Agar ma'lum bo'lsa, to'rtburchakning diagonalini qanday topish mumkin. Geometrik shakllar

To'rtburchakning diagonalini topish masalasini uch xil usulda shakllantirish mumkin. Keling, ularning har birini batafsil ko'rib chiqaylik. Usullar ma'lum ma'lumotlarga bog'liq, shuning uchun to'rtburchakning diagonalini qanday topish mumkin?

Agar ikki tomon ma'lum bo'lsa

To'rtburchakning a va b tomonlari ma'lum bo'lsa, diagonalini topish uchun Pifagor teoremasidan foydalanish kerak: a 2 + b 2 =c 2, bu erda a va b - to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari, c to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi. To'rtburchakda diagonal chizilganda u ikkiga bo'linadi to'g'ri uchburchak. Biz bu to'g'ri burchakli uchburchakning ikki tomonini bilamiz (a va b). Ya'ni, to'rtburchakning diagonalini topish uchun quyidagi formula kerak bo'ladi: c=√(a 2 +b 2), bu erda c - to'rtburchak diagonalining uzunligi.

Ma'lum tomon va burchak bo'yicha, yon va diagonal o'rtasida

To‘rtburchakning a tomoni va uning diagonali a bilan hosil qilgan burchagi ma’lum bo‘lsin. Birinchidan, kosinus formulasini eslaylik: cos a = a/c, bu erda c - to'rtburchakning diagonali. Ushbu formuladan to'rtburchakning diagonalini qanday hisoblash mumkin: c = a/cos a.

Ma'lum tomon bo'ylab, to'rtburchakning qo'shni tomoni va diagonali orasidagi burchak.

To'rtburchakning diagonali to'rtburchakning o'zini ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka bo'lganligi sababli, sinus ta'rifiga murojaat qilish mantiqan to'g'ri keladi. Sinus - bu burchakka qarama-qarshi bo'lgan oyoqning gipotenuzaga nisbati a = b / c. Bu erdan biz to'rtburchakning diagonalini topish formulasini olamiz, bu ham to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi: c = b/sin a.

Endi siz bu masalada aqllisiz. Ertaga geometriya o'qituvchingizni xursand qilishingiz mumkin!

Ta'rif.

To'rtburchak qarama-qarshi tomonlari teng va barcha to'rt burchaklari teng bo'lgan to'rtburchak.

To'rtburchaklar bir-biridan faqat uzun tomonning qisqa tomoniga nisbati bilan farqlanadi, lekin barcha to'rtta burchak to'g'ri, ya'ni 90 daraja.

To'rtburchakning uzun tomoni deyiladi to'rtburchak uzunligi, va qisqasi - to'rtburchaklar kengligi.

To'rtburchakning tomonlari ham uning balandligidir.


To'rtburchakning asosiy xossalari

To'rtburchak parallelogramm, kvadrat yoki romb bo'lishi mumkin.

1. Qarama-qarshi tomonlar to'rtburchaklar bir xil uzunlikka ega, ya'ni ular tengdir:

AB = CD, BC = AD

2. To‘rtburchakning qarama-qarshi tomonlari parallel:

3. To‘g‘ri to‘rtburchakning qo‘shni tomonlari doimo perpendikulyar:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. To‘rtburchakning barcha to‘rt burchagi to‘g‘ri:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. To‘rtburchak burchaklarining yig‘indisi 360 ga teng:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. To‘rtburchakning diagonallari bir xil uzunlikka ega:

7. To‘g‘ri to‘rtburchak diagonali kvadratlari yig‘indisi tomonlari kvadratlari yig‘indisiga teng:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. To'rtburchakning har bir diagonali to'rtburchakni ikkita bir xil figuraga, ya'ni to'g'ri burchakli uchburchaklarga ajratadi.

9. To'rtburchakning diagonallari kesishadi va kesishish nuqtasida yarmiga bo'linadi:

AO=BO=CO=DO= d
2

10. Diagonallarning kesishish nuqtasi to‘rtburchakning markazi deyiladi va aylana markazi ham hisoblanadi.

11. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonali aylana diametriga teng

12. To‘rtburchak atrofidagi aylanani har doim tasvirlashingiz mumkin, chunki qarama-qarshi burchaklar yig‘indisi 180 gradusga teng:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Uzunligi uning eniga teng bo‘lmagan to‘rtburchak ichiga aylana chizib bo‘lmaydi, chunki qarama-qarshi tomonlarning yig‘indisi bir-biriga teng bo‘lmagan (aylana faqat o‘z ichiga chizilishi mumkin). maxsus holat to'rtburchak - kvadrat).


To'rtburchakning tomonlari

Ta'rif.

To'rtburchak uzunligi uning uzunroq juft tomonining uzunligi. To'rtburchaklar kengligi uning qisqaroq juft tomonining uzunligi.

To'g'ri to'rtburchak tomonlarining uzunliklarini aniqlash uchun formulalar

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonali va boshqa tomoni orqali o‘tadigan tomoni (to‘rtburchakning uzunligi va kengligi) formulasi:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning yon tomoni (to‘rtburchakning uzunligi va eni) maydoni va boshqa tomoni bo‘ylab o‘tish formulasi:

b = dcosβ
2

To'rtburchakning diagonali

Ta'rif.

Diagonal to'rtburchak To'rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining ikkita uchini bog'laydigan har qanday segment deyiladi.

To'rtburchak diagonalining uzunligini aniqlash uchun formulalar

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki tomoni yordamida diagonali formulasi (Pifagor teoremasi orqali):

d = √ a 2 + b 2

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning maydoni va istalgan tomoni yordamida diagonali uchun formula:

4. Cheklangan doira radiusi bo‘yicha to‘rtburchakning diagonali formulasi:

d = 2R

5. Doira diametri bo'yicha to'rtburchak diagonalining formulasi:

d = D o

6. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonali uchun diagonalga tutashgan burchak sinusi va shu burchakka qarama-qarshi tomon uzunligidan foydalangan holda formulasi:

8. To‘g‘ri to‘rtburchakning sinus orqali diagonalining formulasi o'tkir burchak diagonallar va to'rtburchaklar maydoni o'rtasida

d = √2S: gunoh b


To'rtburchakning perimetri

Ta'rif.

To'rtburchakning perimetri to'rtburchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisidir.

To'rtburchak perimetri uzunligini aniqlash uchun formulalar

1. To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki tomonini ishlatib, uning perimetri formulasi:

P = 2a + 2b

P = 2(a + b)

2. To‘g‘ri to‘rtburchakning maydon va istalgan tomoni yordamida perimetri formulasi:

P=2S + 2a 2 = 2S + 2b 2
ab

3. To‘g‘ri to‘rtburchakning diagonali va istalgan tomoni yordamida perimetri formulasi:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Cheklangan aylana va istalgan tomonning radiusi yordamida to‘rtburchakning perimetri formulasi:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. Doira diametri va istalgan tomoni yordamida to‘rtburchakning perimetri formulasi:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)


To'rtburchakning maydoni

Ta'rif.

To'rtburchakning maydoni to'rtburchakning tomonlari bilan chegaralangan bo'shliq, ya'ni to'rtburchakning perimetri ichida deyiladi.

To'rtburchakning maydonini aniqlash uchun formulalar

1. Ikki tomonini ishlatadigan to'rtburchakning maydoni uchun formula:

S = a b

2. To'rtburchakning perimetri va istalgan tomoni yordamida maydoni uchun formula:

5. Cheklangan doira va istalgan tomonning radiusidan foydalangan holda to'rtburchakning maydoni uchun formula:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. Doira diametri va istalgan tomoni yordamida to'rtburchakning maydoni uchun formula:

S = a √D o 2 - a 2= b √D o 2 - b 2


To'rtburchak atrofida aylana chizilgan

Ta'rif.

To'rtburchak atrofida aylana to'rtburchakning to'rtta uchidan o'tuvchi aylana bo'lib, uning markazi to'rtburchakning diagonallari kesishmasida joylashgan.

To'rtburchak atrofida aylana radiusini aniqlash formulalari

1. Ikki tomondan to‘rtburchak atrofida aylana radiusi formulasi:

barcha burchaklari 90° ga, qarama-qarshi tomonlari esa parallel va juft boʻlib teng boʻlgan parallelogramma.

