Виведення похідної тригонометричних функцій. Похідні зворотних тригонометричних функцій

Навігація на сторінці.

Похідна постійною.

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо , де x – будь-яке дійсне число, тобто, x – будь-яке число в галузі визначення функції . Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз , який є , оскільки у чисельнику перебуває не нескінченно мала величина, саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функції дорівнює нулю по всій області визначення.

приклад.

Знайти похідні наступних постійних функцій

Рішення.

У першому випадку ми маємо похідну натурального числа 3 , у другому випадку нам доводиться брати похідну від параметра а , який може бути будь-яким дійсним числом, у третьому - похідну ірраціонального числа , у четвертому випадку маємо похідну нуля (нуль є цілим числом), у п'ятому - Похідну раціонального дробу.

Відповідь:

Похідні всіх цих функцій дорівнюють нулю для будь-якого дійсного x (на всій області визначення)

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функціїмає вигляд де показник ступеня p – будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Будемо користуватися визначенням похідної. Запишемо межу відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Слід розглянути два випадки: при позитивних і негативних x .

Спочатку будемо вважати. У цьому випадку. Виконаємо логарифмування рівності на основі e і застосуємо властивість логарифму:

Прийшли до явно заданої функції. Знаходимо її похідну:

Залишилося провести доказ для негативних x.

Коли показник p є парне число, то статечна функція визначена і при , причому є парною (дивіться розділ ). Тобто, . У цьому випадку також можна використовувати доказ через логарифмічну похідну.

Коли показник p є непарне число, то статечна функція визначена і при , причому є непарною. Тобто, . У цьому випадку логарифмічну похідну використовувати не можна. Для доказу формули у цьому випадку можна скористатися правилами диференціювання та правилом знаходження похідної складної функції:

Останній перехід можливий через те, що якщо p - непарне число, то p-1 або парне число, або нуль (при p=1 ), тому, для негативних x справедлива рівність .

Таким чином, формула похідної статечної функції доведена для будь-якого дійсного p .

приклад.

Знайти похідні функції.

Рішення.

Першу і третю функцію наведемо до табличного виду, використовуючи властивості ступеня, і застосуємо формулу похідної статечної функції:

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Прийшли до невизначеності. Для її розкриття введемо нову змінну, причому при. Тоді. В останньому переході ми використали формулу переходу до нової основи логарифму.

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin x є cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

При вирішенні завдань диференціювання ми постійно звертатимемося до таблиці похідних основних функцій, інакше навіщо ми її становили і доводили кожну формулу. Рекомендуємо запам'ятати всі ці формули, надалі це заощадить Вам багато часу.

Усі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.

Наведемо зведену таблицю для зручності та наочності щодо теми.

Константаy = C

Ступінна функція y = x p

(x p) " = p · x p - 1

Показова функціяy = a x

(a x) " = a x · ln a

Зокрема, приa = eмаємо y = e x

(e x) " = e x

Логарифмічна функція

(log a x) "= 1 x · ln a

Зокрема, приa = eмаємо y = ln x

(ln x) " = 1 x

Тригонометричні функції

(sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Зворотні тригонометричні функції

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c t g x) " = - 1 1 + x 2

Гіперболічні функції

(s h x) "= c h x (c h x)" = s h x (t h x) "= 1 c h 2 x (c t h x)" = - 1 s h 2 x

Розберемо, як було отримано формули зазначеної таблиці чи, інакше кажучи, доведемо висновок формул похідних кожному за виду функций.

Похідна постійною

Доказ 1

Для того щоб вивести цю формулу, візьмемо за основу визначення похідної функції в точці. Використовуємо x 0 = x , де xприймає значення будь-якого дійсного числа, або, інакше кажучи, xє будь-яким числом області визначення функції f (x) = C . Складемо запис межі відношення збільшення функції до збільшення аргументу при ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Зауважте, що під знак межі потрапляє вираз 0 ∆ x . Воно не є невизначеністю «нуль ділити на нуль», оскільки в чисельнику записана не нескінченно мала величина, а саме нуль. Інакше висловлюючись, збільшення постійної функції завжди є нуль.

Отже, похідна постійної функції f(x) = C дорівнює нулю по всій області визначення.

