Kvadrat tenglamalarni yechishda Vyeta teoremasining qo‘llanilishi haqida. Kvadrat tenglamalarni og'zaki yechish va Vyeta teoremasi. Vyeta teoremasidan foydalangan holda tenglamalar

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi aqliy arifmetik ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda ham kvadrat tenglamalarni echishga majbur bo'lishadi va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich “Algebra-8” dasturiga ko‘ra “Vyeta teoremasi. Kvadratning parchalanishi” mavzusini o‘rganish uchun bor-yo‘g‘i ikki soat rejalashtirilgan. trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyilgan: agar tenglamaning va ildizlari bo'lsa, ular uchun , , tengliklari bajariladi. So'ngra Veta teoremasiga qarama-qarshi bayonot tuziladi va ushbu mavzuni mashq qilish uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Aytaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Veta teoremasiga ko'ra, tengliklar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak:

Iltimos, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqam ekanligini unutmang. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, biz tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, yana ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari butun sonlar ijobiy raqamlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikki usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Veta teoremasining ikkinchi bayonotining maqsadga muvofiqligini tekshirib ko'ramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va shuning uchun berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Yuqoridagi kvadrat tenglamani Viet teoremasi yordamida yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko‘rsatamiz:

Vyeta teoremasining bayonini yozing

(*)

tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ko‘paytma va ildizlarning yig‘indisi musbat bo‘lsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar bo‘ladi. Agar ildizlarning ko‘paytmasi musbat son, ildizlarning yig‘indisi manfiy bo‘lsa, u holda ildizlarning ko'paytmasi bo'lsa, ikkala ildiz ham manfiy sonlar salbiy raqam, keyin ildizlar turli belgilarga ega.
Bundan tashqari, agar ildizlarning yig'indisi ijobiy bo'lsa, u holda kattaroq modulga ega bo'lgan ildiz musbat sondir va agar ildizlarning yig'indisi noldan kichik bo'lsa, u holda katta modulli ildiz manfiy sondir);
ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
topilgan sonlar juftligidan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;

javobingizda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, yana bir nechta misollar keltiraylik. .

2-misol: Tenglamani yeching

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot ijobiy, yig'indisi esa manfiy son ekanligini ta'kidlaymiz. Bu ikkala ildiz manfiy sonlar ekanligini anglatadi. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Bu -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi. -2; -5.

Javob: .

2-misol: Tenglamani yeching

3-misol: Tenglamani yeching

Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot salbiy ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlar turli belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Bu eng katta modulga ega bo'lgan ildiz salbiy ekanligini anglatadi. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Ikkinchi raqamlar juftligi -3 ga qo'shiladi. Bu 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi. E'tibor bering, Vieta teoremasi, qoida tariqasida, to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: Agar kvadrat tenglama ildizlari bor va ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi.

Biroq, bu teoremani qo'llash juda muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada ildizlardan kamida bittasi (agar mavjud bo'lsa, albatta) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Lekin hali ham chiqish yo'li bor. To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring A va tenglamani shaklda yozing . Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlarini va (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi yordamida topish mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. Yordamchi qisqartirilgan tenglamani yaratish juda oddiy ekanligini unutmang: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi va uchinchi koeffitsient mahsulotga teng.. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vyeta teoremasidan foydalanib uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

4-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz va Viet teoremasidan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Bu degani, asl tenglamaning ildizlari .

5-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasiga ko'ra, uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topish .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash qiyin emas 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi bilan topiladi va ga teng. Yana bir bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Berilgan kvadrat tenglama uchun ham shunga o'xshash gaplarni shakllantirish mumkin.

6-misol: Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

7-misol. Tenglamani yeching.

Bu tenglamaning koeffitsientlari xossani qanoatlantiradi (haqiqatdan ham, 1-(-999)+(-1000)=0). Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Vyeta teoremasini qo'llashga misollar

1-topshiriq. Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasidan foydalanib yeching.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

2-topshiriq. To‘liq kvadrat tenglamani yordamchi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o‘tish orqali yeching.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

3-topshiriq. Kvadrat tenglamani xossasidan foydalanib yeching.

