Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.
x 1 a 1 + ... + x n a n.
ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1, ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.
chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan notrivial birikmasi bo'lmasa.
Ya'ni, a 1, ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lganda chiziqli mustaqildir.
Ta'rif. a 1, ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan trivial birikmasi mavjud bo'lsa.
Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:
n o'lchovli vektorlar uchun.
n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.
2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.
Ikki chiziqli bog'liq vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.)
3 o'lchovli vektorlar uchun.
Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)
Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi masalalariga misollar:
1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .
Yechim:
Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga ikkinchi qator qo'shing:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, a, b, c vektorlarining chiziqli birikmasi teng bo'ladi. nol vektor, masalan:
A + b + c = 0
va bu a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqligini bildiradi.
Javob: a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Bu vektor tenglamani sistema sifatida yozish mumkin chiziqli tenglamalar
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
ikkinchi qatordan birinchisini ayirish; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga bir soniya qo'shing.
Shaklni ifodalash chaqirdi vektorlarning chiziqli birikmasi A 1 , A 2 ,..., A n imkoniyatlar bilan l 1, l 2 ,...,l n.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligini aniqlash
Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli bog'liq, nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami bo'lsa l 1, l 2 ,...,l n, unda vektorlarning chiziqli birikmasi l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n nol vektorga teng, ya'ni tenglamalar tizimi: nolga teng bo'lmagan yechimga ega.
Raqamlar to'plami l 1, l 2 ,...,l n raqamlardan kamida bittasi bo'lsa, nolga teng l 1, l 2 ,...,l n noldan farq qiladi.
Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligini aniqlash
29.1-misolVektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning chiziqli birikmasi l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n faqat nol sonlar to'plami uchun nol vektorga teng l 1, l 2 ,...,l n , ya'ni tenglamalar tizimi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D noyob nol yechimga ega.
Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqligini tekshiring
Yechim:
1. Biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
2. Gauss usuli yordamida hal qilamiz. Tizimning Jordanano transformatsiyalari 29.1-jadvalda keltirilgan. Hisoblashda tizimning o'ng tomonlari yozilmaydi, chunki ular nolga teng va Iordaniya o'zgarishlari paytida o'zgarmaydi.
3. Jadvalning oxirgi uchta qatoridan asl tizimga ekvivalent hal qilingan tizimni yozing tizim:
4. olamiz umumiy yechim tizimlari:
5. Erkin o'zgaruvchining qiymatini x 3 =1 o'z ixtiyoringiz bilan belgilab, ma'lum bir nolga teng bo'lmagan yechimni olamiz X=(-3,2,1).
Javob: Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan (-3,2,1) sonlar to'plami uchun vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektor -3A 1 +2A 2 +1A 3 =D ga teng. Demak, vektor tizimi chiziqli bog'liq.
Vektor sistemalarining xossalari
Mulk (1)
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda vektorlardan kamida bittasi boshqalar bo'yicha kengaytiriladi va aksincha, agar tizimning kamida bitta vektori boshqalari bo'yicha kengaytirilsa, u holda vektorlar tizimi. chiziqli bog'liqdir.
Ko'chmas mulk (2)
Agar vektorlarning har qanday quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.
Ko'chmas mulk (3)
Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari chiziqli mustaqildir.
Ko'chmas mulk (4)
Nol vektorni o'z ichiga olgan har qanday vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Ko'chmas mulk (5)
M o'lchamli vektorlar tizimi, agar n vektorlar soni ularning o'lchamidan (n>m) katta bo'lsa, har doim chiziqli bog'liqdir.
Vektor tizimining asoslari
Vektor tizimining asosi A 1 , A 2 ,..., A n shunday quyi tizim B 1 , B 2 ,...,B r deyiladi.(B 1,B 2,...,B r vektorlarining har biri A 1, A 2,..., A n vektorlaridan biri), bu quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi;
2. har qanday vektor A j A 1, A 2,..., A n sistema B 1, B 2,..., B r vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.r— bazaga kiritilgan vektorlar soni.
Teorema 29.1 Vektorlar sistemasining birlik asosidagi.Agar m o‘lchamli vektorlar sistemasida m xil E 1 E 2,..., E m birlik vektorlari bo‘lsa, ular sistemaning asosini tashkil qiladi.
