Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд вона має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдетьсяпро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений на п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

За допомогою цього відеоуроку всі бажаючі зможуть самостійно познайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми». У ході заняття вчитель розповість про те, що являють собою такі геометричні фігуриЯк багатогранник і призми, дасть відповідні визначення і пояснить їх суть на конкретних прикладах.

За допомогою цього уроку всі охочі зможуть самостійно познайомитись із темою «Поняття багатогранника. Призма. Площа поверхні призми».

Визначення. Поверхню, складену з багатокутників і обмежує деяке геометричне тіло, називатимемо багатогранною поверхнею або багатогранником.

Розглянемо такі приклади багатогранників:

1. Тетраедр ABCD- Це поверхня, складена з чотирьох трикутників: АВС, ADB, BDCі ADC(Рис. 1).

Мал. 1

2. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- Це поверхня, складена з шести паралелограмів (рис. 2).

Мал. 2

Основними елементами багатогранника є грані, ребра, вершини.

Грані - це багатокутники, що становлять багатогранник.

Ребра – це сторони граней.

Вершини – це кінці ребер.

Розглянемо тетраедр ABCD(Рис. 1). Зазначимо його основні елементи.

Грані: трикутники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, НД, DC, AD, BD.

Вершини: А, В, З, D.

Розглянемо паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 2).

Грані: паралелограми АА 1 D 1 D, D 1 DСС 1 , ВВ 1 З 1 С, АА 1 В 1 В, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1 .

Ребра: АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Вершини: A, B, C, D, A1, B1, C1, D1.

Важливим окремим випадком багатогранника є призма.

АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 3).

Мал. 3

Рівні трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α і β так, що ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.

Тобто АВСА 1 В 1 З 1- трикутна призма, якщо:

1) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1рівні.

2) Трикутники АВСі А 1 В 1 З 1розташовані в паралельних площинах α та β: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Ребра АА 1, ВВ 1, СС 1паралельні.

АВСі А 1 В 1 З 1- Підстави призми.

АА 1, ВВ 1, СС 1- Бічні ребра призми.

Якщо з довільної точки Н 1однієї площини (наприклад, β) опустити перпендикуляр ПН 1на площину α, цей перпендикуляр називається висотою призми.

Визначення. Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то призма називається прямою, а в іншому випадку – похилою.

Розглянемо трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 4). Ця призма – пряма. Тобто, її бічні ребра перпендикулярні до основ.

Наприклад, ребро АА 1перпендикулярно до площини АВС. Ребро АА 1є висотою цієї призми.

Мал. 4

Зауважимо, що бічна грань АА 1 В 1 Вперпендикулярна до основ АВСі А 1 В 1 З 1оскільки вона проходить через перпендикуляр. АА 1до основ.

Тепер розглянемо похилу призму АВСА 1 В 1 З 1(Рис. 5). Тут бічне ребро не перпендикулярне площині основи. Якщо опустити з точки А 1перпендикуляр А 1 Нна АВС, то цей перпендикуляр буде висотою призми. Зауважимо, що відрізок АН- це проекція відрізка АА 1на площину АВС.

Тоді кут між прямою АА 1та площиною АВСце кут між прямою АА 1та її АНпроекцією на площину, тобто кут А 1 АН.

Мал. 5

Розглянемо чотирикутну призму ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Рис. 6). Розглянемо, як вона виходить.

1) Чотирьохкутник ABCDдорівнює чотирикутнику A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Чотирикутники ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані так, що бічні ребра паралельні, тобто: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Визначення. Діагональ призми - це відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані.

Наприклад, АС 1- діагональ чотирикутної призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Визначення. Якщо бічне ребро АА 1перпендикулярно площині основи, то така призма називається прямою.

Мал. 6

Окремим випадком чотирикутної призми є відомий нам паралелепіпед. Паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1зображено на рис. 7.

Розглянемо, як він влаштований:

1) В основах лежать рівні фігури. В даному випадку – рівні паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1лежать у паралельних площинах α та β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Паралелограми ABCDі A 1 B 1 C 1 D 1розташовані таким чином, що бічні ребра паралельні між собою: АА 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Мал. 7

З точки А 1опустимо перпендикуляр АНна площину АВС. Відрізок А 1 Нє заввишки.

Розглянемо, як влаштовано шестикутну призму (рис. 8).

1) В основі лежать рівні шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Площини шестикутників ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1паралельні, тобто основи лежать у паралельних площинах: ABC║А 1 B 1 C (α ║ β).

