23 грудня 2013 року о 15:10

Ефективний рахунок в голові або розминка для мозку

• Математика

Ця стаття навіяна топіком і покликана поширити прийоми С.А. Рачинського для усного рахунку.
Рачинський був чудовим педагогом, який викладав у сільських школах в XIX столітті і показав на власному досвіді, що розвинути навички швидкого усного рахунку можна. Для його учнів не було особливою проблемою порахувати подібний приклад у думці:

Використовуємо круглі числа

Один з найпоширеніших прийомів усного рахунку полягає в тому, що будь-яке число можна подати у вигляді суми чи різниці чисел, одне або кілька з яких «кругле»:

Т.к. на 10 , 100 , 1000 та ін круглі числа множити швидше, в розумі потрібно зводити все до таких простих операцій, як 18 x 100або 36 x 10. Відповідно, і складати легше, «відщеплюючи» кругле число, а потім додаючи «хвостик»: 1800 + 200 + 190 .
Ще приклад:
31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899.

Спростимо множення поділом

При усному рахунку буває зручніше оперувати дільником і дільником, ніж цілим числом (наприклад, 5 представляти у вигляді 10:2 , а 50 у вигляді 100:2 ):
68 x 50 = (68 x 100): 2 = 6800: 2 = 3400; 3400: 50 = (3400 x 2): 100 = 6800: 100 = 68.
Аналогічно виконується множення або поділ на 25 адже 25 = 100:4 . Наприклад,
600: 25 = (600: 100) x 4 = 6 x 4 = 24; 24 x 25 = (24 x 100): 4 = 2400: 4 = 600.
Тепер не здається неможливим помножити в думці 625 на 53 :
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100): 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100): 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = = (60000 + 2500): 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125.

Зведення у квадрат двозначного числа

Виявляється, щоб просто звести будь-яке двоцифрове число в квадрат, достатньо запам'ятати квадрати всіх чисел від 1 до 25 . Благо, квадрати до 10 ми знаємо з таблиці множення. Інші квадрати можна подивитися в наведеній нижче таблиці:

Прийом Рачинського ось у чому. Для того щоб знайти квадрат будь-якого двозначного числа, треба різницю між цим числом і 25 помножити на 100 і до твору додати квадрат доповнення даного числадо 50 або квадрат надлишку його над 50 -ю. Наприклад,
37 ^ 2 = 12 x 100 + 13 ^ 2 = 1200 + 169 = 1369; 84 ^ 2 = 59 x 100 + 34 ^ 2 = 5900 + 9 x 100 + 16 ^ 2 = 6800 + 256 = 7056;
У загальному випадку ( M- Двозначне число):

Спробуємо застосувати цей трюк при зведенні в квадрат тризначного числа, розбивши його попередньо на дрібніші доданки:
195^2 = (100 + 95)^2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + + 7000 + 20 x 100 + 5 ^ 2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025.
Хм, я б не сказала, що це дуже легше, ніж зведення в стовпчик, але, можливо, згодом можна пристосуватися.
І починати тренування, звичайно, слід із зведення в квадрат двоцифрових чисел, а там уже й до дизассемблювання в умі можна дійти.

Розмноження двоцифрових чисел

Цей цікавий прийом був вигаданий 12-річним учнем Рачинського і є одним із варіантів додавання до круглого числа.
Нехай дано два двозначні числа, у яких сума одиниць дорівнює 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 – n.
Склавши їх твір, отримаємо:

Наприклад, обчислимо 77 x 13. Сума одиниць цих чисел дорівнює 10 , т.к. 7 + 3 = 10 . Спочатку ставимо менше перед великим: 77 x 13 = 13 x 77.
Щоб отримати круглі числа, ми забираємо три одиниці від 13 і додаємо їх до 77 . Тепер перемножимо нові числа 80 x 10, а до отриманого результату додамо твір відібраних 3 одиниць на різницю старого числа 77 та нового числа 10 :
13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001.
Цей прийом має окремий випадок: все значно спрощується, коли у двох співмножників однакове число десятків У цьому випадку число десятків множиться на наступне за ним число і до отриманого результату приписується добуток одиниць цих чисел. Подивимося, наскільки елегантний цей прийом на прикладі.
48 x 42. Число десятків 4 , наступне число: 5 ; 4 x 5 = 20 . Добуток одиниць: 8 x 2 = 16 . Значить, 48 х 42 = 2016.
99 x 91. Число десятків: 9 , наступне число: 10 ; 9 x 10 = 90 . Добуток одиниць: 9 x 1 = 09 . Отже, 99 х 91 = 9009.
Ага, тобто, щоб перемножити 95 x 95, достатньо порахувати 9 x 10 = 90і 5 x 5 = 25і відповідь готова:
95 х 95 = 9025.
Тоді попередній приклад можна обчислити трохи простіше:
195 ^ 2 = (100 + 95) ^ 2 = 10000 + 2 x 100 x 95 + 95 ^ 2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90 +5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = + 19000 + 1000 + 8000 + 25 = 38 025.

Замість ув'язнення

Здавалося б, навіщо вміти рахувати в думці в 21 столітті, коли можна просто подати голосову команду смартфону? Але якщо замислитись, що буде з людством, якщо воно звалюватиме на машини не лише фізичну роботу, а й будь-яку розумову? Чи не деградує воно? Навіть якщо не розглядати усний рахунок як самоціль, для гарту розуму він цілком підходить.

Використана література:
«1001 завдання розумового рахунку у шкільництві С.А. Рачинського».

Як би соромно мені не було, але до своїх 30 років я зрозуміла, що дуже погано вважаю в умі елементарні числа і витрачаю на це багато часу. Цей недолік я вирішила виправити і знайшла на просторах інтернету інструменти, які допомогли мені навчитися рахувати в голові.

В арифметиці є ключові закономірності, які необхідно довести до автоматизму.

Віднімання 7,8,9Щоб відняти 9 з будь-якого числа, потрібно відняти від нього 10 і додати 1. Щоб відняти з будь-якого числа 8, потрібно відняти з нього 10 і додати 2. Щоб відняти 7 з будь-якого числа, потрібно відняти від нього 10 і додати 3. Якщо зазвичай ви вважаєте інакше, то для кращого результатувам потрібно звикнути до цього нового способу.

Розмноження на 9.Швидко помножити будь-яке число на 9 можна так: спочатку помножте це число на 10 (просто додайте 0 наприкінці), а потім відніміть з результату саме число. Наприклад 89 * 9 = 890-89 = 801. Цю операцію потрібно довести до автоматизму.

Розмноження на 2.Для усного рахунку дуже важливо вміти швидко множити будь-яке число на 2. Для множення на 2 не круглих чисел спробуйте округлити їх до найближчих зручніших. Так 139*2 простіше рахувати, якщо спочатку помножити 140*2 (140*2=280). а потім відняти 1*2=2 (саме 1 потрібно додати до 139, щоб отримати 140) Разом: 140*2-1*2=278

Розподіл на 2.Для усного рахунку також важливо вміти швидко ділити будь-яке число на 2. Незважаючи на те, що багатьом множення та розподіл на 2 дається досить просто, складних випадкахтакож намагайтеся округлити числа. Наприклад, щоб розділити 198 на 2, потрібно спочатку розділити 200 (це 198+2) на 2 і відібрати 1 (1 ми отримали, розділивши додані 2 на 2) Разом: 198/2=200/2-2/2=100- 1 = 99.

Розподіл та множення на 4 та 8.Розподіл (або множення) на 4 та 8 є двократним або трикратним розподілом (або множенням) на 2. Виконувати ці операції зручно послідовно. Наприклад, 46*4=46*2*2=922*2=184

Розмноження на 5.Помножувати на 5 дуже просто. Множення на 5 і розподіл на 2 - це практично одне й те саме. Так 88 * 5 = 440, а 88 / 2 = 44, тому завжди множте число на 5, поділивши число на 2 і помноживши його на 10.

Множення на однозначні числа.Щоб швидко рахувати в умі, корисно вміти множити двозначні та тризначні числа на однозначні. Для цього потрібно множити дво- чи тризначне чило порозрядно. Наприклад, помножимо 83*7. Для цього спочатку помножимо 8 на 7 (і допишемо 0, тому що 8 - розряд десятків) і додамо до цього числа добуток 3 і 7. Таким чином, 83*7=80*7+3*7=560+21=581. Візьмемо більше складний приклад 236*3. Отже, множимо складне число на 3 порозрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Визначення діапазонів.Щоб не заплутатися в алгоритмах і помилково видати зовсім неправильну відповідь, важливо вміти будувати зразковий діапазон відповідей. Так множення однозначних чиселдруг на друга, може дати результат трохи більше 90 (9*9=81), двозначних - трохи більше 10 000 (99*99 =9801), Тризначних трохи більше - 1 000 000 (999*999=998001)

Поділ 1000 на 2,4,8,16. І нарешті, корисно знати розподіл чисел, кратних 10 на числа, кратні двом: 100 = 2 * 500 = 4 * 250 = 8 * 125 = 16 * 62,5

Чому я називаю свій спосіб легкимі навіть напрочуд легким? Та просто тому, що більш простого та надійного способу навчання малюків рахунку я поки що не зустрічав. Ви самі в цьому скоро переконаєтеся, якщо скористаєтеся для навчання своєї дитини. Для дитини це буде просто грою, а все, що потрібно від батьків - це приділяти цій грі по кілька хвилин на день, і якщо дотримуватиметеся моїх рекомендацій, то раніше або пізніше ваша дитина обов'язково почне вважати наввипередки з вами. Але чи можливе таке, якщо дитині лише три чи чотири роки? Виявляється, цілком можливо. У всякому разі, я успішно роблю це понад десять років.

Весь процес навчання я викладаю далі дуже докладно, з детальним описом кожної навчальної гри, щоб його змогла повторити зі своєю дитиною будь-яка мама. Крім того, в Інтернеті на моєму сайті "Сім сходинок до книжки" я розмістив відеозаписи фрагментів моїх занять з дітьми, щоб зробити ці уроки ще більш доступними для відтворення.

