Albatta, bu umumlashtirilgan kuchni hisoblashda potentsial energiya umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasi sifatida aniqlanishi kerak.
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Izohlar.
Birinchidan. Umumlashtirilgan reaktsiya kuchlarini hisoblashda ideal bog'lanishlar hisobga olinmaydi.
Ikkinchi. Umumlashtirilgan kuchning o'lchami umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bog'liq. Shunday qilib, agar o'lcham [ q] - metr, keyin o'lcham
[Q]= Nm/m = Nyuton, agar [ q] radian, u holda [Q] = Nm; agar [ q] = m 2, keyin [Q]=H/m va hokazo.
4-misol Halqa vertikal tekislikda tebranayotgan novda bo'ylab siljiydi M tortish R(10-rasm). Tayoq vaznsiz deb taxmin qilinadi. Keling, umumlashtirilgan kuchlarni aniqlaylik.
10-rasm
Yechim. Tizim ikki erkinlik darajasiga ega. Ikki umumlashtirilgan koordinatalarni belgilash s va .
Koordinataga mos keladigan umumlashgan kuch topilsin s. Biz koordinatani o'zgarishsiz qoldirib, yagona faol kuchning ishini hisoblab, bu koordinataga o'sish beramiz. R, biz umumlashgan kuchni olamiz
Keyin biz koordinatani oshiramiz, faraz qilamiz s= const. Rod burchak orqali aylantirilganda, kuch qo'llash nuqtasi R, ringlet M, ga o'tadi. Umumiy kuch paydo bo'ladi
Tizim konservativ bo'lgani uchun potentsial energiya yordamida ham umumlashgan kuchlarni topish mumkin. Oling 
va 
. Bu ancha oson bo'lib chiqdi.
Lagranj muvozanat tenglamalari
Ta'rifga ko'ra (7), umumlashtirilgan kuchlar 
, k = 1,2,3,…,s, qayerda s erkinlik darajalari soni.
Agar tizim muvozanatda bo'lsa, unda mumkin bo'lgan siljishlar printsipiga ko'ra (1) 
. Bu erda, bog'lanishlar tomonidan ruxsat etilgan siljishlar, mumkin bo'lgan siljishlar. Shuning uchun, moddiy tizim muvozanatda bo'lganda, uning barcha umumlashtirilgan kuchlari nolga teng:
Q k= 0, (k=1,2,3,…, s). (10)
Bu tenglamalar umumlashtirilgan koordinatalarda muvozanat tenglamalari yoki Lagranj muvozanat tenglamalari , statika masalalarini boshqa usul bilan yechishga imkon beradi.
Agar tizim konservativ bo'lsa, unda . Shunday qilib, muvozanat holatida. Ya'ni, bunday moddiy tizimning muvozanat holatida uning potentsial energiyasi maksimal yoki minimal, ya'ni. P(q) funksiya ekstremumga ega.
Bu eng oddiy misol tahlilidan ko'rinib turibdi (11-rasm). To'pning pozitsiyadagi potentsial energiyasi M 1 minimal, o'rnida M 2 - maksimal. Buni pozitsiyada ko'rish mumkin M 1 balans barqaror bo'ladi; homilador M 2 - beqaror.
11-rasm
Agar bu holatda bo'lgan tanaga past tezlik berilsa yoki kichik masofaga almashtirilsa va kelajakda bu og'ishlar ortib ketmasa, muvozanat barqaror hisoblanadi.
Isbotlash mumkin (Lagranj-Dirichlet teoremasi), agar konservativ tizimning muvozanat holatida uning potentsial energiyasi minimal bo'lsa, u holda bu muvozanat holati barqarordir.
Bir daraja erkinlikka ega bo'lgan konservativ tizim uchun minimal potentsial energiya sharti va shuning uchun muvozanat holatining barqarorligi ikkinchi hosila bilan uning muvozanat holatidagi qiymati bilan belgilanadi,
5-misol Yadro O.A tortish R o'q atrofida vertikal tekislikda aylanishi mumkin O(12-rasm). Keling, muvozanat pozitsiyalarining barqarorligini topamiz va o'rganamiz.
12-rasm
Yechim. Tayoq bir daraja erkinlikka ega. Umumlashtirilgan koordinata burchak hisoblanadi.
Pastki, nol, pozitsiyaga nisbatan potentsial energiya P= Ph yoki
Muvozanat holatida bo'lishi kerak 
. Demak, bizda burchaklarga va (pozitsiyalar) mos keladigan ikkita muvozanat pozitsiyasi mavjud O.A 1 va O.A 2). Biz ularning barqarorligini tekshiramiz. Biz ikkinchi hosilani topamiz. Albatta, , uchun. Muvozanat holati barqaror. Da , 
. Muvozanatning ikkinchi pozitsiyasi beqaror. Natijalar aniq.
Umumiy inertsiya kuchlari.
Umumlashtirilgan kuchlarni hisoblash uchun ishlatilgan xuddi shu usul bilan (8). Q k, faol, berilgan, kuchlarga mos keladigan, umumlashgan kuchlar ham aniqlanadi S k, tizim nuqtalarining inertsiya kuchlariga mos keladi:
Va, beri 
keyin
Bir nechta matematik o'zgarishlar.
Shubhasiz,
Chunki a qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), u holda
Shunday qilib, tezlikning qisman hosilasi
Bundan tashqari, (14) ning oxirgi qismida farqlash tartibini o'zgartirish mumkin:
(15) va (16) ni (14) va keyin (14) ni (13) ga almashtirsak, biz hosil bo'lamiz.
Oxirgi yig'indini ikkiga bo'lib, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olib, biz olamiz
sistemaning kinetik energiyasi qayerda, umumiy tezlik.
Lagranj tenglamalari.
Ta'rifga ko'ra (7) va (12), umumlashtirilgan kuchlar
Lekin asosda umumiy tenglama dinamikasi (3), tenglikning o'ng tomoni nolga teng. Va hamma narsadan beri k = 1,2,3,…,s) noldan farq qiladi, keyin . Umumlashtirilgan inersiya kuchi (17) qiymatini almashtirib, tenglamani olamiz
Bu tenglamalar umumlashgan koordinatalarda harakatning differensial tenglamalari, ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari deyiladi yoki oddiygina – Lagranj tenglamalari.
Bu tenglamalar soni moddiy tizimning erkinlik darajalari soniga teng.
Agar tizim konservativ bo'lsa va potentsial maydon kuchlari ta'sirida harakat qilsa, umumlashgan kuchlar bo'lganda, Lagranj tenglamalari shaklida yozilishi mumkin.
qayerda L = T- P deyiladi Lagrange funktsiyasi (potentsial energiya P umumlashtirilgan tezliklarga bog'liq emas deb taxmin qilinadi).
