Fizika, mexanika va texnika fanlarining turli sohalarini o'rganishda ularning son qiymatlarini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadigan miqdorlarga duch keladi. Bunday miqdorlar deyiladi skaler yoki qisqasi, skalyarlar.

Skalyar kattaliklar uzunlik, maydon, hajm, massa, tana harorati va boshqalardir.Har xil masalalarda skalyar kattaliklardan tashqari, ularning son qiymatidan tashqari ularning yo`nalishini bilish ham zarur bo`lgan miqdorlar mavjud. Bunday miqdorlar deyiladi vektor. Vektor kattaliklarining fizik misollari fazoda harakatlanuvchi moddiy nuqtaning siljishi, bu nuqtaning tezligi va tezlanishi, shuningdek, unga ta'sir qiluvchi kuch bo'lishi mumkin.

Vektor kattaliklari vektorlar yordamida ifodalanadi.

Vektor ta'rifi. Vektor - bu ma'lum uzunlikka ega bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltirilgan segmenti.

Vektor ikki nuqta bilan tavsiflanadi. Bir nuqta vektorning boshlanish nuqtasi, ikkinchi nuqta vektorning oxirgi nuqtasidir. Agar vektorning boshini nuqta bilan belgilasak A , vektorning oxiri esa nuqtadir IN , keyin vektorning o'zi belgilanadi. Vektor, shuningdek, ustida chiziqli bitta kichik lotin harfi bilan ham belgilanishi mumkin (masalan, ).

Grafik jihatdan vektor oxirida o'q bo'lgan segment bilan belgilanadi.

Vektorning boshlanishi deyiladi uning qo'llanish nuqtasi. Agar nuqta A vektorning boshlanishi , keyin vektor nuqtada qo'llaniladi, deb aytamiz A.

Vektor ikkita kattalik bilan tavsiflanadi: uzunlik va yo'nalish.

Vektor uzunligi – boshlang'ich nuqtasi A va oxirgi nuqta B orasidagi masofa. Vektor uzunligining boshqa nomi vektorning moduli va belgisi bilan ko'rsatiladi . Vektor moduli belgilangan Vektor , uzunligi 1 ga teng bo'lgan birlik vektor deyiladi. Ya'ni, birlik vektorining sharti

Nolga teng uzunlikdagi vektor nol vektor deb ataladi (belgilangan). Shubhasiz, nol vektor bir xil boshlanish va yakuniy nuqtalarga ega. Nol vektorning aniq yo'nalishi yo'q.

Kollinear vektorlarning ta'rifi. Bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda joylashgan vektorlar kollinear deyiladi .

E'tibor bering, kollinear vektorlar turli uzunliklarga va turli yo'nalishlarga ega bo'lishi mumkin.

Teng vektorlarni aniqlash. Ikki vektor teng deb ataladi, agar ular to'g'ri chiziqli, bir xil uzunlik va bir xil yo'nalishga ega bo'lsa.

Bunday holda ular yozadilar:

Izoh. Vektorlar tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki, vektorni fazoning istalgan nuqtasiga (xususan, tekislikka) qo'yib, uni parallel ravishda o'tkazish mumkin.

Barcha nol vektorlar teng deb hisoblanadi.

Qarama-qarshi vektorlarni aniqlash. Ikki vektor qarama-qarshi deb ataladi, agar ular to'g'ri chiziqli bo'lsa, uzunligi bir xil, lekin qarama-qarshi yo'nalishga ega.

Bunday holda ular yozadilar:

Boshqacha qilib aytganda, vektorga qarama-qarshi vektor sifatida belgilanadi.

m dan n gacha bo'lgan o'lchamlar matritsasi.

Matritsa oʻlcham m dan n gacha — m ta satr va n ta ustundan iborat boʻlgan va dumaloq yoki toʻrtburchak yoki qoʻsh shaklda olingan toʻrtburchaklar jadval koʻrinishida yozilgan mn haqiqiy son yoki boshqa strukturaning elementlari (koʻpnomlar, funksiyalar va boshqalar) yigʻindisi. tekis qavslar. Bunday holda, raqamlarning o'zi matritsa elementlari deb ataladi va har bir element ikkita raqam bilan bog'lanadi - satr raqami va ustun raqami n dan n gacha bo'lgan matritsa deb ataladi kvadrat n-tartibli matritsa, ya'ni. qatorlar soni ustunlar soniga teng. Uchburchak - asosiy diagonaldan past yoki yuqoridagi barcha elementlar nolga teng bo'lgan kvadrat matritsa deyiladi diagonal , agar uning diagonaldan tashqari barcha elementlari nolga teng bo'lsa. Skalyar matritsa - asosiy diagonal elementlari teng bo'lgan diagonal matritsa. Skalar matritsaning alohida holati identifikatsiya matritsasi hisoblanadi. Diagonal barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo'lgan matritsa deyiladi yagona matritsa va I yoki E belgisi bilan belgilanadi. Barcha elementlari nolga teng matritsa deyiladi. null matritsa va O belgisi bilan belgilanadi.