Спершу кілька вступних слів.

Перше питання, яке виникає у деяких батьків: а чи варто починати вчити дитину рахунку до школи?

Я вважаю, що навчати дитину потрібно тоді, коли вона виявляє інтерес до предмета навчання, а не після того, як цей інтерес у неї згас. А інтерес до рахунку та підрахунку проявляється у дітей рано, його треба лише злегка підживлювати і непомітно з кожним днем ​​ускладнювати ігри. Якщо ж ваша дитина чомусь байдужа до перерахування предметів, не кажіть собі: "У неї немає схильності до математики, я теж у школі з математики відставала". Намагайтеся пробудити в ньому цей інтерес. Просто включіть у його розвиваючі ігри те, що ви досі упускали: перерахування іграшок, ґудзичок на сорочці, сходинок при ходьбі тощо.

Друге питання: яким способом краще навчати дитину?

Відповідь це питання ви отримаєте, прочитавши тут повний виклад моєї методики навчання усному рахунку.

А поки що хочу застерегти вас від застосування деяких способів навчання, які не приносять дитині користь.

"Щоб до 2 додати 3, потрібно спочатку до 2 додати 1, вийде 3, потім до 3 додати ще 1, вийде 4, і, нарешті, до 4 додати ще 1, в результаті буде 5" ; "- Щоб від 5-ти відібрати 3, потрібно спочатку відібрати 1, залишиться 4, потім від 4-х відібрати ще 1, залишиться 3, і, нарешті, від 3-х відібрати ще 1, в результаті залишиться 2".

Цей, на жаль, поширений спосіб виробляє та закріплює звичку до повільного підрахунку та не стимулює розумове. Адже рахувати — означає складати і забирати відразу цілими числовими групами, а не додавати і зменшувати по одиночці, та ще й за допомогою перерахування пальчиків чи паличок. Чому ж цей не корисний для дитини спосіб такий поширений? Думаю, бо так простіше вчителю. Сподіваюся, що деякі вчителі, ознайомившись із моєю методикою, відмовляться від нього.

Не починайте вчити дитину рахувати за допомогою паличок або пальців і стежте, щоб вона не почала користуватися ними пізніше за порадою старшої сестрички або братика. Навчити рахувати на пальцях легко, а відучити важко. Поки дитина вважає на пальцях, механізм пам'яті не задіяний, у пам'яті не відкладаються результати складання та віднімання цілими числовими групами.

І, нарешті, в жодному разі не використовуйте з'явився в останні рокиспосіб рахунку "по лінійці":

"Щоб до 2 додати 3, потрібно взяти лінійку, знайти на ній цифру 2, відрахувати від неї вправо 3 рази по сантиметру і прочитати на лінійці результат 5";

"Щоб від 5-ти відібрати 3, потрібно взяти лінійку, знайти на ній цифру 5, відрахувати від неї вліво 3 рази по сантиметру і прочитати на лінійці результат 2".

Цей спосіб рахунку з використанням такого примітивного "калькулятора", як лінійка, ніби навмисне придуманий для того, щоб привчити дитину думати і запам'ятовувати. Чим так вчити рахувати, краще зовсім не вчити, а одразу показати, як користуватися калькулятором. Адже цей спосіб, так само, як і калькулятор, виключає тренування пам'яті та гальмує розумовий розвитокмалюка.

На першому етапі навчання усному рахунку необхідно навчити дитину рахувати в межах десяти. Потрібно допомогти йому міцно запам'ятати результати всіх варіантів складання та віднімання чисел у межах десяти так, як пам'ятаємо їх ми, дорослі.

На другому етапі навчання дошкільнята освоюють основні методи складання та віднімання в розумі двозначних чисел. Головним тепер уже є не автоматичне вилучення з пам'яті готових рішень, а розуміння та запам'ятовування способів складання та віднімання у наступних десятках.

Як на першому, так і на другому етапі навчання усному рахунку відбувається із застосуванням елементів гри та змагальності. За допомогою , вибудованих у певній послідовності, досягається не формальне заучування, а усвідомлене запам'ятовування з використанням зорової та тактильної пам'яті дитини з наступним закріпленням у пам'яті кожного засвоєного кроку.

Чому я навчаю саме усному рахунку? Тому що тільки усний рахунок розвиває пам'ять, інтелект дитини і те, що ми називаємо кмітливістю. А саме це і знадобиться йому в подальшому дорослому житті. А писання " прикладів " з тривалим обдумуванням і обчисленням відповіді пальчиках дошкільнику нічого, крім шкоди, не приносить, т.к. відучує думати швидко. Приклади він вирішуватиме пізніше, у школі, відпрацьовуючи акуратність оформлення. А кмітливість необхідно розвинути в ранньому віці, чому сприяє саме усний рахунок

