Паралелограм є чотирикутником, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають із нього і доводяться у вигляді теорем.

Основними властивостями паралелограма є:

• паралелограм - це опуклий чотирикутник;
• у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
• у паралелограма протилежні кути попарно рівні;
• діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Паралелограм - опуклий чотирикутник

Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, решта сторін багатокутника виявляться по одну сторону від цієї прямої.

Нехай дано паралелограм ABCD, у якого AB протилежна сторона CD, а BC - протилежна AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB | CD, BC | AD.

У паралельних відрізків немає загальних точок, вони не перетинаються. Це означає, що CD лежить з одного боку від AB. Оскільки відрізок BC з'єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з'єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать з тієї ж сторони від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.

Аналогічно доводиться, що стосовно іншим сторонам паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.

Протилежні сторони та кути рівні

Однією з властивостей паралелограма є те, що у паралелограмі протилежні сторони та протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дано паралелограм ABCD, то він має AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема в такий спосіб.

Паралелограм є чотирикутником. Отже, має дві діагоналі. Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то кожна з них поділяє його на два трикутники. Розглянемо в паралелограмі ABCD трикутники ABC та ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.

У цих трикутників одна сторона загальна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD, як вертикальні при паралельних BC та AD. Кути BAC та ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB та CD. Отже, ∆ABC = ∆ADC по двох кутах та стороні між ними.

У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD та BC = AD.

Куту B відповідає кут D, тобто ∠B = ∠D. Кут A паралелограма є сумою двох кутів - ∠BAC і ∠CAD. Кут C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Оскільки пари кутів дорівнюють одна одній, то ∠A = ∠C.

Таким чином, доведено, що у паралелограмі протилежні сторони та кути рівні.

Діагоналі діляться навпіл

Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то має дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються у точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.

У цих трикутників сторони AB та CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест, що лежать при паралельних прямих AB і CD. З цієї причини ∠BAE = ∠DCE. Отже, ∆ABE = ∆CDE по двох кутах та стороні між ними.

Також можна помітити, що кути AEB та CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.

Оскільки трикутники ABE і CDE дорівнюють один одному, то рівні і всі відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона другого CE, отже, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізків складає діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.

Паралелограм – чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи (a) на висоту (h). Також можна знайти його площу через дві сторони і кут і через діагоналі.

Властивості паралелограма

1. Протилежні сторони тотожні

Насамперед проведемо діагональ (AC). Виходять два трикутники: (ABC) і (ADC).

Так як \(ABCD \) - паралелограм, то справедливо таке:

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \)як лежачи навхрест.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \)як лежачи навхрест.

Отже, (за другою ознакою: і (AC) - загальна).

І, отже, \(\triangle ABC = \triangle ADC \), то \(AB = CD \) і \(AD = BC \).

2. Протилежні кути тотожні

Згідно з доказом властивості 1ми знаємо, що \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \). Таким чином, сума протилежних кутів дорівнює: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \). Враховуючи, що \(\triangle ABC = \triangle ADC \)отримуємо \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \).

3. Діагоналі розділені навпіл крапкою перетину

за властивості 1ми знаємо, що протилежні сторони тотожні: \(AB = CD). Ще раз відзначимо навхрест рівні кути, що лежать.

Таким чином видно, що \(\triangle AOB = \triangle COD \)за другою ознакою рівності трикутників (два кути та сторона між ними). Тобто, \(BO = OD \) (напроти кутів \(\angle 2 \) і \(\angle 1 \) ) і \(AO = OC \) (напроти кутів \(\angle 3 \) і \( \angle 4 \) відповідно).

Ознаки паралелограма

Якщо лише одна ознака у вашому завданні є, то фігура є паралелограмом і можна використовувати всі властивості даної фігури.

Для кращого запам'ятовування, зауважимо, що ознака паралелограма відповідатиме на наступне запитання Як дізнатися?. Тобто як дізнатися, що задана фігура це паралелограм.

1. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого дві сторони рівні та паралельні

\(AB = CD \); \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- Паралелограм.

Розглянемо докладніше. Чому \(AD||BC\)?

\(\triangle ABC = \triangle ADC \)по властивості 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) як навхрест що лежать при паралельних \(AB \) і \(CD \) і січній \(AC \) .