3) Шестикутники ABCDEFі A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1розташовані так, що всі бічні ребра між собою паралельні: АА 1 ║ВВ 1 …║FF 1.

Мал. 8

Визначення. Якщо якесь бічне ребро перпендикулярно площині основи, то така шестикутна призма називається прямою.

Визначення. Пряма призма називається правильною, якщо її основи - правильні багатокутники.

Розглянемо правильну трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1.

Мал. 9

Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, це, що у підставах лежать правильні трикутники, тобто всі сторони цих трикутників рівні. Також дана призма – пряма. Значить, бічне ребро перпендикулярно площині основи. А це означає, що всі бічні грані – рівні прямокутники.

Отже, якщо трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- правильна, то:

1) Бокове ребро перпендикулярно площині основи, тобто є висотою: AA 1 ⊥ АВС.

2) В основі лежить правильний трикутник: ∆АВС- правильний.

Визначення. Площею повної поверхні призми називається сума площ її граней. Позначається S повний.

Визначення. Площею бічної поверхні називається сума площ усіх бічних граней. Позначається S бік.

Призма має дві підстави. Тоді площа повної поверхні призми:

S повн = S бік + 2S осн.

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.

Доказ проведемо з прикладу трикутної призми.

Дано: АВСА 1 В 1 З 1- Пряма призма, тобто. АА 1 ⊥ АВС.

АА1 = h.

Довести: S бік = Р осн ∙ h.

Мал. 10

Доказ.

Трикутна призма АВСА 1 В 1 З 1- Пряма, значить, АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С -прямокутники.

Знайдемо площу бічної поверхні як суму площ прямокутників АА 1 В 1 В, АА 1 З 1 З, ВВ 1 З 1 З:

S бік = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.

Отримуємо, S бік = Р осн ∙ h,що й потрібно було довести.

Ми познайомилися з багатогранниками, призмою, її різновидами. Довели теорему про бічній поверхні призми. На наступному уроці ми вирішуватимемо завдання на призму.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл.
2. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів/ Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл.
3. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики /Е. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл.

1. Яклас ().
2. Shkolo.ru ().
3. Стара школа ().
4. WikiHow ().

1. Яка мінімальна кількість граней може мати призма? Скільки вершин, ребер у такої призми?
2. Чи існує призма, яка має точно 100 ребер?
3. Бокове ребро нахилено до поверхні під кутом 60°. Знайдіть висоту призми, якщо бічне ребро дорівнює 6 см.
4. У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Площа її бічної поверхні становить 27 см2. Знайдіть площу повної поверхні призми.

Призма є досить простою геометричною об'ємною фігурою. Проте в деяких школярів щодо її основних властивостей виникають проблеми, причина яких, зазвичай, пов'язані з неправильно використовуваної термінологією. У цій статті розглянемо, які призми бувають, як вони називаються, а також докладно охарактеризуємо правильну чотирикутну призму.

Призма у геометрії

Вивчення об'ємних фігур є завданням стереометрії – важливу частину просторової геометрії. У стереометрії під призмою розуміють таку фігуру, яка утворена паралельним перенесенням довільного плоского багатокутника на певну відстань у просторі. Паралельне перенесенняпередбачає таке переміщення, при якому поворот навколо осі, перпендикулярній площинібагатокутника, повністю виключено.

Вам буде цікаво:

В результаті описаного способу отримання призми утворюється фігура, обмежена двома багатокутниками, що мають однакові розміри, що лежать у паралельних площинах, та деяким числом паралелограмів. Їхня кількість збігається з числом сторін (вершин) багатокутника. Однакові багатокутники називаються основами призми, а площа їхньої поверхні - це площа основ. Паралелограми, що з'єднують дві основи, утворюють бічну поверхню.

Елементи призми та теорема Ейлера

Оскільки розглядається об'ємна фігураявляє собою поліедр, тобто утворена набором площин, що перетинаються, то вона характеризується деякою кількістю вершин, ребер і граней. Усі є елементами призми.

У XVIII століття швейцарський математик Леонард Ейлер встановив зв'язок між кількістю основних елементів поліедра. Цей зв'язок записується наступною простою формулою:

Число ребер = число вершин + число граней - 2

Для будь-якої призми справедлива ця рівність. Наведемо приклад його використання. Припустимо, є правильна чотирикутна призма. Вона зображена нижче.

