На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 - Прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доказ:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутникАВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторонипрямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Оскільки , а , то. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Паралелепіпедом називається чотирикутна призма, в основі якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його основами. На малюнку висота показана відрізком . Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий та похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.

Нагадаю, що призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, якщо перпендикулярності немає – призму називають похилою. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. Прямий паралелепіпед – ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, що є загальними для сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежних граней. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини багатогранника і не лежить в жодній з його граней.

Діагональний переріз - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його основи.

Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його грані – паралелограми, а протилежні грані – рівні паралелограми.
2)Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
3)Кожен паралелепіпед складається із шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від паралелепепеда половинку його діагональним перетином і розбити окремо на 3 піраміди. Їхні підстави повинні лежати в різних гранях вихідного паралелепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості в аналітичної геометрії. Воно використовується для виведення обсягу піраміди через змішане твір векторів.

Формули об'єму паралелепіпеда:
1) , де - Площа основи, h - Висота.
2) Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі поперечного перерізуна бічне ребро.
Репетитор з математики: Як відомо, формула є спільною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те саме для паралелепіпеда Однак у роботі з учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобиться) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму дати спокій, а для паралелепіпеда провести акуратний доказ.
3) , де - обсяг однієї з шести трикутних піраміди з яких складається паралелепіпед.
4) Якщо , то

Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ усіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда – це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі основи: .

Про роботу репетитора з похилим паралелепіпедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їхньої появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойне завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з розподілом розташування точки Н - основи його висоти. В цьому випадку репетитору з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йдетьсяу властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити на 6.

Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кути зі сторонами основи, то Н лежить на бісектрисі кута A основи ABCD. І якщо, наприклад, ABCD – ромб, то

Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роїби зі стороною 2см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) У похилому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити об'єм паралелепіпеда.
3) У похилому паралелепіпеді відомо, що , а вінуванням ABCD є ромб зі стороною 2см і кутом . Визначте об'єм паралелепіпеда.

Репетитор з математики Олександр Колпаков

або (рівносильно) багатогранник із шістьма гранями, що є паралелограмами. Шестигранник.

Паралелограми, з яких складається паралелепіпед є гранямицього паралелепіпеда, сторони цих паралелограмів є ребрами паралелепіпеда, а вершини паралелограмів вершинами паралелепіпеда. У паралелепіпеда кожна грань є паралелограмом.

Як правило виділяють будь-які 2-і протилежні грані та називають їх основами паралелепіпеда, а грані, що залишилися бічними гранями паралелепіпеда. Ребра паралелепіпеда, які не належать основам є бічними ребрами.

2 грані паралелепіпеда, які мають спільне ребро є суміжними, а ті, які не мають спільних ребер протилежними.

Відрізок, який з'єднує 2 вершини, які не належать 1-ій грані є діагоналлю паралелепіпеда.

Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, які не паралельні, є лінійними розмірами (вимірами) паралелепіпеда. У прямокутного паралелепіпеда 3 лінійні розміри.

Типи паралелепіпеда.

Існує кілька видів паралелепіпедів:

Прямимє паралелепіпед з ребром, перпендикулярною площиніоснови.

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі 3 виміри мають рівну величину, є кубом. Кожна з граней куба – це рівні квадрати .

Довільний паралелепіпед.Обсяг та співвідношення в похилому паралелепіпеді в основному визначаються за допомогою векторної алгебри. Обсяг паралелепіпеда дорівнює абсолютній величині змішаного твору 3-х векторів, які визначаються трьома сторонами паралелепіпеда (що виходять з однієї вершини). Співвідношення між довжинами сторін паралелепіпеда і кутами з-поміж них показує твердження, що визначник Грама даних 3-х векторів дорівнює квадрату їх змішаного твору .

Властивості паралелепіпеда.

• Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.
• Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею на дві рівні частини. Всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в 1-ій точці і діляться нею на дві рівні частини.
• Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та мають рівні розміри.
• Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює