Cheksiz kichiklar va kattalar hisobi

Cheksiz kichik hisob- cheksiz kichik miqdorlar bilan bajariladigan hisoblar, bunda olingan natija cheksiz kichik miqdorlar yig'indisi sifatida qaraladi. Cheksiz kichik hisob - bu umumiy tushuncha zamonaviy oliy matematikaning asosini tashkil etuvchi differentsial va integral hisoblar uchun. Cheksiz kichik miqdor tushunchasi chegara tushunchasi bilan chambarchas bog'liq.

Cheksiz kichik

Keyingi ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz kichik, Agar . Masalan, sonlar ketma-ketligi cheksiz kichikdir.

Funktsiya chaqiriladi nuqta yaqinida cheksiz kichik x 0 agar .

Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz kichik, Agar yoki .

Shuningdek, infinitesimal funksiya va uning chegarasi o'rtasidagi farq, ya'ni agar , Bu f(x) − a = α( x) , .

Cheksiz katta miqdor

Quyidagi barcha formulalarda tenglik huquqining cheksizligi ma'lum bir belgiga ega bo'lishini nazarda tutadi (yoki "ortiqcha" yoki "minus"). Bu, masalan, funktsiya x gunoh x, har ikki tomondan chegaralanmagan, da cheksiz katta emas.

Keyingi ketma-ketlik a n chaqirdi cheksiz katta, Agar .

Funktsiya chaqiriladi nuqtaga yaqin joyda cheksiz katta x 0 agar .

Funktsiya chaqiriladi cheksizlikda cheksiz katta, Agar yoki .

Cheksiz kichik va cheksiz kattalik xossalari

Cheksiz kichiklarni solishtirish

Cheksiz kichik miqdorlarni qanday solishtirish mumkin?
Cheksiz kichik miqdorlarning nisbati noaniqlikni hosil qiladi.

Ta'riflar

Aytaylik, bizda cheksiz kichik qiymatlar mavjud a( x) va b( x) (yoki ta'rif uchun muhim bo'lmagan, cheksiz kichik ketma-ketliklar).

Bunday chegaralarni hisoblash uchun L'Hopital qoidasidan foydalanish qulay.

Taqqoslash misollari

Foydalanish HAQIDA-simbolizm, olingan natijalarni quyidagi shaklda yozish mumkin x 5 = o(x 3). Bunday holda, quyidagi yozuvlar to'g'ri bo'ladi: 2x 2 + 6x = O(x) Va x = O(2x 2 + 6x).

Ekvivalent qiymatlar

Ta'rif

Agar , u holda cheksiz kichik miqdorlar a va b deyiladi ekvivalent ().
Ko'rinib turibdiki, ekvivalent miqdorlar bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichik miqdorlarning alohida holatidir.

Quyidagi ekvivalentlik munosabatlari haqiqiy bo'lganda (e'tiborli chegaralar deb ataladigan natijalar sifatida):

Teorema

Ikki cheksiz kichik miqdorning chegarasi (nisbati) agar ulardan biri (yoki ikkalasi) ekvivalent miqdorga almashtirilsa, o'zgarmaydi..

Bu teorema chegaralarni topishda amaliy ahamiyatga ega (misolga qarang).

Foydalanish misoli

O'zgartirish sin 2x ekvivalent qiymat 2 x, olamiz

Tarixiy eskiz

"Cheksiz" tushunchasi qadimgi davrlarda bo'linmas atomlar tushunchasi bilan bog'liq holda muhokama qilingan, ammo klassik matematikaga kiritilmagan. U 16-asrda "bo'linmaslar usuli" paydo bo'lishi bilan yana tiklandi - o'rganilayotgan raqamni cheksiz kichik qismlarga bo'lish.

17-asrda cheksiz kichik hisobni algebralash amalga oshirildi. Ular har qanday chekli (nol bo'lmagan) kattalikdan kichik bo'lgan, lekin nolga teng bo'lmagan sonli miqdorlar sifatida aniqlana boshladi. Tahlil san'ati cheksiz kichiklarni (differensiallarni) o'z ichiga olgan munosabatni tuzish va keyin uni integrallashdan iborat edi.