Ko'pincha, moddiy tizimlarning harakatini o'rganishda, ba'zi bir umumlashtirilgan koordinatalar paydo bo'ladi qj Lagrange funktsiyasiga aniq kirmang (yoki T va P). Bunday koordinatalar deyiladi tsiklik. Bu koordinatalarga mos keladigan Lagranj tenglamalari soddaroq.
Bunday tenglamalarning birinchi integralini darhol topish mumkin. U tsiklik integral deb ataladi:
Qo'shimcha tadqiqotlar va Lagranj tenglamalarini o'zgartirish maxsus bo'lim mavzusidir nazariy mexanika- "Analitik mexanika".
Lagranj tenglamalari tizimlar harakatini o'rganishning boshqa usullariga nisbatan bir qator afzalliklarga ega. Asosiy afzalliklari: tenglamalarni tuzish texnikasi barcha masalalarda bir xil, masalalarni yechishda ideal bog'lanishlarning reaktsiyalari hisobga olinmaydi.
Va yana bir narsa - bu tenglamalar nafaqat mexanik, balki boshqa jismoniy tizimlarni (elektr, elektromagnit, optik va boshqalar) o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.
6-misol Keling, ringletning harakatini o'rganishni davom ettiramiz M chayqaladigan novda ustida (4-misol).
Umumlashtirilgan koordinatalar tayinlanadi - va s (13-rasm). Umumiy kuchlar aniqlanadi: va 
.
13-rasm
Yechim. Halqaning kinetik energiyasi Bu erda a va.
Biz ikkita Lagrange tenglamasini tuzamiz
u holda tenglamalar:
Biz ikkinchi tartibli ikkita chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamani oldik, ularni hal qilish uchun maxsus usullar kerak.
7-misol Nurning harakatining differensial tenglamasini tuzamiz AB, silindrsimon yuzada sirg'alib ketmasdan aylanadi (14-rasm). Nur uzunligi AB = l, og'irligi - R.
Muvozanat holatida nur gorizontal va og'irlik markazida edi FROM u silindrning tepasida edi. Nur bir daraja erkinlikka ega. Uning joylashuvi umumlashtirilgan koordinata - burchak bilan aniqlanadi (76-rasm).
14-rasm
Yechim. Tizim konservativdir. Shuning uchun gorizontal holatga nisbatan hisoblangan P=mgh potensial energiyasidan foydalanib, Lagranj tenglamasini tuzamiz. Aloqa nuqtasida tezliklarning oniy markazi va (burchak bilan aylananing yoyi uzunligiga teng ).
Shuning uchun (76-rasmga qarang) va.
Kinetik energiya (nur tekis-parallel harakat qiladi)
Tenglama uchun kerakli hosilalarni topamiz va 
Biz tenglama tuzamiz
yoki, nihoyat,
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar
Erkin bo'lmagan mexanik tizimning mumkin bo'lgan siljishi nima deyiladi?
Tizimning mumkin bo'lgan va haqiqiy siljishlari qanday bog'liq?
Qanday bog'lanishlar deyiladi: a) statsionar; b) idealmi?
Mumkin bo'lgan siljishlar printsipini tuzing. Uning formulali ifodasini yozing.
Ideal bo'lmagan cheklovlarga ega bo'lgan tizimlarga virtual siljishlar tamoyilini qo'llash mumkinmi?
Mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalari qanday?
Mexanik tizimning erkinlik darajalari soni qancha?
Qaysi holatda sistema nuqtalarining dekart koordinatalari nafaqat umumlashtirilgan koordinatalarga, balki vaqtga ham bog'liq?
Mexanik tizimning mumkin bo'lgan siljishlari qanday?
Mumkin bo'lgan siljishlar tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarga bog'liqmi?
Mexanik tizimning qanday bog'lanishlari ideal deb ataladi?
Nima uchun ishqalanish bilan tuzilgan bog'lanish ideal bog'lanish emas?
Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi qanday tuzilgan?
Ish tenglamalarining qanday turlari mavjud?
Nima uchun mumkin bo'lgan siljishlar printsipi quyidagilardan iborat erkin bo'lmagan tizimlarga qo'llaniladigan kuchlar muvozanati shartlarini chiqarishni soddalashtiradi katta raqam tel?
Bir necha erkinlik darajasiga ega bo'lgan mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar uchun ish tenglamalari qanday tuziladi?
O'rtasidagi munosabatlar qanday harakatlantiruvchi kuch va eng oddiy mashinalarda qarshilik kuchi?
U qanday tuzilgan Oltin qoida mexanika?
Bog'lanish reaksiyalari mumkin bo'lgan siljishlar printsipi yordamida qanday aniqlanadi?
Qanday bog'lanishlar golonomik deb ataladi?
Mexanik tizimning erkinlik darajalari soni nima deyiladi?
Tizimning umumlashgan koordinatalari nima deyiladi?
Erkin bo'lmagan mexanik tizim nechta umumlashtirilgan koordinataga ega?
Avtomobilning boshqariladigan g'ildiragi necha erkinlik darajasiga ega?
Umumiy kuch nima?
Umumlashtirilgan koordinatalarda tizimga taalluqli barcha kuchlarning umumiy elementar ishini ifodalovchi formulani yozing.
Umumlashtirilgan kuchning o'lchami qanday aniqlanadi?
Konservativ tizimlarda umumlashgan kuchlar qanday hisoblanadi?
Ideal cheklovli sistema dinamikasining umumiy tenglamasini ifodalovchi formulalardan birini yozing. Nima jismoniy ma'no bu tenglama?
Tizimga taalluqli faol kuchlarning umumlashgan kuchi nima deyiladi?
Umumlashgan inersiya kuchi nima?
Umumlashgan kuchlarda d'Alember tamoyilini tuzing.
Dinamikaning umumiy tenglamasi nima?
Tizimning qandaydir umumlashgan koordinatasiga mos keladigan umumlashgan kuch nima deyiladi va uning o'lchami qanday?
Ideal bog`lanishlarning umumlashgan reaksiyalari qanday?
Umumlashgan kuchlarda dinamikaning umumiy tenglamasini chiqaring.
Umumlashgan kuchlarda dinamikaning umumiy tenglamasidan olingan mexanik tizimga taalluqli kuchlar muvozanatining shartlari qanday shaklga ega?
Kuchlarning proyeksiyalari orqali umumlashgan kuchlarni qanday formulalar ifodalaydi qattiq akslar Dekart koordinatalari?
