельнику та знаменнику, отже, не підлягають скороченню.

Алгебраїчні дроби також можуть мати загальні множники чисельника та знаменника, а можуть і не мати. За наявності загальних множників можливе скорочення дробу алгебри. Якщо ж загальних множників немає, то спрощення алгебраїчного дробу за допомогою його скорочення неможливе.

У загальному випадку по зовнішньому виглядуалгебраїчної дробу досить складно визначити, чи можливо виконати її скорочення. Безперечно, у деяких випадках загальні множники чисельника та знаменника очевидні. Наприклад, добре видно, що чисельник і знаменник дробу алгебри мають загальний множник 3 . Також неважко помітити, що алгебраїчну дріб можна скоротити на x, на y або відразу на x y. Але набагато частіше загального множника чисельника і знаменника алгебраїчного дробу відразу не видно, а ще частіше його просто немає. Наприклад, дріб можна скоротити на x−1 , але це загальний множник явно немає у записи. А алгебраїчний дріб скоротити неможливо, оскільки її чисельник і знаменник немає спільних множників.

Взагалі, питання про скоротливість алгебраїчного дробу дуже непросте. І часом простіше вирішити завдання, працюючи з дробом алгебри у вихідному вигляді, ніж з'ясувати, чи можна цей дріб попередньо скоротити. Але все ж таки існують перетворення, які в деяких випадках дозволяють з відносно невеликими зусиллями знайти загальні множники чисельника і знаменника, якщо такі є, або зробити висновок про нескоротність вихідного дробу алгебри. Ця інформація буде розкрита у наступному пункті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Інформація попередніх пунктів дозволяє природним чином сприйняти таке правило скорочення алгебраїчних дробів, Що складається з двох кроків:

• спочатку знаходяться загальні множники чисельника та знаменника вихідного дробу;
• якщо такі є, проводиться скорочення на ці множники.

Зазначені кроки озвученого правила потребують роз'яснення.

Найзручніший спосіб відшукання загальних полягає у розкладанні на множники многочленів , що у чисельнику і знаменнику вихідної алгебраїчної дробу. При цьому одразу стають видні загальні множники чисельника і знаменника, або стає видно, що загальних множників немає.

Якщо загальних множників немає, можна робити висновок про нескоротність алгебраїчної дробу. Якщо ж загальні множники виявлено, то на другому етапі вони скорочуються. В результаті виходить новий дріб більш простого вигляду.

В основі правила скорочення алгебраїчних дробів лежить основна властивість алгебраїчного дробу, яке виражається рівністю , де a, b і c – деякі багаточлени, причому b та c – ненульові. На першому кроці вихідний алгебраїчний дріб приводиться до виду, з якого стає видно загальний множник c, а на другому кроці виконується скорочення - перехід до дробу.

Переходимо до вирішення прикладів із використанням цього правила. На них ми і розберемо всі можливі нюанси, що виникають при розкладанні чисельника і знаменника дробу алгебри на множники і подальшому скороченні.

Характерні приклади

Для початку слід сказати про скорочення алгебраїчних дробів, чисельник і знаменник яких однакові. Такі дроби тотожно рівні одиниці на всій ОДЗ змінних, що входять до неї, наприклад,
і т.п.

Тепер не завадить згадати, як виконується скорочення звичайних дробів – адже вони є окремим випадком алгебраїчних дробів. Натуральні числа в чисельнику та знаменнику звичайного дробу, після чого загальні множники скорочуються (за їх наявності). Наприклад, . Добуток однакових простих множників можна записувати як ступенів, а при скороченні користуватися . У цьому випадку рішення виглядало б так: тут ми чисельник і знаменник розділили на загальний множник 2 2 ·3 . Або для більшої наочності на підставі властивостей множення та поділу рішення подають у вигляді.

За абсолютно аналогічними принципами проводиться скорочення алгебраїчних дробів, у чисельнику та знаменнику яких знаходяться одночлени з цілими коефіцієнтами.

приклад.

Скоротіть алгебраїчну дріб .

Рішення.

Можна уявити чисельник і знаменник вихідного алгебраїчного дробу у вигляді добутку простих множників та змінних, після чого провести скорочення:

Але раціональніше рішення записати у вигляді виразу зі ступенями:

Відповідь:

.

Що стосується скорочення алгебраїчних дробів, що мають дробові числові коефіцієнти в чисельнику і знаменнику, то можна надходити подвійно: або окремо виконувати поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбавлятися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на деяке натуральне число. Про останнє перетворення ми говорили в статті приведення алгебраїчного дробу до нового знаменника, його можна проводити через основну властивість алгебраїчного дробу. Розберемося з цим на прикладі.

