Розглянемо простий приклад:
15:5=3
У цьому прикладі натуральне число 15 ми поділили націлона 3, без залишку.
Іноді натуральну кількість повністю поділити не можна націло. Наприклад, розглянемо завдання:
У шафі лежало 16 іграшок. У групі було п'ятеро дітей. Кожна дитина взяла однакову кількість іграшок. Скільки іграшок у кожної дитини?
Рішення:
Поділимо число 16 на 5 стовпчиком отримаємо:
Ми знаємо, що 16 на 5 не ділитися. Найближча менша кількість, яка ділиться на 5 це 15 і 1 в залишку. Число 15 ми можемо розписати як 5⋅3. Через війну (16 – ділене, 5 – дільник, 3 – неповне приватне, 1 – залишок). Отримали формулу поділу із залишком,за якою можна зробити перевірку рішення.
a=
b⋅
c+
d
a - ділене,
b - дільник,
c - Неповне приватне,
d - Залишок.
Відповідь: кожна дитина візьме по 3 іграшки та одна іграшка залишиться.
Залишок від розподілу
Залишок завжди повинен бути меншим за дільник.
Якщо при розподілі залишок дорівнює нулю, це означає, що ділене ділитися націлоабо без залишку на дільник.
Якщо при розподілі залишок більший за дільник, це означає, що знайдене число не найбільше. Існує число більше, яке поділить поділене і залишок буде меншим за дільник.
Питання по темі "Поділ із залишком":
Залишок може бути більшим за дільник?
Відповідь: ні.
Залишок може дорівнювати дільнику?
Відповідь: ні.
Як знайти ділене по неповному приватному, дільнику та залишку?
Відповідь: значення неповного приватного, дільника та залишку підставляємо у формулу та знаходимо ділене. Формула:
a=b⋅c+d
Приклад №1:
Виконайте поділ із залишком і перевірте: а) 258:7 б) 1873:8
Рішення:
а) Ділим стовпчиком:
258 – ділене,
7 – дільник,
36 - неповне приватне,
6 – залишок. Залишок менший від дільника 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
б) Ділим стовпчиком:
1873 – ділене,
8 – дільник,
234 - неповне приватне,
1 – залишок. Залишок менший від дільника 1<8.
Підставимо у формулу і перевіримо, чи правильно ми вирішили приклад:
8⋅234+1=1872+1=1873
Приклад №2:
Які залишки виходять при розподілі натуральних чисел: а) 3 б)8?
Відповідь:
а) Залишок менше дільника, отже, менше 3. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1 або 2.
б) Залишок менше дільника, отже, менше 8. У нашому випадку залишок може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 або 7.
Приклад №3:
Який найбільший залишок може вийти при розподілі натуральних чисел: а) 9; б) 15?
Відповідь:
а) Залишок менший від дільника, отже, менший за 9. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число 8.
б) Залишок менший від дільника, отже, менший за 15. Але нам треба вказати найбільший залишок. Тобто найближче число до дільника. Це число є 14.
Приклад №4:
Знайдіть ділене: а) а: 6 = 3 (зуп.4) б) з: 24 = 4 (зуп.11)
Рішення:
а) Вирішимо за допомогою формули:
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
а: 6 = 3 (зуст.4)
(a – ділене, 6 – дільник, 3 – неповне приватне, 4 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
а=6⋅3+4=22
Відповідь: а = 22
б) Вирішимо за допомогою формули:
a=b⋅c+d
(a – ділене, b – дільник, c – неповне приватне, d – залишок.)
з: 24 = 4 (зуп.11)
(с – ділене, 24 – дільник, 4 – неповне приватне, 11 – залишок.) Підставимо цифри у формулу:
с=24⋅4+11=107
Відповідь: с=107
Завдання:
Дріт 4м. потрібно розрізати на шматки по 13см. Скільки таких шматків вийде?
Рішення:
Спершу треба метри перевести в сантиметри.
4м. = 400см.
Можна поділити стовпчиком або в умі отримаємо:
400: 13 = 30 (зуп.10)
Перевіримо:
13⋅30+10=390+10=400
Відповідь: 30 шматків вийде і 10 см. дроту залишиться.
Стаття розбирає поняття поділу цілих чисел із залишком. Доведемо теорему про ділимість цілих чисел із залишком та переглянемо зв'язки між ділими та дільниками, неповними приватними та залишками. Розглянемо правила, коли проводиться розподіл цілих чисел із залишками, докладно розглянувши на прикладах. Наприкінці рішення виконаємо перевірку.
Загальне уявлення про поділ цілих чисел із залишками
Розподіл цілих чисел із залишком сприймається як узагальнене розподіл із залишком натуральних чисел. Це виконується оскільки натуральні числа – це складова частина цілих.
Поділ із залишком довільного числа свідчить, що ціле число a ділиться число b , відмінне від нуля. Якщо b = 0 тоді не роблять поділ із залишком.
Також як і розподіл натуральних чисел з залишком, проводиться розподіл цілих чисел a і b при b відмінному від нуля, на c і d . У цьому випадку a і b називають ділимим і дільником, а d – залишком розподілу, с – ціле число або неповне приватне.
Якщо вважати, що залишок – це ціле невід'ємне число, тоді його величина не більша від модуля числа b . Запишемо так: 0 ≤ d ≤ b . Цей ланцюжок нерівностей використовується при порівнянні 3 і більше кількості чисел.
Якщо с – неповне приватне, тоді d – залишок від поділу цілого числа a на b коротко можна зафіксувати: a: b = c (зуп. d).
Залишок при розподілі чисел a на b можливий нульовий, тоді кажуть, що a ділиться на націло, тобто без залишку. Поділ без залишку вважається окремим випадком поділу.
Якщо ділимо нуль на деяке число, отримуємо нуль. Залишок поділу також дорівнюватиме нулю. Це можна простежити з теорії про розподіл нуля на ціле число.
Тепер розглянемо сенс поділу цілих чисел із залишком.
Відомо, що цілі позитивні числа - натуральні, тоді при розподілі із залишком вийде такий же зміст, як і при розподілі натуральних чисел із залишком.
При розподілі цілого негативного числа на ціле позитивне b є сенс. Розглянемо з прикладу. Представивши ситуацію, коли маємо обов'язок предметів у кількості a, яку необхідно погасити b людина. Для цього необхідно кожному зробити однаковий внесок. Щоб визначити величину боргу кожного, необхідно звернути увагу до величину приватного с. Залишок d свідчить, відомо кількість предметів після розплати з боргами.
Розглянемо з прикладу з яблуками. Якщо 2 особи мають 7 яблук. Якщо порахувати, що кожен повинен повернути по 4 яблука, після повного розрахунку у них залишиться 1 яблуко. Запишемо як рівності це: (− 7) : 2 = − 4 (о т. 1) .
Поділ будь-якого числа але ціле немає сенсу, але можливо як варіант.
Теорема про подільність цілих чисел із залишком
Ми виявили, що а – це подільне, тоді b – це дільник, з – неповне приватне, а d – залишок. Вони між собою пов'язані. Цей зв'язок покажемо за допомогою рівності a = b · c + d. Зв'язок між ними характеризується теоремою ділимості із залишком.
Теорема
Будь-яке ціле число може бути представлене тільки через ціле і відмінне від нуля число b таким чином: a = b · q + r , де q і r – деякі цілі числа. Тут маємо 0 ≤ r ≤ b.
Доведемо можливість існування a = b · q + r.
Доказ
Якщо існують два числа a і b , причому a ділиться на b без залишку, тоді з визначення випливає, що є число q , Що буде правильна рівність a = b · q . Тоді рівність вважатимуться правильною: a = b · q + r при r = 0 .
Тоді необхідно взяти q таке, щоб це нерівністю b · q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Маємо, що значення виразу a − b · q більше за нуль і не більше значення числа b, звідси випливає, що r = a − b · q . Отримаємо, що число а можемо подати у вигляді a = b · q + r.
Тепер необхідно розглянути можливість подання a = b · q + r для негативних значень b.
Модуль числа виходить позитивним, тоді отримаємо a = b · q 1 + r де значення q 1 - деяке ціле число, r - ціле число, яке підходить умові 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
Доказ єдиності
Припустимо, що a = b · q + r , q і r є цілими числами з правильною умовою 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1і r 1є деякими числами, де q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Коли з лівої та правих частин віднімається нерівність, тоді отримуємо 0 = b · (q - q 1) + r - r 1, яка рівносильна r - r 1 = b · q 1 - q. Так як використовується модуль, отримаємо рівність r - r 1 = b · q 1 - q.
Дана умова говорить про те, що 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qі q 1- Цілі, причому q ≠ q 1тоді q 1 - q ≥ 1 . Звідси маємо, що b · q 1 - q b . Отримані нерівності r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Звідси випливає, що по-іншому число a бути представлене не може, окрім такого запису a = b · q + r .
Зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним та залишком
За допомогою рівності a = b · c + d можна знаходити невідоме ділене a коли відомий дільник b з неповним приватним c і залишком d .
Приклад 1
Визначити ділене, якщо при ділення отримаємо - 21 неповне приватне 5 і залишок 12 .
Рішення
Необхідно обчислити ділене a при відомому дільнику b = − 21 , неповним приватним с = 5 та залишком d = 12 . Потрібно звернутися до рівності a = b · c + d, звідси отримаємо a = (−21) · 5+12. За дотримання порядку виконання дій помножимо - 21 на 5, після цього отримуємо (−21) · 5 + 12 = − 105 + 12 = − 93 .
Відповідь: - 93 .
Зв'язок між дільником і неповним приватним і залишком можна виразити за допомогою рівностей: b = (a − d) : c , c = (a − d) : b і d = a − b · c . З їхньою допомогою ми можемо обчислити дільник, неповне приватне та залишок. Це зводиться до постійного знаходження залишку від поділу цілих цілих чисел a на b з відомим дільником, дільником і неповним приватним. Застосовується формула d = a − b · c. Розглянемо рішення докладно.
Приклад 2
Знайти залишок від розподілу цілого числа - 19 на ціле 3 за відомого неповного приватного рівного - 7 .
Рішення
Щоб обчислити залишок від розподілу, застосуємо формулу виду d = a − b · c . За умовою є усі дані a = − 19 , b = 3 , c = − 7 . Звідси отримаємо d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (різниця − 19 − (− 21) . цілого від'ємного числа.
Відповідь: 2 .
Усі цілі позитивні числа є натуральними. Звідси випливає, що розподіл виконується за всіма правилами розподілу із залишком натуральних чисел. Швидкість виконання поділу із залишком натуральних чисел важлива, тому що на ньому засноване не тільки поділ позитивних, а й правила поділу цілих довільних.
Найзручніший метод поділу – це стовпчик, тому що простіше і швидше отримати неповне або просто приватне із залишком. Розглянемо рішення докладніше.
Приклад 3
Зробити поділ 14671 на 54 .
Рішення
Даний поділ необхідно виконувати стовпчиком:
Тобто неповне приватне виходить рівним 271, а залишок - 37.
Відповідь: 14 671: 54 = 271 . (Зуст. 37)
Правило поділу із залишком цілого позитивного числа на ціле негативне, приклади
Щоб виконати поділ із залишком позитивного числа на ціле негативне, необхідно сформулювати правило.
Визначення 1
Неповне приватне від поділу цілого позитивного a на ціле негативне b отримуємо число, яке протилежне неповному приватному від поділу модулів чисел a на b. Тоді залишок дорівнює залишку при розподілі a на b.
Звідси маємо, що неповне приватне від поділу цілого послідовного числа на негативне число вважають цілим непозитивним числом.
Отримаємо алгоритм:
- ділити модуль діленого на модуль дільника, тоді отримаємо неповне приватне та
- залишок;
- запишемо число протилежне отриманому.
Розглянемо з прикладу алгоритму розподілу цілого позитивного числа на ціле негативне.
Приклад 4
Виконати поділ із залишком 17 на -5.
Рішення
Застосуємо алгоритм поділу із залишком цілого позитивного числа на негативне. Необхідно розділити 17 на - 5 за модулем. Звідси отримаємо, що неповне приватне дорівнює 3 а залишок дорівнює 2 .
Отримаємо, що число, що шукається від розподілу 17 на - 5 = - 3 із залишком рівним 2 .
Відповідь: 17: (-5) = -3 (зуп. 2).
Приклад 5
Необхідно розділити 45 на -15.
Рішення
Необхідно розділити числа за модулем. Число 45 ділимо на 15 отримаємо приватне 3 без залишку. Значить, число 45 ділиться на 15 без залишку. У відповіді отримуємо - 3 так як розподіл проводилося по модулю.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Відповідь: 45: (− 15) = − 3 .
Формулювання правила поділу із залишком виглядає так.
Визначення 2
Для того, щоб отримати неповне приватне з поділом цілого негативного a на позитивне b , потрібно застосувати протилежне даному числу і відняти з нього 1 тоді залишок d буде обчислюватися за формулою: d = a − b · c .
З правила можна дійти невтішного висновку, що з розподілі отримаємо ціле неотрицательное число. Для точності рішення застосовують алгоритм розподілу а на b із залишком:
- знайти модулі діленого та дільника;
- ділити за модулем;
- записати протилежне даному число і відняти 1;
- використовувати формулу для залишку d = a − b · c.