Але якщо \(\triangle ABC = \triangle ADC \), то \(\angle 3 = \angle 4 \) (лежать навпроти \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) і \(\angle 4 \) - навхрест лежачі теж рівні).

Перша ознака вірна.

2. Паралелограмом є такий чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні

\(AB = CD \), \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) - Паралелограм.

Розглянемо цю ознаку. Ще раз проведемо діагональ (AC).

за властивості 1\(\triangle ABC = \triangle ACD \).

З цього випливає, що: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \)і \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \), тобто (ABCD) - паралелограм.

Друга ознака вірна.

3. Паралелограм є такий чотирикутник, у якого протилежні кути рівні

\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \)- Паралелограм.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(оскільки \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) за умовою).

Виходить, . Але \(\alpha\) і \(\beta\) є внутрішніми односторонніми при січній (AB\).

І те, що \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \)говорить і про те, що \(AD||BC\) .

1. Визначення паралелограма.

Якщо пару паралельних прямих перетнемо іншою парою паралельних прямих, то отримаємо чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

У чотирикутниках ABDС та ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС та AB || CD;

ЕF || МN та ЕМ || FN.

Чотирьохкутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні, називається паралелограмом.

2. Властивості паралелограма.

Теорема. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Нехай є паралелограм ABDС (рис. 225), в якому AB | СD та АС || ВD.

Потрібно довести, що діагональ ділить його на два рівні трикутники.

Проведемо в паралелограмі ABDС діагональ СВ. Доведемо, що \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Сторона СВ загальна цих трикутників; ∠ABC = ∠BCD, як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних AB і СD та січній СВ; ∠ACB = ∠СВD, теж як внутрішні навхрест лежачі кути при паралельних АС і ВD та січній CB.

Звідси \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

Таким же шляхом можна довести, що діагональ AD розділить паралелограм на два рівні трикутники АСD і ABD.

Наслідки:

1 . Протилежні кути паралелограма рівні між собою.

∠А = ∠D, це випливає з рівності трикутників CAB та СDВ.

Аналогічно і ∠С = ∠В.

2. Протилежні сторони паралелограма рівні між собою.

AB = СD та АС = ВD, оскільки це сторони рівних трикутників і лежать проти рівних кутів.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма у точці їх перетину діляться навпіл.

Нехай BC та AD - діагоналі паралелограма AВDС (рис. 226). Доведемо, що АТ = OD та СО = OB.

Для цього порівняємо якусь пару протилежно розташованих трикутників, наприклад \(\Delta\)AOB і \(\Delta\)СОD.

У цих трикутниках AB = СD як протилежні сторони паралелограма;

∠1 = ∠2, як кути внутрішні навхрест лежать при паралельних AB і СD та січній AD;

∠3 = ∠4 з тієї ж причини, тому що AB || СD і СВ – їх січуча.

Звідси випливає, що \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в рівних трикутникахпроти рівних кутів лежать рівні сторони. Отже, АТ = OD та СО = OB.

Теорема 3. Сума кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180 °.

У паралелограмі ABCD проведемо діагональ АС і отримаємо два трикутники ABC та ADC.

Трикутники рівні, оскільки ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (нахрест лежачі кути при паралельних прямих), а сторона АС загальна.
З рівності \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC випливає, що AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Сума кутів, що прилягають до однієї сторони, наприклад, кутів А і D, дорівнює 180° як односторонніх при паралельних прямих.

Визначення

Паралелограмомназивається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

Точку перетину діагоналей паралелограма називають його центром.

Властивості паралелограма:

1. Сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює $180^(\circ)$, а протилежні кути рівні.
2. Протилежні сторони паралелограма рівні.
3. Діагоналі паралелограма перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

Доказ

Нехай дано паралелограм $ABCD$.

1. Зауважимо, що сусідні кути $A$ і $B$ паралелограма є внутрішніми односторонніми при паралельних прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$, тобто їх сума дорівнює $180^\circ$. Аналогічно інших пар кутів.

Якщо $angle A + \angle B=180^\circ$ і $\angle C + \angle B=180^\circ$, то $angle A = \angle C$. Аналогічно, $ angle B = \ angle D $.