Vektorlar sistemasi asosini topish algoritmi
A 1 ,A 2 ,...,A n vektorlar sistemasining asosini topish uchun quyidagilar zarur:
- Vektorlar sistemasiga mos keladigan bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzing A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D
- Bu tizimni olib keling
Vektor sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, kamida bittasi noldan farq qiladigan raqamlar mavjud bo'lsa, tenglik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=" " >.
Agar bu tenglik faqat hammasi bo'lgan holatda bajarilsa, vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil.
Teorema. Vektor tizimi bo'ladi chiziqli bog'liq agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa.
1-misol. Polinom 
polinomlarning chiziqli birikmasidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomlar chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi, chunki polinom https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
2-misol. Matritsa tizimi, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> chiziqli mustaqil, chunki chiziqli birikma tengdir. nol matritsa faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text bo'lganda /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> chiziqli bog'liq.
Yechim.
Keling, ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini yarataylik https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" balandlik = "22">.
Teng vektorlarning bir xil koordinatalarini tenglashtirib, biz https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> ni olamiz.
Nihoyat, olamiz
Va
Tizim noyob trivial yechimga ega, shuning uchun bu vektorlarning chiziqli birikmasi barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan taqdirdagina nolga teng bo'ladi. Shunung uchun bu tizim vektorlar chiziqli mustaqildir.
4-misol. Vektorlar chiziqli mustaqildir. Vektor tizimlari qanday bo'ladi?
a).
;
b).
?
Yechim.
a). Keling, chiziqli birikma yasaymiz va uni nolga tenglashtiramiz
Chiziqli fazoda vektorlar bilan amallar xossalaridan foydalanib, oxirgi tenglikni shaklda qayta yozamiz
Vektorlar chiziqli mustaqil bo'lgani uchun at koeffitsientlari nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni.gif" width="12" height="23 src=">
Olingan tenglamalar tizimi o'ziga xos trivial yechimga ega 
.
Tenglikdan beri (*) faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - chiziqli mustaqil;
b). Keling, tenglikni yarataylik https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)
Shunga o'xshash mulohazalarni qo'llash orqali biz erishamiz
Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish orqali erishamiz
yoki
Oxirgi tizim mavjud cheksiz to'plam echimlar https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Shunday qilib, tenglik uchun nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar to'plami mavjud. ushlab turadi (**)
. Shuning uchun vektorlar sistemasi - chiziqli bog'liq.
5-misol Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil, vektorlar tizimi esa chiziqli bog'liq..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)
Tenglikda (***) . Haqiqatan ham, da, tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.
Munosabatdan (***)
olamiz 
yoki 
belgilaylik 
.
olamiz 
uchun vazifalar mustaqil qaror(tomoshabinlarda)
1. Nol vektorni o'z ichiga olgan tizim chiziqli bog'liqdir.
2. Bitta vektordan iborat tizim A, chiziqli bog'liq bo'ladi, agar va faqat, agar, a=0.
3. Ikki vektordan iborat sistema, agar vektorlar proportsional bo'lsa (ya'ni, ulardan biri ikkinchisidan raqamga ko'paytirilsa) chiziqli bog'liqdir.
4. Agar siz chiziqli bog'liq tizimga vektor qo'shsangiz, siz chiziqli bog'liq tizimga ega bo'lasiz.
5. Agar vektor chiziqli mustaqil tizimdan olib tashlansa, natijada vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'ladi.
6. Agar tizim S chiziqli mustaqil, lekin vektor qo'shilganda chiziqli bog'liq bo'ladi b, keyin vektor b tizim vektorlari orqali chiziqli ifodalangan S.
c). Ikkinchi tartibli matritsalar fazosida , matritsalar tizimi.
10. Vektorlar sistemasi bo'lsin a,b,c vektor fazo chiziqli mustaqildir. isbotlash chiziqli mustaqillik Quyidagi vektor tizimlari:
a).a+b, b, c.
b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– ixtiyoriy raqam
c).a+b, a+c, b+c.
11. Mayli a,b,c- uchburchak hosil bo'lishi mumkin bo'lgan tekislikdagi uchta vektor. Bu vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladimi?
12. Ikki vektor berilgan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Yana ikkita to'rt o'lchovli vektorni toping a3 vaa4 shunday qilib, tizim a1,a2,a3,a4 chiziqli mustaqil edi .