Vieta teoremasi ko'pincha allaqachon topilgan ildizlarni tekshirish uchun ishlatiladi. Agar siz ildizlarni topgan bo'lsangiz, \(p) qiymatlarini hisoblash uchun \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) formulalaridan foydalanishingiz mumkin. \) va \(q\ ). Va agar ular asl tenglamadagi kabi bo'lib chiqsa, unda ildizlar to'g'ri topilgan.

Masalan, dan foydalanib, \(x^2+x-56=0\) tenglamani yechib, ildizlarini olamiz: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Keling, hal qilish jarayonida xatoga yo'l qo'yganimizni tekshirib ko'ramiz. Bizning holatda, \(p=1\) va \(q=-56\). Vieta teoremasi bo'yicha bizda:

\(\begin(holatlar)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(holatlar)\) \(\Chap o'q\) \(\begin(holatlar)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(holatlar)\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\begin(holatlar)-1=-1\\-56=-56\end(holatlar)\ )

Ikkala bayonot ham birlashdi, ya'ni biz tenglamani to'g'ri yechdik.

Ushbu tekshirish og'zaki ravishda amalga oshirilishi mumkin. Bu 5 soniya davom etadi va sizni ahmoqona xatolardan qutqaradi.

Vietaning qarama-qarshi teoremasi

Agar \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), u holda \(x_1\) va \(x_2\) kvadrat tenglamaning ildizlari \ (x^ 2+px+q=0\).

Yoki oddiy usulda: agar sizda \(x^2+px+q=0\) koʻrinishdagi tenglama boʻlsa, u holda \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot) tizimini yechish. x_2=q\ end(cases)\) uning ildizlarini topasiz.

Ushbu teorema tufayli siz kvadrat tenglamaning ildizlarini tezda topishingiz mumkin, ayniqsa bu ildizlar bo'lsa. Bu mahorat juda muhim, chunki u ko'p vaqtni tejaydi.

Misol . \(x^2-5x+6=0\) tenglamasini yeching.

Yechim : Vietaning teskari teoremasidan foydalanib, biz ildizlarning quyidagi shartlarni qondirishini aniqlaymiz: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tizimning ikkinchi tenglamasiga qarang \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) sonni qaysi ikkitaga ajratish mumkin? \(2\) va \(3\), \(6\) va \(1\) yoki \(-2\) va \(-3\) va \(-6\) va \(- 1\). Tizimning birinchi tenglamasi sizga qaysi juftlikni tanlash kerakligini aytadi: \(x_1+x_2=5\). \(2\) va \(3\) oʻxshash, chunki \(2+3=5\).
Javob : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Misollar . Vyeta teoremasining teskarisidan foydalanib, kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Yechim :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) qanday omillarga ajraladi? \(2\) va \(7\), \(-2\) va \(-7\), \(-1\) va \(-14\), \(1\) va \(14\ ). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(15\) ga teng? Javob: \(1\) va \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) qanday omillarga ajraladi? \(-2\) va \(2\), \(4\) va \(-1\), \(1\) va \(-4\). Qaysi juft raqamlar qo‘shilsa \(-3\) ga teng? Javob: \(1\) va \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) qanday omillarga kengayadi? \(4\) va \(5\), \(-4\) va \(-5\), \(2\) va \(10\), \(-2\) va \(-10\ ), \(-20\) va \(-1\), \(20\) va \(1\). Qaysi juft sonlar qo‘shilsa \(-9\) ga teng? Javob: \(-4\) va \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) qanday omillarga ajraladi? \(390\) va \(2\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Yo'q. \(780\) yana qanday ko'paytirgichlarga ega? \(78\) va \(10\). Ular \(88\) ga qo'shiladimi? Ha. Javob: \(78\) va \(10\).

Oxirgi atamani barcha mumkin bo'lgan omillarga (oxirgi misolda bo'lgani kabi) kengaytirish shart emas. Siz darhol ularning yig'indisi \(-p\) beradimi yoki yo'qligini tekshirishingiz mumkin.

Muhim! Viet teoremasi va teskari teorema faqat , ya'ni \(x^2\) koeffitsienti birga teng bo'lgan teorema bilan ishlaydi. Agar bizga dastlab kamaytirilmagan tenglama berilgan bo'lsa, uni oddiygina \(x^2\) oldidagi koeffitsientga bo'lish orqali qisqartirishimiz mumkin.

Masalan, \(2x^2-4x-6=0\) tenglamasi berilsin va biz Vyeta teoremalaridan birini ishlatmoqchimiz. Lekin biz qila olmaymiz, chunki \(x^2\) koeffitsienti \(2\) ga teng. Keling, butun tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali undan xalos bo'laylik.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Tayyor. Endi siz ikkala teoremadan ham foydalanishingiz mumkin.

Tez-tez beriladigan savollarga javoblar

Savol: Vieta teoremasidan foydalanib, siz biron bir narsani hal qila olasizmi?
Berilgan tenglamaning ildizlari bo'lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot ijobiy, yig'indisi esa manfiy son ekanligini ta'kidlaymiz. Bu ikkala ildiz manfiy sonlar ekanligini anglatadi. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Bu -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi. Afsuski yo'q. Agar tenglamada butun sonlar bo'lmasa yoki tenglamaning ildizlari bo'lmasa, Viet teoremasi yordam bermaydi. Bunday holda siz foydalanishingiz kerak diskriminant . Yaxshiyamki, tenglamalarning 80% maktab kursi matematikada butun yechim bor.

Viet teoremasi (aniqrog'i, teorema teoremaning teskarisi Vieta) kvadrat tenglamalarni echish vaqtini qisqartirishga imkon beradi. Siz uni qanday ishlatishni bilishingiz kerak. Vyeta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishni qanday o'rganish mumkin? Bir oz o'ylab ko'rsangiz qiyin emas.

Endi biz faqat Vyeta teoremasi yordamida qisqartirilgan kvadrat tenglamani yechish haqida gapiramiz, bu a, ya'ni x² koeffitsienti birga teng bo'lgan tenglamadir. Shuningdek, Viet teoremasi yordamida berilmagan kvadrat tenglamalarni yechish mumkin, lekin hech bo'lmaganda ildizlardan biri butun son emas. Ularni taxmin qilish qiyinroq.

Vyeta teoremasiga teskari teorema quyidagicha ifodalanadi: agar x1 va x2 raqamlari shunday bo'lsa,

u holda x1 va x2 kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yechishda faqat 4 ta variant mumkin. Agar siz fikrlash chizig'ini eslasangiz, butun ildizlarni tezda topishni o'rganishingiz mumkin.

I. Agar q musbat son bo‘lsa,

demak, x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlardir (chunki bir xil belgilarga ega sonlarni koʻpaytirishgina ijobiy son hosil qiladi).

I.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (mos ravishda, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (mos ravishda, p>0), keyin ikkala ildiz manfiy sonlar (biz bir xil belgining raqamlarini qo'shdik va manfiy raqam oldik).

II. Agar q manfiy son bo'lsa,

bu x1 va x2 ildizlari turli xil belgilarga ega ekanligini bildiradi (sonlarni ko'paytirishda faqat omillarning belgilari boshqacha bo'lganda manfiy son olinadi). Bunday holda, x1+x2 endi yig'indi emas, balki farqdir (axir, raqamlarni qo'shganda turli belgilar katta moduldan kichikni ayirib tashlaymiz). Demak, x1+x2 x1 va x2 ildizlarning bir-biridan qanchalik farq qilishini, ya’ni bir ildiz ikkinchisidan qanchalik katta ekanligini (mutlaq qiymatda) ko‘rsatadi.