Qadimgi maktab matematiklari kontseptsiyani sinab ko'rishdi cheksiz kichik qattiq tanqid. Mishel Rol yangi hisob-kitoblar " aql bovar qilmaydigan xatolar to'plami"; Volter ta'kidlaganidek, hisob - bu mavjudligini isbotlab bo'lmaydigan narsalarni hisoblash va aniq o'lchash san'ati. Hatto Gyuygens ham yuqori darajadagi differentsiallarning ma'nosini tushunmaganligini tan oldi.

Taqdirning istehzosi sifatida, asrning o'rtalarida nostandart tahlilning paydo bo'lishini ko'rib chiqish mumkin, bu esa asl nuqtai nazar - haqiqiy cheksiz kichiklarning ham izchilligini va tahlil qilish uchun asos bo'lishi mumkinligini isbotladi.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi.

2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Cheksiz miqdor" nima ekanligini ko'ring: CHEKSIZ KICHIK MIQDOR - ma'lum bir jarayondagi o'zgaruvchan miqdor, agar bu jarayonda u cheksiz ravishda nolga yaqinlashsa (moyil bo'lsa) ...

Katta politexnika entsiklopediyasi Cheksiz kichik - ■ Noma'lum narsa, lekin gomeopatiya bilan bog'liq...

Umumiy haqiqatlar leksikasi

Konvergent sonlar qatorining chegarasi va chegaralanganligining yagonaligi Ta'rif 1

. Agar bu ketma-ketlik a'zolari to'plami cheklangan to'plamni tashkil qilsa, sonli ketma-ketlik (1) chegaralangan deb ataladi. Bunday holda, biz raqamli ketma-ketlikni chaqiramiz (1).

hajmi cheklangan Ta'rif 2

Keling, ko'proq rus tilidan foydalangan holda ushbu ta'rifni takrorlaymiz. Raqamli ketma-ketlikning chegarasi mavjud bo'lib, ma'lum songa teng bo'ladi, agar ma'lum bir raqamdan boshlab, ketma-ketlikning barcha a'zolari ushbu cheklovchi raqamdan oldindan belgilangan, o'zboshimchalik bilan kichik musbat songa qaraganda kamroq masofada bo'lsa. Xuddi shu narsani boshqa so'zlar bilan ham aytish mumkin. Agar nuqtaning har bir qo'shnisi uchun ma'lum bir sondan boshlab ketma-ketlikning barcha a'zolari shu qo'shnilikda yotsa, raqam sonli ketma-ketlikning chegarasi (1) bo'ladi. E'tibor bering, interval nuqtaning qo'shnisi deb ataladi.

Teorema 1 . Agar raqamlar ketma-ketligi uchun chegara mavjud bo'lsa, u noyobdir.

Isbot . Teoremani qarama-qarshilik usuli yordamida isbotlaymiz. Faraz qilaylik, teorema noto'g'ri va bu ta'rifda 2 ta ta'rifning shartlari qondiriladigan kamida 2 ta raqam bor. Keyin sondan keyin qator a'zolari sondan kichik farq qiladi, sondan keyin esa ketma-ketlik a'zolari sondan kichik farq qiladi. Keling, bunday bo'lishi mumkin emasligini ko'rsataylik. Aslida, qachon munosabatlar , , qanoatlantiriladi, buning uchun biz bor. Teorema isbotlangan.

Teorema 2 . Agar raqamlar ketma-ketligi chegarasiga ega bo'lsa, u holda bu raqamlar ketma-ketligi cheklangan.

Isbot . Dalil konstruktiv bo'ladi. Keling, uni olib, mos keladiganini topamiz. Ketma-ketlikni 2 qismga ajratamiz: birinchi a'zolar va ketma-ketlikning qolgan a'zolari. Birinchi guruh cheklangan miqdordagi a'zolardan iborat va shuning uchun cheklangan. Ikkinchi guruh chegara qiymatidan 1 dan ortiq bo'lmagan va shuning uchun ham cheklangan raqamlardan iborat. Ikki chegaralangan to'plamning birlashishi chegaralangan to'plamdir. Teorema isbotlangan.