Konservativ va nokonservativ kuchlarda umumlashgan kuchlar qanday aniqlanadi?
Geometrik munosabatlar nima?
Mumkin bo'lgan siljishlar printsipining vektor belgisini keltiring.
Sizga kerak bo'lgan narsani nomlang va etarli shart ideal statsionar geometrik cheklovlarga ega mexanik tizimning muvozanati.
Konservativ tizimning kuch funksiyasi muvozanat holatida qanday xususiyatga ega?
Yozish tizimi differensial tenglamalar Ikkinchi turdagi Lagrange.
Erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun qancha ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalarini yozish mumkin?
Mexanik tizimning Lagranj tenglamalari soni tizimni tashkil etuvchi jismlar soniga bog'liqmi?
Tizimning kinetik potensiali nima deyiladi?
Buning uchun mexanik tizimlar Lagrange funktsiyasi bormi?
Qaysi argumentlarning funksiyasi bilan mexanik tizimga tegishli nuqtaning tezlik vektori s erkinlik darajalari?
Tizimdagi nuqtaning tezlik vektorining qandaydir umumlashgan tezlikka nisbatan qisman hosilasi nimaga teng?
Golonomik statsionar bo'lmagan cheklovlarga duchor bo'lgan tizimning kinetik energiyasi qanday argumentlarning funktsiyasidir?
Ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday shaklga ega? Har bir mexanik tizim uchun bu tenglamalar soni qancha?
Tizimga konservativ va nokonservativ kuchlar ta'sir qilganda ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday ko'rinishga ega bo'ladi?
Lagranj funktsiyasi yoki kinetik potentsial nima?
Konservativ tizim uchun ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari qanday shaklga ega?
Lagranj tenglamalarini tuzishda mexanik tizimning kinetik energiyasi qanday o'zgaruvchilarga qarab ifodalanishi kerak?
Elastik kuchlar ta'sirida mexanik tizimning potentsial energiyasi qanday aniqlanadi?
uchun vazifalar mustaqil qaror
Vazifa 1. Mumkin bo'lgan siljishlar printsipini qo'llagan holda, kompozit konstruktsiyalarning ulanishlarining reaktsiyalarini aniqlang. Strukturaviy sxemalar rasmda ko'rsatilgan. 15 va yechim uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar jadvalda keltirilgan. 1. Raqamlarda barcha o'lchamlar metrlarda.
1-jadval
1-variant 2-variant
3-variant 4-variant
5-variant 6-variant
7-variant 8-variant
16-rasm 17-rasm
Yechim. Bu masalada Lagranj printsipini qo'llash uchun barcha shartlar qanoatlanganligini tekshirish oson (tizim muvozanatda, cheklovlar statsionar, golonomik, ushlab turish va ideal).
Keling, reaktsiyaga mos keladigan bog'lanishdan xalos bo'laylik X A (17-rasm). Buning uchun, A nuqtasida, sobit menteşe, masalan, novda tayanchi bilan almashtirilishi kerak, bunda tizim bir daraja erkinlik oladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, mumkin bo'lgan siljish tizim unga qo'yilgan cheklovlar bilan belgilanadi va qo'llaniladigan kuchlarga bog'liq emas. Shuning uchun mumkin bo'lgan siljishlarni aniqlash kinematik muammodir. Ushbu misolda ramka faqat chizma tekisligida harakatlanishi mumkinligi sababli, uning mumkin bo'lgan harakatlari ham tekis. Tekislik harakati holatida jismning harakatini tezliklarning oniy markazi atrofida aylanish deb hisoblash mumkin. Agar tezliklarning bir lahzali markazi cheksizlikda bo'lsa, u holda bu jismning barcha nuqtalarining siljishi bir xil bo'lgan lahzali translatsiya harakati holatiga mos keladi.
Tezliklarning bir lahzalik markazini topish uchun tananing istalgan ikkita nuqtasi tezligining yo'nalishlarini bilish kerak. Shuning uchun kompozit konstruktsiyaning mumkin bo'lgan siljishlarini aniqlashni bunday tezliklar ma'lum bo'lgan elementning mumkin bo'lgan siljishlarini topishdan boshlash kerak. Bunday holda, siz ramkadan boshlashingiz kerak CDB, chunki uning nuqtasi DA sobit bo'ladi va shuning uchun bu ramkaning mumkin bo'lgan siljishi uning B menteşesi orqali o'tadigan o'q atrofidagi burchak orqali aylanishidir. Endi nuqtaning mumkin bo'lgan siljishini bilib, FROM(u bir vaqtning o'zida tizimning ikkala ramkasiga tegishli) va nuqtaning mumkin bo'lgan siljishi LEKIN(A nuqtaning mumkin bo'lgan harakati uning o'qi bo'ylab harakatidir X), biz ramkaning C 1 tezliklarining oniy markazini topamiz AES. Shunday qilib, ramkaning mumkin bo'lgan harakati AES uning burchak bilan C 1 nuqtasi atrofida aylanishidir. Burchaklar orasidagi bog'lanish va C nuqtasining siljishi orqali aniqlanadi (17-rasmga qarang).
EC 1 C va BCD uchburchaklarining o'xshashligidan biz bor
Natijada biz bog'liqliklarni olamiz:
Mumkin bo'lgan harakatlar printsipiga ko'ra
Bu yerga kiritilgan mumkin bo'lgan ishlarni ketma-ket hisoblab chiqamiz:
Q=2q taqsimlangan yukning natijasi bo'lib, uni qo'llash nuqtasi rasmda ko'rsatilgan. 79; u tomonidan bajarilishi mumkin bo'lgan ish tengdir.
71-rasm
70-rasm
69-rasm
Krank mexanizmining nuqtalarining holati (70-rasm) krankning burilish burchagini belgilash yoki masofa bo'yicha aniqlanishi mumkin. s, bu slayderning o'rnini belgilaydi DA(da ).
Sferik mayatnikning holati (71-rasm) ikkita parametr, burchak va ni o'rnatish orqali aniqlanadi.
Minimal miqdor sistemaning barcha nuqtalarining o'rnini to'liq va yagona aniqlash uchun etarli bo'lgan bir-biridan mustaqil umumlashtirilgan koordinatalar deyiladi. erkinlik darajalari soni bu tizim.