To'rtburchaklar bir nechta inkor etilmaydigan xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'plab muammolarni hal qilishda, to'rtburchaklar maydoni va uning perimetri uchun formulalarda qo'llaniladi. Mana ular:

To'rtburchakning noma'lum tomoni yoki diagonali uzunligi Pifagor teoremasi yordamida yoki undan foydalanib hisoblanadi. To'rtburchakning maydonini ikki yo'l bilan topish mumkin - uning tomonlari ko'paytmasi yoki diagonal bo'ylab to'rtburchakning maydoni formulasi bilan. Birinchi va eng oddiy formula quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu formuladan foydalangan holda to'rtburchaklar maydonini hisoblash misoli juda oddiy. Ikki tomonni bilib, masalan, a = 3 sm, b = 5 sm, biz to'rtburchakning maydonini osongina hisoblashimiz mumkin:
Biz bunday to'rtburchakda maydon 15 kvadrat metrga teng bo'lishini topamiz. sm.

Diagonallar orqali to'rtburchakning maydoni

Ba'zan diagonallar orqali to'rtburchaklar maydoni uchun formulani qo'llash kerak. Bu nafaqat diagonallarning uzunligini, balki ular orasidagi burchakni ham aniqlashni talab qiladi:

Keling, diagonallar yordamida to'rtburchakning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Diagonali d = 6 sm va burchagi = 30 ° bo'lgan to'rtburchak berilsin. Biz ma'lumotlarni allaqachon ma'lum bo'lgan formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib, to'rtburchakning maydonini diagonal orqali hisoblash misoli, agar burchak berilgan bo'lsa, maydonni shu tarzda topish juda oddiy ekanligini ko'rsatdi.
Keling, miyamizni biroz cho'zishga yordam beradigan yana bir qiziqarli muammoni ko'rib chiqaylik.

Vazifa: Kvadrat berilgan. Uning maydoni 36 kvadrat metrni tashkil qiladi. sm, bir tomonining uzunligi 9 sm va maydoni yuqorida berilgan kvadrat bilan bir xil bo'lgan to'rtburchakning perimetrini toping.
Shunday qilib, bizda bir nechta shartlar mavjud. Aniqlik uchun barcha ma'lum va noma'lum parametrlarni ko'rish uchun ularni yozamiz:
Shaklning tomonlari parallel va juftlikda teng. Shunday qilib, rasmning perimetri tomonlarning uzunliklari yig'indisining ikki barobariga teng:
Shaklning ikki tomonining mahsulotiga teng bo'lgan to'rtburchakning maydoni formulasidan biz b tomonining uzunligini topamiz.
Bu yerdan:
Biz ma'lum ma'lumotlarni almashtiramiz va b tomonining uzunligini topamiz:
Shaklning perimetrini hisoblang:
Shunday qilib, bir nechta oddiy formulalarni bilib, uning maydonini bilib, to'rtburchakning perimetrini hisoblashingiz mumkin.

Tarkib:

Diagonal to'rtburchakning ikkita qarama-qarshi cho'qqisini bog'laydigan chiziq segmentidir. To'rtburchakning ikkita teng diagonali bor. To'rtburchakning tomonlari ma'lum bo'lsa, diagonalni Pifagor teoremasi yordamida topish mumkin, chunki diagonal to'rtburchakni ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Agar tomonlar berilmagan bo'lsa, lekin boshqa miqdorlar ma'lum bo'lsa, masalan, maydon va perimetr yoki tomonlar nisbati, siz to'rtburchakning tomonlarini topishingiz va keyin diagonalni hisoblash uchun Pifagor teoremasidan foydalanishingiz mumkin.

Qadamlar

1 Yonlarda

  1. 1 Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
  2. 2 Tomonlar qiymatlarini formulaga almashtiring. Ular muammoda berilgan yoki o'lchash kerak. Yon qiymatlar 3 ga almashtiriladi
    • Bizning misolimizda:
      4 2 + 3 2 = c 2 4

      2 Maydoni va perimetri bo'yicha

      1. 1 Formula: S = l w (rasmda S o'rniga A belgisi ishlatilgan.)
      2. 2 Bu qiymat S 3 ga almashtiriladi w 4 ni ajratib olish uchun formulani qayta yozing To'rtburchakning perimetrini hisoblash uchun formulani yozing. Formula: P = 2 (w + l)
      3. 5 To'rtburchakning perimetrini formulaga almashtiring. Bu qiymat P 6 ga almashtiriladi Tenglamaning ikkala tomonini 2 ga bo'ling. To'rtburchakning tomonlari yig'indisini olasiz, ya'ni w + l 7 w 8 ni hisoblash uchun ifodani formulaga almashtiring Fraksiyadan xalos bo'ling. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonini l 9 ga ko'paytiring Tenglamani 0 ga tenglashtiring. Buning uchun tenglamaning har ikki tomonidan birinchi tartibli o‘zgaruvchi hadni ayirish kerak.
        • Bizning misolimizda:
          12 l = 35 + l 2 10 Tenglama shartlarini tartiblang. Birinchi a'zo ikkinchi tartibli o'zgaruvchi, keyin birinchi tartibli o'zgaruvchi, keyin esa erkin termin bo'ladi. Shu bilan birga, a'zolar oldida paydo bo'ladigan belgilar ("ortiqcha" va "minus") haqida unutmang. E'tibor bering, tenglama kvadrat tenglama sifatida yoziladi.
          • Bizning misolimizda 0 = 35 + l 2 - 12 l 11
            • Bizning misolimizda tenglama 0 = l 2 - 12 l + 35 12 l 13 ni toping Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
              • Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki to'rtburchakning har bir diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Bundan tashqari, to'rtburchakning tomonlari uchburchakning oyoqlari, to'rtburchakning diagonali esa uchburchakning gipotenuzasidir.
            • 14 Ushbu qiymatlar 15 ga almashtirilgan Uzunlik va kenglikni kvadratga aylantiring va natijalarni qo'shing. Esda tutingki, siz raqamni kvadratga aylantirsangiz, u o'z-o'zidan ko'payadi.
              • Bizning misolimizda:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 O'chirish kvadrat ildiz tenglamaning har ikki tomonidan. Kvadrat ildizni tezda topish uchun kalkulyatordan foydalaning. Onlayn kalkulyatordan ham foydalanishingiz mumkin. c topasiz

                3 Maydon va tomonlar nisbati bo'yicha

                1. 1 Tomonlar nisbatini tavsiflovchi tenglamani yozing. Izolyatsiya l 2 To'rtburchakning maydonini hisoblash uchun formulani yozing. Formula: S = l w (rasmda S o'rniga A belgisi ishlatilgan.)
                  • Ushbu usul to'rtburchakning perimetri ma'lum bo'lganda ham qo'llaniladi, ammo keyin siz maydonni emas, balki perimetrni hisoblash uchun formuladan foydalanishingiz kerak. To'rtburchakning perimetrini hisoblash formulasi: P = 2 (w + l)
                2. 3 To'rtburchakning maydonini formulaga almashtiring. Bu qiymat S 4 ga almashtiriladi Formulada tomonlarning munosabatlarini tavsiflovchi iborani almashtiring. To'rtburchakda l 5 ni hisoblash uchun ifodani almashtirishingiz mumkin Yozing kvadrat tenglama. Buning uchun qavslarni oching va tenglamani nolga tenglashtiring.
                  • Bizning misolimizda:
                    35 = w(w+2)6 Kvadrat tenglamani koeffitsient qiling. Olish uchun; olmoq batafsil ko'rsatmalar, o'qing.
                    • Bizning misolimizda tenglama 0 = w 2 - 12 w + 35 7 w 8 ni toping Topilgan kenglikni (yoki uzunlikni) tomonlar nisbatini tavsiflovchi tenglamaga almashtiring. Shu tarzda siz to'rtburchakning boshqa tomonini topishingiz mumkin.
                      • Misol uchun, agar siz to'rtburchakning kengligi 5 sm ekanligini hisoblasangiz va tomonlar nisbati l = w + 2 9 tenglama bilan berilgan. Pifagor teoremasini yozing. Formula: a 2 + b 2 = c 2
                        • Pifagor teoremasidan foydalaning, chunki to'rtburchakning har bir diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. Bundan tashqari, to'rtburchakning tomonlari uchburchakning oyoqlari, to'rtburchakning diagonali esa uchburchakning gipotenuzasidir.
                      • 10 Uzunlik va kenglik qiymatlarini formulaga almashtiring. Ushbu qiymatlar 11 ga almashtiriladi Uzunlik va kenglikni kvadratga aylantiring va natijalarni qo'shing. Esda tutingki, siz raqamni kvadratga aylantirsangiz, u o'z-o'zidan ko'payadi.
                        • Bizning misolimizda:
                          5 2 + 7 2 = c 2 12 Tenglamaning ikkala tomonining kvadrat ildizini oling. Kvadrat ildizni tezda topish uchun kalkulyatordan foydalaning. Onlayn kalkulyatordan ham foydalanishingiz mumkin. Siz c (displaystyle c), ya'ni uchburchakning gipotenuzasi va shuning uchun to'rtburchakning diagonalini topasiz.
                          • Bizning misolimizda:
                            74 = c 2 (displey uslubi 74=c^(2))
                            74 = c 2 (displey uslubi (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                            8 , 6024 = c (displey uslubi 8,6024=c)
                            Shunday qilib, uzunligi kengligidan 2 sm katta va maydoni 35 sm 2 bo'lgan to'rtburchakning diagonali taxminan 8,6 sm ga teng.

To'rtburchak har bir burchak to'g'ri bo'lgan to'rtburchakdir.

Isbot

Xususiyat parallelogrammning 3-xususiyatining harakati bilan izohlanadi (ya'ni, \angle A = \angle C , \angle B = \angle D )

2. Qarama-qarshi tomonlar teng.

AB = CD, \ bo'shliq BC = AD

3. Qarama-qarshi tomonlar parallel.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Qo'shni tomonlar bir-biriga perpendikulyar.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​\perp AB

5. To‘rtburchakning diagonallari teng.

AC = BD

Isbot

Ga binoan mulk 1 to'rtburchak parallelogramm bo'lib, AB = CD degan ma'noni anglatadi.

Shuning uchun, \triangle ABD = \triangle DCA ikki oyoqda (AB = CD va AD - bo'g'in).

Agar ikkala ABC va DCA raqamlari bir xil bo'lsa, ularning gipotenuzalari BD va AC ham bir xil bo'ladi.

Shunday qilib, AC = BD.

Barcha raqamlardan (faqat parallelogrammalarda!), faqat to'rtburchaklar teng diagonallarga ega.

Keling, buni ham isbotlaylik.

ABCD parallelogrammdir \O'ng strelka AB = CD, shart bo'yicha AC = BD. \Rightarrow \triangle ABD = \triangle DCA allaqachon uch tomondan.

Aniqlanishicha, \angle A = \angle D (paralelogramma burchaklari kabi). Va \ burchak A = \ burchak C , \ burchak B = \ burchak D .

Buni xulosa qilamiz \ burchak A = \ burchak B = \ burchak C = \ burchak D. Ularning barchasi 90^(\circ) . Hammasi bo'lib - 360^(\circ) .

Tasdiqlangan!

6. Diagonalning kvadrati uning ikki qo‘shni tomoni kvadratlari yig‘indisiga teng.

Bu xususiyat Pifagor teoremasi tufayli to'g'ri.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Diagonal to‘rtburchakni ikkita bir xil to‘g‘ri burchakli uchburchakka ajratadi.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Diagonallarning kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi.

AO = BO = CO = DO

9. Diagonallarning kesishish nuqtasi to'rtburchak va aylana markazidir.

10. Barcha burchaklarning yig'indisi 360 gradus.

\ burchak ABC + \ burchak BCD + \ burchak CDA + \ burchak DAB = 360 ^ (\ aylana)

11. To‘rtburchakning barcha burchaklari to‘g‘ri.

\ burchak ABC = \ burchak BCD = \ burchak CDA = \ burchak DAB = 90 ^ (\ aylana)

12. To'g'ri to'rtburchak atrofida o'ralgan doira diametri to'rtburchakning diagonaliga teng.

13. To'rtburchak atrofidagi aylanani har doim tasvirlashingiz mumkin.

Bu xususiyat to‘g‘ri, chunki to‘rtburchakning qarama-qarshi burchaklarining yig‘indisi 180^(\circ) ga teng.

\ burchak ABC = \ burchak CDA = 180 ^ (\ aylana), \ bo'shliq \ burchak BCD = \ burchak DAB = 180 ^ (\ aylana)

14. To'g'ri to'rtburchakda ichkariga chizilgan aylana bo'lishi mumkin va agar uning yon tomonlari teng bo'lsa (bu kvadrat bo'lsa) faqat bittasi bo'lishi mumkin.