Cheksiz kichik miqdorlar va ularning xossalari

Ta'rif 3 . Raqamlar ketma-ketligi chaqiriladi cheksiz kichik, agar u 0 ga teng chegaraga ega bo'lsa.

Cheksiz kichik miqdorlar uchun belgi qo'llaniladi b. m.

Raqamlar ketma-ketligi va berilgan bo'lsin. Umumiy hadli sonlar ketma-ketligi ularning yig'indisi deyiladi raqamlar ketma-ketligi. Umumiy hadli sonlar ketma-ketligi shu sonlar ketma-ketliklarining yig'indisi deyiladi. Umumiy hadli sonlar ketma-ketligi shu sonlar ketma-ketliklarining yig'indisi deyiladi.

Teorema 3 . Cheklangan sonli cheksiz kichik miqdorlar yig'indisi cheksiz kichik miqdordir.

Isbot . Ikki b ning yig'indisi uchun bayonotni isbotlash kifoya. m sonlar ketma-ketligi cheksiz kichik miqdorlar bo'lsin, ya'ni bu ketma-ketliklarning chegaralari 0 ga teng. Bu fakt quyidagilarni anglatadi. Agar ixtiyoriy, aylantiriluvchi, kichik musbat son berilsa, son va sonlar ketma-ketligi uchun munosabat qanoatlansa xossaga ega bo'lgan son mavjud bo'ladi. Xuddi shu sababga ko'ra, bir xil son va sonlar ketma-ketligi uchun munosabatlar qanoatlansa, xossaga ega bo'lgan son mavjud. Keling, raqamni olaylik , keyin munosabatlar haqiqiy bo'lganda . Shunday qilib, ixtiyoriy raqam uchun biz qachon topdik. Shuning uchun, ketma-ketlikning chegarasi 0 ga teng va u cheksiz kichik qiymatdir. Teorema isbotlangan.

Teorema 4 . Cheksiz kichik miqdor va cheklangan miqdorning ko'paytmasi cheksiz kichik miqdordir.

Isbot . Sonlar ketma-ketligi cheksiz kichik miqdor, sonlar qatori esa cheklangan miqdor bo‘lsin. Bu shuni anglatadiki, bir tomondan, ikkinchi tomondan, har biri uchun shart qondiriladigan raqam mavjud. Endi ixtiyoriy, aylantiriladigan, kichik musbat son berilsin. Raqamlarni ko'rib chiqaylik , ular uchun sonlar ketma-ketligida munosabatlar qanoatlansa, xossaga ega bo'lgan raqam mavjud. Bunday holda, shart qondiriladi , ya'ni bu ikki miqdor - cheksiz kichik va cheklangan - ko'paytmasi cheksiz kichik miqdordir. Teorema isbotlangan.

Cheklash xususiyatlari

Limitlar, bu holda, sonli ketma-ketliklar qanday aniq hisoblanadi? Biz chegarasi topilishi kerak bo'lgan miqdorni yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi, chegarasini topish oson bo'lgan oddiyroq miqdorlar ko'rinishida taqdim etishga harakat qilamiz. Ushbu yondashuvni asoslash uchun chegaralarning xususiyatlarini shakllantirish va isbotlash kerak.

Teorema 5 . Raqamlar ketma-ketligi cheksiz kichik miqdor bo'lsa va faqat ketma-ketlik teng chegaraga ega.

Isbot . Mayli, ya'ni. at har biri uchun tengsizlikda () bajariladi. Ammo bu tengsizlik ekvivalent bu , ya'ni ketma-ketlik 0 chegarasiga ega, ya'ni. cheksiz kichik miqdordir. Teorema isbotlangan. , bu erda - b. m. Bundan kelib chiqadi. Oxirgi qavsda ikkita cheksiz kichik miqdorning yig'indisi b miqdordir. m, shuning uchun u yig'indi va cheksiz kichik miqdor sifatida ifodalanadi. 5-teoremaga ko'ra, bu shuni anglatadi . Teoremaning birinchi bayonoti isbotlangan. Formula aynan bir xil tarzda isbotlangan. Endi formulani ko'rib chiqaylik va chap tomonni o'zgartirish uchun bir xil belgidan foydalaning. Shunung uchun …

Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar tushunchasi matematik tahlilda muhim o‘rin tutadi. Ko'pgina masalalar cheksiz katta va kichik miqdorlar tushunchalari yordamida sodda va oson hal qilinadi.