Ще до того як розпочати навчання дитини додавання та віднімання, батьки повинні навчити його перераховувати предмети на картинках і в натурі, вважати сходи на сходах, кроки на прогулянці. До початку навчання усному рахунку дитина повинна вміти порахувати хоча б п'ять іграшок, рибок, пташок, або сонечок і при цьому освоїти поняття "більше" і "менше". Але всі ці різноманітні предмети та істоти не слід використовувати надалі для навчання доданню та віднімання. Навчання усному рахунку необхідно починати зі складання і віднімання тих самих однорідних предметів, утворюють певну конфігурацію кожному за їх числа. Це дозволить задіяти зорову та тактильну пам'ять дитини при запам'ятовуванні результатів складання та віднімання цілими числовими групами (див. відеофайл 056). Як посібник для навчання усному рахунку я застосував набір невеликих рахункових кубиків у коробці для рахунку (докладний опис — далі). А до рибок, пташок, ляльок, сонечок та інших предметів і істот діти повернуться пізніше, при вирішенні арифметичних завдань. Але до цього часу додавання та віднімання будь-яких чисел в умі вже не представлятиме для них складності.

Для зручності викладу розбив перший етап навчання (рахунок у межах першого десятка) на 40 уроків, а другий етап навчання (рахунок у наступних десятках) ще на 10-15 уроків. Нехай вас не лякає багато уроків. Розбивка всього курсу навчання на уроки є приблизною, з підготовленими дітьми я проходжу іноді по 2-3 уроки за одне заняття, і цілком можливо, що вашому малюку так багато занять не буде потрібно. З іншого боку, уроками ці заняття можна назвати лише умовно, т.к. тривалість кожного становить лише 10-20 хвилин. Їх можна поєднувати з уроками читання. Займатися бажано двічі на тиждень, а виконанню домашніх завдань достатньо приділяти по 5-7 хвилин у решту днів. Перший урок потрібен не кожній дитині, він розроблений лише для дітей, які ще не знають цифри 1 і, дивлячись на два предмети, не можуть сказати, скільки їх, не підрахувавши попередньо пальчиком. Їхнє навчання необхідно починати практично "з чистого листа". Більш підготовлені діти можуть починати відразу з другого, а деякі з третього або четвертого уроку.

Я проводжу заняття одночасно з трьома дітьми, не більше щоб утримувати увагу кожного з них і не давати їм нудьгувати. Коли рівень підготовки дітей дещо відрізняється, доводиться займатися з ними по черзі різними завданнями, постійно перемикаючись з однієї дитини на іншу. На початкових уроках присутність батьків бажано для того, щоб вони зрозуміли суть методики та правильно виконували нескладні та коротенькі щоденні домашні завдання зі своїми дітьми. Але розмістити батьків треба так, щоб діти забули про їхню присутність. Батьки не повинні втручатися і смикати своїх дітей, навіть якщо ті пустують або відволікаються.

Заняття з дітьми усним рахункому невеликій групі можна починати приблизно з трирічного віку, якщо вони вже вміють підраховувати пальчиком предмети, хоча б до п'яти. А з власною дитиною батьки можуть займатися початковими уроками за цією методикою і з двох років.

Початкові уроки першого етапу. Навчання рахунку в межах п'яти

Для проведення початкових уроківпотрібно п'ять карток з цифрами 1, 2, 3, 4, 5 і п'ять кубиків з розміром ребра приблизно 1,5-2 см, встановлених у коробочці. Як кубики я використовую "кубики знань", що продаються в магазинах розвиваючих ігор, або "learning bricks", по 36 кубиків у коробці. На весь курс навчання вам знадобляться три такі коробки, тобто. 108 кубиків. Для початкових уроків я беру п'ять кубиків, решта знадобиться пізніше. Якщо вам не вдасться підібрати готові кубики, їх нескладно буде виготовити самостійно. Для цього потрібно лише роздрукувати на щільному папері, 200-250 г/м2, малюнок, а потім вирізати з нього заготовки кубиків, склеїти їх відповідно до наявних вказівок, заповнити будь-яким наповнювачем, наприклад, крупою, і обклеїти зовні скотчем. Потрібно також зробити коробочку для установки цих п'яти кубиків в ряд. Склеїти її так само просто з надрукованого на щільному папері і вирізаного малюнка. На дні коробочки накреслено п'ять клітинок за розміром кубиків, кубики повинні розміщуватися в ній вільно.

Ви вже зрозуміли, що навчання рахунку на початковому етапібуде вироблятися за допомогою п'яти кубиків та коробочки з п'ятьма клітинами для них. У зв'язку з цим виникає питання: а чим же спосіб навчання за допомогою п'яти рахункових кубиків та коробочки з п'ятьма клітинами краще навчанняза допомогою п'яти пальців? Головним чином тим, що коробочку вчитель час від часу може накривати долонею або прибирати, завдяки чому кубики і порожні клітини, що розташовані в ній, дуже швидко запам'ятовуються в пам'яті дитини. А пальці дитини завжди залишаються при ньому, вона може їх побачити або намацати, і в запам'ятовуванні просто не виникає потреби, стимулювання механізму пам'яті не відбувається.