Видно, що число вершин для неї дорівнює 8 (4 для кожної чотирикутної основи). Число сторін, або граней становить 6 (2 основи та 4 бічні прямокутники). Тоді кількість ребер для неї дорівнює:

Число ребер = 8 + 6 - 2 = 12

Повна класифікація призм

З цією класифікацією важливо розібратися, щоб згодом не плутатися в термінології та використовувати правильні формули для обчислення, наприклад площі поверхні або обсягу фігур.

Для будь-якої призми довільної форми можна виділити 4 ознаки, які її характеризуватимуть. Перерахуємо їх:

• За кількістю кутів багатокутника в основі: трикутна, п'ятикутна, восьмикутна тощо.
• За типом багатокутника. Він може бути правильним чи неправильним. Наприклад, прямокутний трикутникє неправильним, а рівносторонній – правильним.
• За типом опуклості багатокутника. Він може бути увігнутим або опуклим. Найчастіше зустрічаються опуклі призми.
• По кутах між основами та бічними паралелограмами. Якщо всі ці кути рівні 90o, то говорять про пряму призму, якщо не всі є прямими, то таку фігуру називають косоугольной.

З усіх цих пунктів хотілося б зупинитися на останньому. Пряма призма також називається прямокутною. Пов'язано це з тим, що для неї паралелограми прямокутники в загальному випадку (у деяких випадках вони можуть бути квадратами).

Для прикладу на малюнку вище зображено п'ятикутну увігнуту прямокутну, або пряму фігуру.

Основа цієї призми є правильним чотирикутником, тобто квадратом. На малюнку вже було показано, як виглядає ця призма. Крім двох квадратів, які її обмежують зверху та знизу, вона також включає 4 прямокутники.

Позначимо сторону основи правильної чотирикутної призми буквою a, довжину її бічного ребра позначимо буквою c. Ця довжина також висотою фігури. Тоді площа всієї поверхні цієї призми висловиться формулою:

S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)

Тут перше доданок відображає внесок основ у загальну площу, другий доданок - це площа бічної поверхні.

Враховуючи введені позначення для довжин сторін, запишемо формулу для обсягу фігури, що розглядається:

Тобто обсяг обчислюється як добуток площі квадратної основи на довжину бічного ребра.

Фігура куб

Всі знають цю ідеальну об'ємну фігуру, але мало хто замислювався, що вона є правильною чотирикутною призму, сторона якої дорівнює довжині сторони квадратної основи, тобто c = a.

Для куба формули повної площі поверхні та об'єму набудуть вигляду:

Оскільки куб - це призма, що складається з 6 однакових квадратів, будь-яку паралельну пару з них можна вважати підставою.

Куб - це високосиметрична фігура, яка у природі реалізується у вигляді кристалічних ґратбагатьох металевих матеріалів та іонних кристалів. Наприклад, грати золота, срібла, міді та кухонної солі є кубічними.

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні одна одній
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні основам
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрах і паралельно основам
• Кути перпендикулярного перерізу – прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

При вирішенні завдань на тему правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутника бічні ребра перпендикулярні площинам основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи дорівнюватиме

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Призма є геометричною об'ємною фігурою, характеристики та властивості якої вивчають у старших класах шкіл. Як правило, при її вивченні розглядають такі величини, як об'єм та площа поверхні. У цій статті розкриємо дещо інше питання: наведемо методику визначення довжини діагоналей призми на прикладі чотирикутної фігури.

Яка постать називається призмою?

У геометрії дається таке визначення призмі: це об'ємна фігура, обмежена двома багатокутними однаковими сторонами, які є паралельними один одному, і деяким числом паралелограмів. Рисунок нижче показує приклад призми, що відповідає даному визначенню.

Ми бачимо, що два червоні п'ятикутники рівні один одному і знаходяться у двох паралельних площинах. П'ять рожевих паралелограмів з'єднують ці п'ятикутники у цілісний об'єкт – призму. Два п'ятикутники називаються основами фігури, а її паралелограми – це бічні грані.

Призми бувають прямі та похилі, які також називають прямокутними та косокутними. Різниця між ними полягає в кутах між основою та бічними гранями. Для прямокутної призми всі ці кути дорівнюють 90 o .

За кількістю сторін чи вершин багатокутника на підставі говорять про призми трикутних, п'ятикутних, чотирикутних тощо. Причому якщо цей багатокутник є правильним, а сама призма пряма, то таку фігуру називають правильною.

