Vida y= f(x), x HAQIDA N, Qayerda N- ko'p natural sonlar(yoki tabiiy argument funktsiyasi), belgilanadi y=f(n) yoki y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Qadriyatlar y 1 ,y 2 ,y 3 ,… navbati bilan qatorning birinchi, ikkinchi, uchinchi, ... a'zolari deyiladi.

Masalan, funksiya uchun y= n 2 yozilishi mumkin:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Ketma-ketlikni belgilash usullari. Ketma-ketliklarni belgilash mumkin turli yo'llar bilan, ulardan uchtasi ayniqsa muhim: analitik, tavsiflovchi va takroriy.

1. Agar ketma-ketlik formulasi berilgan bo‘lsa, analitik tarzda berilgan n a'zosi:

y n=f(n).

Misol. y n= 2n - 1 – toq raqamlar ketma-ketligi: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Tasviriy Raqamli ketma-ketlikni belgilash usuli ketma-ketlik qaysi elementlardan qurilganligini tushuntirishdan iborat.

1-misol. “Tartibning barcha shartlari 1 ga teng.” Bu degani, haqida gapiramiz 1, 1, 1, …, 1, … statsionar ketma-ketlik haqida.

2-misol: “Tartib o‘sish tartibidagi barcha tub sonlardan iborat.” Shunday qilib, berilgan ketma-ketlik 2, 3, 5, 7, 11, .... Ushbu misoldagi ketma-ketlikni ko'rsatishning ushbu usuli bilan, aytaylik, ketma-ketlikning 1000-elementi nimaga teng ekanligiga javob berish qiyin.

3. Ketma-ketlikni ko'rsatishning takroriy usuli - hisoblash imkonini beruvchi qoidani ko'rsatish. n-ketmaning oldingi a'zolari ma'lum bo'lsa, uning a'zosi. Takroriy usul nomi lotincha so'zdan olingan takrorlanuvchi- Qaytish. Ko'pincha, bunday hollarda ifodalash imkonini beruvchi formula ko'rsatiladi n ketma-ketlikning th a'zosini oldingilari orqali o'tkazing va ketma-ketlikning 1-2 ta boshlang'ich a'zosini belgilang.

1-misol. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4 agar n = 2, 3, 4,….

Bu yerga y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Ushbu misolda olingan ketma-ketlikni analitik tarzda ham aniqlash mumkinligini ko'rishingiz mumkin: y n= 4n - 1.

2-misol. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 agar n = 3, 4,….

Bu yerga: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Ushbu misoldagi ketma-ketlik, ayniqsa, matematikada o'rganiladi, chunki u bir qator qiziqarli xususiyatlar va ilovalarga ega. U 13-asr italyan matematigi nomi bilan atalgan Fibonachchi ketma-ketligi deb ataladi. Fibonachchi ketma-ketligini takroran aniqlash juda oson, ammo analitik jihatdan juda qiyin. n Fibonachchi raqami uning seriya raqami orqali quyidagi formula bilan ifodalanadi.

Bir qarashda, formula n Fibonachchi soni aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, chunki natural sonlar ketma-ketligini belgilaydigan formulaning o'zi o'z ichiga oladi. kvadrat ildizlar, lekin birinchi bir necha uchun ushbu formulaning haqiqiyligini "qo'lda" tekshirishingiz mumkin n.

Raqamlar ketma-ketligining xossalari.

Raqamlar ketma-ketligi - maxsus holat sonli funktsiya, shuning uchun ketma-ketliklar uchun funktsiyalarning bir qator xossalari ham ko'rib chiqiladi.

Ta'rif . Keyingi ketma-ketlik ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan katta bo'lsa, ortish deyiladi:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Ta'rif.Sequence ( y n} Agar uning har bir sharti (birinchisidan tashqari) oldingisidan kichik bo'lsa, kamayuvchi deyiladi:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Ortib boruvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy atama - monotonik ketma-ketliklar ostida birlashtiriladi.

1-misol. y 1 = 1; y n= n 2 - ortib borayotgan ketma-ketlik.

Demak, quyidagi teorema rost (arifmetik progressiyaning xarakterli xossasi). Raqamlar ketma-ketligi arifmetik hisoblanadi, agar uning birinchi a'zosidan tashqari har bir a'zosi (cheklangan ketma-ketlikda esa oxirgi) oldingi va keyingi a'zolarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng bo'lsa.

Misol. Qanday qiymatda x raqamlar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 chekli arifmetik progressiya hosil qiladi?

Xarakterli xususiyatga ko'ra, berilgan ifodalar munosabatni qondirishi kerak

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Bu tenglamani yechish beradi x= –5,5. Ushbu qiymatda x berilgan ifodalar 3 x + 2, 5x- 4 va 11 x+ 12 mos ravishda qiymatlarni oladi -14,5, –31,5, –48,5. Bu - arifmetik progressiya, uning farqi -17 ga teng.

Geometrik progressiya.

Barcha shartlari nolga teng bo'lmagan va ikkinchisidan boshlab har bir a'zosi oldingi haddan bir xil songa ko'paytirish yo'li bilan olingan sonli ketma-ketlik. q, chaqirildi geometrik progressiya, va raqam q- geometrik progressiyaning maxraji.

Demak, geometrik progressiya sonlar ketma-ketligidir ( b n), munosabatlar orqali rekursiv aniqlanadi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Va q - berilgan raqamlar, b ≠ 0, q ≠ 0).

Misol 1. 2, 6, 18, 54, ... – geometrik progressiyani oshirish b = 2, q = 3.

2-misol. 2, –2, 2, –2, … – geometrik progressiya b= 2,q= –1.

3-misol. 8, 8, 8, 8, … – geometrik progressiya b= 8, q= 1.

Geometrik progressiya ortib boruvchi ketma-ketlikdir, agar b 1 > 0, q> 1 va agar kamayadi b 1 > 0, 0 q

biri aniq xususiyatlar geometrik progressiya, agar ketma-ketlik geometrik progressiya bo'lsa, u holda kvadratlar ketma-ketligi, ya'ni.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... birinchi hadi ga teng bo‘lgan geometrik progressiya b 1 2 va maxraj bo'ladi q 2 .

Formula n- geometrik progressiyaning uchinchi hadi shaklga ega

b n= b 1 qn – 1 .

Cheklangan geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi formulasini olishingiz mumkin.

Cheklangan geometrik progressiya berilsin

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

ruxsat bering S n - uning a'zolari yig'indisi, ya'ni.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Bu qabul qilinadi q№ 1. Aniqlash S n sun'iy texnikadan foydalaniladi: ifodaning ba'zi geometrik o'zgarishlari amalga oshiriladi S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Shunday qilib, S n q= S n +b n q – b 1 va shuning uchun

Bu bilan formula umma n geometrik progressiyaning shartlari qachon uchun q≠ 1.

At q= 1 formulani alohida olish shart emas, bu holda aniq S n= a 1 n.

Progressiya geometrik deb ataladi, chunki undagi har bir had, birinchisidan tashqari, oldingi va keyingi hadlarning geometrik o'rtacha qiymatiga teng. Haqiqatan ham, beri

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

shuning uchun, b n 2=bn– 1 bn+ 1 va quyidagi teorema to'g'ri (geometrik progressiyaning xarakterli xususiyati):

sonlar ketma-ketligi geometrik progressiyadir, agar uning har bir hadining kvadrati, birinchisidan tashqari (va chekli ketma-ketlikda oxirgi) oldingi va keyingi hadlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lsa.

Muvofiqlik chegarasi.

Ketma-ketlik bo'lsin ( c n} = {1/n}. Bu ketma-ketlik garmonik deb ataladi, chunki uning har bir sharti ikkinchisidan boshlab oldingi va keyingi hadlar orasidagi garmonik o'rtacha hisoblanadi. O'rtacha geometrik raqamlar a Va b raqam bor

Aks holda ketma-ketlik divergent deb ataladi.

Ushbu ta'rifga asoslanib, masalan, chegara mavjudligini isbotlash mumkin A=0 garmonik ketma-ketlik uchun ( c n} = {1/n). E o'zboshimchalik bilan kichik bo'lsin ijobiy raqam. Farqi hisobga olinadi

Bunday narsa bormi? N bu hamma uchun n ≥ N tengsizlik 1 amal qiladi /N ? deb qabul qilsak N dan katta har qanday natural son 1/ε , keyin hamma uchun n ≥ N tengsizlik 1 amal qiladi /n ≤ 1/N e, Q.E.D.

Muayyan ketma-ketlik uchun chegara mavjudligini isbotlash ba'zan juda qiyin bo'lishi mumkin. Eng tez-tez uchraydigan ketma-ketliklar yaxshi o'rganilgan va ma'lumotnomalarda keltirilgan. Muhim teoremalar mavjud bo'lib, ular allaqachon o'rganilgan ketma-ketliklarga asoslanib, berilgan ketma-ketlikning chegarasi (va hatto uni hisoblash) haqida xulosa chiqarishga imkon beradi.

Teorema 1. Agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, u chegaralangan bo'ladi.

Teorema 2. Agar ketma-ketlik monoton va chegaralangan bo'lsa, unda uning chegarasi bor.

Teorema 3. Agar ketma-ketlik ( a n} chegarasi bor A, keyin ketma-ketliklar ( ca n}, {a n+ c) va (| a n|} chegaralari bor cA, A +c, |A| mos ravishda (bu erda c- ixtiyoriy raqam).

Teorema 4. Agar ketma-ketliklar ( a n} Va ( b n) ga teng chegaralarga ega A Va B pa n + qbn) chegarasi bor pA+ qB.

Teorema 5. Agar ketma-ketliklar ( a n) va ( b n)ga teng chegaralarga ega A Va B mos ravishda, keyin ketma-ketlik ( a n b n) chegarasi bor AB.

Teorema 6. Agar ketma-ketliklar ( a n} Va ( b n) ga teng chegaralarga ega A Va B mos ravishda va qo'shimcha ravishda b n ≠ 0 va B≠ 0, keyin ketma-ketlik ( a n / b n) chegarasi bor A/B.

Anna Chugainova

Keyingi ketma-ketlik

Keyingi ketma-ketlik- Bu to'plam ba'zi to'plam elementlari:

• har bir natural son uchun berilgan to‘plamning elementini belgilashingiz mumkin;
• bu raqam elementning raqami bo'lib, ushbu elementning ketma-ketlikdagi o'rnini ko'rsatadi;
• Ketma-ketlikning istalgan elementi (a'zosi) uchun ketma-ketlikning keyingi elementini belgilashingiz mumkin.

Shunday qilib, ketma-ketlik natija bo'lib chiqadi izchil berilgan to'plam elementlarini tanlash. Va agar elementlarning har qanday to'plami chekli bo'lsa va biz cheklangan hajm namunasi haqida gapiradigan bo'lsak, unda ketma-ketlik cheksiz hajm namunasi bo'lib chiqadi.

Ketma-ketlik o'z tabiatiga ko'ra xaritalashdir, shuning uchun uni ketma-ketlikdan "o'tib ketadigan" to'plam bilan adashtirmaslik kerak.

Matematikada juda ko'p turli xil ketma-ketliklar ko'rib chiqiladi:

• sonli va nosonli xarakterdagi vaqt qatorlari;
• metrik fazo elementlarining ketma-ketligi
• funktsional fazo elementlarining ketma-ketligi
• boshqaruv tizimlari va mashinalarning holatlari ketma-ketligi.

Barcha mumkin bo'lgan ketma-ketliklarni o'rganishdan maqsad naqshlarni izlash, kelajakdagi holatlarni bashorat qilish va ketma-ketlikni yaratishdir.

Ta'rif

Ixtiyoriy xarakterdagi elementlarning ma'lum bir to'plami berilsin. | Natural sonlar to'plamidan berilgan to'plamga har qanday xaritalash deyiladi ketma-ketlik(to'plam elementlari).

Natural sonning, ya'ni elementning tasviri deyiladi - th a'zosi yoki ketma-ketlik elementi, ketma-ketlik a'zosining tartib raqami esa uning indeksidir.

Tegishli ta'riflar

• Agar natural sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligini olsak, u holda uni qandaydir ketma-ketlikdagi indekslar ketma-ketligi deb hisoblash mumkin: agar biz mos indekslar bilan asl ketma-ketlik elementlarini olsak (natur sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligidan olinadi), u holda biz deb nomlangan ketma-ketlikni yana olishingiz mumkin keyingi ketma-ketlik berilgan ketma-ketlik.

Fikrlar

• Matematik tahlilda muhim tushuncha sonlar ketma-ketligi chegarasidir.

Belgilar

Shaklning ketma-ketligi

Qavslar yordamida ixcham yozish odatiy holdir:

yoki

Ba'zida jingalak qavslar qo'llaniladi:

Bir oz so'z erkinligiga ruxsat berib, biz shaklning cheklangan ketma-ketligini ham ko'rib chiqishimiz mumkin

,

natural sonlar ketma-ketligining boshlang'ich segmenti tasvirini ifodalaydi.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi.

2010 yil.:

Sinonimlar

Boshqa lug'atlarda "Sequence" nima ekanligini ko'ring:

QAYTA. I.V.Kireevskiyning "XIX asr" (1830) maqolasida biz shunday o'qiymiz: "Rim imperiyasining qulashidan boshlab, bizning davrimizga qadar Evropaning ma'rifati bosqichma-bosqich va uzluksiz ketma-ketlikda ko'rinadi" (1-jild, p. ... ... So‘zlarning tarixi SEQUENCE, ketma-ketliklar, ko'plik. yo'q, ayol (kitob). chalg'itdi ism ketma-ketlikka. Voqealarning ketma-ketligi. O'zgaruvchan to'lqinlardagi izchillik. Fikrlashda izchillik. Lug'at Ushakova......

Ushakovning izohli lug'ati Doimiylik, uzluksizlik, mantiq; qator, progress, xulosa, qator, qator, burilish, zanjir, zanjir, kaskad, estafeta; qat'iylik, asoslilik, to'plam, uslubiylik, tartibga solish, uyg'unlik, qat'iyatlilik, ketma-ketlik, bog'lanish, navbat,... ...

Sinonimlar lug'ati SEQUENCE, tartibli tarzda joylashtirilgan raqamlar yoki elementlar. Ketma-ketliklar chekli (cheklangan miqdordagi elementlarga ega) yoki cheksiz bo'lishi mumkin, masalan, 1, 2, 3, 4 natural sonlarining to'liq ketma-ketligi ....... ...

Ilmiy-texnik entsiklopedik lug'at SEQUENCE, raqamlar to'plami ( matematik ifodalar va boshqalar; ular aytadilar: har qanday tabiatning elementlari), natural sonlar bilan raqamlangan. Ketma-ketlik x1, x2,..., xn,... yoki qisqacha (xi) ... shaklida yoziladi.

Zamonaviy ensiklopediya Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. Ketma-ketlik 1, 2, ..., n, ... natural sonlar bilan raqamlangan har qanday tabiatli elementlardan hosil bo'ladi va x1, x2, ..., xn, ... yoki qisqacha (xn) shaklida yoziladi. ..

Keyingi ketma-ketlik Katta ensiklopedik lug'at - SEQUENCE, natural sonlar bilan raqamlangan sonlar to'plami (matematik ifodalar va boshqalar; ular aytadilar: har qanday tabiatning elementlari). Ketma-ketlik x1, x2, ..., xn, ... yoki qisqacha (xi) shaklida yoziladi. ...

Illustrated entsiklopedik lug'at SEQUENCE, va, ayol. 1. Ketma-ket ko'ring. 2. Matematikada: cheksiz tartibli sonlar to‘plami. Ozhegovning tushuntirish lug'ati. S.I. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949-1992…

Ozhegovning tushuntirish lug'ati Ingliz ketma-ketlik/ketma-ketlik; nemis Konsequenz. 1. Birin-ketin tartib. 2. Matematikaning asosiy tushunchalaridan biri. 3. Sifat to'g'ri mantiqiy fikrlash Sotsiologiya entsiklopediyasi

Keyingi ketma-ketlik- "qiymatlari to'plami har qanday tabiatdagi elementlardan iborat bo'lishi mumkin bo'lgan natural sonlar to'plamida aniqlangan funktsiya: raqamlar, nuqtalar, funktsiyalar, vektorlar, to'plamlar, tasodifiy o'zgaruvchilar natural sonlar bilan raqamlangan va hokazo... Iqtisodiy va matematik lug'at

Kitoblar

• Biz ketma-ketlikni yaratamiz. Mushukchalar. 2-3 yil. "Mushukchalar" o'yini. Biz ketma-ketlikni yaratamiz. 1-darajali. Seriya" Maktabgacha ta'lim". Quvnoq mushukchalar sohilda quyoshga botishga qaror qilishdi! Lekin ular shunchaki bo'sh joyni ajrata olmaydilar. Ularga buni tushunishga yordam bering!…

Agar funktsiya N natural sonlar to'plamida aniqlangan bo'lsa, unda bunday funktsiya cheksiz sonlar ketma-ketligi deyiladi. Odatda, sonlar ketma-ketligi (Xn) sifatida belgilanadi, bu erda n natural sonlar to'plamiga tegishlidir.

Raqamlar ketma-ketligi formula bilan belgilanishi mumkin. Masalan, Xn=1/(2*n). Shunday qilib, har bir natural son n ni ketma-ketlikning ma'lum bir elementi (Xn) bilan bog'laymiz.

Agar biz ketma-ket n ni 1,2,3, …. ga teng olsak, (Xn) ketma-ketlikni olamiz: ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Ketma-ketlik turlari

Ketma-ketlik cheklangan yoki cheksiz, ortib yoki kamayishi mumkin.

Ketma-ket (Xn) chaqiradi cheklangan, agar natural sonlar to‘plamiga tegishli bo‘lgan har qanday n ta uchun ikkita m va M son mavjud bo‘lsa, m tengligi bajariladi.<=Xn

Ketma-ket (Xn), cheklangan emas, chegaralanmagan ketma-ketlik deyiladi.

oshirish, agar barcha natural n uchun quyidagi X(n+1) > Xn tenglik bajarilsa. Boshqacha qilib aytganda, ikkinchisidan boshlab ketma-ketlikning har bir a'zosi oldingi a'zodan katta bo'lishi kerak.

(Xn) ketma-ketlik deyiladi pasayish, agar barcha natural n uchun quyidagi tenglik X(n+1) bajarilsa< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Ketma-ketlik misoli

1/n va (n-1)/n ketma-ketliklari kamayib borayotganini tekshirib ko'ramiz.

Agar ketma-ketlik kamayib borayotgan bo'lsa, X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Bu (n-1)/n ketma-ketligini bildiradi. ortib bormoqda.

Mayli X (\displaystyle X) yoki haqiqiy sonlar to'plamidir R (\displaystyle \mathbb (R)), yoki to'plam murakkab sonlar C (\displaystyle \mathbb (C)). Keyin ketma-ketlik ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) to'plamning elementlari X (\displaystyle X) chaqirdi raqamli ketma-ketlik.

Misollar

Ketma-ketliklar ustida amallar

Quyi ketma-ketliklar

Keyingi ketma-ketlik ketma-ketliklar (x n) (\displaystyle (x_(n)))- bu ketma-ketlik (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Qayerda (n k) (\displaystyle (n_(k)))- natural sonlar to'plami elementlarining ortib borayotgan ketma-ketligi.

Boshqacha qilib aytganda, ketma-ketlik chekli yoki sanaladigan sonli elementlarni olib tashlash orqali ketma-ketlikdan olinadi.

Misollar

• Tut sonlar ketma-ketligi natural sonlar ketma-ketligining kichik ketma-ketligidir.
• ga karrali natural sonlar ketma-ketligi juft natural sonlar ketma-ketligining kichik ketma-ketligidir.

Xususiyatlari

Ketma-ket chegara nuqtasi Bu ketma-ketlikning cheksiz ko'p elementlari mavjud bo'lgan har qanday mahalladagi nuqta. Konvergent sonlar ketma-ketligi uchun chegara nuqtasi chegara bilan mos keladi.

Ketma-ketlik chegarasi

Ketma-ketlik chegarasi - bu raqam ortishi bilan ketma-ketlik a'zolari yaqinlashadigan ob'ekt. Shunday qilib, ixtiyoriy topologik fazoda ketma-ketlikning chegarasi ma'lum bir nuqtadan boshlab ketma-ketlikning barcha a'zolari yotadigan har qanday qo'shnilikdagi elementdir. Xususan, sonlar ketma-ketligi uchun chegara - bu ketma-ketlikning ma'lum bir nuqtadan boshlab barcha a'zolari yotadigan har qanday qo'shnisidagi son.

Asosiy ketma-ketliklar

Asosiy ketma-ketlik (konvergent ketma-ketlik , Koshi ketma-ketligi ) - metrik fazoning elementlar ketma-ketligi bo'lib, unda oldindan har qanday berilgan masofa uchun quyidagi elementlarning birortasiga masofasi berilganidan oshmaydigan element mavjud. Raqamli ketma-ketliklar uchun fundamental va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar tushunchalari ekvivalentdir, lekin umuman olganda bunday emas.