Не слід також намагатися замінювати коробочку з кубиками рахунковими паличками, іншими предметами для рахунку або кубиками, які не складені в коробочці в ряд. На відміну від кубиків, збудованих в ряд у коробочці, ці предмети розташовуються безладно, не утворюють постійної конфігурації і тому не відкладаються в пам'яті у вигляді картинки, що запам'яталася.

Урок №1

До початку уроку з'ясуйте, яку кількість кубиків дитина здатна визначати одночасно, не перераховуючи їх по штучці пальчиком. Зазвичай до трьох років діти можуть сказати відразу, не підраховуючи скільки в коробці кубиків, якщо їх кількість не перевищує двох або трьох, і лише деякі з них бачать відразу чотири. Але є діти, які поки що можуть назвати лише один предмет. Щоб сказати, що бачать два предмети, вони повинні порахувати їх, показуючи пальчиком. Для таких дітей і призначено перший урок. Інші приєднаються до них пізніше. Щоб визначити, яку кількість кубиків дитина бачить відразу, ставте поперемінно в коробочку різну кількість кубиків і запитуйте: "Скільки кубиків у коробочці? Не рахуй, скажи відразу. Молодець! А зараз? А зараз? Правильно, молодець!" Діти можуть сидіти чи стояти біля столу. Коробочку з кубиками ставте на стіл поруч із дитиною паралельно кромці столу.

Для виконання завдань першого уроку залиште дітей, які поки що можуть визначити лише один кубик. Грайте із ними по черзі.

1. Гра "Приставляємо цифри до кубиків" із двома кубиками.
   Покладіть на стіл картку з цифрою 1 та картку з цифрою 2. Поставте на стіл коробочку та вкладіть у неї один кубик. Запитайте дитину, скільки кубиків у коробочці. Після того, як він відповість "один", покажіть йому і назвіть цифру 1 і попросіть покласти її поруч із коробочкою. Додайте в коробочку другий кубик і попросіть порахувати скільки тепер у коробочці кубиків. Нехай, якщо хоче, порахує кубики пальчиком. Після того, як дитина скаже, що в коробочці вже два кубики, покажіть їй і назвіть цифру 2 і попросіть прибрати від коробочки цифру 1, а на її місце покласти цифру 2. Повторіть цю гру кілька разів. Незабаром дитина запам'ятає, як виглядають два кубики, і почне називати цю кількість відразу, не підраховуючи. Одночасно він запам'ятає цифри 1 і 2 і присуватиме до коробочки цифру, що відповідає кількості кубиків у ній.
2. Гра "Гноміки в будиночку" з двома кубиками.
   Скажіть дитині, що зараз гратимете з нею у гру "Гноміки в будиночку". Коробочка - це навмисне будиночок, клітини в ній - кімнати, а кубики - гномики, які в них живуть. Поставте один кубик на першу клітинку ліворуч від дитини та скажіть: "Один гномик прийшов у будиночок". Потім запитайте: А якщо до нього прийде ще один, скільки гномиків буде в будиночку? Якщо дитині важко відповісти, поставте другий кубик на стіл поруч із будиночком. Після того як дитина скаже, що тепер у будиночку буде два гномики, дозвольте йому поставити другого гноміка поруч із першим на другу клітинку. Потім запитайте: "А якщо тепер один гномик піде, скільки гномиків залишиться в будиночку?" Цього разу ваше запитання не викличе скрути і дитина відповість: "Один залишиться".

Потім ускладніть гру. Скажіть: "А тепер зробимо будиночку дах". Накрийте долонею коробочку і повторіть гру. Щоразу, коли дитина скаже, скільки гномиків стало в будиночку, після того, як один прийшов, або скільки їх у ньому залишилося, після того, як один пішов, прибирайте дах-долоню і дозволяйте дитині самому додавати або прибирати кубик і переконуватися у правильності своєї відповіді. . Це сприяє підключенню як зорової, а й тактильної пам'яті дитини. Забирати завжди потрібно останній кубик, тобто. другий ліворуч.

Не секрет, що є деякі люди, які вміють робити середньо-складні арифметичні операції в розумі із завидною швидкістю. Для них не важко, наприклад, перемножити два двозначні числа або поділити кілька тризначних величин один на одного. Вони роблять це швидко і без допомоги додаткових пристроїв і навіть не користуються записами, тобто роблять обчислення в умі! Зрозуміло, для багатьох не складає труднощів питання про те, як навчитися швидко вважати в розумі – це щоденна практика, вимушена робота або рід діяльності. Але це не означає, що кожен з нас, бажаючий дізнатися, як навчитися рахувати в умі, повинен закінчити математичний ВНЗ. Отже, мова сьогодні піде про те, як навчитися рахувати. Швидко рахувати!

Вчимося рахувати швидко, необхідна підготовка

Без сумніву, ваш досвід та тренування здібностей відіграють важливу роль у розвитку подібних здібностей. Але це в жодному разі не означає того, що навичка швидкого рахунку доступна лише людям з досвідом. Вважати в умі - це шлях раціоналізації, що спирається на базову арифметику. Наслідуючи наші поради про те, як швидко навчитися вважати, ви зможете дивувати навколишніх швидким рішенням прикладів, які не всі можуть вирішити навіть за допомогою калькулятора.