A matritsasini songa ko'paytirish λ (belgi: l A) matritsani qurishdan iborat B, uning elementlari matritsaning har bir elementini ko'paytirish yo'li bilan olinadi A bu raqam bilan, ya'ni matritsaning har bir elementi B teng

Matritsalarni songa ko'paytirish xossalari

1. 1*A = A; 2. (Λb)A = L(bA) 3. (l+b)A = ΛA + bA

4. l(A+B) = DA + LB

Matritsa qo'shish A + B matritsani topish amalidir C, uning barcha elementlari barcha mos keladigan matritsa elementlarining juftlik yig'indisiga teng A Va B, ya'ni matritsaning har bir elementi C teng

Matritsalarni qo‘shish xossalari

5.kommutativlik) a+b=b+a

6.assotsiativlik.

7.nol matritsali qo‘shish;

8. qarama-qarshi matritsaning mavjudligi (xuddi shu narsa, lekin har bir raqamdan oldin hamma joyda minuslar mavjud)

Matritsalarni ko'paytirish - matritsani hisoblash amali mavjud C, uning elementlari birinchi omil va ikkinchi ustunning mos keladigan qatoridagi elementlarning mahsuloti yig'indisiga teng.

Matritsadagi ustunlar soni A matritsadagi qatorlar soniga mos kelishi kerak B. Agar matritsa A hajmi bor, B- , keyin ularning mahsulotining o'lchami AB = C Mavjud .

Matritsalarni ko'paytirishning xossalari

1.assotsiativlik (yuqoriga qarang);

2. mahsulot kommutativ emas;

3.ko‘paytma bir xillik matritsasi bilan ko‘paytirilganda almashtiriladigan bo‘ladi;

4. taqsimlovchi qonunning adolatliligi; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = L(AB) = A(ΛB);

2. Aniqlovchi kvadrat matritsa birinchi va n-tartib

Matritsaning determinanti kvadrat matritsa elementlarining ko'pnomidir (ya'ni, qatorlar va ustunlar soni teng

Birinchi qatorda kengaytirish orqali aniqlash

Birinchi tartibli matritsa uchun aniqlovchi bu matritsaning yagona elementi:

Determinantlar matritsasi uchun quyidagicha aniqlanadi

Matritsa uchun determinant rekursiv tarzda belgilanadi:

, bu erda elementga qo'shimcha minor a 1j. Bu formula deyiladi qatorni kengaytirish.

Xususan, matritsaning determinantini hisoblash formulasi:

= a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31

Determinantlarning xossalari

Boshqa satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasini har qanday satrga (ustun) qo'shganda, determinant o'zgarmaydi.

§ Agar matritsaning ikkita satri (ustunlari) mos tushsa, uning determinanti nolga teng.

§ Agar matritsaning ikkita (yoki bir nechta) satri (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lsa, uning determinanti nolga teng.

§ Agar siz matritsaning ikkita satrini (ustunlarini) qayta joylashtirsangiz, uning determinanti (-1) ga ko'paytiriladi.

§ Aniqlovchining har qanday qatori elementlarining umumiy koeffitsientini aniqlovchi belgisidan chiqarish mumkin.

§ Agar matritsaning kamida bitta qatori (ustunlari) nolga teng bo'lsa, determinant nolga teng bo'ladi.

§ Har qanday qatorning barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarga ko‘paytmalari yig‘indisi aniqlovchiga teng.

§ Parallel qatorning mos elementlarining algebraik to'ldiruvchilari bilan har qanday qatorning barcha elementlarining ko'paytmalari yig'indisi nolga teng.

§ Bir xil tartibli kvadrat matritsalar ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng (shuningdek, Binet-Koshi formulasiga qarang).

§ Indeks belgilaridan foydalanib, 3x3 matritsaning determinantini quyidagi munosabatdan Levi-Civita belgisi yordamida aniqlash mumkin:

Teskari matritsa.

Teskari matritsa - bunday matritsa A−1, asl matritsaga ko'paytirilganda A identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi E:

Shartli mavjudligi:

Kvadrat matritsa teskari bo'ladi, agar u yagona bo'lmasa, ya'ni uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Kvadrat bo'lmagan matritsalar va yagona matritsalar uchun teskari matritsalar mavjud emas.

Topish uchun formula

Agar matritsa teskari bo'lsa, teskari matritsani topish uchun siz quyidagi usullardan birini qo'llashingiz mumkin:

a) Algebraik qo`shimchalar matritsasi yordamida

C T- algebraik qo'shimchalarning transpozitsiyalangan matritsasi;

Olingan matritsa A−1 va teskari bo'ladi. Algoritmning murakkabligi determinant O det ni hisoblash algoritmining murakkabligiga bog liq va O(n²)·O det ga teng.

Boshqacha qilib aytganda, teskari matritsa determinantga bo'linganga teng original matritsa va asl matritsa elementlarining algebraik qoʻshimchalarning koʻchirilgan matritsasiga koʻpaytiriladi (minor u egallagan fazoning kuchiga (-1) koʻpaytiriladi).

4. Tizim chiziqli tenglamalar. Tizimli yechim. Tizimning mosligi va mos kelmasligi. n ta o‘zgaruvchili n ta chiziqli tenglamalar tizimini yechishning matritsa usuli. Krammer teoremasi.

Tizim m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum(yoki, chiziqli tizim ) chiziqli algebrada shakldagi tenglamalar sistemasi

(1)

Bu yerga x 1 , x 2 , …, x n- aniqlanishi kerak bo'lgan noma'lumlar. a 11 , a 12 , …, a mn- tizim koeffitsientlari - va b 1 , b 2 , … b m- erkin a'zolar - ma'lum deb taxmin qilinadi. Koeffitsient indekslari ( a ij) tizimlar tenglama raqamlarini bildiradi ( i) va noma'lum ( j), bu koeffitsient mos ravishda turadi.

Tizim (1) chaqiriladi bir hil, agar uning barcha erkin shartlari nolga teng bo'lsa ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), aks holda - heterojen.

Tizim (1) chaqiriladi kvadrat, agar raqam m soniga teng tenglamalar n noma'lum.

Yechim tizimlar (1) - o'rnatish n raqamlar c 1 , c 2 , …, c n, har birining o'rnini bosadigan tarzda c i o'rniga x i sistemaga (1) uning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi.

Tizim (1) chaqiriladi qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa va qo'shma, agar u bitta yechimga ega bo'lmasa.

(1) turdagi qo'shma tizim bir yoki bir nechta echimga ega bo'lishi mumkin.

Yechimlar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) va c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) (1) shakldagi qo'shma tizimlar deyiladi har xil, agar tengliklardan kamida bittasi buzilgan bo'lsa:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Matritsa shakli

Chiziqli tenglamalar tizimini matritsa shaklida quyidagicha ifodalash mumkin:

Ax = B.

Agar o'ngdagi A matritsaga bepul shartlar ustuni qo'shilsa, natijada olingan matritsa kengaytirilgan deb ataladi.

To'g'ridan-to'g'ri usullar

Kramer usuli (Kramer qoidasi)- asosiy matritsaning nolga teng bo'lmagan determinanti bilan chiziqli algebraik tenglamalarning kvadratik tizimlarini echish usuli (va bunday tenglamalar uchun yagona yechim mavjud). Usulni ixtiro qilgan Gabriel Kramer (1704-1752) sharafiga nomlangan.

Usulning tavsifi

Tizim uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum (ixtiyoriy maydonda)

sistema matritsasi determinanti D noldan farqli bo'lgan holda, yechim ko'rinishda yoziladi

(tizim matritsasining i ustuni erkin shartlar ustuni bilan almashtiriladi).
Boshqa shaklda Kramer qoidasi quyidagicha tuzilgan: c 1, c 2, ..., c n har qanday koeffitsientlar uchun quyidagi tenglik amal qiladi:

Bu shaklda Kramer formulasi D nodan farqli degan farazsiz amal qiladi, hatto tizim koeffitsientlari integral halqaning elementlari bo'lishi shart emas (tizimning determinanti hatto nolning bo'luvchisi ham bo'lishi mumkin); koeffitsient halqasi). Shuningdek, biz to'plamlarni ham taxmin qilishimiz mumkin b 1 ,b 2 ,...,b n Va x 1 ,x 2 ,...,x n, yoki to'plam c 1 ,c 2 ,...,c n tizim koeffitsienti halqasining elementlaridan emas, balki ushbu halqa ustidagi ba'zi moduldan iborat.

5.K-tartibdagi kichik. Matritsa darajasi. Matritsalarning elementar transformatsiyalari. Chiziqli tenglamalar sistemasi uchun moslik shartlari haqidagi Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli tenglamalar tizimi uchun o'zgaruvchilarni yo'q qilish (Gauss) usuli.

Kichik matritsalar A tartibli kvadrat matrisaning determinantidir k(bu minorning tartibi deb ham ataladi), uning elementlari matritsada paydo bo'ladi A raqamlar bilan qatorlar va raqamlar bilan ustunlar kesishmasida.

Daraja matritsaning satrlar (ustunlar) tizimi A Bilan m chiziqlar va n ustunlar - nolga teng bo'lmagan satrlarning (ustunlarning) maksimal soni.

Bir nechta satrlar (ustunlar) chiziqli mustaqil deyiladi, agar ularning hech biri boshqalari bilan chiziqli ifodalana olmasa. Satrlar sistemasining darajasi har doim ustunlar tizimining darajasiga teng bo'ladi va bu raqam matritsaning darajasi deb ataladi.

Kroneker - Kapelli teoremasi (chiziqli algebraik tenglamalar tizimi uchun izchillik mezoni) -

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar uning asosiy matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga (erkin shartlar bilan) teng bo'lsa va tizim yagona yechimga ega bo'lsa, izchil bo'ladi. soniga teng noma'lum va cheksiz to'plam Agar daraja noma'lumlar sonidan kam bo'lsa, echimlar.

Gauss usuli - klassik usul chiziqli algebraik tenglamalar tizimini (SLAE) yechish. Bu o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli bo'lib, elementar o'zgarishlardan foydalangan holda, tenglamalar tizimi bosqichma-bosqich (yoki uchburchak) shakldagi ekvivalent tizimga tushirilganda, boshqa barcha o'zgaruvchilar oxirgidan boshlab ketma-ket topiladi. raqam) o'zgaruvchilar.

6. Yo'naltirilgan segment va vektor. Vektor algebrasining asosiy tushunchalari. Vektorlar yig'indisi va vektor va sonning ko'paytmasi. Vektorlarni muvofiqlashtirish sharti. Vektorlar ustida chiziqli amallarning xossalari.

Vektorlar ustida amallar

Qo'shish

Vaziyatga va ko'rib chiqilayotgan vektorlarning turiga qarab, geometrik vektorlarni qo'shish jarayoni turli yo'llar bilan aniqlanishi mumkin:

Ikki vektor u, v va ularning yig'indisi vektori

Uchburchak qoidasi. Ikki vektorni qo'shish uchun va uchburchak qoidasiga ko'ra, bu vektorlarning ikkalasi ham birining boshi ikkinchisining oxiriga to'g'ri kelishi uchun o'zlariga parallel ravishda o'tkaziladi. Keyin yig'indi vektori hosil bo'lgan uchburchakning uchinchi tomoni bilan beriladi va uning boshlanishi birinchi vektorning boshiga, oxiri esa ikkinchi vektorning oxiriga to'g'ri keladi.

Paralelogramma qoidasi. Ikki vektorni qo'shish uchun va parallelogramm qoidasiga ko'ra, bu vektorlarning ikkalasi ham kelib chiqishi bir-biriga mos kelishi uchun o'zlariga parallel ravishda o'tkaziladi. Keyin yig'indisi vektor ularning umumiy kelib chiqishidan boshlab, ular ustida qurilgan parallelogramma diagonali bilan beriladi.

Va yig'indi vektorining moduli (uzunligi). kosinus teoremasi bilan aniqlanadi, bu erda birining boshi ikkinchisining oxiriga to'g'ri kelganda vektorlar orasidagi burchak. Formula hozir ham qo'llaniladi - bir nuqtadan chiqadigan vektorlar orasidagi burchak.

Vektor san'ati

Vektor san'ati vektor bo'yicha vektor - bu quyidagi talablarni qondiradigan vektor:

C vektorining xossalari

§ vektor uzunligi vektorlar uzunliklari va ular orasidagi ph burchak sinusining ko'paytmasiga teng.

§ vektor har bir vektorga ortogonal va

§ C vektorining yo'nalishi Buravchik qoidasi bilan aniqlanadi

Vektorli mahsulotning xususiyatlari:

1. Faktorlarni qayta tartibga solishda vektor mahsuloti belgisini o'zgartiradi (antikommutativlik), ya'ni.

2. Vektor mahsuloti skalyar omilga nisbatan birlashtiruvchi xususiyatga ega, ya'ni

3. Vektorli mahsulot taqsimot xususiyatiga ega:

Tekislikdagi va fazodagi bazis va koordinatalar tizimi. Vektorning bazis bo'yicha parchalanishi. Tekislik va fazoda ortonormal asos va to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi. Tekislikdagi va fazodagi vektor va nuqtaning koordinatalari. Vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari.

Asos (qadimgi yunoncha tabos, asos) - vektor fazodagi vektorlar to'plami, shunday qilib, bu fazodagi har qanday vektor ushbu to'plamdagi vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin - bazis vektorlari.

Ko'pincha birlik bo'lish uchun har bir bazis vektorining uzunligini (normasini) tanlash qulay, bunday bazis deyiladi. normallashtirilgan.

Bazis vektorlarining chiziqli birikmasi (sonli koeffitsientlar bo'yicha bazaviy vektorlarning yig'indisi), masalan, fazoning o'ziga xos (har qanday) vektorini tasvirlash

yoki yig'indi belgisi S yordamida:

chaqirdi bu vektorning shu asosda kengayishi.

Tekislikdagi va fazodagi vektor va nuqtaning koordinatalari.

A nuqtaning x o'qi koordinatasi OAx segmentining uzunligiga mutlaq qiymatiga teng son: agar A nuqta musbat x o'qida yotsa musbat, manfiy yarim o'qda bo'lsa manfiy.

Birlik vektor yoki birlik vektor - uzunligi birga teng bo'lgan va har qanday koordinata o'qi bo'ylab yo'naltirilgan vektor.

Keyin vektor proyeksiyasi l o'qi bo'yicha AB vektorning oxiri va boshi proyeksiyalari koordinatalari o'rtasidagi x1 - x2 farqidir.

8.Vektorning uzunligi va yo'nalishi kosinuslari, yo'nalish kosinuslari orasidagi munosabat. Orth vektori. Koordinatalar vektorlar yig'indisi, vektor va sonning mahsulotidir.

Vektor uzunligi formula bilan aniqlanadi

Vektorning yo'nalishi uning Ox, Oy, Oz koordinata o'qlari bilan hosil qilgan a, b, g burchaklari bilan aniqlanadi. Bu burchaklarning kosinuslari (deb atalmish yo'nalish kosinuslar vektori ) formulalar yordamida hisoblanadi:

Birlik vektori yoki or (normalangan vektor fazoning birlik vektori) normasi (uzunligi) birga teng vektordir.

Berilgan (normallashtirilgan vektor) bilan kollinear birlik vektori formula bilan aniqlanadi

Birlik vektorlari ko'pincha bazis vektorlar sifatida tanlanadi, chunki bu hisob-kitoblarni soddalashtiradi. Bunday asoslar deyiladi normallashtirilgan. Agar bu vektorlar ham ortogonal bo'lsa, bunday bazis ortonormal bazis deyiladi.

Koordinatalar kollinear

Koordinatalar teng

Koordinatalar yig'indisi vektori Ikki vektor munosabatlarni qanoatlantiradi:

Koordinatalar kollinear vektorlar munosabatni qanoatlantiradi:

Koordinatalar teng vektorlar munosabatlarni qanoatlantiradi:

Yig'indi vektori Ikki vektor:

Bir nechta vektorlar yig'indisi:

Vektor va sonning mahsuloti:

Vektorlarning o'zaro mahsuloti. Ko'ndalang mahsulotning geometrik qo'llanilishi. Vektorlarning kollinearligi sharti. Algebraik xossalari aralash ish. Faktorlar koordinatalari orqali vektor mahsulotini ifodalash.

Vektorning o'zaro mahsuloti b vektor c vektor deb ataladi, bu:

1. a va b vektorlarga perpendikulyar, ya'ni c^a va c^b;

2. Uzunligi bor, soni maydoniga teng a va b vektorlarida tomonlar sifatida qurilgan parallelogramma (17-rasmga qarang), ya'ni.

3. a, b va c vektorlar o'ng qo'l uchlik hosil qiladi.

Geometrik ilovalar:

Vektorlarning kollinearligini o'rnatish

Parallelogramm va uchburchakning maydonini topish

Vektorlarning vektor mahsuloti ta'rifiga ko'ra A va b |a xb | =|a| * |b |qo'shiq aytish, ya'ni S juftlik = |a x b |. Va shuning uchun DS =1/2|a x b |.

Bir nuqtaga nisbatan kuch momentini aniqlash

Bu fizikadan ma'lum kuch momenti F nuqtaga nisbatan HAQIDA vektor deb ataladi M, qaysi nuqtadan o'tadi HAQIDA Va:

1) nuqtalardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar O, A, B;

2) son jihatdan bir qo'lning kuch mahsulotiga teng

3) OA va A B vektorlari bilan toʻgʻri uchlik hosil qiladi.

Shuning uchun M = OA x F.

Chiziqli aylanish tezligini topish

M nuqtaning v tezligi qattiq, w atrofida burchak tezligi bilan aylanish sobit o'q, Eyler formulasi bilan aniqlanadi v =w xr, bu erda r =OM, bu erda O - o'qning qandaydir qo'zg'almas nuqtasi (21-rasmga qarang).

Vektorlarning kollinearligi sharti - zarur va etarli holat Nolga teng bo'lmagan vektor va vektorning kollinearligi tenglikni qanoatlantiradigan sonning mavjudligidir.

Aralash mahsulotning algebraik xossalari

Vektorlarning aralash mahsuloti omillarni aylana bo‘ylab qayta joylashtirganda o‘zgarmaydi va ikkita omil almashtirilganda uning modulini saqlab qolgan holda ishora teskari tomonga o‘zgaradi.

Aralash mahsulot ichidagi vektor ko'paytirish belgisi " " uning har qanday omillari orasiga joylashtirilishi mumkin.

Aralash mahsulot o'zining har qanday omillariga nisbatan distributivdir: (masalan) agar , keyin

Ko‘paytmani koordinatalar bilan ifodalash

to'g'ri koordinatalar tizimi

chap koordinatalar tizimi

12.Vektorlarning aralash mahsuloti. Geometrik ma'no aralash mahsulot, vektorlarning mutanosiblik sharti. Aralash mahsulotning algebraik xossalari. Aralash mahsulotni omillar koordinatalari orqali ifodalash.

Aralash Tartiblangan uch vektorning (a,b,c) ko'paytmasi birinchi vektorning skalyar ko'paytmasi va ikkinchi vektor va uchinchi vektorning vektor ko'paytmasidir.

Vektor mahsulotining algebraik xossalari

Antikommutativlik

Skayarga ko'paytirishga nisbatan assotsiativlik

Qo'shish orqali taqsimlanish

Yakobi kimligi. R3 da ishlaydi va R7 da uziladi

Bazis vektorlarning vektor ko'paytmalari ta'rif bo'yicha topiladi

Xulosa

bu erda chiziqning yo'nalish vektorining ham, chiziqqa tegishli nuqtaning koordinatalarining ham koordinatalari.

Tekislikdagi chiziqning normal vektori. O'tgan chiziq tenglamasi bu nuqta perpendikulyar bu vektor. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Burchak koeffitsientli to'g'ri chiziq tenglamalari. O'zaro pozitsiya samolyotda ikkita chiziq

Oddiy chiziq vektori - bu chiziqqa perpendikulyar nolga teng bo'lmagan har qanday vektor.

- berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi

Ax + Wu + C = 0- chiziqning umumiy tenglamasi.

y=kx+b ko'rinishdagi chiziqli tenglama

chaqirdi qiyalik bilan to'g'ri chiziq tenglamasi, va k koeffitsienti bu chiziqning qiyaligi deyiladi.

Teorema. Nishab y=kx+b bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasida

burchak koeffitsienti k to'g'ri chiziqning abscissa o'qiga moyillik burchagi tangensiga teng:

O'zaro pozitsiya:

– ikki chiziqli umumiy tenglamalar koordinata tekisligi Ooh. Keyin

1) agar , u holda chiziqlar mos keladi;

2) bo'lsa, to'g'ri va parallel;

3) agar , u holda chiziqlar kesishadi.

Isbot . Shart berilgan chiziqlarning normal vektorlarining kollinearligiga ekvivalentdir:

Shuning uchun, agar bo'lsa, to'g'ri chiziqlar kesishadi.

Agar , keyin , , va chiziq tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

Yoki , ya'ni. Streyt mos. E'tibor bering, proportsionallik koeffitsienti, aks holda barcha koeffitsientlar umumiy tenglama nolga teng bo'ladi, bu mumkin emas.

Agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelmasa va kesishmasa, u holda ish qoladi, ya'ni. Streyt parallel.

Segmentlardagi chiziq tenglamasi

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, u holda -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz: yoki , bu erda

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi koeffitsientdir A chiziqning Ox o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatasi va b– to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qi bilan kesishgan nuqtasi koordinatasi.

Oddiy chiziq tenglamasi

Ax + By + C = 0 tenglamaning ikkala tomoni chaqirilgan songa bo'linsa normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 –

normal tenglama bevosita.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerakki, m ? BILAN< 0.

p - boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi, ph - bu perpendikulyar bilan hosil bo'lgan burchak. ijobiy yo'nalish eksa Oh.

C Shuni ta'kidlash kerakki, har bir chiziq segmentlarda tenglama bilan ifodalanishi mumkin emas, masalan, o'qlarga parallel yoki koordinatadan o'tuvchi chiziqlar.

17. Ellips. Kanonik tenglama ellips. Geometrik xususiyatlar va ellipsning qurilishi. Maxsus shartlar.

Ellips - joylashuv ball M Evklid tekisligi, buning uchun berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi F 1 va F 2 (fokuslar deb ataladi) doimiy va fokuslar orasidagi masofadan kattaroqdir, ya'ni | F 1 M | + | F 2 M | = 2a, va | F 1 F 2 | < 2a.

Kanonik tenglama

Har qanday ellips uchun siz Dekart koordinata tizimini topishingiz mumkin, shunda ellips tenglama bilan tavsiflanadi (ellipsning kanonik tenglamasi):

U koordinata o'qlari bilan o'qlari to'g'ri keladigan koordinata boshida joylashgan ellipsni tasvirlaydi.

Qurilish: 1) Kompasdan foydalanish

2) Ikkita hiyla va cho'zilgan ip

3) Ellipsograf (Ellipsograf ikkita perpendikulyar yiv yoki yo‘riqnoma bo‘ylab harakatlana oladigan ikkita slayderdan iborat. Slayderlar ilgaklar yordamida novdaga biriktiriladi va sterjen bo‘ylab bir-biridan belgilangan masofada joylashgan. Slayderlar oldinga siljiydi va orqaga qarab - har biri o'z yivi bo'ylab, - va novda uchi tekislikdagi ellipsni tasvirlaydi a va b ellipsning uchidan slaydlardagi menteşalargacha bo'lgan masofalar. a va b masofalari o'zgarishi mumkin va shu bilan tasvirlangan ellipsning shakli va o'lchamlarini o'zgartirishi mumkin)

Eksantriklik ellipsning cho'zilishini tavsiflaydi. Eksentrisitet nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips aylanaga o'xshaydi va aksincha, ekssentrisitet birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, u shunchalik cho'zilgan bo'ladi.

Fokus parametri

Kanonik tenglama

18.Giperbola. Giperbolaning kanonik tenglamalari. Giperbolaning geometrik xossalari va qurilishi. Maxsus shartlar

Giperbola(qadimgi yunoncha ὑπeρβλή, qadimgi yunon tilidan belain - “otish”, ὑπestr - “ustidan”) - nuqtalar joylashuvi M Evklid tekisligi, buning uchun masofalar farqining mutlaq qiymati M ikkita tanlangan nuqtagacha F 1 va F 2 (fokuslar deb ataladi) doimiy. Aniqroq aytganda,

Bundan tashqari | F 1 F 2 | > 2a > 0.

Nisbatlar

Yuqorida tavsiflangan giperbolalarning xarakteristikalari uchun ular quyidagi munosabatlarga bo'ysunadi

2. Giperbolaning direktrikslari qo'sh qalinlikdagi chiziqlar bilan ko'rsatilgan va ko'rsatilgan D 1 va D 2. Eksantriklik ε nuqta masofalari nisbatiga teng P fokusga va tegishli direktrisaga (yashil rangda ko'rsatilgan) giperbolada. Giperbolaning uchlari ± sifatida belgilanadi a. Giperbola parametrlari quyidagilarni bildiradi:

a- markazdan masofa C cho'qqilarning har biriga
b- cho'qqilarning har biridan asimptotalarga tushirilgan perpendikulyar uzunligi
c- markazdan masofa C fokuslarning har qandayiga, F 1 va F 2 ,
th - har bir asimptotadan hosil bo'lgan burchak va cho'qqilar orasiga chizilgan o'q.

Xususiyatlari

§ Giperbolada yotgan har qanday nuqta uchun bu nuqtadan fokusgacha bo'lgan masofalarning bir xil nuqtadan direktrisagacha bo'lgan masofaga nisbati doimiy qiymatdir.

§ Giperbola haqiqiy va xayoliy o'qlarga nisbatan oyna simmetriyasiga, shuningdek, giperbolaning markazi atrofida 180 ° burchak orqali aylantirilganda aylanish simmetriyasiga ega.

§ Har bir giperbolada mavjud konjugat giperbola, ular uchun haqiqiy va xayoliy o'qlar o'rnini o'zgartiradi, lekin asimptotlar bir xil bo'lib qoladi. Bu almashtirishga mos keladi a Va b giperbolani tavsiflovchi formulada bir-birining ustiga. Konjugat giperbola boshlang'ich giperbolani 90 ° burchak ostida aylantirish natijasi emas; ikkala giperbola ham shakli jihatidan farq qiladi.

19. Parabola. Parabolaning kanonik tenglamasi. Parabolaning geometrik xossalari va qurilishi. Maxsus shartlar.

Parabola - berilgan chiziqdan (parabolaning direktrisasi deb ataladi) va berilgan nuqtadan (parabolaning fokusi deyiladi) teng masofada joylashgan nuqtalarning geometrik joylashuvi.

Parabolaning kanonik tenglamasi to'rtburchaklar tizimi koordinatalar:

(yoki o'qlarni almashtirsangiz).

Xususiyatlari

§ 1 Parabola ikkinchi tartibli egri chiziqdir.

§ 2U simmetriya o'qiga ega parabolaning o'qi. O'q fokusdan o'tadi va direktrisaga perpendikulyar.

§ 3Optik xususiyat. Uning fokusida parabolada aks ettirilgan parabolaning o'qiga parallel nurlar dastasi yig'iladi. Va aksincha, fokusda joylashgan manbadan keladigan yorug'lik parabola tomonidan o'z o'qiga parallel bo'lgan nurlar nuriga aks etadi.

4-§ Parabola uchun fokus nuqtada (0,25; 0) bo'ladi.

Parabola uchun fokus (0; f) nuqtada joylashgan.

§ 5 Agar parabolaning fokusi tangensga nisbatan aks ettirilsa, uning tasviri direktrisada yotadi.

§ 6 Parabola chiziqning antipoderidir.

§ Barcha parabolalar o'xshash. Fokus va direktrisa orasidagi masofa masshtabni belgilaydi.

§ 7 Parabola simmetriya o'qi atrofida aylansa, elliptik paraboloid olinadi.

Parabolaning to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishi

Fokus radiusi

20.Oddiy tekislik vektori. Berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi berilgan vektorga perpendikulyar. Umumiy tekislik tenglamasi, maxsus holat umumiy tekislik tenglamasi. Samolyotning vektor tenglamasi. Ikki tekislikning nisbiy holati.

Samolyot- geometriyaning asosiy tushunchalaridan biri. Geometriyaning tizimli taqdimotida tekislik tushunchasi odatda dastlabki tushunchalardan biri sifatida qabul qilinadi, bu faqat bilvosita geometriya aksiomalari bilan belgilanadi.

Tekislikning nuqta va normal vektor bo'yicha tenglamasi
Vektor shaklida

Koordinatalarda

Samolyotlar orasidagi burchak

Umumiy tekislik tenglamasining maxsus holatlari.

Fizikada tabiat qonunlarini to'g'ri ko'rsatish uchun tegishli matematik vositalar kerak bo'ladi.

Geometriya va fizikada ham son qiymati, ham yo'nalishi bilan tavsiflangan miqdorlar mavjud.

Ularni yo'naltirilgan segmentlar yoki sifatida tasvirlash tavsiya etiladi vektorlar.

Bunday miqdorlarning boshlanishi (nuqta bilan ko'rsatilgan) va o'q bilan ko'rsatilgan oxiri bor. Segmentning uzunligi (uzunligi) deb ataladi.

• tezlik;
• tezlashtirish;
• puls;
• kuch;
• moment;
• kuch;
• harakatlanuvchi;
• maydon kuchi va boshqalar.

Samolyot koordinatalari

A (x1,y1) nuqtadan B (x2,y2) nuqtaga yo'naltirilgan tekislikdagi segmentni aniqlaymiz. Uning a (a1, a2) koordinatalari a1=x2-x1, a2=y2-y1 sonlardir.

Modul Pifagor teoremasi yordamida hisoblanadi:

Nol vektor uchun boshi oxiriga to'g'ri keladi. Koordinatalar va uzunlik 0 ga teng.

Vektor yig'indisi

Lar bor miqdorni hisoblash uchun bir necha qoidalar

• uchburchak qoidasi;
• ko'pburchak qoidasi;
• parallelogramma qoidasi.

Vektorlarni qo'shish qoidasini dinamika va mexanika masalalari yordamida tushuntirish mumkin. Uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shishni nuqta jismiga ta'sir qiluvchi kuchlar va tananing fazoda ketma-ket harakatlari misolida ko'rib chiqamiz.

Aytaylik, jism avval A nuqtadan B nuqtaga, keyin esa B nuqtadan C nuqtaga harakat qiladi. Yakuniy siljish - bu boshlang'ich A nuqtadan C oxirigacha yo'naltirilgan segment.

Ikki harakat natijasi yoki ularning yig'indisi s = s1+ s2. Bu usul deyiladi uchburchak qoidasi.

O'qlar birin-ketin zanjirda joylashgan, agar kerak bo'lsa, bajaring parallel uzatish. Umumiy segment ketma-ketlikni yopadi. Uning boshlanishi birinchisining boshlanishiga, oxiri oxirgisining oxiriga to'g'ri keladi. Chet el darsliklarida bu usul chaqirdi "dumdan boshga".

c = a + b natijaning koordinatalari c (a1+ b1, a2+ b2) hadlarning tegishli koordinatalari yig'indisiga teng.

Parallel (kollinear) vektorlar yig'indisi ham uchburchak qoidasi bilan aniqlanadi.

Agar ikkita asl segment bir-biriga perpendikulyar bo'lsa, unda ularning qo'shilishi natijasi ular ustida qurilgan chiziqning gipotenuzasi bo'ladi. to'g'ri uchburchak. Yig'indining uzunligi Pifagor teoremasi yordamida hisoblanadi.

Misollar:

• Gorizontal otilgan jismning tezligi perpendikulyar erkin tushishning tezlashishi.
• Forma bilan aylanish harakati chiziqli tezlik jism markazlashtirilgan tezlanishga perpendikulyar.

Uch yoki undan ortiq vektorlarni qo'shish ga muvofiq ishlab chiqarish ko'pburchak qoidasi, "dumdan boshga"

F1 va F2 kuchlari nuqta jismiga taalluqli deb faraz qilaylik.

Tajriba shuni ko'rsatadiki, bu kuchlarning qo'shma ta'siri ularga qurilgan parallelogramma diagonali bo'ylab yo'naltirilgan bitta kuchning ta'siriga tengdir. Bu natijaviy kuch ularning yig'indisiga teng F = F1 + F 2. Yuqoridagi qo'shish usuli deyiladi parallelogramma qoidasi.

Bu holda uzunlik formula bo'yicha hisoblanadi

Bu erda th - tomonlar orasidagi burchak.

Uchburchak va parallelogramm qoidalari bir-birini almashtiradi. Fizikada parallelogramma qoidasi ko'proq qo'llaniladi, chunki kuchlar, tezliklar va tezlanishlarning yo'nalish kattaliklari odatda bitta nuqta tanasiga qo'llaniladi. Uch o'lchovli koordinatalar tizimida parallelepiped qoidasi qo'llaniladi.

Algebra elementlari

1. Qo'shish - bu ikkilik operatsiya: bir vaqtning o'zida faqat juftlik qo'shilishi mumkin.
2. Kommutativlik: atamalarni qayta tartibga solishdan olingan yig'indi a + b = b + a o'zgarmaydi. Bu parallelogramm qoidasidan aniq: diagonal har doim bir xil bo'ladi.
3. Assotsiativlik: vektorlarning ixtiyoriy sonining yig'indisi ularning qo'shilish tartibiga bog'liq emas (a + b) + c = a + (b + c).
4. Nol vektor bilan yig'indisi yo'nalishni ham, uzunlikni ham o'zgartirmaydi: a +0= a .
5. Har bir vektor uchun mavjud qarama-qarshi. Ularning yig'indisi nolga teng a +(-a)=0 va uzunliklari bir xil.

Skayarga ko'paytirish

Skayarga ko'paytirish natijasi vektor hisoblanadi.

Mahsulotning koordinatalari asl nusxaning mos keladigan koordinatalarini skalyarga ko'paytirish yo'li bilan olinadi.

Skayar - bu ortiqcha yoki minus belgisi, birdan katta yoki kichik bo'lgan sonli qiymat.

Fizikada skalyar kattaliklarga misollar:

• vazn;
• vaqt;
• zaryadlash;
• uzunligi;
• kvadrat;
• hajmi;
• zichlik;
• harorat;
• energiya.

Misol:

Ish shu skalyar mahsulot kuchlar va siljishlar A = Fs.