2. Розглянемо трикутники $ABC$ та $CDA$. З паралельності протилежних сторін паралелограма випливає, що $ angle BAC = angle DCA $ і $ angle BCA = angle DAC $. Оскільки $AC$ - загальна, то трикутники $ABC$ і $CDA$ рівні за другою ознакою. З рівності трикутників випливає, що $AB=CD$ та $BC=AD$.

3. Оскільки паралелограм - опуклий чотирикутник, його діагоналі перетинаються. Нехай $O$ - точка перетину. З паралельності сторін $BC$ і $AD$ паралелограма випливає, що $angle OAD=angle OCB$ і $aagle ODA=angle OBC$. Враховуючи рівність $BC=AD$ отримаємо, що трикутники $AOD$ і $COB$ дорівнюють другою ознакою. Отже, $AO=CO$ і $DO=BO$, що потрібно.

Ознаки паралелограма:

1. Якщо чотирикутник сума будь-яких двох сусідніх кутів дорівнює $180^(\circ)$, цей чотирикутник - паралелограмм.
2. Якщо чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.
3. Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник - паралелограмм.
4. Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
5. Якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою їх перетину навпіл, цей чотирикутник - паралелограмм.

Доказ

Нехай дано чотирикутник $ABCD$.

1. Зауважимо, що сусідні кути $A$ і $B$ є внутрішніми односторонніми при прямих $AD$ і $BC$ та січній $AB$. Оскільки їх сума дорівнює $180^\circ$, то прямі $AD$ і $BC$ паралельні. Аналогічно інший пари прямих, тобто $ABCD$ - паралелограм за визначенням.

2. Зауважимо, що $angle A + angle B + angle C + angle D = 360 ^ circ $. Якщо $\angle A = \angle C$, а $\angle B = \angle D$, то $\angle A + \angle B=180^\circ$ і аналогічно інших пар сусідніх кутів. Далі використовуємо попередню ознаку.

3. Розглянемо трикутники $ABC$ та $CDA$. Оскільки $AC$ - загальна, з рівності протилежних сторін паралелограма слід, що трикутники $ABC$ і $CDA$ рівні за третьою ознакою. Отже, $ angle BAC = angle DCA $ і $ angle BCA = angle DAC $, звідки слід паралельність протилежних сторін.

4. Нехай $BC$ і $AD$ рівні та паралельні. Розглянемо трикутники $ABC$ та $CDA$. З паралельності прямих випливає, що $ angle BCA = angle DAC $. Оскільки $AC$ - загальна $BC=AD$, то трикутники $ABC$ і $CDA$ рівні за першою ознакою. Отже, $ AB = CD $. Далі використовуємо попередню ознаку.

5. Нехай $O$ - точка перетину діагоналей і $AO=CO$, а $DO=BO$. Враховуючи рівність вертикальних кутів, отримаємо, що трикутники $AOD$ і $COB$ рівні за першою ознакою. Отже, $\angle OAD=\angle OCB$, звідки слід паралельність $BC$ і $AD$. Аналогічно для іншої пари сторін.

Визначення

Чотирьохкутник, в якому є три прямі кути, називається прямокутником.

Властивості прямокутника:

1. Діагоналі прямокутника рівні.

Доказ

Нехай дано прямокутник $ABCD$. Оскільки прямокутник є паралелограмом, його протилежні сторони рівні. Тоді прямокутні трикутники$ABD$ і $DCA$ рівні за двома катетами, звідки слідує, що $BD=AC$.

Ознаки прямокутника:

1. Якщо в паралелограмі є прямий кут, цей паралелограм є прямокутником.
2. Якщо діагоналі паралелограма рівні, цей паралелограм є прямокутником.

Доказ

1. Якщо один із кутів паралелограма прямий, то, враховуючи, що сума сусідніх кутів дорівнює $180^(\circ)$, отримаємо, що прямими є й інші кути.

2. Нехай у паралелограмі $ABCD$ діагоналі $AC$ та $BD$ рівні. Враховуючи рівність протилежних сторін $AB$ і $DC$, отримаємо, що трикутники $ABD$ і $DCA$ рівні за третьою ознакою. Отже, $ angle BAD = angle CDA $, тобто вони прямі. Залишилося скористатися попередньою ознакою.