Що ж необхідно Вам, щоб швидко опанувати техніку моментального підрахунку «про себе»? Основні складові успіху можна поділити на три групи:

• Схильності та здібності. Гарною підмогою стане ваш аналітичний склад розуму. Вміння утримувати в пам'яті кілька величин одночасно обов'язково.
• Безпосередньо алгоритми вашого мислення. Навчитися вважати швидко можна лише шляхом суворої алгоритмізації своїх дій, їх раціоналізацією та вмінням підібрати необхідний метод у конкретній ситуації. Про ситуації та інше ми поговоримо трохи пізніше.
• Тренування та практика навичок. Ніхто не скасовував важливості цих дій у жодному напрямі діяльності, а особливо у діяльності розумової. Чим більше ви тренуватиметеся і виконуватимете різних обчисленьтим краще у вас це буде виходити.

Слід звернути увагу до третій чинник розвитку навички швидкого рахунку. Навіть чудово орієнтуючись у всіх існуючих алгоритмах, вам навряд чи вдасться навчитися рахувати швидко, якщо буде відсутня достатня кількість практики.

Хитрості та базові алгоритми, як швидко вважати

Розглянемо кілька загальноприйнятих спрощень рахунку, за їх допомогою вам вдасться навчитися рахувати швидко. Зверну вашу увагу також на те, що ніхто не забороняє вам імпровізувати – математика тим і чудова, що за всієї своєї точності та суворості не забороняє діяти красиво, подібно до мистецтва. А навик рахувати швидко – це саме мистецтво! Отже, деякі хитрощі, як навчитися рахувати швидко.

Допустимо, вам необхідно зробити додавання багатозначних доданків. Легко! Складайте розрядами: до більшого числа додайте старший розряд меншого числа, потім підсумовуйте з молодшими розрядами. Допустимо, вам треба скласти 361 і 523. Відразу утримати в пам'яті буде не просто, погодьтеся? Тому наш хід дій буде таким:

1. Найменше число визначили – 361.
2. Що таке 361? Це 300+60+1. Складно заперечити, якщо прагнути бути раціональним.
3. До 523 додамо спочатку 300. Отримуємо 823.
4. Потім додамо 60 – отримуємо 883.
5. І на завершення - наша одиниця, додана до суми, отриманої раніше, дасть нам результат 884.

Ось бачите, було куди простіше тримати 3 числа в голові, ніж одночасно складати два тризначні! У нас починає виходити рахувати швидко в розумі!

Те ж саме робіть і з відніманням, але тільки послідовним відібранням розрядів ми не досягнемо необхідної швидкості! Можна трохи схитрувати, додавши до нашого арсеналу ще одну навичку – наростити/відібрати до круглого (зручного числа).

Наприклад, вам необхідно відібрати 93 від 250. Ну незручно!

А що таке 93? Правильно, це 100-7!

250 – 100 = 150.

Робимо виправлення на наше «виправлення» числа. Якщо ми додавали – потрібно додати до приватного, і навпаки. У нашому випадку ми «наростили» число 93 до 100, додавши 7. Значить, до часткового додаємо 7.

Перевірте на калькуляторі. Чи помітно більше часу пішло на набір цифр, ніж на обчислення? Це ознака того, що вам вже непогано дається навик, як рахувати швидко в розумі!

Тепер із множенням. Прискорити рахунок можна різними шляхами. Наприклад, при перемноженні чисел розбивайте множники на множники другого рівня.

Наприклад:

Купа шляхів до вирішення! І тут ваш алгоритм може відрізнятись від шляхів інших людей – не лякайтеся, на те ми, генії, народ і унікальний =)

Можна так: 12 = 3х4. Множимо 150 х 4 = 600, потім 600 х 3 = 1800.

Я не замислюючись, став рахувати так: 12 = 10 + 2. А тепер елементарно: (150 х 10) + (150 х2). Все це елементарні шкільні правила, які ми, на жаль, забуваємо. Неважко помітити, що в цьому випадку вважати практично не доведеться - дописати нуль до 150, отримавши півтори тисячі, та помножити 150 на 2, отримавши 300. Результат той же, 1800.

Виходячи з досвіду швидкого множення, нескладно здогадатися, як швидко ділити числа в умі. Можна знову піти різними шляхами, від паралельного поділу на спрощений дільник ділимого до округлення ділимого до елементаризації поділу з поправкою.

Наприклад:

Для початку відкиньте однакову кількість нулів. У цьому прикладі це просто – 39:4. Наш мозок набагато охочіше оперують з невеликими числами, ніж з багаторозрядними величинами.

Ви, напевно, помітили, що число 39 так і хочеться округлити до 40. Ну так що нам заважає? (39 +1): 4 = 10.

Але змінивши поділене, нам необхідно відкоригувати відповідь. Отже, очевидно, що він буде менше 10, тому що ми додавали до діленого деяке число 1. Тепер нам потрібно відібрати від 10 результат поділу числа-коректора на дільник (4). Якби ми забирали, то процедура була б зворотною, це зрозуміло.