Приклад 1

Дано постійні функції:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Рішення

Опишемо задані умови. У першій функції бачимо похідну натурального числа 3 . У наступному прикладі необхідно брати похідну від а, де а- будь-яке дійсне число. Третій приклад задає нам похідну ірраціонального числа 4 . 13 7 22 четвертий - похідну нуля (нуль - ціле число). Нарешті, у п'ятому випадку маємо похідний раціональний дроб - 8 7 .

Відповідь:похідні заданих функційє нуль за будь-якого дійсного x(на всій області визначення)

f 1 "(x) = (3)" = 0, f 2 "(x) = (a)" = 0, a ∈ R, f 3 "(x) = 4. 13 7 22 " = 0, f 4 "(x) = 0" = 0, f 5 "(x) = - 8 7" = 0

Похідна статечної функції

Переходимо до статечної функції та формули її похідної, що має вигляд: (x p) " = p · x p - 1 де показник ступеня pє будь-яким дійсним числом.

Доказ 2

Наведемо доказ формули, коли показник ступеня – натуральне число: p = 1, 2, 3, …

Знову спираємось на визначення похідної. Складемо запис межі відношення збільшення статечної функції до збільшення аргументу:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Щоб спростити вираз у чисельнику, використовуємо формулу бінома Ньютона:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2+. . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p

Таким чином:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - 1 + 0 .

Так, ми довели формулу похідної статечної функції, коли показник ступеня – натуральне число.

Доказ 3

Щоб навести доказ для випадку, коли p -будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, використовуємо логарифмічну похідну (тут слід розуміти на відміну від похідної логарифмічної функції). Щоб мати більш повне розуміння бажано вивчити похідну логарифмічної функції та додатково розібратися з похідною неявно заданої функції та складної похідної функції.

Розглянемо два випадки: коли xпозитивні і коли xнегативні.

Отже, x> 0 . Тоді: x p > 0. Логарифмуємо рівність y = x p за основою e і застосуємо властивість логарифму:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

На цьому етапі отримали неявно задану функцію. Визначимо її похідну:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y" = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Тепер розглядаємо випадок, коли x –негативне число.

Якщо показник pє парне число, то статечна функція визначається при x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Тоді x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Якщо pє непарне число, тоді статечна функція визначена і при x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Останній перехід можливий через те, що якщо p- непарне число, то p - 1або парне число, або нуль (при p = 1), тому, при негативних xправильна рівність (- x) p - 1 = x p - 1 .

Отже, ми довели формулу похідної статечної функції за будь-якого дійсного p .

Приклад 2

Дано функції:

f 1 (x) = 1 x 2 3 f 2 (x) = x 2 - 1 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12

Визначте їх похідні.

Рішення

Частину заданих функцій перетворимо на табличний вигляд y = x p , спираючись на властивості ступеня, а потім використовуємо формулу:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 "(x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 "( x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84

Похідна показової функції

Доказ 4

Виведемо формулу похідної, взявши за основу визначення:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Ми здобули невизначеність. Щоб розкрити її, запишемо нову змінну z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). У такому разі a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для останнього переходу використано формулу переходу до нової основи логарифму.

Здійснимо підстановку у вихідну межу:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Згадаймо другу чудову межу і тоді отримаємо формулу похідної показової функції:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Приклад 3

Дано показові функції:

f 1 (x) = 2 3 x f 2 (x) = 5 3 x f 3 (x) = 1 (e) x

Потрібно знайти їх похідні.

Рішення

Використовуємо формулу похідної показової функції та властивості логарифму:

f 1 "(x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x

Похідна логарифмічна функція

Доказ 5

Наведемо доказ формули похідної логарифмічної функції будь-яких xв області визначення та будь-яких допустимих значеннях підстави алогарифму. Спираючись на визначення похідної, отримаємо:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

З зазначеного ланцюжка рівностей видно, що перетворення будувалися з урахуванням властивості логарифму. Рівність lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e є вірною відповідно до другої чудової межі.

Приклад 4

Задано логарифмічні функції:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Необхідно обчислити їх похідні.

Рішення

Застосуємо виведену формулу:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x · ln (ln 3); f 2 "(x) = (ln x)" = 1 x · ln e = 1 x

Отже, похідна натурального логарифмує одиниця, поділена на x.

