1 Додаткова побудова, що веде до теореми про середню лінію трикутника, трапеції та властивості подібності трикутників.

І вона дорівнює половині гіпотенузи.
Наслідок 1.
Наслідок 2.

2 Усі прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом – подібні. Погляд на тригонометричні функції.

3 Приклад додаткової побудови – висота, опущена на гіпотенузу. Виведення теореми Піфагора з урахуванням подоби трикутників.

Звідси видно, що

1 Всі прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом – подібні. Погляд на тригонометричні функції.

Трикутники зі сторонами штрихованими і з не штрихованими подібні до рівності двох кутів. Тому звідки

Це означає, що ці відносини залежать лише від гострого кутапрямокутного трикутника і насправді визначають його. Це одна з підстав появи тригонометричних функцій:

Часто запис тригонометричних функцій кута в подібних прямокутних трикутниках наочний запис співвідношень подоби!

2 Приклад додаткової побудови – висота, опущена на гіпотенузу. Виведення теореми Піфагора з урахуванням подоби трикутників.

Опустимо на гіпотенузу AB висоту СН. Маємо три подібні трикутники ABC, AHC і CHB. Запишемо вирази для тригонометричних функцій:

Звідси видно, що . Складаючи, отримуємо теорему Піфагора, оскільки:

Інший доказ теореми Піфагора див. у коментарі до задачі 4.
3 Важливий приклад додаткової побудови – побудова кута, що дорівнює одному з кутів трикутника.

Проводимо з вершини прямого кута відрізок прямий, що становить з катетом CA кут, що дорівнює куту CAB заданого прямокутного трикутника ABC. В результаті отримаємо рівнобедрений трикутник ACM з кутами при основі. Але інший трикутник, що виходить при такій побудові, також буде рівнобедреним, оскільки кожен його кут при основі дорівнює (за властивістю кутів прямокутного трикутника і по побудові - з прямого кута «відняли» кут). З огляду на те, що трикутники BMC і AMC рівнобедрені із загальною стороною MC маємо рівність MB=MA=MC, тобто. MC – медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, і вона дорівнює половині гіпотенузи.
Наслідок 1.Середина гіпотенузи є центром кола, описаного навколо цього трикутника, оскільки вийшло, що середина гіпотенузи рівновіддалена від вершин прямокутного трикутника.
Наслідок 2. Середня лініяпрямокутного трикутника, що з'єднує середину гіпотенузи та середину катета, паралельна протилежному катету і дорівнює його половині.

Опустимо в рівнобедрених трикутниках BMC та AMC висоти MH та MG на основи. Оскільки в рівнобедреному трикутнику, Висота, опущена на основу, є також і медіаною (і бісектрисою), то MH і MG -лінії прямокутного трикутника, що з'єднують середину гіпотенузи з серединами катетів. За побудовою вони виявляються паралельними протилежним катетам і рівні половинам, оскільки трикутники рівні MHC і MGC рівні (причому MHCG – прямокутник). Цей результат є підставою для доказу теореми про середню лінію довільного трикутника і, далі, середньої лінії трапеції та властивості пропорційності відрізків, що відсікаються паралельними прямими на двох прямих, що їх перетинають.

Завдання
Використання властивостей подібності -1
Використання основних властивостей - 2
Використання додаткової побудови 3-4

1 2 3 4

Висота, опущена з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює кореню квадратному з довжин відрізків, на які вона ділить гіпотенузу.

Рішення є очевидним, якщо знати висновок теореми Піфагора з подоби трикутників:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
звідки \(h^2=c_1c_2\).

Знайти геометричне місце точок (ГМТ) перетину медіан різних прямокутних трикутників, гіпотенуза АВ яких зафіксована.

Точка перетину медіан будь-якого трикутника відсікає від медіани одну третину, рахуючи від її перетину з відповідною стороною. У прямокутному трикутникумедіана, проведена з прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи. Тому шукане ГМТ є коло радіусу, що дорівнює 1/6 від довжини гіпотенузи, з центром у середині цієї (фіксованої) гіпотенузи.

Середня лінія трапеції, а особливо її властивості, дуже часто використовуються в геометрії для вирішення задач та доказів тих чи інших теорем.

– це чотирикутник, у якого лише дві сторони паралельні одна одній. Паралельні сторони називають основами (на малюнку 1 - ADі BC), дві інші – бічними (на малюнку ABі CD).

Середня лінія трапеції- Це відрізок, що з'єднує середини її бокових сторін (на малюнку 1 - KL).

Властивості середньої лінії трапеції

Доказ теореми про середню лінію трапеції

Довести, що середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ і паралельна цим основам.

Дана трапеція ABCDіз середньою лінією KL. Для доказу властивостей, що розглядаються, потрібно провести пряму через точки Bі L. На малюнку 2 це пряма BQ. А також продовжити основу ADдо перетину з прямої BQ.

Розглянемо отримані трикутники LBCі LQD:

1. За визначенням середньої лінії KLкрапка Lє серединою відрізка CD. Звідси випливає, що відрізки CLі LDрівні.
2. ∠ BLC = ∠ QLD, оскільки ці кути вертикальні.
3. ∠ BCL = ∠ LDQ, тому що ці кути навхрест лежать при паралельних прямих ADі BCі січеною CD.

З цих 3 рівностей випливає, що розглянуті раніше трикутники LBCі LQDрівні по 1 стороні та двом прилеглим до неї кутам (див. рис. 3). Отже, ∠ LBC = ∠ LQD, BC=DQі найголовніше - BL=LQ => KL, що є середньою лінією трапеції ABCD, також є середньою лінією трикутника ABQ. Відповідно до властивості середньої лінії трикутника ABQотримуємо.

\[(\Large(\text(Подібність трикутників)))\]

Визначення

Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого
(Буки називаються подібними, якщо вони лежать навпроти рівних кутів).

Коефіцієнт подібності (подібних) трикутників - це число, що дорівнює відношенню подібних сторін цих трикутників.

Визначення

Периметр трикутника – це сума довжин усіх сторін.

Теорема

Відношення периметрів двох подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності.

Доказ

Розглянемо трикутники \(ABC\) і \(A_1B_1C_1\) зі сторонами \(a,b,c\) і \(a_1, b_1, c_1\) відповідно (див. рисунок вище).

Тоді \(P_(ABC)=a+b+c=ka_1+kb_1+kc_1=k(a_1+b_1+c_1)=k\cdot P_(A_1B_1C_1)\)

Теорема

Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доказ

Нехай трикутники \(ABC\) і \(A_1B_1C_1\) подібні, причому \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1) = k\). Позначимо літерами \(S\) та \(S_1\) площі цих трикутників відповідно.

Оскільки \(\angle A = \angle A_1\) , то \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)(Теорема про відношення площ трикутників, що мають по рівному куту).

Оскільки \(\dfrac(AB)(A_1B_1) = \dfrac(AC)(A_1C_1) = k\), то \(\dfrac(S)(S_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\cdot\dfrac(AC)(A_1C_1) = k\cdot k = k^2\), Що й потрібно було довести.

\[(\Large(\text(Ознаки подоби трикутників)))\]

Теорема (перша ознака подоби трикутників)

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Доказ

Нехай \(ABC\) і \(A_1B_1C_1\) – трикутники такі, що \(\angle A = \angle A_1\) , \(\angle B = \angle B_1\) . Тоді за теоремою про суму кутів трикутника \(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1 = \angle C_1\), тобто кути трикутника \(ABC\) відповідно дорівнюють кутам трикутника \(A_1B_1C_1\) .

Оскільки \(\angle A = \angle A_1\) і \(\angle B = \angle B_1\) , то \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot AC)(A_1B_1\cdot A_1C_1)\)і \(\dfrac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1)) = \dfrac(AB\cdot BC)(A_1B_1\cdot B_1C_1)\).

З цих рівностей випливає, що \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(BC)(B_1C_1)\).

Аналогічно доводиться, що \(\dfrac(AC)(A_1C_1) = \dfrac(AB)(A_1B_1)\)(використовуючи рівності \(\angle B = \angle B_1\) , \(\angle C = \angle C_1\)).

У результаті, сторони трикутника (ABC) пропорційні подібним сторонам трикутника (A_1B_1C_1), що і потрібно довести.

Теорема (друга ознака подібності трикутників)

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, такі трикутники подібні.

Доказ

Розглянемо два трикутники \(ABC\) і \(A"B"C"\), таких що \(\dfrac(AB)(A"B")=\dfrac(AC)(A"C")\), \(\angle BAC = \angle A"\) . Доведемо, що трикутники \(ABC\) і \(A"B"C"\) – подібні. Враховуючи першу ознаку подібності трикутників, достатньо показати, що \(\angle B = \angle B"\) .

Розглянемо трикутник \(ABC""\) , у якого \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) . Трикутники \(ABC""\) і \(A"B"C"\) подібні за першою ознакою подоби трикутників, тоді \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC"")(A"C")\).