Отже, 1:4 = 0.25

Відповідь: 9.75 (9 3 / 4)

Набагато простіше нашому мозку сприймати натуральні дроби, тобто уявляємо 0.25 як 1/4 (одна четверта, чверть), і далі буде легко швидко порахувати в розумі результат!

Пам'ятайте, не так складно зрозуміти, як швидко навчитися рахувати. Набагато складніше швидко підібрати метод до конкретної ситуації, але це вирішується за допомогою колосальної практики.

Прийоми швидкого рахунку: магія, доступна всім

Щоб зрозуміти, яку роль нашому житті грають цифри, поставте простий експеримент. Спробуйте якийсь час обійтися без них. Без цифр, без обчислень, без вимірів… Ви опинитеся у дивному світі, де відчуєте себе абсолютно безпорадним, пов'язаним по руках та ногах. Як встигнути на зустріч вчасно? Відрізнити один автобус від іншого? Зателефонувати? Купити хліб, ковбасу, чай? Зварити суп чи картоплю? Без чисел, отже, без рахунку життя неможливе. Але як важко інколи дається ця наука! Спробуйте швидко перемножити 65 на 23? Чи не виходить? Рука сама тягнеться за мобільним телефоном з калькулятором. А тим часом напівграмотні російські селяни 200 років тому спокійно робили це, користуючись лише першим стовпчиком таблиці множення - множенням на два. Чи не вірите? А дарма. Це – реальність.

"Комп'ютер" кам'яного віку

Навіть не знаючи чисел, люди вже намагалися рахувати. Якщо нашим предкам, які мешкали в печерах і носили шкури, треба було помінятися чимось із сусіднім племенем, вони чинили просто: розчищали майданчик і викладали, наприклад, наконечник стріли. Поруч лягала риба чи жменя горіхів. І так доти, доки не закінчувався один із обмінних товарів, або голова "торговельної місії" не вирішував, що вже вистачить. Примітивно, але дуже зручно: і не заплутаєшся, і не обдурять.

З освоєнням скотарства завдання ускладнилися. Велике стадо треба було якось рахувати, щоб знати, чи всі кози чи корови на місці. "Рахунковою машиною" неписьменних, але розумних пастухів став довбаний гарбуз з камінчиками. Як тільки тварина покидала загін, пастух клав у гарбуз камінчик. Увечері стадо поверталося, і пастух виймав по камінчику з кожною твариною, що входила в загін. Якщо гарбуз пустів, він знав, що зі стадом усе гаразд. Якщо залишалися камінці – йшов шукати втрату.

Коли з'явилися цифри, справа пішла веселіше. Хоча ще довго у наших предків у ходу було лише три числівники: "один", "пара" та "багато".

Чи можна вважати швидше за комп'ютер?

Чи обігнати пристрій, який виконує сотні мільйонів операцій за секунду? Неможливо… Але той, хто так говорить, жорстоко лукавить, або просто дещо навмисне не береться до уваги. Комп'ютер - це лише набір мікросхем у пластиці, він не вважає сам по собі.

Поставимо питання по-іншому: чи може людина, рахуючи в умі, випередити того, хто виконує обчислення на комп'ютері? І тут відповідь – так. Адже, щоб отримати відповідь від "чорної валізки", дані в неї необхідно спочатку ввести. Це робитиме людина за допомогою пальців чи голосом. А всі ці дії мають обмеження щодо часу. Непереборні обмеження. Сама природа поставила їхньому людському тілу. Усьому – крім одного органу. Мозок!

Калькулятор вміє виконувати лише дві операції: додавання та віднімання. Множення для нього - це множина, а розподіл - множина віднімання.

Наш мозок чинить по-іншому.

Клас, де навчався майбутній король математики, Карл Гаус, якось отримав завдання: скласти всі числа від 1 до 100. Карл написав на своїй дошці абсолютно правильну відповідь, як тільки вчитель перестав пояснювати завдання. Він не став старанно складати числа по порядку, як вчинив би будь-який комп'ютер, що поважає себе. Він застосував відкриту ним самим формулу: 101 х 50 = 5050. І це далеко не єдиний прийом, який прискорює обчислення в умі.

Найпростіші прийоми швидкого рахунку

Їх вивчають у школі. Найпростіше: якщо вам потрібно додати до будь-якого числа 9, додаєте 10 і віднімає 1, якщо 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) і т.д.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Швидко та зручно.

Двозначні числа складаються так само легко. Якщо в другому доданку остання цифра більша за п'ять, число округляється до наступного десятка, а потім "зайве" віднімається. 22 + 47 = 22 + 50 - 3 = 69. Якщо ключова цифра менша за п'ятірку, то треба скласти спершу десятки, потім одиниці: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.

З тризначними числамитак само немає ніяких труднощів. Складаємо їх, як читаємо, зліва направо: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Набагато простіше, ніж у стовпчик. І набагато швидше.

А віднімання? Принцип той же: віднімається округляємо до цілого і додаємо недостатнє: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 – 27 = 43 – 30 + 3 = 16. Швидше ніж на калькуляторі – і жодних претензій від вчителя навіть під час контрольної!