Похідні тригонометричних функцій

Доказ 6

Використовуємо деякі тригонометричні формулиі перша чудова межа, щоб вивести формулу похідної тригонометричної функції.

Згідно з визначенням похідної функції синуса, отримаємо:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Формула різниці синусів дозволить нам зробити такі дії:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Нарешті, використовуємо першу чудову межу:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Отже, похідної функції sin xбуде cos x.

Цілком також доведемо формулу похідної косинуса:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Тобто. похідний функції cos x буде - sin x.

Формули похідних тангенсу та котангенсу виведемо на основі правил диференціювання:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Похідні зворотних тригонометричних функцій

Розділ про похідну зворотних функцій дає вичерпну інформацію про доказ формул похідних арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, тому дублювати матеріал тут не будемо.

Похідні гіперболічних функцій

Доказ 7

Виведення формул похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу здійснимо за допомогою правила диференціювання та формули похідної показової функції:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Представлені похідні зворотних тригонометричних функційта виведення їх формул. Також дано висловлювання похідних вищих порядків. Посилання на сторінки з докладнішим викладом виведення формул.

Зміст

також: Зворотні тригонометричні функції, їх графіки та формули

Спочатку виведемо формулу похідної арксинусу. Нехай
y = arcsin x.
Оскільки арксинус є функцією, зворотною до синуса, то
.
Тут y - функція від x. Диференціюємо по змінній x:
.
Застосовуємо:
.
Отже, ми знайшли:
.

Оскільки, то. Тоді
.
І попередня формула набуває вигляду:
. Звідси
.

Точно таким способом можна отримати формулу похідної арккосинусу. Однак простіше скористатися формулою, що зв'язує зворотні тригонометричні функції:
.
Тоді
.

Докладніше виклад представлено на сторінці “Виведення похідних арксинусу та арккосинусу”. Там дається виведення похідних двома способами- розглянутим вище та за формулою похідної зворотної функції.

Виведення похідних арктангенсу та арккотангенсу

У такий же спосіб знайдемо похідні арктангенсу та арккотангенсу.

Нехай
y = arctg x.
Арктангенс є функція, обернена до тангенсу:
.
Диференціюємо по змінній x:
.
Застосовуємо формулу похідної складної функції:
.
Отже, ми знайшли:
.

Похідна арккотангенса:
.

Похідні арксинусу

Нехай
.
Похідну першого порядку від арксинусу ми вже знайшли:
.
Диференціюючи, знаходимо похідну другого порядку:
;
.
Її також можна записати у такому вигляді:
.
Звідси отримуємо диференціальне рівняння, якому задовольняють похідні арксинусу першого та другого порядків:
.

Диференціюючи це рівняння, можна знайти похідні найвищих порядків.

Похідна арксинуса n-го порядку

Похідна арксинуса n-го порядку має такий вигляд:
,
де - багаточлен ступеня. Він визначається за формулами:
;
.
Тут.

Багаточлен задовольняє диференціальне рівняння:
.

Похідна арккосинусу n-го порядку

Похідні для арккосинусу виходять із похідних для арксинусу за допомогою тригонометричної формули:
.
Тому похідні цих функцій відрізняються лише знаком:
.

Похідні арктангенсу

Нехай. Ми знайшли похідну арккотангенсу першого порядку:
.

Розкладемо дріб на найпростіші:

.
Тут - уявна одиниця, .

Диференціюємо раз і наводимо дріб до спільного знаменника:

.

Підставляючи , отримаємо:
.

Похідна арктангенса n-го порядку

Таким чином, похідну арктангенса n-го порядку можна уявити декількома способами:
;
.

Похідні арккотангенсу

Нехай тепер. Застосуємо формулу, що зв'язує зворотні тригонометричні функції:
.
Тоді похідна n-го порядку від арккотангенсу відрізняються лише знаком від похідної арктангенсу:
.