Vazifa 1. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang. Vektorlar tizimi ustunlari vektorlarning koordinatalaridan iborat bo'lgan tizim matritsasi bilan belgilanadi.
.
Yechim. Chiziqli birikma bo'lsin 
nolga teng. Ushbu tenglikni koordinatalarda yozib, biz quyidagi tenglamalar tizimini olamiz:
.
Bunday tenglamalar tizimi uchburchak deyiladi. Uning faqat bitta yechimi bor 
. Shuning uchun vektorlar 
chiziqli mustaqil.
Vazifa 2. Vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang.
.
Yechim. Vektorlar 
chiziqli mustaqil (1-masalaga qarang). Vektor vektorlarning chiziqli birikmasi ekanligini isbotlaylik 
. Vektor kengayish koeffitsientlari 
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi
.
Ushbu tizim, uchburchak kabi, o'ziga xos echimga ega.
Shuning uchun vektorlar sistemasi 
chiziqli bog'liq.
Izoh. 1-masaladagi kabi turdagi matritsalar deyiladi uchburchak , va 2-muammoda - pog'onali uchburchak . Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi haqidagi savol, agar bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan matritsa pog'onali uchburchak bo'lsa, oson hal qilinadi. Agar matritsada bo'lmasa maxsus turi, keyin foydalaning elementar string konvertatsiyalari , ustunlar orasidagi chiziqli munosabatlarni saqlab, uni pog'onali uchburchak shaklga qisqartirish mumkin.
Elementar satr konvertatsiyalari matritsalar (EPS) matritsadagi quyidagi amallar deyiladi:
1) chiziqlarni qayta joylashtirish;
2) qatorni nolga teng bo‘lmagan songa ko‘paytirish;
3) ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan satrga boshqa satr qo'shish.
Vazifa 3. Maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimni toping va vektorlar tizimining darajasini hisoblang
.
Yechim. Keling, EPS yordamida tizimning matritsasini bosqichli uchburchak shaklga keltiraylik. Protsedurani tushuntirish uchun o'zgartiriladigan matritsaning raqami bilan chiziqni belgi bilan belgilaymiz. O'qdan keyingi ustun yangi matritsa satrlarini olish uchun bajarilishi kerak bo'lgan konvertatsiya qilinayotgan matritsa satrlaridagi amallarni bildiradi.
.
Shubhasiz, natijada olingan matritsaning dastlabki ikkita ustuni chiziqli mustaqil, uchinchi ustun - ularning chiziqli birikmasi, to'rtinchisi esa birinchi ikkitasiga bog'liq emas. Vektorlar 
asosiy deyiladi. Ular tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimini tashkil qiladi , tizimning darajasi esa uchta.
Bazis, koordinatalar
Vazifa 4. To‘plamda shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping geometrik vektorlar, uning koordinatalari shartni qanoatlantiradi 
.
Yechim. Toʻplam koordinatadan oʻtuvchi tekislikdir. Tekislikdagi ixtiyoriy bazis ikkita kollinear bo'lmagan vektordan iborat. Tanlangan asosdagi vektorlarning koordinatalari tegishli chiziqli tenglamalar tizimini yechish orqali aniqlanadi.
Ushbu muammoni hal qilishning yana bir yo'li bor, agar siz koordinatalar yordamida asosni topishingiz mumkin.
Koordinatalar 
bo'shliqlar tekislikdagi koordinatalar emas, chunki ular munosabat bilan bog'langan 
, ya'ni ular mustaqil emas. Mustaqil o'zgaruvchilar va (ular erkin deb ataladi) tekislikdagi vektorni yagona aniqlaydi va shuning uchun ularni koordinatalar sifatida tanlash mumkin. Keyin asos 
erkin o'zgaruvchilar to'plamida yotgan va ularga mos keladigan vektorlardan iborat 
Va 
, ya'ni.
Vazifa 5. Fazodagi toq koordinatalari bir-biriga teng bo‘lgan barcha vektorlar to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping.
Yechim. Oldingi masalada bo'lgani kabi, fazodagi koordinatalarni tanlaylik.
Chunki 
, keyin erkin o'zgaruvchilar 
dan vektorni yagona aniqlang va shuning uchun koordinatalar. Tegishli asos vektorlardan iborat.