приклад.

Виконайте скорочення дробу.

Рішення.

Можна скоротити дріб так: .

А можна було попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на знаменників цих коефіцієнтів, тобто, на НОК (5, 10) = 10 . У цьому випадку маємо .

Відповідь:

.

Можна переходити до алгебраїчних дробів загального вигляду, у яких у чисельнику та знаменнику можуть бути як числа та одночлени, так і багаточлени.

При скороченні таких дробів основна проблема у тому, що загальний множник чисельника і знаменника які завжди видно. Більше того, вона не завжди існує. Для того, щоб знайти загальний множник або переконатися в його відсутності потрібно чисельник і знаменник дробу алгебри розкласти на множники.

приклад.

Скоротіть раціональний дріб .

Рішення.

Для цього розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Почнемо з винесення за дужки: . Очевидно, вирази у дужках можна перетворити, використовуючи

Ця стаття продовжує тему перетворення алгебраїчних дробів: розглянемо таку дію як скорочення дробів алгебри. Дамо визначення самому терміну, сформулюємо правило скорочення та розберемо практичні приклади.

Сенс скорочення алгебраїчного дробу

У матеріалах про звичайний дроб ми розглядали її скорочення. Ми визначили скорочення звичайного дробу як розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник.

Скорочення дробу алгебри являє собою аналогічну дію.

Визначення 1

Скорочення алгебраїчного дробу– це розподіл її чисельника та знаменника на загальний множник. При цьому, на відміну від скорочення звичайного дробу (загальним знаменником може бути тільки число), загальним множником чисельника і знаменника дробу алгебри може служити многочлен, зокрема, одночлен або число.

Наприклад, алгебраїчна дріб 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 може бути скорочена на число 3, в результаті отримаємо: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Цей же дріб ми можемо скоротити на змінну х, і це дасть нам вираз 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Також заданий дріб можна скоротити на одночлен 3 · xабо будь-який з багаточленів x + 2 · y, 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y або 3 · x 2 + 6 · x · y.

Кінцевою метоюскорочення алгебраїчної дробу є дріб простішого виду, у разі – нескоротний дріб.

Чи всі дроби алгебри підлягають скороченню?

Знову ж таки з матеріалів про звичайні дроби ми знаємо, що існують скорочені і нескоротні дроби. Нескоротні – це дроби, які мають загальних множників чисельника і знаменника, відмінних від 1 .

З алгебраїчними дробами так само: вони можуть мати спільні множники чисельника і знаменника, можуть і не мати. Наявність загальних множників дозволяє спростити вихідний дріб за допомогою скорочення. Коли спільних множників немає, оптимізувати заданий дріб способом скорочення неможливо.

У загальних випадках за заданим видом дробу досить складно зрозуміти, чи підлягає вона скороченню. Звичайно, в деяких випадках наявність загального множника чисельника та знаменника очевидна. Наприклад, в алгебраїчному дробі 3 · x 2 3 · y зрозуміло, що загальним множником є ​​число 3 .

У дробі - x · y 5 · x · y · z 3 також ми відразу розуміємо, що скоротити її можливо на х, або y, або на х · y. І все ж таки набагато частіше зустрічаються приклади алгебраїчних дробів, коли загальний множник чисельника і знаменника не так просто побачити, а ще частіше - він просто відсутній.

Наприклад, дріб x 3 - 1 x 2 - 1 ми можемо скоротити на х - 1 при цьому зазначений загальний множник у записі відсутній. А ось дріб x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 піддати дії скорочення неможливо, оскільки чисельник і знаменник не мають спільного множника.

Таким чином, питання з'ясування скоротливості алгебраїчного дробу не таке просте, і найчастіше простіше працювати з дробом заданого виду, ніж намагатися з'ясувати, чи вона скоротлива. При цьому мають місце такі перетворення, які в окремих випадках дозволяють визначити загальний множник чисельника і знаменника або зробити висновок про нескоротність дробу. Розглянемо детально це питання у наступному пункті статті.

Правило скорочення алгебраїчних дробів

Правило скорочення алгебраїчних дробівскладається з двох послідовних дій:

• знаходження загальних множників чисельника та знаменника;
• у разі знаходження таких здійснення безпосередньо впливу скорочення дробу.

Найзручнішим методом відшукання загальних знаменників є розкладання на множники многочленів, що у чисельнику і знаменнику заданої алгебраїчної дробу. Це дозволяє відразу побачити наявність чи відсутність загальних множників.