Cheksiz kichik.

O'zgaruvchi cheksiz kichik deb ataladi, agar biron bir uchun shunday qiymat mavjud bo'lsa, undan keyingi har bir qiymat mutlaq qiymatda kichikroq bo'ladi.

Agar - cheksiz kichik keyin ular nolga moyilligini aytishadi va yozadilar:.

Cheksiz katta.

O'zgaruvchan x chaqirdi cheksiz katta, agar har qanday ijobiy raqam uchun c shunday ma'no borki, har biri unga ergashadi x mutlaq qiymatda kattaroq bo'ladi. Ular yozadilar:

O'zaro cheksiz katta, miqdori bor cheksiz kichik, va orqaga.

10. Funksiya limitlarining xossalari

1) Doimiy qiymat chegarasi

Doimiy qiymatning chegarasi doimiy qiymatning o'ziga teng:

2) Miqdor chegarasi

Ikki funktsiya yig'indisining chegarasi ushbu funktsiyalarning chegaralari yig'indisiga teng:

Xuddi shunday, ikki funktsiyaning ayirma chegarasi bu funksiyalar chegaralarining ayirmasiga teng.

Kengaytirilgan miqdor chegarasi xususiyati:

Bir nechta funktsiyalar yig'indisining chegarasi ushbu funktsiyalarning chegaralari yig'indisiga teng:

Xuddi shunday, bir necha funksiyalar ayirmasining chegarasi bu funksiyalar chegaralarining farqiga teng.

3) Funktsiya mahsulotining doimiy qiymat bilan chegarasi

Doimiy koeffitsient chegara belgisidan tashqari olinishi mumkin:

4) Mahsulot chegarasi

Ikki funktsiya ko'paytmasining chegarasi ushbu funktsiyalar chegaralarining ko'paytmasiga teng:

Kengaytirilgan mahsulot chegarasi xususiyati

Bir nechta funksiyalar ko‘paytmasining chegarasi ushbu funksiyalar chegaralarining ko‘paytmasiga teng:

5) Ko'rsatkich chegarasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining chegarasi, maxrajning chegarasi nolga teng bo'lmasa, ushbu funktsiyalarning chegaralari nisbatiga teng:

11. Birinchi ajoyib chegara

Isbot

Keling, bir tomonlama chegaralarni ko'rib chiqamiz va ularning 1 ga teng ekanligini isbotlaymiz.

Mayli. Keling, bu burchakni birlik doirasiga () chizamiz.

Nuqta K- nurning aylana bilan kesishish nuqtasi va nuqta L- nuqtada birlik doirasiga teginish bilan . Nuqta H- nuqta proyeksiyasi K eksa boshiga OX.

Ko'rinib turibdiki:

(sektorning maydoni qayerda)

(1) ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Qachondan beri:

Quyidagiga ko'paytiring:

Keling, chegaraga o'taylik:

Chap bir tomonlama chegarani topamiz:

O'ng va chap bir tomonlama chegaralar mavjud va 1 ga teng, ya'ni chegaraning o'zi 1 ga teng.

12-13. Ikkinchi ajoyib chegara

yoki

Ikkinchi ajoyib chegaraning isboti:

Ikkinchi ajoyib chegara x ning tabiiy qiymatlari uchun to'g'ri ekanligini bilib, biz haqiqiy x uchun ikkinchi ajoyib chegarani isbotlaymiz, ya'ni buni isbotlaymiz. . Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik:

1. Mayli. X ning har bir qiymati ikkita musbat son orasiga joylashgan: , bu yerda x ning butun qismi.

Bu quyidagicha: shuning uchun

Agar, keyin. Shuning uchun, chegaraga ko'ra , bizda ... bor:

Limitlar mavjudligi mezoniga (oraliq funktsiya chegarasi haqida) asoslanadi .