Vazifa 6. Shaklning barcha matritsalari to‘plamida shu asosdagi vektorlarning bazis va koordinatalarini toping 
, Qayerda 
- ixtiyoriy raqamlar.
Yechim. Har bir matritsa quyidagi shaklda noyob tarzda ifodalanadi:
Bu munosabat vektorning bazisga nisbatan kengayishidir 
koordinatalari bilan 
.
Vazifa 7. Vektorlar sistemasining chiziqli korpusining o‘lchami va asosini toping
.
Yechim. EPS dan foydalanib, biz matritsani tizim vektorlarining koordinatalaridan bosqichli uchburchak shaklga aylantiramiz.
.
Ustunlar 
oxirgi matritsalar chiziqli mustaqil va ustunlar 
ular orqali chiziqli ifodalangan. Shuning uchun vektorlar 
asos hosil qiladi 
, Va 
.
Izoh. Asos noaniq tanlanadi. Masalan, vektorlar 
asosini ham tashkil qiladi 
.
Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar ustida chiziqli amallar uchun turli iboralar yaratish imkonini beradi vektor kattaliklari va ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida ularni o'zgartiring.
Berilgan a 1, ..., a n vektorlar to‘plamiga asoslanib, shakl ifodasini yaratish mumkin
bu yerda a 1, ... va n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli birikmasi a 1, ..., a n. a i, i = 1, n raqamlari ifodalanadi chiziqli birikma koeffitsientlari. Vektorlar to'plami ham deyiladi vektorlar tizimi.
Kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi tushunchasi bilan bog'liq holda berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tavsiflash muammosi paydo bo'ladi. Bundan tashqari, vektorning chiziqli birikma shaklida tasviri mavjud bo'lgan shartlar va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqida tabiiy savollar mavjud.
Ta'rif 2.1. a 1, ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, a 1 , ... , a n koeffitsientlar to'plami bo'lsa, shunday bo'ladi
a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2)
va bu koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas. Belgilangan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil.
Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, u holda, aniqki, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: a 1, ..., va vektorlar. Agar (2.2) tenglikdan barcha a 1, ..., a n koeffitsientlari nolga teng ekanligi kelib chiqsa, n chiziqli mustaqildir.
Quyidagi teorema yangi tushunchaning nima uchun "bog'liqlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb atalishini tushuntiradi va chiziqli bog'liqlikning oddiy mezonini beradi.
2.1 teorema. a 1, ..., va n, n > 1 vektorlari chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.
◄ Zarurlik. Faraz qilaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liq. Chiziqli bog'liqlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, (2.2) tenglikda chapda kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan, a 1. Birinchi atamani tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini odatdagidek belgilarini o'zgartirib, o'ng tomonga o'tkazamiz. Olingan tenglikni a 1 ga bo'lib, biz hosil bo'lamiz
a 1 =-a 2 /a 1 ⋅ a 2 - ... - a n /a 1 ⋅ a n
bular. a 1 vektorining qolgan a 2, ..., a n vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi.
Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha shartlarni o'ng tomondan chapga o'tkazsak, biz 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1, ..., a n koeffitsientlari a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n vektorlarning chiziqli birikmasi, ga teng nol vektor. Ushbu chiziqli kombinatsiyada barcha koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 ta'rifga ko'ra a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli bog'liqlikning ta'rifi va mezoni ikki yoki undan ortiq vektor mavjudligini anglatish uchun tuzilgan. Biroq, bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirish mumkin. Ushbu imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deb aytishingiz kerak. "Bir vektorli tizim chiziqli bog'liq" iborasi bu bitta vektor nolga teng ekanligini anglatishini tushunish oson (chiziqli kombinatsiyada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nolga teng bo'lmasligi kerak).
Chiziqli bog'liqlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Quyidagi uchta bayonot bu talqinni aniqlaydi.
2.2 teorema. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular faqat va agar ular kollinear.
◄ Agar a va b vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ulardan biri, masalan, a, ikkinchisi orqali ifodalanadi, ya'ni. ba'zi haqiqiy sonlar uchun a = lb. 1.7 ta'rifiga ko'ra ishlaydi songa vektorlar, a va b vektorlar kollineardir.