II.a. Agar -p ijobiy son bo'lsa, (ya'ni, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Agar -p manfiy son bo'lsa, (p>0), u holda kattaroq (modulo) ildiz manfiy sondir.

Kvadrat tenglamalarni Vyeta teoremasi yordamida echishni misollar yordamida ko‘rib chiqamiz.

Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasi yordamida yeching:

Bu yerda q=12>0, demak, x1 va x2 ildizlar bir xil ishorali sonlardir. Ularning yig'indisi -p=7>0, shuning uchun ikkala ildiz ham musbat sonlardir. Ko'paytmasi 12 ga teng bo'lgan butun sonlarni tanlaymiz. Bular 1 va 12, 2 va 6, 3 va 4. 3 va 4 juftlik uchun yig'indi 7 ga teng. Bu 3 va 4 tenglamaning ildizi ekanligini bildiradi.

Bu misolda q=16>0, ya'ni x1 va x2 ildizlari bir xil belgili sonlar. Ularning yig'indisi -p=-10 ga teng<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Bu erda q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 bo'lsa, katta raqam ijobiy bo'ladi. Shunday qilib, ildizlar 5 va -3 ga teng.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Fransua Viet (1540-1603) - matematik, mashhur Viet formulalarini yaratuvchisi

Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalarni tez yechish uchun kerak (oddiy so'z bilan aytganda).

Keyinchalik batafsilroq Viet teoremasi shundan iboratki, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan ikkinchi koeffitsientga, ko‘paytma esa erkin hadga teng bo‘ladi. Ildizlari bo'lgan har qanday qisqartirilgan kvadrat tenglama bu xususiyatga ega.

Vyeta teoremasidan foydalanib, kvadrat tenglamalarni tanlab osongina yechish mumkin, shuning uchun keling, baxtli 7-sinfimiz uchun qo‘lida qilich tutgan bu matematikga “rahmat” aytaylik.

Vyeta teoremasining isboti

Teoremani isbotlash uchun siz taniqli ildiz formulalaridan foydalanishingiz mumkin, buning yordamida biz kvadrat tenglamaning ildizlarining yig'indisi va mahsulotini tuzamiz. Shundan keyingina biz ularning teng ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin va shunga mos ravishda .

Aytaylik, bizda tenglama bor: . Bu tenglama quyidagi ildizlarga ega: va. Keling, buni isbotlaylik.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalarga ko'ra:

1. Ildizlarning yig‘indisini toping:

Keling, bu tenglamani ko'rib chiqaylik, biz buni qanday qilib aniqlaganmiz:

= .

1-qadam. Kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirsak, shunday bo'ladi:

= = .

2-qadam. Bizda qavslarni ochishimiz kerak bo'lgan kasr bor:

Biz kasrni 2 ga kamaytiramiz va olamiz:

Kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi munosabatini Viet teoremasi yordamida isbotladik.

2. Ildizlarning hosilasini toping:

= = = = = .

Keling, bu tenglamani isbotlaymiz:

1-qadam. Kasrlarni ko'paytirish qoidasi mavjud, unga ko'ra biz ushbu tenglamani ko'paytiramiz:

Endi biz kvadrat ildizning ta'rifini eslaymiz va hisoblaymiz:

= .

3-qadam. Kvadrat tenglamaning diskriminantini eslaylik: . Shuning uchun, D (diskriminant) o'rniga biz oxirgi kasrni almashtiramiz, keyin shunday bo'ladi:

= .

4-qadam. Qavslarni oching va kasrga o'xshash atamalarni qo'shing:

5-qadam. Biz "4a" ni qisqartiramiz va olamiz.

Shunday qilib, biz Vyeta teoremasidan foydalanib, ildizlarning hosilasi uchun bog'liqlikni isbotladik.

MUHIM!Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama faqat bitta ildizga ega.