2. Mayli. Unda almashtirishni amalga oshiramiz

Bu ikki holatdan shunday xulosa kelib chiqadi haqiqiy X uchun

14. Qisman hosilalar.

Mayli z=f(x,y) . Keling, bir nuqtani tuzataylik (x,y), va keyin, argumentning belgilangan qiymatini o'zgartirmasdan y, keling, dalil keltiraylik x oshirish. Keyin z qo'shimchani oladi, bu qisman o'sish deb ataladi z tomonidan x va formula bilan belgilanadi va aniqlanadi.

Xuddi shunday, agar x doimiy bo'lib qoladi va y keyin o'sish oladi z qisman o'sish oladi z tomonidan y,.

Ta'rif. ga nisbatan qisman hosila x funktsiyasidan z=f(x,y) tomonidan qisman o'sish nisbatining chegarasi deyiladi x o'sishga, chunki u nolga intiladi, ya'ni.

Qisman hosila belgilardan biri bilan belgilanadi .

ga nisbatan qisman hosila y:

.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilalari bitta o'zgaruvchining funksiyasining hosilalari bilan bir xil qoidalarga muvofiq hisoblanadi.

Misol. Funksiyaning qisman hosilalarini toping z=x 2 e x-2y .

Har qanday miqdordagi o'zgaruvchilarning funksiyasining qisman hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.

Cheksiz kichik funksiyalar, ekvivalent funksiyalarni solishtirish

Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar.

O.1. Ketma-ket deyiladi cheksiz katta agar har qanday musbat A soni uchun (qanchalik katta bo'lishimizdan qat'iy nazar) N soni bo'lsa, n›N uchun tengsizlik | x p | › A, ya'ni. nima bo'lishidan qat'iy nazar katta raqam Ammo biz buni qabul qilmadik, ketma-ketlikning barcha shartlari A dan katta bo'ladigan raqam bor.

Ta'rif 6. Ketma-ketlik (a n) deyiladi cheksiz kichik, agar har qanday musbat e soni uchun (qanchalik kichik olsak ham) N soni bo'lsa, n›N uchun tengsizlik | a p | ‹e.

1. Ketma-ketlik (n) cheksiz katta.

2. Ketma-ket () cheksiz kichikdir.

Teorema 1. Agar (x p ) cheksiz katta ketma-ketlik bo‘lsa va uning barcha hadlari noldan farqli bo‘lsa, x p ≠0 bo‘lsa, u holda (a p ) = ketma-ketlik cheksiz kichik, aksincha, (a p ) cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsa, a p ≠ bo‘ladi. 0, keyin ketma-ketlik (x n) = cheksiz katta.

Cheksiz kichik ketma-ketliklarning asosiy xossalarini teorema shaklida tuzamiz.

Teorema 2. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning yig'indisi va ayirmasi cheksiz kichik ketma-ketliklardir.

2-misol. Umumiy terminli ketma-ketlik cheksiz kichikdir, chunki ya'ni berilgan ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketliklar yig'indisidir va shuning uchun cheksiz kichikdir.

Natija. Har qanday chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketlikning algebraik yig'indisi cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Teorema 3. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Natija. Har qanday chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketliklarning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Izoh. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning qismi har qanday ketma-ketlik bo'lishi mumkin va ma'noga ega bo'lmasligi mumkin.

Masalan, agar , u holda ketma-ketlikning barcha elementlari 1 ga teng va bu ketma-ketlik chegaralangan. Agar , bo'lsa, ketma-ketlik cheksiz katta va aksincha, agar , a bo'lsa, u cheksiz kichik ketma-ketlikdir. Agar ma'lum bir raqamdan boshlab, ketma-ketlikning elementlari nolga teng bo'lsa, unda ketma-ketlik mantiqiy emas.

Teorema 4. Chegaralangan ketma-ketlik va cheksiz kichik ketma-ketlikning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

3-misol. Ketma-ketlik cheksiz kichikdir, chunki va ketma-ketlik () cheksiz kichik, ketma-ketlik cheklangan, chunki ‹ 1. Demak, cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Natija. Cheksiz kichik ketma-ketlik va sonning mahsuloti cheksiz kichik qatordir.

Ta'rif. f(x) funksiya chaqiriladi cheksiz katta uchun, agar har qanday, hatto ixtiyoriy katta, musbat son uchun ham musbat son mavjud (M, d=d(M) ga qarab) shundayki, x 0 ga teng bo‘lmagan va shartni qanoatlantiruvchi barcha x uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Yozing: yoki da.