Umuman olganda, har qanday moddiy tizimga bir nechta umumlashtirilgan koordinatalar berilishi mumkin. Masalan, krank mexanizmi (70-rasm) ikkita umumlashtirilgan koordinata va . Ammo bu mexanizm ikki darajadagi erkinlik darajasiga ega degani emas, chunki bir koordinatani boshqasi orqali aniqlash mumkin:
Lekin mayatnik (71-rasm) ikki erkinlik darajasiga ega, chunki uning pozitsiyasi ikkita mustaqil umumlashtirilgan koordinatalar bilan belgilanadi. Aytgancha, agar mayatnik uzunligi o'zgarsa, u holda nuqta o'rnini aniqlash uchun M yana bitta parametr talab qilinadi - umumlashtirilgan koordinata l, ip uzunligi. Va mayatnik uchta erkinlik darajasiga ega bo'ladi.
Umumiy holatda umumlashtirilgan koordinatalar harf bilan belgilanadi q.
Mayli moddiy tizim Unda bor s erkinlik darajalari. Uning joylashuvi umumlashtirilgan koordinatalar bilan belgilanadi: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k,…, q s. .
Dekart koordinatalarini tekshirish oson n Tizim nuqtalarini umumlashtirilgan koordinatalar va vaqtning funktsiyalari sifatida aniqlash mumkin:
Shunday qilib, mayatnikda (71-rasm) nuqtaning koordinatalari M
koordinata funksiyalari mavjud l, va , va vaqt t, agar l = l (t).
Shunga ko'ra, tizim nuqtalarining radius vektorini umumlashtirilgan koordinatalar va vaqtning funktsiyasi sifatida ham aniqlash mumkin:
Har bir umumlashtirilgan koordinata uchun tegishli umumlashtirilgan kuchni hisoblash mumkin Q k.
Hisoblash ushbu qoidaga muvofiq amalga oshiriladi.
Umumiy quvvatni aniqlash Q k umumlashtirilgan koordinataga mos keladi q k, siz ushbu koordinataga o'sishni berishingiz kerak (koordinatani shu miqdorga oshiring), qolgan barcha koordinatalarni o'zgarishsiz qoldirib, tizimga tatbiq etilgan barcha kuchlar ishining yig'indisini nuqtalarning mos siljishi bo'yicha hisoblang va uni o'sishga bo'ling. koordinatasi:
siljish qayerda i-o'zgartirish orqali olingan tizimning o'sha nuqtasi k- bu umumlashtirilgan koordinata.
Umumlashtirilgan kuch elementar ish yordamida aniqlanadi. Shuning uchun bu kuchni boshqacha hisoblash mumkin:
Qolgan koordinatalar va vaqt o'zgarmagan holda koordinatalarning ko'payishi tufayli radius vektorining ortishi borligi sababli t, nisbatni qisman hosilasi sifatida aniqlash mumkin. Keyin
bu yerda nuqta koordinatalari umumlashtirilgan koordinatalarning funksiyalari (5).
Agar sistema konservativ bo'lsa, ya'ni harakat potentsial maydon kuchlari ta'sirida sodir bo'lsa, ularning proyeksiyalari , bu erda , nuqtalarning koordinatalari esa umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyalari bo'lsa, u holda
Konservativ tizimning umumlashtirilgan kuchi - bu minus belgisi bilan mos keladigan umumlashtirilgan koordinataga nisbatan potentsial energiyaning qisman hosilasi.
Albatta, bu umumlashtirilgan kuchni hisoblashda potentsial energiya umumlashtirilgan koordinatalarning funktsiyasi sifatida aniqlanishi kerak.
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Izohlar.
Birinchidan. Umumlashtirilgan reaktsiya kuchlarini hisoblashda ideal bog'lanishlar hisobga olinmaydi.
Ikkinchi. Umumlashtirilgan kuchning o'lchami umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bog'liq. Shunday qilib, agar o'lcham [ q] - metr, keyin o'lcham
Nm/m = Nyuton, agar [ q] radian, u holda = Nm; agar [ q] = m 2, keyin va hokazo.
23-misol. Halqa vertikal tekislikda tebranayotgan novda bo'ylab siljiydi M tortish R(72-rasm). Tayoq vaznsiz deb taxmin qilinadi. Umumiy kuchlarni aniqlaymiz.
Ideal cheklovlarga ega mexanik tizimni ko'rib chiqing. Tizimning faol kuchlari bo'lsin. Mexanik tizimga virtual siljish beraylik va tizim kuchlarining ushbu siljishdagi elementar ishini hisoblaymiz:
.
Tenglikdan (17.2) foydalanib, biz o'zgaruvchanlikni ifodalaymiz 
radius vektori 
ball M k variatsiyalar orqali 
Umumiy koordinatalar:
Binobarin,
. (17.6)
Tenglikda (17.6) yig'indining tartibini o'zgartiramiz:
. (17.7)
(17.7) ifodada belgilang
. (17.8)
.
Umumiy kuchlar Q j tizim kuchlarining elementar ishini ifodalashda umumlashtirilgan koordinatalarning o'zgarishi uchun koeffitsientlarni chaqiring..
Umumlashtirilgan koordinatalar o'zgarishlarining o'lchamiga qarab 
umumlashgan kuchlar Q j kuch, moment va boshqalar o'lchovlariga ega bo'lishi mumkin.
Umumlashgan kuchlarni hisoblash usullari
Umumiy kuchlarni hisoblashning uchta usulini ko'rib chiqaylik.
1. Umumlashgan kuchlarni asosiy formula bo'yicha aniqlash(17.8)
. (17.9)
Formula (17.9) amalda juda kam qo'llaniladi. Muammolarni hal qilishda ikkinchi usul ko'proq qo'llaniladi.
2. Umumlashtirilgan koordinatalarni "muzlatish" usuli.
Mexanik tizimga shunday virtual siljish beraylik, unda umumlashtirilgan koordinatalarning barcha o'zgarishlari bundan mustasno 
nolga teng:
Ushbu harakat uchun ishni hisoblang 
tizimga qo'llaniladigan barcha faol kuchlar
.
Ta'rifga ko'ra, o'zgaruvchanlikdagi ko'paytiruvchi 
birinchi umumlashgan kuchga teng Q 1 .
va ikkinchi umumlashgan kuchni aniqlang Q 2 tizimning barcha kuchlarining virtual ishini hisoblash orqali
.
Xuddi shunday, biz tizimning barcha boshqa umumlashtirilgan kuchlarini hisoblaymiz.
3. Potensial kuch maydonining holati.
Mexanik tizimning potentsial energiyasi ma'lum deb faraz qilaylik
Keyin 
va (32.8) formula bo'yicha
Umumlashtirilgan koordinatalarda statikaning virtual siljishi printsipi
Statikaning virtual siljishi printsipiga ko'ra, ideal golonomik, statsionar cheklovlarga ega bo'lgan tizimning muvozanati uchun shartga ega bo'lish zarur va etarli.
nol boshlang'ich tezlikda.