Наведена на попередньому малюнку призма є п'ятикутною похилою. Нижче зображена п'ятикутна пряма призма, яка є правильною.

Усі обчислення, включаючи методику визначення діагоналей призми, зручно виконувати саме для правильних фігур.

Які елементи характеризують призму?

Елементами фігури називають складові, які її утворюють. Саме призми можна назвати три основних типи елементів:

• вершини;
• грані чи боку;
• ребра.

Гранями вважаються основи та бічні площини, що представляють паралелограми в загальному випадку. У призмі завжди кожна сторона відноситься до одного з двох типів: або багатокутник, або паралелограм.

Ребра призми – це ті відрізки, які обмежують кожну сторону фігури. Як і грані, ребра також бувають двох типів: що належать підставі та бічній поверхні або відносяться тільки до бічної поверхні. Перших завжди вдвічі більше, ніж других, незалежно від виду призми.

Вершини - це точки перетину трьох ребер призми, два з яких лежать у площині основи, а третє належить двом боковим граням. Усі вершини призми знаходяться у площинах основ фігури.

Числа описаних елементів пов'язані в єдину рівність, що має такий вигляд:

Р = В + С – 2.

Тут Р – кількість ребер, В – вершин, С – сторін. Ця рівність називається теоремою Ейлера для поліедра.

На малюнку показано трикутну правильну призму. Кожен може вважати, що вона має 6 вершин, 5 сторін та 9 ребер. Ці цифри узгоджуються з теоремою Ейлера.

Діагоналі призми

Після таких властивостей, як об'єм і площа поверхні, в задачах геометрії часто зустрічається інформація про довжину тієї чи іншої діагоналі аналізованої фігури, яка або дана, або її потрібно знайти за іншими відомими параметрами. Розглянемо які бувають діагоналі у призми.

Всі діагоналі можна розділити на два типи:

1. Грані, що лежать у площині. Вони з'єднують несусідні вершини або багатокутника на підставі призми, або паралелограма бічної поверхні. Значення довжин таких діагоналей визначається, виходячи із знання довжин відповідних ребер та кутів між ними. Для визначення діагоналей паралелограм завжди використовуються властивості трикутників.
2. Призми, що лежать всередині обсягу. Ці діагоналі з'єднують неоднотипні вершини двох основ. Ці діагоналі виявляються повністю усередині фігури. Їхні довжини розрахувати дещо складніше, ніж для попереднього типу. Методика розрахунку передбачає облік довжин ребер і основи, і паралелограмів. p align="justify"> Для прямих і правильних призм розрахунок є відносно простим, оскільки він здійснюється з використанням теореми Піфагора і властивостей тригонометричних функцій.

Діагоналі сторін чотирикутної прямої призми

На малюнку вище зображено чотири однакові прямі призми, і надано параметри їх ребер. На призмах Diagonal A, Diagonal B та Diagonal C штриховою червоною лінією зображені діагоналі трьох різних граней. Оскільки призма є прямою з висотою 5 см, а її основа представлена ​​прямокутником зі сторонами 3 см і 2 см, то знайти зазначені діагоналі не важко. Для цього необхідно скористатися теоремою Піфагора.

Довжина діагоналі основи призми (Diagonal A) дорівнює:

DA = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 см.

Для бічної грані призми діагональ дорівнює (див. Diagonal B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 см.

Зрештою, довжина ще однієї бічної діагоналі дорівнює (див. Diagonal C):

D С = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 см.

Довжина внутрішньої діагоналі

Тепер розрахуємо довжину діагоналі чотирикутної призми, зображену на попередньому малюнку (Diagonal D). Зробити це не так складно, якщо помітити, що вона є гіпотенузою трикутника, в якому катетами будуть висота призми (5 см) та діагональ DA, зображена на малюнку вгорі зліва (Diagonal A). Тоді отримуємо:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 см.

Правильна призма чотирикутна

Діагональ правильної призми, основою якої є квадрат, розраховується аналогічно, як і в наведеному вище прикладі. Відповідна формула має вигляд:

D = √(2*a 2 +c 2).

Де a і c - довжини сторони основи та бічного ребра, відповідно.

Зауважимо, що з обчислення ми використовували лише теорему Піфагора. Для визначення довжин діагоналей правильних призм із великою кількістю вершин (п'ятикутні, шестикутні тощо) вже необхідно застосовувати тригонометричні функції.