Endi a va b vektorlar kollinear bo'lsin. Agar ularning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Bu vektorlardan biri 0 ga teng bo'lmasin, masalan b vektori. Vektor uzunliklarining nisbatini l bilan belgilaymiz: l = |a|/|b|. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ikkinchi holda, biz l belgisini o'zgartiramiz. Keyin, 1.7 ta'rifini tekshirib, biz a = lb ekanligiga amin bo'lamiz. 2.1 teoremaga ko'ra a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Izoh 2.1. Ikki vektorda, chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: ikkita vektor, agar ulardan biri ikkinchisining ko'paytmasi sifatida raqam bilan ifodalangan bo'lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi. Bu ikki vektorning kollinearligi uchun qulay mezondir.
2.3 teorema. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular bo'lsa koplanar.
◄ Agar uchta a, b, c vektor chiziqli bogʻliq boʻlsa, 2.1-teoremaga koʻra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidir: a = bb + gs. b va c vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiramiz. U holda b, gs vektorlari A nuqtada va bo‘ylab umumiy koordinataga ega bo‘ladi. parallelogramm qoidasiga ko'ra, ularning yig'indisi bular. a vektor kelib chiqishi A bo'lgan vektor bo'ladi va yakun, ya'ni komponent vektorlari asosida qurilgan parallelogrammaning tepasi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni koplanar.
a, b, c vektorlar koplanar bo'lsin. Agar bu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u boshqalarining chiziqli birikmasi bo'lishi aniq. Nolga teng chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya. Shuning uchun biz uchta vektorning barchasi nolga teng emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos boshlandi bu vektorlar umumiy nuqta O. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalari bo'lsin (2.1-rasm). C nuqta orqali O, A va O, B juft nuqtalari orqali o'tuvchi chiziqlarga parallel chiziqlar o'tkazamiz. Kesish nuqtalarini A" va B" deb belgilab, biz OA"CB" parallelogrammini olamiz, shuning uchun OC" = OA" + OB". Vektor OA" va nolga teng bo'lmagan a = OA vektori kollineardir va shuning uchun ularning birinchisini ikkinchisini ko'paytirish orqali olish mumkin. haqiqiy raqam a:OA" = aOA. Xuddi shunday, OB" = bOB, b ∈ R. Natijada, OC" = a OA + bOB ekanligini olamiz, ya'ni c vektor a va b vektorlarning chiziqli birikmasidir. 2.1-teoremaga muvofiq. , a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
2.4 teorema. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
◄ Biz isbotlashni 2.3-teoremadagi kabi sxema bo'yicha bajaramiz. A, b, c va d ixtiyoriy to'rt vektorni ko'rib chiqaylik. Agar to'rt vektordan biri nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi koplanar bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Masalan, a va b vektorlar kollinear bo'lsa, biz ularning chiziqli birikmasini nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan aa + bb = 0 qilib, so'ngra nollarni koeffitsient sifatida qabul qilib, bu birikmaga qolgan ikkita vektorni qo'shishimiz mumkin. Biz 0 ga teng bo'lgan to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.
Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida hech qanday vektor nolga teng emas, ikkitasi kollinear emas va uchtasi koplanar emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Keling, ularni shunday qilib tanlaymiz umumiy boshlanish nuqta O. Keyin a, b, c, d vektorlarning uchlari ba'zi A, B, C, D nuqtalari bo'ladi (2.2-rasm). D nuqtasi orqali biz uchta tekislikni chizamiz, tekisliklarga parallel OBC, OCA, OAB va bu tekisliklarning mos ravishda OA, OB, OS toʻgʻri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalari A", B", C" boʻlsin. OA"C"B"C"B"DA parallelepipedini olamiz. ", va a, b, c vektorlari uning O cho'qqisidan chiquvchi qirralarida yotadi. OC"DC" to'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun, OD = OC" + OC" . O'z navbatida, OC" segmenti diagonali hisoblanadi. parallelogrammasi OA"C"B", shuning uchun OC" = OA" + OB" va OD = OA" + OB" + OC" .
Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA" , OB ≠ 0 va OB" , OC ≠ 0 va OC" juft vektorlari kollineardir va shuning uchun a, b, g koeffitsientlarini shunday tanlash mumkinki, OA" = aOA , OB" = bOB va OC" = gOC. Biz nihoyat OD = aOA + bOB + gOC ni olamiz. Binobarin, OD vektori qolgan uchta vektor orqali ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.