Umumlashtirilgan koordinatalarga o'tsak, biz olamiz
. (17.11)
Umumlashtirilgan koordinatalarning o'zgarishlari mustaqil bo'lganligi sababli, (17.11) ifodaning nolga tengligi, agar umumlashtirilgan koordinatalarning o'zgarishi uchun barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, mumkin bo'ladi:
Shunday qilib, ideal, golonomik, statsionar va cheklovchi cheklovlarga ega bo'lgan mexanik tizim muvozanatda bo'lishi uchun tizimning barcha umumlashtirilgan kuchlari nolga teng bo'lishi zarur va etarli (tizimning nol boshlang'ich tezligida).
Umumlashtirilgan koordinatalardagi Lagranj tenglamalari (ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalari)
Lagranj tenglamalari dinamikaning umumiy tenglamasidan virtual siljishlarni ularning umumlashtirilgan koordinatalarning oʻzgarishi boʻyicha ifodalari bilan almashtirish yoʻli bilan chiqariladi. Ular umumlashtirilgan koordinatalarda mexanik tizim harakatining differentsial tenglamalari tizimini ifodalaydi:
. (17.13)
qayerda 
- umumiy tezliklar;
T umumiy koordinatalar va umumiy tezliklar funksiyasi sifatida berilgan tizimning kinetik energiyasi
Q j- umumlashgan kuchlar.
Tizim tenglamalari soni (17.13) erkinlik darajalari soni bilan belgilanadi va tizimga kiritilgan jismlar soniga bog'liq emas. Ideal ulanishlar bilan faqat faol kuchlar tenglamalarning to'g'ri qismlariga kiradi. Agar bog'lanishlar ideal bo'lmasa, unda ularning reaktsiyalari faol kuchlarga bog'liq bo'lishi kerak.
Mexanik tizimga ta'sir etuvchi potentsial kuchlar holatida (17.13) tenglamalar shaklni oladi
.
Agar biz Lagrange funksiyasini kiritsak L = T P, keyin potentsial energiya umumlashtirilgan tezliklarga bog'liq emasligini hisobga olib, potensial kuchlar holati uchun ikkinchi turdagi Lagranj tenglamalarini quyidagi shaklda olamiz.
.
Ikkinchi turdagi Lagrange tenglamalarini tuzishda siz quyidagilarni bajarishingiz kerak:
Mexanik tizimning erkinlik darajalari sonini belgilang va uning umumlashtirilgan koordinatalarini tanlang.
Ifoda tuzing kinetik energiya sistema va uni umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan tezliklar funksiyasi sifatida ifodalaydi.
Yuqoridagi usullardan foydalanib, tizimning umumlashgan faol kuchlarini toping.
Lagranj tenglamalarida barcha kerakli farqlash amallarini bajaring.
Misol.
qayerda J z jismning aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti z,
jismning burchak tezligidir.
3. Umumlashgan kuchni aniqlaymiz. Keling, tanaga virtual siljish beraylik va tizimning barcha faol kuchlarining virtual ishini hisoblaymiz:
Binobarin, Q = M z- tananing aylanish o'qiga nisbatan tizimning faol kuchlarining asosiy momenti.
4. Lagranj tenglamasida farqlash amallarini bajaring
:
(17.14)
.
(17.15)
(17.15) tenglikni (173.) tenglamaga almashtirish
14) jismning aylanish harakatining differensial tenglamasini olamiz
.
Sistemaning mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlarning elementar ishining yig'indisini yozamiz:
Golonomik tizimga ega bo'lsin 
erkinlik darajalari va shuning uchun uning kosmosdagi pozitsiyasi bilan belgilanadi 
umumlashtirilgan koordinatalar 
.
(225) ni (226) ga almashtirish va indekslar bo'yicha yig'ish tartibini o'zgartirish 
va 
, olamiz
. (226")
skalyar qiymat qayerda
chaqirdi umumlashtirilgan koordinata bilan bog'liq bo'lgan umumlashtirilgan kuch bilan
. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi uchun ma'lum bo'lgan ifodadan foydalanib, berilgan kuchni ham ko'rsatish mumkin
– koordinata o‘qlariga kuch proyeksiyalari; 
kuch qo'llash nuqtasining koordinatalari.
(226") ga muvofiq umumlashtirilgan kuchning o'lchami quyidagi o'lchamga bog'liq 
, o'lchamga to'g'ri keladi 
:
, (228)
ya'ni, umumlashtirilgan kuchning o'lchami kuch (energiya) ishining o'lchamiga yoki umumlashtirilgan kuch tayinlangan umumlashtirilgan koordinata o'lchamiga bo'lingan kuch momentiga teng. Bundan kelib chiqadiki, umumlashgan kuch kuch yoki kuch momentiga ega bo'lishi mumkin.
Umumiy quvvatni hisoblash
1. Umumlashtirilgan quvvatni (227) formula bo'yicha hisoblash mumkin, bu uni aniqlaydi, ya'ni.
2. Umumlashtirilgan kuchlarni ifodada umumlashtirilgan koordinatalarning mos keladigan o'zgarishlari uchun koeffitsientlar sifatida hisoblash mumkin. boshlang'ich ish(226"), ya'ni.
3. (226 "") dan olingan umumlashtirilgan kuchlarni hisoblashning eng to'g'ri usuli, agar tizimga faqat bitta umumlashtirilgan koordinata o'zgarishi mumkin bo'lgan bunday siljish haqida ma'lumot berilsa, boshqalari o'zgarmaydi. Shunday qilib, agar 
, va qolganlari 
, keyin (179") dan biz bor
.
Indeks 
elementar ishlarning yig'indisi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha hisoblanganligini ko'rsatadi, bunda faqat koordinata o'zgaradi (o'zgaradi) 
. Agar o'zgaruvchan koordinata bo'lsa 
, keyin
. (227")
Umumlashgan kuchlar nuqtai nazaridan kuchlar sistemasining muvozanat shartlari
Tizimning muvozanat shartlari mumkin bo'lgan siljishlar printsipidan kelib chiqadi. Ular ushbu printsip to'g'ri bo'lgan tizimlarga nisbatan qo'llaniladi: Golonomik, statsionar, ideal va ozod bo'lmagan cheklovlarga duchor bo'lgan mexanik tizimning muvozanati uchun tizimning barcha nuqtalarining tezligi nolga teng bo'lgan paytda, barcha umumlashtirilgan kuchlarning nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir.