Teorema Vyeta teoremasiga teskari

Vyeta teoremasiga teskari teoremadan foydalanib, tenglamamiz to‘g‘ri yechilganligini tekshirishimiz mumkin. Teoremaning o'zini tushunish uchun uni batafsilroq ko'rib chiqish kerak.

Agar raqamlar shunday bo'lsa:

Va keyin ular kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

1-qadam.Uning koeffitsientlarini tenglamaga almashtiramiz:

2-qadam.Tenglamaning chap tomonini aylantiramiz:

3-qadam. Keling, tenglamaning ildizlarini topamiz va buning uchun mahsulot nolga teng bo'lgan xususiyatdan foydalanamiz:

Yoki . Qayerdan keladi: yoki .

Vieta teoremasi yordamida yechimlarga misollar

1-misol

Mashq qilish

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topmasdan turib uning ildizlari yig‘indisini, ko‘paytmasini va kvadratlari yig‘indisini toping.

Yechim

1-qadam. Diskriminant formulasini eslaylik. Biz raqamlarimizni harflar o'rniga qo'yamiz. Ya'ni, , – bu , va ni almashtiradi. Bundan kelib chiqadi:

Ma'lum bo'lishicha:

Title=" QuickLaTeX.com tomonidan ko'rsatilgan" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Keling, ildizlarning kvadratlari yig'indisini ularning yig'indisi va mahsuloti orqali ifodalaymiz:

Javob

7; 12; 25.

2-misol

Mashq qilish

Tenglamani yeching. Biroq, kvadrat tenglama formulalarini ishlatmang.

Yechim

Bu tenglamaning diskriminanti (D) noldan katta bo'lgan ildizlari bor. Shunga ko'ra, Vyeta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari yig'indisi 4 ga teng, mahsulot esa 5 ga teng. Birinchidan, biz sonning bo'luvchilarini aniqlaymiz, ularning yig'indisi 4 ga teng. Bu raqamlar " 5" va "-1". Ularning mahsuloti - 5 ga, yig'indisi esa - 4 ga teng. Bu Veta teoremasiga teskari teoremaga ko'ra, ular ushbu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob

VA 4-misol

Mashq qilish

Har bir ildiz tenglamaning mos ildizidan ikki baravar bo‘lgan tenglamani yozing:

Yechim

Vyeta teoremasiga ko'ra, bu tenglamaning ildizlari yig'indisi 12 ga teng, ko'paytmasi = 7. Bu ikkita ildiz musbat ekanligini anglatadi.

Yangi tenglamaning ildizlari yig'indisi quyidagilarga teng bo'ladi:

Va ish.

Vyeta teoremasiga teskari teorema bo‘yicha yangi tenglama quyidagi ko‘rinishga ega:

Javob

Natijada har bir ildiz ikki barobar katta bo'lgan tenglama hosil bo'ladi:

Shunday qilib, biz Vieta teoremasi yordamida tenglamani qanday echishni ko'rib chiqdik. Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilarini o'z ichiga olgan masalalarni yechsangiz, bu teoremadan foydalanish juda qulaydir. Ya'ni, formuladagi erkin had musbat son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, ularning ikkalasi ham manfiy yoki ijobiy bo'lishi mumkin.

Va agar erkin atama manfiy son bo'lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, ikkala belgi ham boshqacha bo'ladi. Ya'ni, agar bir ildiz ijobiy bo'lsa, boshqa ildiz faqat salbiy bo'ladi.

Foydali manbalar:

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algebra 8-sinf: Moskva "Ma'rifat", 2016 - 318 b.
Rubin A.G., Chulkov P.V. - darslik Algebra 8-sinf: Moskva "Balass", 2015 - 237 p.
Nikolskiy S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. - Algebra 8-sinf: Moskva "Ma'rifat", 2014 yil - 300

Vieta teoremasi, teskari Vyeta formulasi va dummilar uchun yechimlar bilan misollar Yangilangan: 2019 yil 22-noyabr tomonidan: Ilmiy maqolalar.Ru