Визначення

Чотирьохкутник, у якому всі сторони рівні, називається ромбом.

Властивості ромба:

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і є бісектрисами його кутів.

Доказ

Нехай у ромбі $ABCD$ діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються у точці $O$. Оскільки ромб є паралелограмом, $AO=OC$. Розглянемо рівнобедрений трикутник$ ABC $. Так як $ AO $ - медіана проведена до основи, вона є бісектрисою і висотою, що й вимагалося.

Ознаки ромба:

1. Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні, цей паралелограм є ромбом.
2. Якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кута, цей паралелограм є ромбом.

Доказ

Нехай у паралелограмі $ABCD$ діагоналі $AC$ і $BD$ перетинаються у точці $O$. Розглянемо трикутник $ABC$.

1. Якщо діагоналі перпендикулярні, то $BO$ є у трикутнику медіаною та висотою.

2. Якщо діагональ $BD$ містить бісектрису кута $ABC$, то $BO$ є в трикутнику медіаною та бісектрисою.

В обох випадках отримаємо, що трикутник $ ABC $ - рівнобедрений і в паралелограмі сусідні сторони рівні. Отже, він є ромбом, що потрібно.

Визначення

Прямокутник, у якого дві сусідні сторони рівні, називається квадратом.

Ознаки квадрата:

1. Якщо ромб має прямий кут, то цей ромб є квадратом.
2. Якщо у ромба діагоналі рівні, цей ромб є квадратом.

Доказ

Якщо паралелограма є прямий кут чи рівні діагоналі, він є прямокутником. Якщо чотирикутник є прямокутником і ромбом, він - квадрат.

Визначення

Паралелограмомназивається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На малюнку 1 зображено паралелограм $ABCD, ABCD,BC| A D$.

Властивості паралелограма

1. У паралелограмі протилежні сторони дорівнюють: $A B = C D, B C = A D $ (рис 1).
2. У паралелограмі протилежні кути рівні $ angle A = angle C, angle B = angle D $ (рис 1).
3. Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл $A O = O C, B O = O D $ (рис 1).
4. Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює $180^(\circ)$:

$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

Діагоналі та сторони паралелограма пов'язані наступним співвідношенням:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

5. У паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому кутку: $\angle K B H=\angle A$.
6. Бісектриси кутів, що належать до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.
7. Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

Ознаки паралелограма

Чотирикутник $ABCD$ буде паралелограмом, якщо

1. $A B=C D$ і $A B \| C D$
2. $A B=C D$ і $B C=A D$
3. $A O=O C$ і $B O=O D$
4. $\angle A=\angle C$ і $\angle B=\angle D$

Площу паралелограма можна обчислити за однією з наступних формул:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Приклади розв'язання задач

приклад

Завдання.Сума двох кутів паралелограма дорівнює $140^(\circ)$. Знайти більший кут паралелограма.

Рішення.У паралелограмі протилежні кути рівні. Позначимо більший кут паралелограма $ alfa $, а менший кут $ beta $. Сума кутів $\alpha$ і $\beta$ дорівнює $180^(\circ)$, тому задана сума, що дорівнює $140^(\circ)$, це сума двох протилежних кутів, тоді $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Таким чином, менший кут $\beta=70^(\circ)$. Більший кут $\alpha$ знайдемо із співвідношення:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Відповідь.$\alpha=110^(\circ)$

приклад

Завдання.Сторони паралелограма дорівнюють 18 см та 15 см, а висота, проведена до меншої сторони, дорівнює 6 см. Знайти іншу висоту паралелограма.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 2)

За умовою, $a=15$ см, $b=18$ см, $h_(a)=6$ см. Для паралелограма справедливі такі формули для знаходження площі:

$$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$$

Прирівняємо праві частини цих рівностей, і виразимо, з отриманої рівності $h_(b) $:

$$a \cdot h_(a)=b \cdot h_(b) \Rightarrow h_(b)=\frac(a \cdot h_(a))(b)$$

Підставляючи вихідні дані завдання, остаточно отримаємо:

$h_(b)=\frac(15 \cdot 6)(18) \Rightarrow h_(b)=5$ (см)