Підставивши, знайдемо:
.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

також:

Диференціальне обчислення функції однієї змінної

1. Вступ

Математичний аналіз– галузь математики, що оформилася у ХVIII столітті і включає дві основні частини: диференціальне і інтегральне числення. Похідна функції – одне з основних математичних понять диференціального обчислення. Аналіз виник завдяки зусиллям багатьох математиків (насамперед І. Ньютона і Р. Лейбніца) і зіграв величезну роль розвитку природознавства – з'явився потужний, досить універсальний метод дослідження функцій, що виникають під час вирішення різноманітних прикладних завдань.

2. Числова функція. Схема дослідження функції.

(Дивись конспекти на тему «Ступінна функція»)

1) Область визначення функції.

2) Безліч значень функції.

3) парність, непарність функції.

4) Монотонність функції.

5) Оборотність функції.

6) Нулі функції.

7) Проміжки знакостійності функції.

8) Обмеженість функції.

Вправи:

Знайти область визначення функції:

а); б); в) .

а); б); г).

3. Поняття межі функції у точці.

Розглянемо графіки деяких функцій. Вивчимо поведінку функцій поблизу точки х 0 , тобто в деякій околиці точки х 0 .

Мал. 1. Мал. 2. Мал. 3.

Функція має властивість, що відрізняє її від двох інших функцій.

1. При наближенні аргументу хдо х 0ліворуч і праворуч відповідні значення функції як завгодно близькі до одного і того ж числа А.

Цією властивістю не мають дві інші функції.

2. При наближенні аргументу хдо х 0ліворуч відповідні значення функції як завгодно близькі до А, а при наближенні аргументу хдо х 0праворуч відповідні значення функції як завгодно близькі до У.

3. Функція при наближенні аргументу хдо х 0ліворуч і праворуч приймає різні значення.

Висновок: Якщо при наближенні аргументу х до х 0 ліворуч і праворуч точки з координатами як завгодно близькі до точки з координатами, то.

приклад: Чи має функція межа в точках х 1, х 2, х 3, х 4, х 5?

Відповідь: Функція має межу в точках х1, х3;

функція не має межі в точках х2, х4, х5.

Зауваження:

4. Визначення функції безперервної в точці та на проміжку

Поняття безперервності функції зручно пов'язати з уявленням про графік цієї функції як про «нерозривну» (суцільну) лінію. Суцільною лінією вважатимемо лінію, накреслену без відриву олівця від паперу.

Питання: Які з цих функцій є безперервними?

Мал. 1. Мал. 2. Мал. 3.

Мал. 4. Мал. 5.

Відповідь: З даних функцій безперервною є функція, зображена на рис. №3, оскільки її графік – «нерозривна» (суцільна) лінія.

Питання: Які властивості має функція, зображена на рис. №3, і не мають інші функції?

Відповідь:

1. Функція визначена у точці х 0 . Ця властивість не виконується для функції, зображеної на рис. №1.

2. Існує кінцева межа функції у точці х 0 . Ця властивість не виконується для функцій, зображених на рис. №2, 5.

3. Межа функції у точці х 0 дорівнює значенню функції у цій точці, тобто . Ця властивість не виконується для функції, зображеної на рис. №4.

Властивості, що виконуються для функції, зображеної на рис. №3, і дають можливість дати визначення безперервної функції в точці х 0 .

Визначення: Функція називається безперервною в точці х 0, якщо .

Зауваження: Якщо функція є безперервною у точці х 0, то крапка х 0 називається точкою безперервності функції, якщо функція не є безперервною в точці х 0, то крапка х 0 називається точкою розриву функції.

Визначення: Функція називається безперервною на інтервалі, якщо вона безперервна у кожній точці цього інтервалу.

5. Збільшення аргументу, збільшення функції

Нехай задана функція , .

х 0 –початкове значення аргументу;

х-кінцеве значення аргументу;

f (х 0) –початкове значення функції;

f(х 0 +D х) -кінцеве значення функції.

Визначення: Різниця кінцевого та початкового значень аргументу називається збільшенням аргументу D х = х - х 0

Визначення: Різниця кінцевого та початкового значень функції називається збільшенням функції. D у = f(х 0 + D х) - f (х 0)

Зауваження:

Геометрично збільшення аргументу D х- є різниця абсцис точок графіка функції, що відповідають кінцевому та початковому значенням аргументу.
Геометрично збільшення функції D у- є різниця ординат точок графіка функції, що відповідають кінцевому та початковому значенням аргументу.
Збільшення аргументу та збільшення функції можуть бути як позитивними, так і негативними.