Саме вплив скорочення алгебраїчної дробу виходить з основному властивості алгебраїчної дробу, що виражається рівністю undefined , де a , b , c – деякі многочлены, причому b і c – ненульові. Першим кроком дріб наводиться до вигляду a · c b · c, в якому ми відразу помічаємо загальний множник c. Другим кроком – виконуємо скорочення, тобто. перехід до дробу виду a b.

Характерні приклади

Незважаючи на певну очевидність, уточнимо про окремий випадокколи чисельник і знаменник алгебраїчної дробу рівні. Подібні дроби тотожно рівні 1 на всій ОДЗ змінних цього дробу:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 · x 3 - 3, 2 · x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Оскільки звичайні дроби є окремим випадком алгебраїчних дробів, нагадаємо, як здійснюється їх скорочення. Натуральні числа, записані в чисельнику та знаменнику, розкладаються на прості множники, потім загальні множники скорочуються (якщо є).

Наприклад, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Добуток простих однакових множників можна записати як ступеня, і в процесі скорочення дробу використовувати властивість поділу ступенів з однаковими основами. Тоді вищезгадане рішення було б таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель та знаменник розділені на загальний множник 2 2 · 3). Або для наочності, спираючись на властивості множення та поділу, вирішенню дамо такий вигляд:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

За аналогією здійснюється скорочення алгебраїчних дробів, у яких у чисельнику та знаменнику є одночлени з цілими коефіцієнтами.

Приклад 1

Задано алгебраїчну дріб - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необхідно зробити її скорочення.

Рішення

Можливо записати чисельник та знаменник заданого дробу як добуток простих множників та змінних, після чого здійснити скорочення:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однак, раціональнішим способом буде запис рішення у вигляді виразу зі ступенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Відповідь:- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Коли в чисельнику і знаменнику алгебраїчної дробу є дробові числові коефіцієнти, можливо два шляхи подальших дій: або окремо здійснити поділ цих дробових коефіцієнтів, або попередньо позбутися дробових коефіцієнтів, помноживши чисельник і знаменник на якесь натуральне число. Останнє перетворення проводиться в силу основної якості алгебраїчної дробу (про нього можна почитати в статті «Приведення дробу алгебри до нового знаменника»).

Приклад 2

Задано дроб 2 5 · x 0, 3 · x 3 . Необхідно здійснити її скорочення.

Рішення

Можливо скоротити дріб таким чином:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Спробуємо вирішити завдання інакше, попередньо позбавившись дробових коефіцієнтів – помножимо чисельник і знаменник на найменше загальне кратне знаменників цих коефіцієнтів, тобто. на НОК (5, 10) = 10 . Тоді отримаємо:

2 5 · x 0, 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0, 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Відповідь: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Коли ми скорочуємо алгебраїчні дроби загального виду, у яких чисельники і знаменники можуть бути як одночленами, і многочленами, можлива проблема, коли загальний множник який завжди відразу видно. Або більше, він просто не існує. Тоді для визначення загального множника або фіксації факту про його відсутність чисельник і знаменник дробу алгебри розкладають на множники.

Приклад 3

Задано раціональний дріб 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Потрібно її скоротити.

Рішення

Розкладемо на множники багаточлени в чисельнику та знаменнику. Здійснимо винесення за дужки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Ми бачимо, що вираз у дужках можна перетворити з використанням формул скороченого множення:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Добре помітно, що можна скоротити дріб на загальний множник b 2 · (a + 7). Зробимо скорочення:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Коротке рішення без пояснень запишемо як ланцюжок рівностей:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Відповідь: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Трапляється, що загальні множники приховані числовими коефіцієнтами. Тоді при скороченні дробів оптимально числові множники при старших ступенях чисельника та знаменника винести за дужки.

Приклад 4

Дано алгебраїчну дріб 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необхідно здійснити її скорочення, якщо це можливо.

Рішення

На перший погляд у чисельника та знаменника не існує спільного знаменника. Однак спробуємо перетворити заданий дріб. Винесемо за дужки множник х у чисельнику:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Тепер видно певну схожість виразу в дужках і вирази у знаменнику за рахунок x 2 · y . Винесемо за дужку числові коефіцієнти при старших ступенях цих багаточленів:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Тепер стає видно загальний множник, здійснюємо скорочення:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Відповідь: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x.

Зробимо акцент на тому, що навичка скорочення раціональних дробів залежить від уміння розкладати багаточлени на множники.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter