Tebranishlar pasayganda nima o'zgaradi? Damping koeffitsienti

Haqiqiy tebranish sistemalarida kvazilastik kuchlardan tashqari muhitning qarshilik kuchlari ham mavjud. Ishqalanish kuchlarining mavjudligi energiyaning tarqalishiga va tebranishlar amplitudasining pasayishiga olib keladi. Harakatni sekinlashtirib, ishqalanish kuchlari davrni oshiradi, ya'ni. tebranish chastotasini pasaytiradi. Bunday tebranishlar garmonik bo'lmaydi.

Vaqt o'tishi bilan energiyaning tarqalishi tufayli amplitudasi doimiy ravishda kamayib boruvchi tebranishlar deyiladi. so'nish . Etarlicha past tezlikda ishqalanish kuchi tananing tezligiga mutanosib bo'lib, harakatga qarshi yo'naltiriladi.

Bu erda r - ishqalanish koeffitsienti, muhitning xususiyatlariga, harakatlanuvchi jismning shakli va hajmiga bog'liq. Ishqalanish kuchlari ishtirokidagi so'ndirilgan tebranishlarning differentsial tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

yoki
(21)

Qayerda
- zaiflashuv koeffitsienti,

- ishqalanish kuchlari bo'lmaganda erkin tebranishlarning tabiiy dumaloq chastotasi.

Kichik zaiflashuvlar (21) tenglamasining umumiy yechimi (
) bu:

U garmonikdan (8) farq qiladi, chunki tebranishlar amplitudasi:

(23)

vaqtning kamayuvchi funksiyasi va aylana chastotasidir tabiiy chastota bilan bog'liq va susaytirish koeffitsienti nisbat:

. (24)

Söndürülmüş tebranishlar davri quyidagilarga teng:

. (25)

X siljishning sönümli tebranishlarga bog'liqligi 4-rasmda ko'rsatilgan.

C amplitudaning pasayish darajasi zaiflashuv koeffitsienti bilan belgilanadi .

Vaqt davomida
amplituda (23) e ≈ 2,72 marta kamayadi. Vaqt keldi tabiiy susayish deyiladi dam olish vaqti. Shunday qilib, damping koeffitsienti bo'shashish vaqtining o'zaro nisbati hisoblanadi:

.(26)

Tebranishlar amplitudasining pasayish tezligi bilan tavsiflanadi logarifmik dampingning kamayishi. A(t) va A(t+T) bir davr bilan farq qiluvchi vaqt momentlariga mos keladigan ketma-ket ikkita tebranishning amplitudalari bo'lsin. Keyin munosabat:

(27)

chaqirdi dampingning pasayishi, bu davrga teng vaqt ichida tebranishlar amplitudasi necha marta kamayishini ko'rsatadi. Bu nisbatning natural logarifmi:

(28)

logarifmik damping dekrementi deb ataladi. Bu erda N e - amplitudaning e marta kamayishi vaqtida bajariladigan tebranishlar soni, ya'ni. dam olish vaqtida.

Shunday qilib, logarifmik damping kamayishi tebranishlar sonining o'zaro nisbati bo'lib, undan keyin tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi.

Tebranish sistemasi energiyasining kamayish tezligi Q sifat omili bilan tavsiflanadi. Tebranish tizimining sifat omili- tebranish tizimining umumiy energiyasi E(t) ning energiyaga nisbatiga proportsional qiymat (- E), T davrida yo'qolgan:

(29)

Vaqtning ixtiyoriy momentida va X ning istalgan qiymati uchun tebranish tizimining umumiy energiyasi quyidagi shaklga ega:

(30)

Energiya amplitudaning kvadratiga proportsional bo'lganligi sababli, sönümli tebranishlarning energiyasi kattalikka mutanosib ravishda kamayadi.
, yozishingiz mumkin:

. (31)

Keyin, ta'rifga ko'ra, tebranish tizimining sifat omilining ifodasi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Bu erda kichik zaiflashuvlar uchun (1) hisobga olinadi: 1-2   2.

Binobarin, sifat omili bo'shashish vaqtida tizim tomonidan bajariladigan tebranishlar soniga N e proportsionaldir.

Tebranish sistemalarining sifat koeffitsienti juda xilma-xil bo'lishi mumkin, masalan, fizik mayatnikning sifat koeffitsienti Q~ 10 2, tebranish sistemasi ham bo'lgan atomning sifat omili Q~ 10 8 ga etadi.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, b = ō 0 damping koeffitsienti bilan davr cheksiz T = ∞ (kritik damping) ga aylanadi. b ning yanada ortishi bilan T davri xayoliy bo'ladi va harakatning susayishi tebranishlarsiz, ular aytganidek, aperiodik tarzda sodir bo'ladi. Ushbu harakat holati 5-rasmda tasvirlangan. Kritik zaiflashuv (tinchlanish) minimal vaqt ichida sodir bo'ladi va muhim ahamiyatga ega o'lchash asboblari, masalan, ballistik galvanometrlarda .

IN MAJBUR Tebranishlar VA REZONANS

Massasi m bo‘lgan jismga elastik kuch F y = -kX ta’sir etsa, ishqalanish kuchi
va tashqi davriy kuch
, keyin u majburiy tebranishlarni amalga oshiradi. Ushbu holatda differensial tenglama harakat quyidagicha ko'rinadi:

Qayerda
,
- zaiflashuv koeffitsienti,
- tananing erkin so'nmagan tebranishlarining tabiiy chastotasi, F 0 - amplituda, ō - davriy kuchning chastotasi.

Vaqtning dastlabki momentida tashqi kuchning ishi ishqalanish uchun sarflanadigan energiyadan oshib ketadi (6-rasm). Jismning tebranishlarining energiyasi va amplitudasi tashqi kuch tomonidan berilgan barcha energiya tezlikka mutanosib bo'lgan ishqalanishni engishga to'liq sarflanmaguncha ortadi. Shuning uchun, kinetik va potensial energiya yig'indisi doimiy bo'lgan muvozanat o'rnatiladi. Bu holat tizimning statsionar holatini tavsiflaydi.

Bu holatda tananing harakati tashqi qo'zg'alish chastotasiga teng chastota bilan garmonik bo'ladi, lekin tananing inertsiyasi tufayli uning tebranishlari tashqi davriyning oniy qiymatiga nisbatan fazada siljiydi. kuch:

X = ACos(ōt + ph). (34)

Erkin tebranishlardan farqli o'laroq, majburiy tebranishlarning amplitudasi A va fazasi  harakatning boshlang'ich shartlariga bog'liq emas, balki faqat tebranish tizimining xususiyatlari, harakatlantiruvchi kuchning amplitudasi va chastotasi bilan belgilanadi:

, (35)

. (36)

Ko'rinib turibdiki, amplituda va faza siljishi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq (7, 8-rasm).

Majburiy tebranishlarning xarakterli xususiyati rezonansning mavjudligi. Fenomen harakatlantiruvchi kuch chastotasi jismning erkin so‘nmagan tebranishlarining tabiiy chastotasiga yaqinlashganda majburiy tebranishlar amplitudasining keskin ortishi ō 0 deyiladi. mexanik rezonans . Rezonans chastotasidagi tana tebranishlarining amplitudasi
maksimal qiymatiga etadi:

(37)

Rezonans egri chiziqlari bo'yicha (7-rasmga qarang), biz quyidagi izohlarni beramiz. Agar ō→ 0 bo'lsa, barcha egri chiziqlar (shuningdek, (35) ga qarang) bir xil noldan farqli chegara qiymatiga keladi.
, deb atalmish statistik og'ish. Agar ō→ ∞ bo'lsa, unda barcha egri chiziqlar asimptotik tarzda nolga intiladi.

Kam damping (b 2 ‹‹ō 0 2) sharoitida rezonans amplitudasi (qarang (37))

(37a)

Ushbu shartda biz rezonans siljishining statik og'ish nisbatini olamiz:

shundan ko'rinib turibdiki, rezonansdagi tebranishlar amplitudasining nisbiy ortishi tebranish tizimining sifat omili bilan belgilanadi. Bu erda sifat omili, mohiyatan, javobni oshirish omilidir
tizimi va past zaiflashuv bilan erishish mumkin katta qiymatlar.

Bu holat rezonans hodisasining fizika va texnikadagi ulkan ahamiyatini belgilaydi. Agar ular tebranishlarni kuchaytirmoqchi bo'lsalar, masalan, akustikada - musiqa asboblari ovozini kuchaytirish uchun, radiotexnikada - chastotada farq qiluvchi boshqa ko'plab signallardan kerakli signalni ajratish uchun ishlatiladi. Agar rezonans tebranishlarning istalmagan o'sishiga olib kelishi mumkin bo'lsa, past sifat omiliga ega tizimdan foydalaning.

BOG'LIQ TABLOVLAR

Tashqi davriy kuchning manbai birinchisiga elastik ravishda bog'langan ikkinchi tebranish tizimi bo'lishi mumkin. Ikkala tebranish tizimi bir-biriga ta'sir qilishi mumkin. Shunday qilib, masalan, ikkita bog'langan mayatnik holati (9-rasm).

Tizim fazada (9b-rasm) va fazaga qarshi (9c-rasm) tebranishlarni ham bajarishi mumkin. Bunday tebranishlar normal tip yoki tebranishlarning normal rejimi deb ataladi va o'zining normal chastotasi bilan tavsiflanadi. Faza ichidagi tebranishlarda mayatniklarning har doim siljishi X 1 = X 2 va chastota ō 1 bitta mayatnikning chastotasi bilan aynan bir xil bo'ladi.
. Bu yorug'lik kamonining erkin holatda bo'lishi va harakatga hech qanday ta'sir ko'rsatmasligi bilan izohlanadi. Har doim antifazali tebranishlar bilan - X 1 = X 2. Bunday tebranishlarning chastotasi kattaroq va tengdir
, chunki qattiqlik k ga ega bo'lgan va ulanishni amalga oshiradigan bahor har doim kengaytirilgan yoki siqilgan holatda bo'ladi.

L
Birlashtirilgan tizimimizning har qanday holati, shu jumladan X boshlang'ich siljishi (9a-rasm), ikkita normal rejimning superpozitsiyasi sifatida ifodalanishi mumkin:

Agar siz tizimni X 1 = 0 boshlang'ich holatidan harakatga keltirsangiz,
, X 2 = 2A,
,

u holda mayatniklarning siljishlari quyidagi iboralar bilan tavsiflanadi:

Shaklda. 10-rasmda alohida mayatniklarning vaqt o'tishi bilan siljishining o'zgarishi ko'rsatilgan.

Mayatniklarning tebranish chastotasi ikkita normal rejimning o'rtacha chastotasiga teng:

, (39)

va ularning amplitudasi oddiy rejimlar chastotasi farqining yarmiga teng bo'lgan past chastotali sinus yoki konus qonuniga muvofiq o'zgaradi:

. (40)

Oddiy rejimlar chastotalari farqining yarmiga teng chastotali amplitudaning sekin o'zgarishi deyiladi. “ uradi ” deyarli bir xil chastotali ikkita tebranish. "Urilish" chastotasi ō 1 - ō 2 chastotalar farqiga teng (va bu farqning yarmi emas), chunki chastotaga mos keladigan davrda maksimal amplituda 2A ga ikki marta erishiladi.

Shunday qilib, urish davri quyidagilarga teng bo'ladi:

(41)

Kaltaklanganda mayatniklar o'rtasida energiya almashinuvi sodir bo'ladi. Biroq, energiyaning to'liq almashinuvi faqat ikkala massa bir xil bo'lganda va nisbat (ō 1 + ŉ 2 / ō 1 -ō 2) butun songa teng bo'lganda mumkin bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, alohida mayatniklar energiya almashishi mumkin bo'lsa-da, oddiy rejimlar o'rtasida energiya almashinuvi yo'q.

Bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiluvchi va o'z energiyasini bir-biriga o'tkazishga qodir bo'lgan bunday tebranuvchi tizimlarning mavjudligi to'lqin harakatining asosini tashkil qiladi.

Elastik muhitga joylashtirilgan tebranuvchi material tanasi uni o'zi bilan birga olib boradi va olib boradi tebranish harakati unga qo'shni muhitning zarralari. Zarrachalar orasidagi elastik bog'lanishlar mavjudligi sababli tebranishlar butun muhitda ma'lum muhitga xos tezlikda tarqaladi.

Elastik muhitda tebranishlarning tarqalish jarayoni deyiladi to'lqin .

To'lqinlarning ikkita asosiy turi mavjud: uzunlamasına va ko'ndalang. Uzunlamasına to'lqinlarda muhitning zarralari to'lqin tarqalish yo'nalishi bo'yicha tebranadi va ko'ndalang holatda- to'lqinning tarqalish yo'nalishiga perpendikulyar. Ko'ndalang to'lqin tarqalishi har bir elastik muhitda mumkin emas. Ko'ndalang elastik to'lqin faqat elastik siljish deformatsiyasi sodir bo'lgan muhitda mumkin. Masalan, gazlar va suyuqliklarda faqat uzunlamasına elastik to'lqinlar (tovush) tarqaladi.

Vaqtning ma’lum bir nuqtasida tebranish yetib kelgan muhitdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi deyiladi to'lqin old . To'lqin jabhasi kosmosning to'lqin jarayonida ishtirok etgan qismini hali tebranishlar sodir bo'lmagan hududdan ajratib turadi. Old qismining shakliga ko'ra, to'lqinlar tekis, sferik, silindrsimon va boshqalarga bo'linadi.

Bir hil muhitda yo'qotishsiz tarqaladigan tekis to'lqin tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:
, (42)

Bu yerda p(X,t) koordinatasi X bo‘lgan muhit zarralarining t vaqtda muvozanat holatidan siljishi, A amplitudasi,
- to'lqin fazasi,
- muhit zarrachalarining dumaloq tebranish chastotasi, v - to'lqin tarqalish tezligi.

To'lqin uzunligi λ fazalar farqi 2p boʻlgan tebranish nuqtalari orasidagi masofa, boshqacha aytganda, toʻlqin uzunligi bir tebranish davridagi toʻlqinning istalgan fazasi bosib oʻtgan yoʻldir:

faza tezligi, ya'ni. Ushbu fazaning tarqalish tezligi:

l/T (44)

To'lqin raqami - 2p birlik uzunligiga to'g'ri keladigan to'lqin uzunliklari soni:

k = ō / v = 2p / l. (45)

Ushbu belgilarni (42) ga almashtirsak, monoxromatik to'lqin harakatlanuvchi tekislik tenglamasi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

(46)

E'tibor bering, to'lqin tenglamasi (46) koordinata va vaqt bo'yicha ikki baravar davriylikni ko'rsatadi. Haqiqatan ham, koordinata l ga o'zgarganda va vaqt T davriga o'zgarganda tebranishlarning fazalari bir-biriga to'g'ri keladi. Shuning uchun tekislikda to'lqinni grafik tasvirlash mumkin emas. Ko'pincha vaqt t qayd etiladi va r o'zgarishining X koordinatasiga bog'liqligi grafikda ko'rsatiladi, ya'ni. to'lqin tarqalish yo'nalishi bo'yicha o'rta zarrachalarning siljishlarini bir lahzada taqsimlash (11-rasm). Muhitdagi nuqtalar tebranishlarining Dph fazalar farqi shu nuqtalar orasidagi DX = X 2 – X 1 masofaga bog‘liq:

(47)

Agar to'lqin X yo'nalishiga qarama-qarshi tarqalsa, orqaga to'lqin tenglamasi quyidagicha yoziladi:

p (X,t) = ACos(ōt + kX). (48)

TURGAN TO'lqinlar natijadir maxsus turi to'lqin shovqini. Ular bir xil chastotalar va amplitudalar bilan bir-biriga qarab tarqaladigan ikkita harakatlanuvchi to'lqinlarning superpozitsiyasidan hosil bo'ladi.

X o'qi bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda tarqaladigan ikkita tekis to'lqinning tenglamalari:

p 1 =ASos(ōt – kX)

p 2 = ACos(ōt + kX). (49)

Ushbu tenglamalarni kosinuslar yig'indisi formulasidan foydalanib qo'shib, k = 2p / l ekanligini hisobga olsak, biz doimiy to'lqin tenglamasini olamiz:

. (50)

Cos ōt multiplikatori muhitning nuqtalarida amplitudali bir xil chastotali ō tebranish sodir bo'lishini ko'rsatadi.
, ko'rib chiqilayotgan nuqtaning X koordinatasiga bog'liq. Atrof-muhit nuqtalarida:
, (51)

tebranishlar amplitudasi maksimal 2A qiymatiga etadi. Bu nuqtalar deyiladi antinodlar.

(51) ifodadan siz antinodlarning koordinatalarini topishingiz mumkin:
(52)

Qaysi nuqtalarda
(53) tebranishlar amplitudasi nolga aylanadi. Bu nuqtalar deyiladi tugunlar.

Tugun koordinatalari:
. (54)

R Qo'shni antinodlar va qo'shni tugunlar orasidagi masofalar bir xil va l / 2 ga teng. Tugun va qo'shni antinod orasidagi masofa l / 4. Tugundan o'tayotganda, ko'paytiruvchi
belgisini o'zgartiradi, shuning uchun tugunning qarama-qarshi tomonlaridagi tebranishlarning fazalari p bilan farqlanadi, ya'ni. tugunning qarama-qarshi tomonlarida joylashgan nuqtalar antifazada tebranadi. Ikki qo'shni tugun orasidagi nuqtalar turli amplitudalar bilan tebranadi, lekin bir xil fazalar bilan.

Turg'un to'lqinda tugunlar va antinodlarning taqsimlanishi aks ettirish sodir bo'ladigan ikkita vosita orasidagi interfeysda yuzaga keladigan sharoitlarga bog'liq. Agar to'lqin zichroq muhitdan aks ettirilsa, u holda to'lqin aks ettirilgan joyda tebranishlar fazasi teskari tomonga o'zgaradi yoki ular aytganidek, to'lqinning yarmi yo'qoladi. Shuning uchun, qarama-qarshi yo'nalishdagi tebranishlarning qo'shilishi natijasida chegaradagi siljish nolga teng, ya'ni. tugun paydo bo'ladi (12-rasm). To'lqin kamroq zich muhit chegarasidan aks ettirilganda, ko'zgu joyidagi tebranishlar fazasi o'zgarishsiz qoladi va chegarada bir xil fazali tebranishlar qo'shiladi - antinod olinadi.

Turg'un to'lqinda faza harakati, to'lqin tarqalishi, energiya almashinuvi bo'lmaydi, shuning uchun bu turdagi to'lqin nomi bilan bog'liq.

Hozirgacha biz yuqorida aytib o'tilganidek, tizimda yagona kuch - elastik kuch yoki kvazi-elastik kuch mavjudligida paydo bo'ladigan garmonik tebranishlarni ko'rib chiqdik. Atrofimizdagi tabiatda, aniq aytganda, bunday tebranishlar mavjud emas. Haqiqiy tizimlarda elastik yoki kvazelastik kuchlardan tashqari, har doim ta'sir tabiati bilan elastik kuchlardan farq qiluvchi boshqa kuchlar mavjud - bular tizim jismlari bilan o'zaro ta'sirlashganda paydo bo'ladigan kuchlardir. muhit - dissipativ kuchlar. Ularning harakatlarining yakuniy natijasi o'tishdir mexanik energiya tanani issiqlikka aylantirish. Boshqacha aytganda, sochilish sodir bo'ladi yoki tarqalish mexanik energiya. Energiyani yo'qotish jarayoni faqat mexanik emas va uni tavsiflash uchun fizikaning boshqa sohalaridagi bilimlardan foydalanish kerak. Mexanika doirasida biz bu jarayonni ishqalanish yoki qarshilik kuchlarini kiritish orqali tasvirlashimiz mumkin. Energiyaning tarqalishi natijasida tebranish amplitudasi kamayadi. Bunday holda, tananing yoki jismlar tizimining tebranishlarini susaytirishini aytish odatiy holdir. Dampingli tebranishlar endi garmonik emas, chunki ularning amplitudasi va chastotasi vaqt o'tishi bilan o'zgaradi.

Tebranish sistemasida energiyaning tarqalishi tufayli doimiy kamayib borayotgan amplituda bilan sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. so'nish. Agar muvozanat holatidan chiqarilgan tebranish tizimi faqat ta'sir ostida tebransa. ichki kuchlar, qarshiliksiz va energiyaning tarqalishi (tarqalishi) bo'lmasa, unda sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. bepul(yoki o'z) so'nmagan tebranishlar. Haqiqatda mexanik tizimlar energiyaning tarqalishi bilan, erkin tebranishlar doimo so'ndiriladi. Ularning chastotasi ko'rsatkichi tizim tebranishlarining chastotasi co 0 dan dampingsiz farq qiladi (qarshilik kuchlarining ta'siri qanchalik katta bo'lsa, qarshilik kuchlarining ta'siri shunchalik katta bo'ladi).

Prujinali mayatnik misolida sönümli tebranishlarni ko'rib chiqamiz. Keling, kichik tebranishlarni hisobga olish bilan cheklanamiz. Past tebranish tezligida qarshilik kuchini olish mumkin kattaligiga mutanosib tebranishli siljish tezligi

Qayerda v = 4 - tebranish tezligi; G - tortish koeffitsienti deb ataladigan mutanosiblik omili. Qarshilik kuchining (2.79) ifodadagi minus belgisi uning tebranish jismining harakat tezligiga teskari yo'nalishda yo'naltirilganligi bilan bog'liq.

Kvazielastik kuch i^p = - va qarshilik kuchining ifodalarini bilish Fc= bu kuchlarning qo'shma ta'sirini hisobga olgan holda, biz sönümli tebranishlarni bajaradigan jism harakatining dinamik tenglamasini yozishimiz mumkin.

Ushbu tenglamada koeffitsientni (2.49 formulaga muvofiq 3) bilan almashtiramiz Siz], shundan so'ng biz oxirgi tenglamani ajratamiz va olamiz

Shaklning vaqt funksiyasi sifatida (2.81) tenglama yechimini qidiramiz

Bu erda y doimiy qiymati hali ham aniqlanmagan. Oddiylik uchun bizning ko'rib chiqishimizdagi dastlabki bosqich nolga teng deb qabul qilinadi, ya'ni. tebranish joyini siljitish muvozanat holatidan (nol koordinata) o'tganda biz sekundomerni "yoqishimiz" mumkin.

Biz y qiymatini sönümli tebranishlar differensial tenglamasiga (2.81) qabul qilingan yechimni (2.82) va undan olingan tezliklarni qoʻyish orqali aniqlashimiz mumkin.

va tezlashtirish

(2.83) va (2.84) ni (2.82) bilan (2.81) ga almashtirsak, /1 () ga kamaytirilgandan keyin e": " va "-1" ga ko'paytirilsa, biz buni hal qilamiz. kvadrat tenglama y ga nisbatan, bizda bor

(2.82) ga y ni qo'yib, susaytiruvchi tebranishlar vaqtida siljish vaqtga qanday bog'liqligini topamiz. Keling, belgi bilan tanishtiramiz

Bu erda co belgisi so'ndirilgan tebranishlarning burchak chastotasini va sönümsiz erkin tebranishlarning burchak chastotasini bildiradi. Ko'rinib turibdiki, S > 0 uchun sönümli tebranishlar chastotasi doimo chastotadan kam bo'ladi

Shunday qilib, va shuning uchun sönümli tebranishlar paytidagi siljish quyidagicha ifodalanishi mumkin

Ikkinchi ko'rsatkichdagi "+" yoki "-" belgisini tanlash ixtiyoriydir va tebranishlarning l ga fazaviy siljishiga mos keladi. Biz "+" belgisini tanlashni hisobga olgan holda so'yilgan tebranishlarni yozamiz, keyin (2.90) ifoda bo'ladi.

Bu joy almashishning vaqtga istalgan bog'liqligi. Uni qayta yozish ham mumkin trigonometrik shakl(haqiqiy qism bilan cheklangan)

Istalgan amplitudaga bog'liqlik A(t) vaqti-vaqti bilan sifatida ifodalanishi mumkin

Qayerda A(,- vaqtdagi amplituda t = 0.

Doimiy 8, (2.88) ga ko'ra qarshilik koeffitsienti nisbatiga teng G massasini ikki baravar oshirish uchun T tebranish jismi deyiladi tebranishlarni pasaytirish koeffitsienti. Keling, bilib olaylik jismoniy ma'no bu koeffitsient. Söndürülmüş tebranishlar amplitudasi e (tabiiy logarifmlar asosi e = 2,72) marta kamayishi t vaqtini topamiz. Buning uchun, keling, qo'ying

(2.93) munosabatidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz: yoki

shundan kelib chiqadi

Demak, susaytirish koeffitsienti 8 - t vaqtining o'zaro nisbati, shundan so'ng sönümli tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi. Vaqt o'lchamiga ega bo'lgan m miqdori deyiladi sönümli tebranish jarayonining vaqt konstantasi.

8 koeffitsientiga qo'shimcha ravishda, deb ataladigan logarifmik pasaytirish X, teng tabiiy logarifm davrga teng vaqt oralig'i bilan bir-biridan ajratilgan ikkita tebranish amplitudasining nisbati T

Belgi bilan ko'rsatilgan logarifm ostidagi ifoda d, oddiygina chaqiriladi tebranishlarning kamayishi (zaiflashning pasayishi).

(2.93) amplituda ifodasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Logarifmik susaytirishning fizik ma'nosini bilib olaylik. N tebranishdan keyin tebranishlar amplitudasi e marta kamaysin. Tana tugaydigan vaqt t N tebranishlarni t = davri orqali ifodalash mumkin N.T. Ushbu qiymat m ni (2.97) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz 8NT= 1. 67 "= A. dan beri, keyin NX = 1 yoki

Demak, logarifmik dampingning kamayishi- bu tebranishlar sonining o'zaro nisbati bo'lib, bunda so'ngan tebranishlar amplitudasi e marta kamayadi.

Ba'zi hollarda tebranish amplitudasining vaqtga bog'liqligi A(t) Uni logarifmik sönümli dekrement bilan ifodalash qulay A. Ko‘rsatkich 6 1 (2.93) ifodalarni (2.99) ga muvofiq quyidagicha yozish mumkin:

Keyin (2.93) ifoda shaklni oladi

miqdori qayerda, soniga teng N t vaqt ichida tizim tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar.

2.1-jadvalda ba'zi tebranish tizimlarining logarifmik susaytirishlarining taxminiy qiymatlari (kattalik tartibida) ko'rsatilgan.

2.1-jadval

Ba'zi tebranish tizimlarining zaiflashuvining pasayishi qiymatlari

Keling, qarshilik kuchlarining tebranish chastotasiga ta'sirini tahlil qilaylik. Jism muvozanat holatidan harakatlansa va muvozanat holatiga qaytsa, unga doimo qarshilik kuchi ta'sir qiladi va bu uning sekinlashishiga olib keladi.

Bu shuni anglatadiki, sönümli tebranishlar paytida yo'lning bir xil qismlari erkin tebranishlarga qaraganda kattaroq vaqt oralig'ida tana tomonidan qoplanadi. Söndürülmüş tebranishlar davri T, shuning uchun tabiiy erkin tebranishlarning ko'proq davri bo'ladi. (2.89) ifodadan ko'rinib turibdiki, chastotalar farqi qanchalik katta bo'lsa, zaiflashuv koeffitsienti b. Katta b (b > coo) uchun sönümli tebranishlar degeneratsiyalanadi aperiodik (davriy bo'lmagan) jarayon, bunda, dastlabki shartlarga qarab, tizim undan o'tmasdan darhol muvozanat holatiga qaytadi yoki to'xtashdan oldin u muvozanat holatidan bir marta o'tadi (faqat bitta tebranish bajaradi) - rasmga qarang. 2.16.

Guruch. 2.16. Söndürülmüş tebranishlar:

2.16-rasmda, A bog'liqlik grafigini ko'rsatadi %(t) Va A(t)(5 > co 0 va dastlabki faza so da, tebranishlar mutlaqo mumkin emas (bu holat tenglikdan (2.89) aniqlangan chastotaning xayoliy qiymatiga toʻgʻri keladi). Tizim susayadi, tebranish jarayoni aperiodik boʻladi (2.16-rasm, b).

Exp(x) belgisi e* ga teng. Biz ikkala shakldan ham foydalanamiz.
Tebranishlarni umumiy ko'rib chiqishda, tebranish fazasining to'liq qiymati dastlabki shartlar bilan, ya'ni. vaqtning boshlang'ich momentida (t = 0) siljishning kattaligi 4(0 va tezlik 4(0) va atamani o'z ichiga oladi.

§6 Söndürülmüş tebranishlar

Zaiflashning pasayishi. Logarifmik dampingning kamayishi.

Haqiqiy sharoitda texnik tizimlarning erkin tebranishlari qarshilik kuchlari ularga ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Ushbu kuchlarning ta'siri tebranish qiymatining amplitudasining pasayishiga olib keladi.

Haqiqiy tebranish tizimining energiya yo'qotishlari tufayli vaqt o'tishi bilan amplitudasi kamayib boruvchi tebranishlar deyiladi. so'nish.

Eng tez-tez uchraydigan holatlar qarshilik kuchi harakat tezligiga mutanosib bo'lganda

Qayerda r- muhitning qarshilik koeffitsienti. Minus belgisi buni ko'rsatadiF Ctezlikka qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan.

Qarshilik koeffitsienti bo'lgan muhitda tebranayotgan nuqtadagi tebranishlar tenglamasini yozamiz.r. Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra

bu yerda b - susaytirish koeffitsienti. Bu koeffitsient tebranishlarning pasayish tezligini tavsiflaydi, qarshilik kuchlari mavjud bo'lganda, tebranish tizimining energiyasi asta-sekin kamayadi va tebranishlar o'ladi.

- sönümli tebranishlarning differensial tenglamasi.

U sönümli tebranishlarni tenglashtirish.

ō - sönümli tebranishlar chastotasi:

Söndürülmüş tebranishlar davri:

Qattiq e'tiborga olinsa, dampingli tebranishlar davriy emas. Shuning uchun, b kichik bo'lganda, so'yilgan tebranishlar davri haqida gapirish mumkin.

Agar zaiflashuv zaif ifodalangan bo'lsa (b→0), u holda. Dampingli tebranishlar bo'lishi mumkin

amplitudasi eksponensial qonunga ko'ra o'zgarib turadigan garmonik tebranishlar deb hisoblanadi.

(1) tenglamada A 0 va ph 0 - vaqt momentini tanlashga bog'liq bo'lgan ixtiyoriy doimiylar, shundan boshlab biz tebranishlarni ko'rib chiqamiz.

Bir muncha vaqt t tebranishini ko'rib chiqaylik, bu vaqt davomida amplituda ga kamayadi e bir marta

t - dam olish vaqti.

Damping koeffitsienti b amplituda pasaygan vaqtga teskari proportsionaldir. e bir marta. Biroq, tebranishlarning dampingini tavsiflash uchun damping koeffitsienti etarli emas. Shuning uchun tebranishlarni yumshatish uchun xarakteristikani kiritish kerak, bu bir tebranish vaqtini o'z ichiga oladi. Bu xususiyat kamaytirish(rus tilida: kamaytirish) susaytirish D, bu vaqt bo'yicha davr bilan ajratilgan amplitudalar nisbatiga teng:

Logarifmik dampingning kamayishi logarifmga teng D:

Logarifmik susaytirishning pasayishi tebranishlar soniga teskari proportsional bo'lib, buning natijasida tebranishlar amplitudasi kamaydi. e bir marta. Logarifmik damping kamayishi berilgan tizim uchun doimiy qiymatdir.

Tebranish tizimining yana bir xususiyati sifat omilidirQ.

Sifat omili gevşeme vaqtida tizim tomonidan amalga oshirilgan tebranishlar soniga proportsionaldir t.

Qtebranish tizimi energiyaning nisbiy tarqalishi (tarqalishi) o'lchovidir.

Qtebranish tizimi - elastiklik kuchi qarshilik kuchidan necha marta katta ekanligini ko'rsatadigan raqam.

Sifat omili qanchalik yuqori bo'lsa, damping shunchalik sekin sodir bo'ladi, so'yilgan tebranishlar erkin garmoniklarga yaqinroq bo'ladi.

§7 Majburiy tebranishlar.

Rezonans

Bir qator hollarda uzluksiz tebranishlarni amalga oshiradigan tizimlarni yaratish zarurati tug'iladi. Vaqti-vaqti bilan o'zgaruvchan kuch bilan tizimga ta'sir qilish orqali energiya yo'qotishlarini qoplasangiz, tizimda so'nmaydigan tebranishlarni olish mumkin.

Mayli

Harakat tenglamasining ifodasini yozamiz moddiy nuqta, harakatlantiruvchi kuch ta'sirida garmonik tebranish harakatini amalga oshirish.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra:

(1)

Majburiy tebranishlarning differensial tenglamasi.

Bu differentsial tenglama chiziqli bir jinsli emas.

Uning yechimi yig'indiga teng umumiy yechim bir jinsli tenglama va bir hil bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimi:

Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning maxsus yechimini topamiz. Buning uchun (1) tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:

(2)

Ushbu tenglamaning muayyan yechimini quyidagi shaklda izlaymiz:

Keyin

(2) ni almashtiramiz:

chunki har qanday uchun ishlaydit, u holda g = ō tengligi bajarilishi kerak, demak,

Bu murakkab son shaklda ifodalash qulaydir

Qayerda A formula (quyida 3), va ph - formula (4) bo'yicha aniqlanadi, shuning uchun, eritma (2), in murakkab shakl o'xshaydi

Uning (1) tenglamaning yechimi bo'lgan haqiqiy qismi quyidagilarga teng:

Qayerda

(3)

(4)

X o.o atamasi. majburiy tebranishlar amplitudasi tenglik (3) bilan aniqlangan qiymatga yetguncha tebranishlar o'rnatilgandagina dastlabki bosqichda muhim rol o'ynaydi. Stabil holatda majburiy tebranishlar ō chastotasi bilan sodir bo'ladi va garmonikdir. Majburiy tebranishlarning amplitudasi (3) va fazasi (4) harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Harakatlanuvchi kuchning ma'lum bir chastotasida amplituda juda katta qiymatlarga yetishi mumkin. Harakatlanuvchi kuchning chastotasi mexanik tizimning tabiiy chastotasiga yaqinlashganda majburiy tebranishlar amplitudasining keskin oshishi deyiladi. rezonans.

Rezonans kuzatiladigan harakatlantiruvchi kuchning ō chastotasi rezonans deb ataladi. ō res qiymatini topish uchun maksimal amplituda shartini topish kerak. Buning uchun siz (3) dagi maxrajning minimal shartini aniqlashingiz kerak (ya'ni, ekstremum uchun (3) ni tekshiring).

Tebranuvchi kattalik amplitudasining harakatlantiruvchi kuch chastotasiga bog'liqligi deyiladi. rezonans egri chizig'i. Damping koeffitsienti b qanchalik past bo'lsa, rezonans egri chizig'i shunchalik yuqori bo'ladi va b kamayishi bilan rezonans egri chizig'ining maksimal qismi o'ngga siljiydi. Agar b = 0 bo'lsa, u holda

ō res = ō 0.

ō→0 bo'lganda barcha egri chiziqlar qiymatga keladi- statik og'ish.

Parametrik rezonans tizim parametrlaridan birining davriy o'zgarishi tebranuvchi tizim amplitudasining keskin oshishiga olib kelganda yuzaga keladi. Masalan, tizimning og'irlik markazining o'rnini o'zgartirib, "quyosh" ni yaratadigan kabinalar ("qayiqlar" da ham xuddi shunday.) §61.t. 1 Savelyev I.V.

O'z-o'zidan tebranishlar - bu bir xil tizimda joylashgan energiya manbai tufayli tizimning o'zi ta'siri natijasida vaqti-vaqti bilan energiyasi to'ldiriladigan tebranishlar. Qarang: §59 t.1 Savelyev I.V.

Zaiflashning sababi shundaki, har qanday tebranish tizimida, tiklovchi kuchdan tashqari, har doim havo qarshiligining har xil turlari mavjud.

harakatni sekinlashtiradigan va hokazo. Har bir tebranishda bir qism ishqalanish kuchlariga qarshi ishlashga sarflanadi. Oxir-oqibat, bu ish dastlab tebranish tizimiga etkazib beriladigan energiyaning barcha ta'minotini iste'mol qiladi.

Ko'rib chiqilayotganda, biz ideal, qat'iy davriy tabiiy tebranishlar bilan shug'ullangan edik. Haqiqiy tebranishlarni tasvirlash uchun bunday modeldan foydalangan holda, biz ataylab tavsifda noaniqlikka yo'l qo'yamiz. Biroq, bunday soddalashtirish ko'plab tebranish tizimlarida ishqalanish natijasida yuzaga keladigan tebranishlarning susaytirishi haqiqatan ham kichik bo'lganligi sababli mos keladi: tizim sezilarli darajada kamayguncha ko'plab tebranishlarni amalga oshirishga muvaffaq bo'ladi.

Söndürülmüş tebranishlar grafiklari

Zaiflashuv mavjud bo'lganda, tabiiy tebranish (1-rasm) garmonik bo'lishni to'xtatadi. Bundan tashqari, sönümli tebranish davriy jarayon bo'lishni to'xtatadi - ishqalanish nafaqat tebranishlar amplitudasiga (ya'ni sönümleme sabab bo'ladi), balki tebranishlar davomiyligiga ham ta'sir qiladi. Ishqalanish kuchayishi bilan tizimning bitta to'liq tebranishini bajarish uchun zarur bo'lgan vaqt ortadi. Söndürülmüş tebranishlar grafigi rasmda ko'rsatilgan. 2.

1-rasm. Bepul harmonik grafik

2-rasm. Damlangan tebranish grafigi

Tebranish tizimlarining xarakterli xususiyati shundaki, engil ishqalanish tebranish davriga amplitudaga qaraganda ancha kam ta'sir qiladi. Bu holat o'ynadi katta rol soatlarni yaxshilashda. Birinchi soatni 1673-yilda golland fizigi va matematigi Kristian Gyuygens qurgan.Bu yilni zamonaviy soat mexanizmlarining tug‘ilgan kuni deb hisoblash mumkin. Sarkacli soatlarning harakati ishqalanish tufayli yuzaga keladigan o'zgarishlarga unchalik sezgir emas, bu umuman ko'p omillarga bog'liq, oldingi sarkaçli soatlarning tezligi esa ishqalanishga juda bog'liq edi.

Amalda, tebranishlarni yumshatishni ham kamaytirish, ham oshirish zarurati mavjud. Masalan, soat harakatlarini loyihalashda ular soat balanslagichining tebranishlarini yumshatishni kamaytirishga intiladi. Buning uchun muvozanat o'qi o'tkir uchlari bilan jihozlangan bo'lib, ular qattiq toshdan (agat yoki yoqut) yaxshi sayqallangan konussimon podshipniklarga tayanadi. Aksincha, ko'plab o'lchash asboblarida o'lchash jarayonida qurilmaning harakatlanuvchi qismi tezda o'rnatilishi juda ma'qul, lekin katta raqam ikkilanish. Bu holda zaiflashuvni oshirish uchun turli xil amortizatorlar qo'llaniladi - ishqalanishni va umuman energiya yo'qotilishini oshiradigan qurilmalar.

Ushbu bo'limni o'rganayotganda, iltimos, buni yodda tuting tebranishlar turli jismoniy tabiatga ega bo'lganlar umumiy matematik pozitsiyalardan tasvirlangan. Bu erda garmonik tebranish, faza, fazalar farqi, amplituda, chastota, tebranish davri kabi tushunchalarni aniq tushunish kerak.

Shuni yodda tutish kerakki, har qanday haqiqiy tebranish tizimida muhitning qarshiligi mavjud, ya'ni. tebranishlar susayadi. Tebranishlarning yumshatilishini tavsiflash uchun damping koeffitsienti va logarifmik dekrement kiritiladi.

Agar tebranishlar tashqi, davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida sodir bo'lsa, unda bunday tebranishlar majburiy deyiladi. Ular siqilmagan bo'ladi. Majburiy tebranishlarning amplitudasi harakatlantiruvchi kuchning chastotasiga bog'liq. Majburiy tebranishlar chastotasi tabiiy tebranishlar chastotasiga yaqinlashganda, majburiy tebranishlar amplitudasi keskin ortadi. Bu hodisa rezonans deb ataladi.

Elektromagnit to'lqinlarni o'rganishga o'tayotganda, buni aniq tushunishingiz kerakelektromagnit to'lqinkosmosda tarqaladigan elektromagnit maydondir. Eng oddiy tizim elektromagnit to'lqinlarni chiqaradigan elektr dipoldir. Agar dipol garmonik tebranishlarga duchor bo'lsa, u monoxromatik to'lqin chiqaradi.