З іншого боку, за умовою \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C")\). З останніх двох рівностей випливає, що (AC = AC """).

Трикутники \(ABC\) і \(ABC""\) рівні по двох сторонах і кут між ними, отже, \(\angle B = \angle 2 = \angle B"\).

Теорема (третя ознака подоби трикутників)

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, такі трикутники подібні.

Доказ

Нехай сторони трикутників \(ABC\) і \(A"B"C"\) пропорційні: \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\). Доведемо, що трикутники (ABC) і (A "B"C") подібні.

Для цього, враховуючи другу ознаку подібності трикутників, достатньо довести, що \(\angle BAC = \angle A"\) .

Розглянемо трикутник \(ABC""\) , у якого \(\angle 1 = \angle A"\) , \(\angle 2 = \angle B"\) .

Трикутники \(ABC""\) і \(A"B"C"\) подібні за першою ознакою подоби трикутників, отже, \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(BC"")(B"C") = \dfrac(C""A)(C"A")\).

З останнього ланцюжка рівностей та умови \(\dfrac(AB)(A"B") = \dfrac(AC)(A"C") = \dfrac(BC)(B"C")\)випливає, що \(BC = BC""\), \(CA = C""A\).

Трикутники \(ABC\) і \(ABC""\) рівні по трьох сторонах, отже, \(\angle BAC = \angle 1 = \angle A"\).

\[(\Large(\text(Теорема Фалеса)))\]

Теорема

Якщо на одній зі сторін кута відзначити рівні між собою відрізки і через їх кінці провести паралельні прямі, ці прямі відсічуть з другого боку також рівні між собою відрізки.

Доказ

Доведемо спочатку лему:Якщо в \(\triangle OBB_1\) через середину \(A\) сторони \(OB\) проведена пряма \(a\parallel BB_1\) , то вона перетне бік \(OB_1\) також у середині.

Через точку \(B_1\) проведемо \(l\parallel OB\). Нехай \ (l cap a = K \) . Тоді \(ABB_1K\) - паралелограм, отже, \(B_1K=AB=OA\) і \(\angle A_1KB_1=\angle ABB_1=\angle OAA_1\); \(\angle AA_1O=\angle KA_1B_1\)як вертикальні. Значить, за другою ознакою \(\triangle OAA_1=\triangle B_1KA_1 \Rightarrow OA_1=A_1B_1\). Лемма доведена.

Перейдемо до підтвердження теореми. Нехай \(OA=AB=BC\) , \(a\parallel b\parallel c\) і потрібно довести, що \(OA_1=A_1B_1=B_1C_1\) .

Таким чином, по даній лемі (OA_1 = A_1B_1). Доведемо, що (A_1B_1=B_1C_1\) . Проведемо через точку \(B_1\) пряму \(d\parallel OC\) , причому нехай \(d cap a = D_1, d cap c = D_2 \) . Тоді \(ABB_1D_1, BCD_2B_1\) - паралелограми, отже, \(D_1B_1=AB=BC=B_1D_2\) . Таким чином, \(\angle A_1B_1D_1=\angle C_1B_1D_2\)як вертикальні, \(\angle A_1D_1B_1=\angle C_1D_2B_1\)як навхрест лежачі, і, отже, за другою ознакою \(\triangle A_1B_1D_1=\triangle C_1B_1D_2 \Rightarrow A_1B_1=B_1C_1\).

Теорема Фалеса

Паралельні прямі відсікають на сторонах кута пропорційні відрізки.

Доказ

Нехай паралельні прямі \(p\parallel q\parallel r\parallel s\)розбили одну з прямих на відрізки (a, b, c, d). Тоді другу пряму ці прямі повинні розбити на відрізки \(ka, kb, kc, kd\) відповідно, де \(k\) - деяке число, цей коефіцієнт пропорційності відрізків.

Проведемо через точку \(A_1\) пряму \(p\parallel OD\) (\(ABB_2A_1\) - паралелограм, отже \(AB=A_1B_2\) ). Тоді \(\triangle OAA_1 \sim \triangle A_1B_1B_2\)по двох кутах. Отже, \(\dfrac(OA)(A_1B_2)=\dfrac(OA_1)(A_1B_1) \Rightarrow A_1B_1=kb\).

Аналогічно проведемо через \(B_1\) пряму \(q\parallel OD \Rightarrow \triangle OBB_1\sim \triangle B_1C_1C_2 \Rightarrow B_1C_1=kc\)і т.д.

\[(\Large(\text(Середня лінія трикутника)))]]

Визначення

Середня лінія трикутника – це відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника.

Теорема

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Доказ

1) Паралельність середньої лінії підставі випливає з доведеної вище леми.

2) Доведемо, що (MN = dfrac12 AC) .

Через точку \(N\) проведемо пряму паралельно \(AB\). Нехай ця пряма перетнула бік \(AC\) у точці \(K\) . Тоді (AMNK) - паралелограм ( \(AM\parallel NK, MN\parallel AK\)за попереднім пунктом). Значить, \ (MN = AK \) .

Т.к. \(NK\parallel AB\) і \(N\) - середина \(BC\), то за теоремою Фалеса \(K\) - середина \(AC\). Отже, (MN = AK = KC = dfrac12 AC) .

Слідство

Середня лінія трикутника відсікає від нього трикутник, подібний до цього з коефіцієнтом \(\frac12\) .

Середня лініяфігур у планіметрії - відрізок, що з'єднує середини двох сторін цієї фігури. Поняття використовується для наступних форм: трикутник, чотирикутник, трапеція.

Енциклопедичний YouTube

1 / 3

✪ 8 клас, 25 урок, Середня лінія трикутника

✪ геометрія СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА Атанасян 8 клас

✪ Середня лінія трикутника | Геометрія 7-9 клас #62 | Інфоурок

Субтитри

Середня лінія трикутника

Властивості

• середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює його половині.
• при перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівних трикутника, Подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.
• середня лінія відсікає трикутник, який подібний до цього, а його площа дорівнює одній четвертій площі вихідного трикутника.
• Три середні лінії трикутника розбиває його на 4 рівних (однакових) трикутника, подібних до вихідного трикутника. Усі 4 такі однакові трикутники називають серединними трикутниками. Центральний із цих 4 однакових трикутників називається додатковим трикутником .

Ознаки

• якщо відрізок паралельний одній зі сторін трикутника і з'єднує середину однієї сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, це середня лінія.

Середня лінія чотирикутника

Середня лінія чотирикутника- Відрізок, що з'єднує середини протилежних сторін чотирикутника.

Властивості

Перша лінія з'єднує дві протилежні сторони. Друга з'єднує 2 інші протилежні сторони. Третя з'єднує центри двох діагоналей (не у всіх чотирикутниках діагоналі пунктом перетину діляться навпіл).

• Якщо у опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.
• Довжина середньої лінії чотирикутника менша за півсуму двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.
• Середини сторін довільного чотирикутника – вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, яке центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньйона;
• Останній пункт означає наступне: У опуклому чотирикутнику можна провести чотири середні лінії другого роду. Середні лінії другого роду- чотири відрізки всередині чотирикутника, що проходять через середини його суміжних сторінпаралельно діагоналям. Чотири середні лінії другого родуопуклого чотирикутника розрізають його на чотири трикутники та один центральний чотирикутник. Цей центральний чотирикутник є паралелограмом Варіньйона.
• Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою загальною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є

Вам цікаво, як можна обчислити та знайти середню лінію трикутника. Тоді за справу.

Знайти довжину середньої лінії трикутника досить легко. Так як у трикутника три сторони, відповідно три кути і можливо при побудові три середніх ліній.

Що являє собою трикутник:

Три сторони (рівносторонній, рівнобедрений)

Три кути (відповідно гострокутний, тупокутний, прямокутний трикутники)

Що таке середня лінія трикутника

Це відрізок. Відрізок з'єднує середину двох сторін трикутника. У будь-якого трикутника три середні лінії.

Властивість 1: Середня лінія трикутника паралельна стороні трикутника і дорівнює його половині. Отже, визначення середньої лінії трикутника досить знати довжину третьої сторони.

Приклад: є трикутник ABCвідомо, що середня сторона КN проведена паралельно АС. Довжина АС = 8 см. AB = 4 см, ВС = 4 см. Отже, для знаходження середньої лінії трикутника достатньо АС/2 і отримати середню лінію трикутника. Відповідь: 4 см середня лінія у заданому трикутнику за існуючими параметрами.

Властивість 2: Якщо трикутнику провести три середніх ліній, то утворюється чотири рівних подібних трикутника. Коефіцієнт дорівнює ½.

Властивість 3: Середня лінія рівностороннього трикутникарозбиває трикутник на трапецію та трикутник.

Приклад розв'язання задачі: Якщо ми намалюємо трикутник, то побачимо, що вгорі трикутника фігура з трьома кутами. Внизу чотирикутника фігура з двома протилежними сторонамиякі паралельні один одному.