6. Поняття похідної функції. Фізичний змістпохідної функції

Розглянемо задачу про швидкість зміни функції, де х і у можуть бути будь-якими фізичними величинами.

х 0 –початкове значення аргументу; f (х 0) – початкове значення функції;

х 0 +D х –кінцеве значення аргументу; f(х 0 +D х) - кінцеве значення функції;

D у = f(х 0 + D х) - f (х 0) -збільшення функції;

– середня швидкість зміни функції на інтервалі D х .

– миттєва швидкість зміни функції, швидкість зміни функції у точці х 0.

Визначення: Похідні функції в точці. х 0називається межа відношення збільшення D уфункції у точці х 0до збільшення D харгументу при прагненні збільшення аргументу нанівець.

Висновок: Похідна функції в точці х 0є швидкість зміни функції у точці х 0.

Теорема: Похідна постійної функції у = су будь-якій точці дорівнює нулю.

Теорема: Похідна функції у = ху будь-якій точці дорівнює одиниці .

Зауваження: Знаходження похідної від цієї функції називається диференціюванням.

7. Правила диференціювання суми, твору, приватної функції

Розглянемо функцію , що складається з двох інших функцій і мають похідні на відрізку :

3) .

Теорема №1: Похідна суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій.

приклад: Обчислити похідну функції

Теорема №2: Похідна твори двох функцій визначається за формулою:

Слідство: Постійний множник можна винести за знак похідної: .

Доказ: .

приклад

Вправи:

2) ;

Похідна статечної функції обчислюється за формулою:

Зауваження: Формула справедлива для статечної функції з будь-яким показником ступеня. ,

приклад: Обчислити похідні функцій:

Висновок: .

Вправи: Обчислити похідні функцій:

; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Теорема №3: Похідна приватного двох функцій визначається за формулою:

Наслідки: ;

приклад: Обчислити похідні функцій:

2) . .

3) . .

Вправи: Обчислити похідні функцій:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6.

;

; 8. ; 9.

8. Поняття складної функції

Правило диференціювання складної функції

Нехай функція визначена на множині, а функція на множині, причому для відповідне значення. Тоді на безлічі визначено функцію, яка називається складною функцією від х (функцією від функції).

Змінну називають проміжним аргументом складної функції.

приклад:

Вправи:

З яких елементарних функційскладаються дані складні функції:

1) ; 2) ;

; 4) .

З цих елементарних функцій скласти складні функції:

1) , ; 2) , ;

3) , . 4) , , .

Висновок: Похідна складної функції дорівнює добутку похідних елементарних функцій, її складових. .

приклад: Обчислити похідні функцій:

- статечна, лінійна; , .

- статечна, квадратична; , .

Вправи: Обчислити похідні функцій:

1. ; 2.

;

3. ; 4. ;

; 6. .

9. Похідна показової, логарифмічної функцій

приклад: Обчислити похідні функцій:

1. . .

2. . .

3. . .

приклад: Обчислити похідні функцій:

1. . .

2. . .

Вправи: Обчислити похідну функції:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. .

10. Похідні тригонометричних функцій

Похідні зворотних тригонометричних функцій

приклад: Обчислити похідні функцій:

1. . .

2. . .

Завдання

. .

Завдання: Обчислити похідну функції.

Вправа: Обчислити похідну функції.

Похідні зворотних тригонометричних функцій

;

Вправи: Обчислити похідні функцій:

1. 2.

3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

10.

11. 12. 13.

11. Геометричний змістпохідної функції

Розглянемо функцію.

На графіку функції візьмемо фіксовану точку та довільну точку . Проведемо січну . Якщо точку М необмежено наближати до точки М 0 за графіком функції , то січна М 0 М буде займати різні положення та при збігу точки М з точкою М 0 січна займе граничне положення М 0 Т тоді пряма М 0 Т буде дотичною до графіка функції у точці М 0 .

Визначення: Стосується графіка функції у точці М 0називається граничне положення М 0 Тсічучою при прагненні точки Мза графіком до точки М0.

b- кут нахилу сіючої М 0 М

a-кут нахилу дотичної М 0 Т до позитивному напрямкуосі абсцис.