Розглянемо з прикладу рішення, де застосовується даний алгоритм.
Приклад 6
Знайти неповне приватне та залишок від розподілу - 17 на 5 .
Рішення
Ділимо задані числа за модулем. Отримуємо, що при розподілі частка дорівнює 3 , а залишок 2 . Оскільки отримали 3 , протилежне - 3 . Необхідно відібрати 1 .
− 3 − 1 = − 4 .
Шукане значення маємо рівне - 4 .
Щоб обчислити залишок, необхідно a = − 17 , b = 5 , c = − 4 , тоді d = a − b · c = − 17 − 5 · (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 .
Отже, неповним приватним від розподілу є число - 4 із залишком рівним 3 .
Відповідь:(− 17) : 5 = − 4 (зуп. 3).
Приклад 7
Розділити ціле негативне число - 1404 на позитивне 26 .
Рішення
Потрібно зробити поділ стовпчиком і по мудулю.
Ми отримали розподіл модулів чисел без решти. Це означає, що розподіл виконується без залишку, а приватне шукане = - 54 .
Відповідь: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Правило поділу із залишком цілих негативних чисел, приклади
Необхідно сформулювати правило поділу із залишком цілих негативних чисел.
Визначення 3
Для отримання неповного приватного з відділення цілого негативного числа a на ціле негативне b необхідно провести обчислення по модулю, після чого додати 1 , тоді зможемо провести обчислення за формулою d = a − b · c .
Звідси випливає, що неповне окреме від поділу цілих негативних чисел буде число позитивне.
Сформулюємо це правило у вигляді алгоритму:
- знайти модулі діленого та дільника;
- розділити модуль діленого на модуль дільника з отриманням неповного приватного
- залишком;
- додаток 1 до неповного приватного;
- обчислення залишку, виходячи з формули d = a − b · c.
Даний алгоритм розглянемо з прикладу.
Приклад 8
Знайти неповне приватне та залишок при розподілі - 17 на - 5 .
Рішення
Для правильності рішення застосуємо алгоритм для поділу із залишком. Для початку розділи числа за модулем. Звідси отримаємо, що неповне приватне = 3 а залишок дорівнює 2 . За правилом необхідно скласти неповне приватне та 1 . Отримаємо, що 3 + 1 = 4 . Звідси отримаємо, що неповне приватне від поділу заданих чисел дорівнює 4 .
Для обчислення залишку ми застосуємо формулу. За умовою маємо, що a = − 17 , b = − 5 , c = 4 , тоді, використовуючи формулу, отримаємо d = a − b · c = − 17 − (− 5) · 4 = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = 3 . Шукана відповідь, тобто залишок, дорівнює 3 а неповне приватне дорівнює 4 .
Відповідь:(−17): (−5) = 4 (зуп. 3).
Перевірка результату поділу цілих чисел із залишком
Після виконання поділу чисел із залишком необхідно виконувати перевірку. Ця перевірка передбачає 2 етапи. Спочатку йде перевірка залишку d на невід'ємність, виконання умови 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Розглянемо на прикладах.
Приклад 9
Зроблено поділ - 521 на - 12 . Частка дорівнює 44 , залишок 7 . Виконати перевірку.
Рішення
Оскільки залишок – це число позитивне, його величина є менше, ніж модуль дільника. Дільник дорівнює - 12, отже, його модуль дорівнює 12. Можна перейти до наступного пункту перевірки.
За умовою маємо, що a = − 521 , b = − 12 , c = 44 , d = 7 . Звідси обчислимо b · c + d , де b · c + d = − 12 · 44 + 7 = − 528 + 7 = − 521 . Звідси випливає, що рівність вірна. Перевірку пройдено.
Приклад 10
Виконати перевірку поділу (−17): 5 = − 3 (зуп. − 2). Чи правильна рівність?
Рішення
Сенс першого етапу у тому, що необхідно перевірити розподіл цілих чисел із залишком. Звідси видно, що дія зроблена неправильно, оскільки дано залишок, що дорівнює - 2 . Залишок не є негативним числом.
Маємо, що друга умова виконана, але недостатня для цього випадку.
Відповідь:ні.
Приклад 11
Число - 19 розділили на -3. Неповне приватне дорівнює 7 , а залишок 1 . Перевірити, чи правильно виконано це обчислення.