Чи потрібно вивчати таблицю множення?

Діти цього зазвичай терпіти не можуть. І правильно роблять. Нема чого її вчити! Але не поспішайте обурюватись. Ніхто не стверджує, що таблицю не треба знати.

Її винахід приписують Піфагору, але, швидше за все, великий математиклише надав закінчену, лаконічну форму з того що вже було відомо. На розкопках давньої Месопотаміїархеологи знайшли глиняні таблички із сакраментальним: "2 х 2". Люди давно користуються цією в вищого ступенязручною системою обчислень і відкрили безліч способів, які допомагають осягнути внутрішню логіку та красу таблиці, зрозуміти – а не тупо, механічно зазубрити.

У стародавньому Китаїтаблицю починали вивчати з множення на 9. Так простіше, і не в останню чергу тому, що множити на 9 можна "на пальцях".

Покладіть обидві руки на стіл долонями вниз. Перший ліворуч палець - 1, другий - 2 і т.д. Допустимо, вам потрібно вирішити приклад 6 х 9. Підніміть шостий палець. Пальці зліва покажуть десятки, праворуч – одиниці. Відповідь 54.

Приклад: 8 х 7. Ліва рука- Перший множник, права - другий. На руці п'ять пальців, а нам потрібно 8 та 7. Загинаємо на лівій руці три пальці (5+3=8), на правій 2 (5+2=7). Загнутих пальців у нас п'ять, отже, п'ять десятків. Тепер перемножимо ті, що залишилися: 2 х 3 = 6. Це одиниці. Усього 56.

Це лише один із найпростіших прийомів "пальцевого" множення. Їх багато. "На пальцях" можна оперувати числами до 10000!

У "пальцевої" системи є бонус: дитина сприймає її як веселу гру. Займається охоче, відчуває масу позитивних емоційі в результаті дуже швидко починає робити всі операції в розумі, без допомоги пальців.

Ділити також можна за допомогою пальців, але це трохи складніше. Програмісти досі користуються руками, щоб перевести числа з десяткової системи в двійкову - це зручніше і швидше, ніж на комп'ютері. Але в рамках шкільної програминавчитися швидко ділити можна навіть без пальців, в умі.

Допустимо, потрібно вирішити приклад 91: 13. Стовпчик? Немає потреби забруднити папір. ділимо закінчується на одиницю. А дільник – на трійку. Що там у таблиці множення найперше, де задіяна трійка, а закінчується на одиницю? 3 х 7 = 21. Сімка! Ось і все, ми її зловили. Треба 84: 14. Згадуємо таблицю: 6 х 4 = 24. Відповідь – 6. Просто? Ще б пак!

Чарівність числа

Більшість прийомів швидкого рахунку схожі на фокуси. Взяти хоча б найвідоміший прикладмноження на 11. Щоб, наприклад, 32 х 11 потрібно написати 3 та 2 по краях, а в середину поставити їхню суму: 352.

Для множення двоцифрового числа на 101 треба просто записати число двічі. 34 х 101 = 3434.

Для множення числа на 4 потрібно двічі помножити на 2. Для розподілу - двічі розділити на 2.

Багато дотепних і, головне, швидких прийомів допомагають зводити число до ступеня, отримувати квадратний корінь. Знамениті "30 прийомів Перельмана" для математично мислячих людейбудуть крутіші за шоу Коперфільда, бо вони ще й РОЗУМІЮТЬ що відбувається, і як воно відбувається. Ну а решта може просто насолоджуватися красивим фокусом. Наприклад, потрібно перемножити 45 на 37. Напишемо числа на аркуші та розділимо їх вертикальною рисою. Ліве число ділимо на 2, відкидаючи залишок, доки отримаємо одиницю. Праве - множимо доти, доки кількість рядків у стовпчику не зрівняється. Потім викреслюємо з правого стовпчика всі ті числа, навпроти яких у лівому стовпчику вийшов парний результат. Решта числа з правого стовпчика складаємо. Вийде 1665. Перемножте числа звичним способом. Відповідь зійдеться.

"Зарядка" для розуму

Прийоми швидкого рахунку здатні здорово полегшити життя і дитині в школі, і мамі в магазині чи кухні, татові на виробництві чи офісі. Але ми віддаємо перевагу калькулятору. Чому? Не любимо напружуватися. Нам важко пам'ятати, навіть двозначні, в голові. Чомусь не тримаються.

Спробуйте вийти на середину кімнати та сісти на шпагат. Чомусь "не саджається", так? А гімнаст робить це абсолютно спокійно, не напружуючись. Тренуватися треба!

Найпростіший спосіб тренування і одночасно розминки мозку: усний рахунок вголос (обов'язково!) через число до ста і назад. Вранці, стоячи під душем, або готуючи сніданок, порахуйте: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Можна вважати за три, за вісім - головне, робити це вголос. Всього через пару тижнів регулярних занять ви здивуєтеся, наскільки ПРОЩЕ буде поводитися з числами.