. (228")
3.6.7. Umumiy dinamika tenglamasi
Har qanday cheklovli tizim uchun dinamikaning umumiy tenglamasi (birlashgan d'Alembert-Lagrange printsipi yoki mexanikaning umumiy tenglamasi):
, (229)
qayerda 
qo'llaniladigan faol kuchdir 
-tizimning uchinchi nuqtasi; 
boglanish reaksiyasining kuchi; 
- nuqta inertsiya kuchi; 
- mumkin bo'lgan harakat.
Tizimning muvozanat holatida, tizim nuqtalarining barcha inersiya kuchlari nolga tushganda, u mumkin bo'lgan siljishlar printsipiga o'tadi. Odatda, ideal cheklovlarga ega bo'lgan tizimlar uchun ishlatiladi
Bu holda (229) quyidagi shakllardan birini oladi:
,
,
. (230)
Shunday qilib, dinamikaning umumiy tenglamasiga ko'ra, ideal cheklovlarga ega bo'lgan tizim harakatining har qanday momentida, tizim nuqtalarining barcha faol kuchlari va inersiya kuchlarining elementar ishlari yig'indisi tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishida nolga teng. cheklovlar bilan ruxsat etiladi.
Dinamikaning umumiy tenglamasiga boshqa ekvivalent shakllar ham berilishi mumkin. Vektorlarning skalyar mahsulotini kengaytirib, uni quyidagicha ifodalash mumkin
qayerda 
- koordinatalar 
- tizimning uchinchi nuqtasi. Inersiya kuchlarining koordinata o‘qlariga proyeksiyalari bu o‘qlar bo‘yicha tezlanishlar proyeksiyalari orqali ifodalanishini hisobga olsak.
,
dinamikaning umumiy tenglamasi shakli berilishi mumkin
Ushbu shaklda u deyiladi dinamikaning umumiy tenglamasi analitik shaklda.
Dinamikaning umumiy tenglamasidan foydalanilganda tizim inersiya kuchlarining mumkin bo'lgan siljishlar bo'yicha elementar ishini hisoblay bilish kerak. Buning uchun oddiy kuchlar uchun olingan elementar ish uchun mos formulalar qo'llaniladi. Ularning inersiya kuchlari uchun qo'llanilishini ko'rib chiqing qattiq tana uning harakatining alohida holatlarida.
Oldinga harakat bilan. Bunday holda, tananing uchta erkinlik darajasi mavjud va qo'yilgan cheklovlar tufayli faqat tarjima harakatini amalga oshirishi mumkin. Bog'lanishlarga imkon beruvchi tananing mumkin bo'lgan harakatlari ham tarjima hisoblanadi.
Tarjima harakatida inersiya kuchlari natijaga kamayadi 
. Tananing translyatsion mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha inertsiya kuchlarining elementar ishining yig'indisi uchun biz olamiz
qayerda 
- massa markazining va tananing har qanday nuqtasining mumkin bo'lgan harakati, chunki tananing barcha nuqtalari uchun translyatsion mumkin bo'lgan harakat bir xil: tezlashuvlar bir xil, ya'ni. 
.
Qattiq jism sobit o'q atrofida aylanganda.
Bu holda tana bir daraja erkinlikka ega. Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanishi mumkin 
. Qo'shimcha cheklovlar bilan ruxsat etilgan mumkin bo'lgan siljish, shuningdek, tananing elementar burchak orqali aylanishidir. 
sobit o'q atrofida.
Inersiya kuchlari bir nuqtaga qisqardi 
aylanish o'qi bo'yicha, asosiy vektorga qisqartiriladi 
va asosiy nuqta 
. Inertsiya kuchlarining asosiy vektori qo'zg'almas nuqtaga qo'llaniladi va uning mumkin bo'lgan siljishdagi elementar ishi nolga teng. Inertsiya kuchlarining asosiy momenti uchun nolga teng bo'lmagan elementar ish faqat uning aylanish o'qiga proyeksiyasi bilan bajariladi. 
. Shunday qilib, ko'rib chiqilgan mumkin bo'lgan siljish bo'yicha inertial kuchlarning ishining yig'indisi uchun biz mavjud
,
burchak bo'lsa 
burchak tezlanishining yoy o'qi yo'nalishi bo'yicha hisobot 
.
tekis harakatda.
Bu holda qattiq jismga qo'yilgan cheklovlar faqat mumkin bo'lgan tekislik siljishiga imkon beradi. Umumiy holda, u qutb bilan birga translyatsion mumkin bo'lgan siljishdan iborat bo'lib, buning uchun biz massa markazini tanlaymiz va elementar burchak bilan aylanishni tanlaymiz. 
eksa atrofida 
massa markazidan o'tib, tekislikka perpendikulyar bo'lib, unga parallel ravishda tana tekislik harakatini amalga oshirishi mumkin.
Qattiq jismning tekis harakatida inersiya kuchlari bosh vektorga kamayishi mumkinligi sababli 
va asosiy nuqta 
(agar massa markazi sanoq markazi sifatida tanlansa), u holda mumkin bo'lgan tekislik siljishidagi inersiya kuchlarining elementar ishining yig'indisi inersiya kuchlari vektorining otav elementar ishiga kamaytiriladi. 
massa markazining mumkin bo'lgan siljishi va o'q atrofida elementar aylanish harakati bo'yicha asosiy inersiya kuchlarining elementar ishi to'g'risida 
massa markazidan o'tadi. Bunday holda, nolga teng bo'lmagan elementar ishni faqat inersiya kuchlarining asosiy momentini o'qga proyeksiya qilish orqali bajarish mumkin. 
, ya'ni. 
. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan holatda, biz bor
elementar burchak bilan aylansa 
to'g'ridan-to'g'ri yoy shaklida 
.
Umumlashgan kuchlarning ta'rifi
Erkinlik darajasi bir bo'lgan tizim uchun umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumiy kuch q, formula bilan aniqlangan qiymat deyiladi
qaerda d q- umumlashtirilgan koordinataning kichik o'sishi; sistema kuchlarining uning mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha elementar ishining yig'indisi.
Eslatib o'tamiz, tizimning mumkin bo'lgan siljishi tizimning ma'lum bir vaqtning o'zida cheklovlar tomonidan ruxsat etilgan cheksiz yaqin pozitsiyaga siljishi sifatida aniqlanadi (batafsil ma'lumot uchun 1-ilovaga qarang).