Masalan, funktsiya uchun cheksiz katta funksiya; da funksiyasi.

Agar f(x) da cheksizlikka intiladi va faqat musbat qiymatlarni qabul qilsa, u holda yozing salbiy qiymatlar, Bu.

Ta'rif. Butun son qatorida aniqlangan f(x) funksiya deyiladi cheksiz katta uchun, agar har qanday musbat son uchun musbat son mavjud (M ga qarab, N=N(M)) shundayki, shartni qanoatlantiradigan barcha x uchun tengsizlik bajariladi.

Masalan, y = 2 x funksiya uchun cheksiz katta funksiya; funksiya uchun cheksiz katta funksiya.

Cheksiz katta funksiyalarning xossalari:

1. Mahsulot b.b.f. limiti nolga teng bo'lmagan funksiya uchun b.b.f.

2. Miqdor b.b.f. va cheklangan funksiya b.b.f.

3. B.b.f.ning koʻrsatkichi. chegarasi bo'lgan funksiya uchun b.b.f.

Masalan, f(x)=tgx funksiyasi b.b.f. da, ph(x)=4x-3 at funksiyasi noldan farqli chegara (2p-3) ga ega va ps(x)=sinx funksiyasi cheklangan funksiya bo’lsa, u holda

f(x) ph(x)=(4x-3) tgx; f(x) + ps(x)= tanx + sinx; uchun cheksiz katta funksiyalar mavjud.

Ta'rif. f(x) funksiya chaqiriladi cheksiz kichik da, agar

Funktsiya chegarasining ta'rifiga ko'ra, (1) tenglik quyidagilarni anglatadi: har qanday musbat son uchun, hatto ixtiyoriy ravishda kichik bo'lsa ham, musbat son mavjud (e ga qarab, d=d(e)) shundayki, barcha x uchun x ga teng emas. 0 va shartni qanoatlantirsa, tengsizlik bajariladi

Teorema. Tenglikni bajarish uchun funktsiyaning cheksiz kichik bo'lishi zarur va etarli. Bunday holda, funktsiyani quyidagicha ifodalash mumkin.

B.m.f. xuddi shunday aniqlanadi. uchun ,- 0, , barcha hollarda f(x)0.

Cheksiz kichik funktsiyalar ko'pincha cheksiz kichik miqdorlar yoki cheksiz kichiklar deb ataladi; odatda belgilanadi Yunon harflari a, b va boshqalar.

Masalan, x→0 da y=x 2; y=x-2 da x→2; x→pk uchun y=sinx, cheksiz kichik funksiyalardir.

Cheksiz kichik funksiyalarning xossalari:

1. Chekli sonli cheksiz kichik funksiyalar yig‘indisi cheksiz kichik miqdordir;

2. Chekli sonli cheksiz kichik funktsiyaning, shuningdek cheksiz kichik funktsiyaning ko'paytmasi. cheklangan funksiya, cheksiz kichik miqdor;

3. Cheksiz kichik funktsiyani chegarasi bo'lmagan funktsiyaga bo'lish qismi nolga teng, agar miqdor cheksiz kichik bo'lsa.

Agar va funktsiyalari cheksiz kichik bo'lsa, oxirgi xususiyatni ko'rib chiqaylik (Cheksiz kichik funktsiyalarni taqqoslash):

1). Agar bo'lsa, u cheksiz kichik, ko'proq deyiladi yuqori tartib dan bir oz ko'proq.

Misol. x→2 uchun (x - 2) 3 funksiya (x -2) dan yuqori tartibli cheksiz kichikdir, chunki .

2). Agar , u holda ular bir xil tartibdagi cheksiz kichiklar deb ataladi (ular nolga yaqinlashish tezligi bir xil);

Misol. x→0 uchun 5x 2 va x 2 funksiyalar bir xil tartibdagi cheksiz kichiklardir, chunki .

3). Agar , u holda va ekvivalent cheksiz kichiklar deyilsa, ~ belgisi bilan belgilanadi

Cheksiz kichik va cheksiz katta funktsiyalar o'rtasidagi munosabat: cheksiz kichik funktsiyaning teskarisi cheksiz katta (va aksincha), ya'ni. agar - cheksiz kichik funktsiya, keyin u cheksiz katta.

Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifi berilgan. U konvergent ketma-ketliklarning xususiyatlariga ega. Faqat chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketliklarga xos xususiyatlar ham mavjud. Bunday xususiyatlarning dalillari keltirilgan. Ketma-ketlikning cheksiz kichikligini isbotlash zarur bo'lgan misol ko'rib chiqiladi.

Tarkib

Ta'rif

Cheksiz kichik ketma-ketlik (an) chegarasi nolga teng bo'lgan konvergent ketma-ketlikdir:
.

Quyidagi xususiyatlar chegarasi nolga teng bo'lgan ketma-ketliklarga qo'llaniladigan arifmetik xususiyatlarning bevosita natijasidir.

Cheksiz kichik ketma-ketliklar yig'indisi va ayirmasining xossasi

Yig'indi va farq chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketligidir.
Shuningdek, chekli sonli cheksiz kichik ketma-ketlikning chiziqli birikmasi cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
Sonlar ketma-ketligi yig'indisi va ayirmasining chegarasini isbotlash.

Cheksiz kichik ketma-ketliklar hosilasining xossasi

Cheklangan sonning mahsuloti cheksiz kichik ketma-ketliklar cheksiz kichik ketma-ketlikdir.
Raqamlar ketma-ketligi hosilasi chegarasining isboti.

Quyidagi xossalar faqat cheksiz kichik ketma-ketliklarga taalluqlidir va konvergent ketma-ketliklar xossalarining bevosita natijasi emas.

(xn)
x n = b + a n,
Qayerda (an)

Xususiyatlarni tasdiqlovchi hujjatlar

Cheklangan ketma-ketlik va cheksiz kichik ko'paytmaning xossasi

Cheklangan ketma-ketlikning mahsuloti to infinitesimal cheksiz kichik ketma-ketlikdir.

Isbot

Ketma-ketlik ma'lum bir raqam bilan cheklansin:
(3.1) .

Ketma-ketlik cheksiz kichik bo'lsin. Ya'ni, o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan funksiya mavjudki, o'zgaruvchining har qanday ijobiy qiymati uchun tengsizlik qondiriladi.
(3.2) da.

Ketma-ketlik va ketma-ketliklarning hosilasi bo'lsin.
.
Uning umumiy atamasi quyidagi shaklga ega:
(3.3) da.

Tengsizlikni qanoatlantiradigan funksiyani topishimiz kerak
.
Keling, (3.1) va (3.2) ga amal qilaylik:
.
Bu amalga oshiriladi.
.

Shunday qilib,
(3.3) da.

Keling, qo'yaylik:

Ya'ni, biz har qanday musbat son uchun tengsizlik amal qiladigan funktsiyani topdik:

Mulk isbotlangan. (xn) Konvergent ketma-ketlikni cheksiz kichik orqali ifodalash xossasi
x n = b + a n,
Qayerda (an) Ketma-ketlik uchun

Isbot

b chegarasi bor edi, bu zarur va yetarli- cheksiz kichik ketma-ketlik.
.
Zaruriyat

. Mayli. Umumiy atama bilan ketma-ketlikni ko'rib chiqing.
.

Keling, qo'yaylik:

Biz limitlarning arifmetik xususiyatlaridan foydalanamiz:

Ya'ni cheksiz kichik ketma-ketlik.

Adekvatlik

. Mayli.
.
Limitlarning arifmetik xususiyatlariga asoslanib, biz quyidagilarga egamiz: 1, 2, 3, ... Misol
,
,
.
Shuning uchun ketma-ketlikning shartlari ijobiy sonlardir. Keyin
.

Shunday qilib, biz quyidagi taxminni oldik:
.
Kirish ijobiy raqamlar Va:
.
Tengsizliklar xossalariga ko'ra, agar va, keyin
.

Bundan kelib chiqadiki, har qanday ijobiyni topish mumkin natural son, shuning uchun qachon,
.
Demak, asl ketma-ketlikning chegarasi nolga teng va shuning uchun u cheksiz kichikdir.