Кутовий коефіцієнт січної М 0 М .

Кутовий коефіцієнт дотичної М 0 Т .

Розглянемо прямокутний трикутник М 0 МА (). Тангенс гострого кута прямокутного трикутникадорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого:

Тобто . А значить, .

Визначимо похідну функції у точці х 0 : .

, , отже, .

Висновок: Геометричний зміст похідної функції полягає в тому, що похідна функції при дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою.

приклад:

1. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у точках .

; ; ; ; ; .

Відповідь: ; ; .

2. Знайти кут нахилу дотичної, проведеної графіку функції у точці з абсциссой .

; ; ; ; . паралельна прямий;

Встановимо необхідна умоваіснування екстремуму.

Теорема Ферма: Якщо внутрішня точка х 0в галузі визначення безперервної функціїє точкою екстремуму і в цій точці існує похідна, вона дорівнює нулю.

Зауваження: Однак рівність нуля похідної функції у точці х 0 ще не дає права стверджувати, що х 0 – точка екстремуму функції.

При виведенні першої формули таблиці виходити з визначення похідної функції у точці. Візьмемо, де x- будь-яке дійсне число, тобто, x- Будь-яке число з області визначення функції. Запишемо межу відношення збільшення функції до збільшення аргументу при:

Слід зазначити, що під знаком межі виходить вираз, який не є невизначеністю нуль ділити на нуль, тому що в чисельнику знаходиться не нескінченно мала величина, а саме нуль. Іншими словами, збільшення постійної функції завжди дорівнює нулю.

Таким чином, похідна постійної функціїдорівнює нулю по всій області визначення.

Похідна статечної функції.

Формула похідної статечної функції має вигляд де показник ступеня p- Будь-яке дійсне число.

Доведемо спочатку формулу для натурального показника ступеня, тобто для p = 1, 2, 3, …

Для спрощення виразу в чисельнику звернемося до формули бінома Ньютона:

Отже,

Цим доведено формулу похідної статечної функції для натурального показника.

Похідна показової функції.

Висновок формули похідної наведемо на основі визначення:

Виконаємо підстановку у вихідну межу:

Якщо згадати другу чудову межу, то прийдемо до формули похідної показової функції:

Похідна логарифмічна функція.

Доведемо формулу похідної логарифмічної функції всім xв галузі визначення та всіх допустимих значеннях підстави aлогарифму. За визначенням похідної маємо:

Як Ви помітили, за доказом перетворення проводилися з використанням властивостей логарифму. Рівність справедливо з другого чудової межі.

Похідні тригонометричних функцій.

Для виведення формул похідних тригонометричних функцій нам доведеться згадати деякі формули тригонометрії, а також перша чудова межа.

За визначенням похідної для функції синуса маємо .

Скористаємося формулою різниці синусів:

Залишилося звернутися до першої чудової межі:

Таким чином, похідна функції sin xє cos x.

Абсолютно аналогічно доводиться формула похідної косинуса.

Отже, похідна функції cos xє -sin x.

Виведення формул таблиці похідних для тангенсу та котангенсу проведемо з використанням доведених правил диференціювання (похідна дробу).

Похідні гіперболічні функції.

Правила диференціювання та формула похідної показової функції з таблиці похідних дозволяють вивести формули похідних гіперболічного синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.

Похідна зворотної функції.

Щоб при викладі не було плутанини, давайте позначати в нижньому індексі аргумент функції, за яким виконується диференціювання, тобто це похідна функції f(x)по x.

Тепер сформулюємо правило знаходження похідної зворотної функції.

Нехай функції y = f(x)і x = g(y)взаємно зворотні, визначені на інтервалах та відповідно. Якщо у точці існує кінцева відмінна від нуля похідна функції f(x), то в точці існує кінцева похідна зворотної функції g(y), причому . В іншому записі .

Можна це правило переформулювати для будь-кого xз проміжку, тоді отримаємо .

Перевіримо справедливість цих формул.

Знайдемо зворотну функцію для натурального логарифму (тут y- функція, а x- Аргумент). Дозволивши це рівняння щодо x, отримаємо (тут x- функція, а y- Її аргумент). Тобто, та взаємно зворотні функції.