Ma'lumki, sistemaning har qanday mumkin bo'lgan siljishiga ideal bog'lanishlar reaktsiya kuchlarining ish yig'indisi nolga teng. Shuning uchun ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan tizim uchun ifoda faqat tizimning faol kuchlarining ishini hisobga olishi kerak. Agar bog'lanishlar ideal bo'lmasa, unda ularning reaktsiya kuchlari, masalan, ishqalanish kuchlari shartli ravishda faol kuchlar deb hisoblanadi (1.5-rasmdagi diagramma bo'yicha ko'rsatmalar uchun pastga qarang). B faol kuchlarning elementar ishi va faol juft kuchlar momentlarining elementar ishini o'z ichiga oladi. Keling, ushbu ishlarni aniqlash uchun formulalar yozaylik. Aytaylik kuch ( Fkx, Fky, Fkz) nuqtada qo'llaniladi Kimga, radius vektori ( xk,yk,zk) va mumkin bo'lgan siljish - (d x k, d y k, d z k). Mumkin bo'lgan siljish bo'yicha kuchning elementar ishi analitik shaklda ifodaga mos keladigan skalyar mahsulotga teng.
d LEKIN( ) = F ga d r - cos(), (1.3a)
koordinata shaklida esa ifoda
d LEKIN( ) = Fkx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)
Agar moment bilan bir juft kuchlar M burchak koordinatasi j va mumkin bo'lgan siljishi dj bo'lgan aylanuvchi jismga qo'llaniladi, u holda momentning elementar ishi. M mumkin bo'lgan siljish bo'yicha dj formula bilan aniqlanadi
d A(M) = ± M d j. (1,3v)
Bu erda (+) belgisi moment bo'lgan holatga mos keladi M va mumkin bo'lgan joy almashish dj yo'nalishi bo'yicha mos keladi; Ular qarama-qarshi yo'nalishda bo'lganda (-) belgisi.
Umumlashtirilgan kuchni (1.3) formula bo'yicha aniqlay olish uchun jismlar va nuqtalarning mumkin bo'lgan siljishlarini umumlashtirilgan koordinata d ning kichik o'sishi orqali ifodalash kerak. q, bog'liqliklardan foydalanish (1)…(7) adj. bitta.
Umumiy kuch ta'rifi Q tanlangan umumlashtirilgan koordinataga mos keladi q, buni quyidagi tartibda bajarish tavsiya etiladi.
· Dizayn sxemasida tizimning barcha faol kuchlarini ko'rsating.
Umumlashtirilgan koordinataga kichik o'sish bering d q > 0; dizayn diagrammasida kuchlar qo'llaniladigan barcha nuqtalarning mos keladigan mumkin bo'lgan siljishlarini va kuchlar juftligi momentlari qo'llaniladigan barcha jismlarning mumkin bo'lgan burchak siljishlarini ko'rsating.
Ushbu siljishlar bo'yicha tizimning barcha faol kuchlarining elementar ishi uchun d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar uchun ifoda tuzing. q.
· (1.3) formula bo‘yicha umumlashgan kuchni aniqlang.
1.4-misol (1.1-rasm uchun shartga qarang).
Umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumlashgan kuchni aniqlaylik s(1.4-rasm).
Tizimga ta'sir qiluvchi faol kuchlar: P- yukning og'irligi; G- baraban og'irligi va moment M.
Qo'pol moyil tekislik yuk uchun LEKIN nomukammal aloqa. surma ishqalanish kuchi F tr yuk bo'yicha harakat qilish A bu bog`lanish tomondan, ga teng F tr \u003d f N.
Kuchni aniqlash uchun N Harakat paytida tekislikdagi yukning normal bosimi, biz d'Alembert printsipidan foydalanamiz: agar bog'lanish reaktsiyalarining faol kuchlari va kuchlariga qo'shimcha ravishda, biz tizimning har bir nuqtasiga shartli inertsiya kuchini qo'llasak, unda hosil bo'lgan kuchlar to'plami muvozanatlanadi va dinamika tenglamalariga statikaning muvozanat tenglamalari ko'rinishi berilishi mumkin. Ushbu tamoyilni qo'llashning taniqli usulidan so'ng, biz yukga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni tasvirlaymiz A(1.5-rasm), - va , bu erda - kabelning kuchlanish kuchi.
Guruch. 1.4-rasm. 1.5
Keling, inersiya kuchini qo'shamiz, bu erda yukning tezlashishi. O'qga proyeksiyada d'Alember printsipining tenglamasi y shaklga ega N-Pcos a = 0.
Bu yerdan N = Pcos a. Endi sirpanish ishqalanish kuchini formula bilan aniqlash mumkin F tr \u003d f P cos a.
Biz umumlashtirilgan koordinatani beramiz s kichik o'sish d s > 0. Bunda yuk (1.4-rasm) qiyalik tekislikdan d masofada yuqoriga siljiydi. s, va baraban soat miliga teskari yo'nalishda dj burchagi bilan aylanadi.
(1.3a) va (1.3c) kabi formulalardan foydalanib, biz momentning elementar ishining yig'indisi uchun ifoda tuzamiz. M, kuchlar P va F tr:
bu tenglamada djni d bilan ifodalang s: , keyin
umumlashtirilgan kuchni (1.3) formula bilan aniqlaymiz.
uchun avval yozilgan formulani hisobga olamiz F tr va nihoyat, biz olamiz
Agar xuddi shu misolda umumlashtirilgan koordinata sifatida j burchakni olsak, u holda umumlashgan kuch Qj formula bilan ifodalanadi
1.4.2. Tizimning umumlashgan kuchlarini aniqlash
ikki darajadagi erkinlik bilan
Agar tizim mavjud bo'lsa n erkinlik darajalari, uning pozitsiyasi aniqlanadi n umumlashtirilgan koordinatalar. Har bir koordinata qi(i = 1,2,…,n) uning umumlashgan kuchiga mos keladi Q i, bu formula bilan aniqlanadi
faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi qayerda i-tizimning mumkin bo'lgan harakati d q i > 0 va qolgan umumiy koordinatalar o'zgarmaydi.
Aniqlashda (1.3) formula bo'yicha umumlashtirilgan kuchlarni aniqlash bo'yicha ko'rsatmalarni hisobga olish kerak.
Ikki erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning umumlashgan kuchlarini quyidagi tartibda aniqlash tavsiya etiladi.
· Dizayn sxemasida tizimning barcha faol kuchlarini ko'rsating.
Birinchi umumlashgan kuchni aniqlang 1-savol. Buning uchun, d qachon tizimga birinchi mumkin bo'lgan harakatni bering q 1 > 0 va d q 2 =q 1 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan siljishlari; tuzish - birinchi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha tizim kuchlarining elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar q 1; toping 1-savol(1.4) formula bo'yicha, faraz qiling i = 1.
Ikkinchi umumlashgan kuchni aniqlang 2-savol. Buning uchun tizimga ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni bering, qachon d q 2 > 0 va d q 1 = 0; hisoblash sxemasida mos keladiganini ko'rsatish d q2 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan siljishlari; tuzing - ikkinchi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha tizim kuchlarining elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar q2; toping 2-savol(1.4) formula bo'yicha, faraz qiling i = 2.
1.5-misol (1.2-rasmdagi shartga qarang)
Keling, aniqlaymiz 1-savol va 2-savol, umumlashtirilgan koordinatalarga mos keladi x D va x A(1.6-rasm, a).
Tizimga uchta faol kuch ta'sir qiladi: P A = 2P, P B = P D = P.
Ta'rif 1-savol. d bo'lganda sistemaga birinchi mumkin bo'lgan siljishni beraylik x D > 0, d x A = 0 (1.6-rasm, a). Shu bilan birga, yuk D x D, blok B dj burchagi bilan soat miliga teskari buriling B, silindr o'qi A harakatsiz qoladi, silindr A eksa atrofida aylantiring A burchakda dj A soat yo'nalishi bo'yicha. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
Keling, aniqlaymiz 2-savol. d bo'lganda sistemaga ikkinchi mumkin bo'lgan siljishni beraylik x D = 0, d x A > 0 (1.6-rasm, b). Bunday holda, silindrning o'qi A masofaga vertikal pastga siljitish d x A, silindr A eksa atrofida aylantiring A dj burchagiga soat yo'nalishi bo'yicha A, blok B va yuk D harakatsiz qoladi. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
1.6-misol (1.3-rasmdagi shartga qarang)
Keling, aniqlaymiz 1-savol va 2-savol, umumlashtirilgan j koordinatalariga mos keladi, s(1.7-rasm, a). Tizimga to'rtta faol kuch ta'sir qiladi: novda og'irligi P, to'pning og'irligi, kamon kuchi va.
Biz buni o'rganamiz. Elastik kuchlar moduli (a) formula bilan aniqlanadi.
E'tibor bering, kuchni qo'llash nuqtasi F2 harakatsiz, shuning uchun bu kuchning tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha ishi nolga teng, umumlashgan kuchlar ifodasida, kuch F2 kirmaydi.
Ta'rif 1-savol. Keling, tizimga dj bo'lganda birinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik > 0, d s= 0 (1.7-rasm, a). Shu bilan birga, tayoq AB eksa atrofida aylantiring z dj burchagi bilan soat sohasi farqli o'laroq, mumkin bo'lgan to'p harakatlari D va markaz E rodlar segmentga perpendikulyar yo'naltiriladi AD, bahorning uzunligi o'zgarmaydi. Koordinata shaklida tuzing [qarang. formula (1.3b)]:
(E'tibor bering, shuning uchun bu kuchning birinchi mumkin bo'lgan siljishdagi ishi nolga teng).
Siqishlarni ifodalaylik d x E va d x D dj orqali. Buning uchun biz avval yozamiz
Keyin (7) formulaga muvofiq adj. 1 topish
Topilgan qiymatlarni ga almashtirib, olamiz
ni hisobga olgan holda (1.4) formula bo'yicha aniqlaymiz
Ta'rif 2-savol. Keling, tizimga dj bo'lganda ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik = 0, d s > 0 (1.7-rasm, b). Shu bilan birga, tayoq AB harakatsiz qoladi va to'p M masofaga tayoq bo'ylab harakatlanadi d s. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
kuchning qiymatini almashtirish F1 formuladan (a) olamiz
1.5. Tizimning kinetik energiyasini ifodalash
umumlashtirilgan koordinatalarda
Tizimning kinetik energiyasi uning jismlari va nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng (2-ilova). Qabul qilish uchun T ifoda (1.2), tizimning barcha jismlari va nuqtalarining tezliklarini kinematika usullaridan foydalangan holda umumlashtirilgan tezliklar bilan ifodalash kerak. Bunday holda, tizim ixtiyoriy holatda, uning barcha umumlashtirilgan tezliklari ijobiy deb hisoblanadi, ya'ni umumlashtirilgan koordinatalarni oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan.
1-misol 7 (1.1-rasmdagi shartga qarang)
Masofani umumlashtirilgan koordinata sifatida olib, tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz (1.8-rasm). s,
T = T A + T B.
(2) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda: .
Ushbu ma'lumotlarni ga almashtirish T va buni hisobga olsak, olamiz
1.8-misol(1.2-rasmdagi shartga qarang)
Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.9, umumlashtirilgan sifatida qabul qilish miqdorlarni muvofiqlashtiradi x D va x A,
T = T A + T B + T D.
(2), (3), (4) formulalarga muvofiq adj. 2 yozing
Ekspress V A, V D, w B va w A orqali:
w ni aniqlashda A nuqta deb hisobladi O(1.9-rasm) - silindrning tezliklarining oniy markazi A va V k = V D(tegishli tushuntirishlarga qarang, masalan, 2-ilova).
Olingan natijalarni ga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda
aniqlash
1.9-misol(1.3-rasmdagi shartga qarang)
Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.10, umumlashtirilgan koordinata sifatida j va s,
T = T AB + T D.
(1) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda bor
Express w AB va VD orqali va:
to'pni uzatish tezligi qayerda D, uning moduli formula bilan aniqlanadi
Segmentga perpendikulyar yo'naltirilgan AD j burchak ortishi yo'nalishida; - nisbiy tezlik to'p, uning moduli formula bilan aniqlanadi , ortib borayotgan koordinata yo'nalishiga yo'naltiriladi s. E'tibor bering, bu perpendikulyar, shuning uchun
Ushbu natijalarga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda
1.6. Differensial tenglamalarni shakllantirish
mexanik tizimlarning harakati
Kerakli tenglamalarni olish uchun Lagranj tenglamalariga (1.1) umumlashtirilgan koordinatalarda tizimning kinetik energiyasi va umumlashtirilgan kuchlar uchun ilgari topilgan ifodani almashtirish kerak. Q 1 , Q 2 , … , Qn.
Qisman hosilalarni topishda T umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan tezliklar nuqtai nazaridan, o'zgaruvchilarni hisobga olish kerak. q 1 , q 2 , … , qn; bir-biridan mustaqil deb hisoblanadi. Bu qisman hosilani belgilash orqali degan ma'noni anglatadi T bu o'zgaruvchilardan biri uchun ifodadagi barcha boshqa o'zgaruvchilar T doimiylar sifatida qaralishi kerak.
Amaliyotni bajarishda o'zgaruvchiga kiritilgan barcha o'zgaruvchilar vaqt bo'yicha farqlanishi kerak.
Biz Lagranj tenglamalari har bir umumlashtirilgan koordinata uchun yozilganligini ta'kidlaymiz qi (i = 1, 2,…n) tizimlari.