Рішення
Даний залишок, що дорівнює 1 . Він позитивний. За величиною менше модуля дільника, отже, перший етап виконується. Перейдемо до другого етапу.
Обчислимо значення виразу b · c + d. За умовою маємо, що b = − 3 , c = 7 , d = 1 , отже, підставивши числові значення, отримаємо b · c + d = − 3 · 7 + 1 = − 21 + 1 = − 20 . Слід, що a = b · c + d рівність не виконується, оскільки за умови дано а = - 19 .
Звідси випливає, що поділ зроблено з помилкою.
Відповідь:ні.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У цій статті ми розберемо розподіл цілих чисел із залишком. Почнемо із загального принципу поділу цілих чисел із залишком, сформулюємо та доведемо теорему про подільність цілих чисел із залишком, простежимо зв'язок між ділим, дільником, неповним приватним та залишком. Далі озвучимо правила, якими проводиться розподіл цілих чисел із залишком, і розглянемо застосування цих правил під час вирішення прикладів. Після цього навчимося виконувати перевірку результату поділу цілих чисел із залишком.
Навігація на сторінці.
Загальне уявлення про поділ цілих чисел із залишком
Розподіл цілих чисел із залишком ми розглядатимемо як узагальнення поділу із залишком натуральних чисел. Це пов'язано з тим, що натуральні числа є складовою цілих чисел .
Почнемо з термінів та позначень, які використовуються при описі.
За аналогією з розподілом натуральних чисел із залишком вважатимемо, що результатом розподілу із залишком двох цілих чисел a і b (b не дорівнює нулю) є два цілих числа c і d . Числа a та b називаються ділимимі дільникомвідповідно, число d – залишкомвід розподілу a на b, а ціле число c називається неповним приватним(або просто приватним, якщо залишок дорівнює нулю).
Умовимося вважати, що залишок є ціле невід'ємне число , та його величина вбирається у b , тобто, (подібні ланцюжка нерівностей ми зустрічали, коли говорили порівняння трьох і більшої кількості цілих чисел).
Якщо число c є неповним приватним, а число d – залишком від поділу цілого числа a на ціле число b , цей факт ми коротко записуватимемо як рівність виду a:b=c (зуп. d) .
Зазначимо, що при розподілі цілого числа a на ціле число b залишок може дорівнювати нулю. У цьому випадку говорять, що a ділиться на b без залишку(або націло). Таким чином, поділ цілих чисел без залишку є окремим випадком поділу цілих чисел із залишком.
Також варто сказати, що при розподілі нуля на деяке ціле число ми завжди маємо справу з розподілом без залишку, тому що в цьому випадку приватна буде дорівнює нулю (дивіться розділ теорії розподіл нуля на ціле число), і залишок також буде дорівнює нулю.
З термінологією та позначеннями визначилися, тепер розберемося зі змістом поділу цілих чисел із залишком.
Поділу цілого негативного числа a на ціле позитивне число b теж можна надати сенсу. Для цього розглянемо ціле негативне число як борг. Уявімо таку ситуацію. Борг, який становить предметів, повинні погасити b людина, зробивши однаковий внесок. Абсолютна величина неповного приватного c у разі визначатиме величину боргу кожного з цих людей, а залишок d покаже, скільки предметів залишиться після сплати боргу. Наведемо приклад. Допустимо 2 особи повинні 7 яблук. Якщо вважати, що кожен із них має по 4 яблука, то після сплати боргу у них залишиться 1 яблуко. Цій ситуації відповідає рівність (−7):2=−4 (зуп. 1).
Поділу із залишком довільного цілого числа a на ціле негативне число ми не надаватимемо жодного сенсу, але залишимо за ним право на існування.
Теорема про подільність цілих чисел із залишком
Коли ми говорили про поділ натуральних чисел із залишком, то з'ясували, що ділене a, дільник b, неповне приватне c і залишок d пов'язані між собою рівністю a = b · c + d. Для цілих чисел a, b, c і d характерний такий самий зв'язок. Цей зв'язок затверджується наступним теореми про ділимість із залишком.
Теорема.
Будь-яке ціле число a можна уявити єдиним чином через ціле і відмінне від нуля число b як a=b·q+r , де q і r – деякі цілі числа, причому .
Доказ.
Спочатку доведемо можливість подання a = b · q + r.
Якщо цілі числа і b такі, що a ділиться на націло, то за визначенням існує таке ціле число q, що a = b · q. І тут має місце рівність a=b·q+r при r=0 .