Keling, ixtiyoriy kuchlar tizimini ma'lum bir markazga olib kelish, ya'ni berilgan kuchlar tizimini unga ekvivalent, lekin ancha sodda, ya'ni, biz ko'rib turganimizdek, boshqasi bilan almashtirish masalasini hal qilaylik. bitta kuch va juftlik.
Qattiq jismga ixtiyoriy kuchlar tizimi harakat qilsin (40-rasm, a).
Qaytarilish markazi sifatida ba'zi O nuqtani tanlaymiz va § 11da isbotlangan teoremadan foydalanib, barcha kuchlarni O markazga o'tkazamiz, tegishli juftlarni qo'shamiz (37-rasmga qarang, b). Keyin tanaga kuchlar tizimi ta'sir qiladi
O markazida qo'llaniladigan va (18) formula bo'yicha momentlari quyidagilarga teng bo'lgan juftliklar tizimi:
O nuqtada qo'llaniladigan yaqinlashuvchi kuchlar O nuqtada qo'llaniladigan bitta R kuch bilan almashtiriladi. Bu holda, yoki tengliklarga muvofiq (19),
Olingan barcha juftlarni qo'shish uchun siz ushbu juftlarning moment vektorlarini qo'shishingiz kerak. Natijada, juftliklar tizimi bir juft bilan almashtiriladi, ularning momenti yoki tengliklarga ko'ra (20),
Ma'lumki, R qiymati, teng geometrik yig'indisi barcha kuchlarning O markazga nisbatan barcha kuchlar momentlarining geometrik yig‘indisiga teng bo‘lgan qiymat tizimning asosiy vektori deyiladi.
Shunday qilib, biz kuchlar tizimining qisqarishi haqidagi quyidagi teoremani isbotladik: absolyut qattiq jismga ta’sir etuvchi har qanday kuchlar sistemasi ixtiyoriy ravishda tanlangan O markazga keltirilsa, uning asosiy vektoriga teng bo‘lgan bitta R kuch bilan almashtiriladi. kuch tizimi va kamaytirish markazida qo'llaniladi O, va markaz O ga nisbatan kuchlar tizimining asosiy momentiga teng momentga ega bo'lgan bir juft (40-rasm, b).
E'tibor bering, R kuchi bu erdagi kuchlar tizimining natijasi emas, chunki u kuchlar tizimini yolg'iz emas, balki juftlik bilan almashtiradi.
Tasdiqlangan teoremadan kelib chiqadiki, bir xil markazga nisbatan bir xil asosiy vektor va asosiy momentlarga ega bo'lgan ikkita kuch tizimi ekvivalentdir (kuch tizimlarining ekvivalentligi shartlari).
Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, R qiymati aniq O markazini tanlashga bog'liq emas. O markazining pozitsiyasi o'zgarganda qiymat odatda alohida kuchlar momentlari qiymatlarining o'zgarishi tufayli o'zgarishi mumkin. Shuning uchun har doim qaysi markazga nisbatan aniqlanganligini ko'rsatish kerak asosiy nuqta.
Bitta kuchni ma'lum bir nuqtaga etkazish usuli har qanday miqdordagi kuchlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Tananing ba'zi nuqtalarida (1.24-rasm) kuchlar qo'llaniladi deb faraz qilaylik F 1 F 2 , F 3 Va F4. Bu kuchlarni nuqtaga olib kelish talab etiladi HAQIDA samolyot. Keling, avval nuqtada qo'llaniladigan kuchni keltiramiz A. Keling, ushbu nuqtada murojaat qilaylik (16-bandga qarang). HAQIDA ma'lum bir kuchga teng qiymatli, unga parallel va qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan ikkita kuch. Quvvatni olib kelish natijasida biz kuchga ega bo'lamiz , O nuqtada qo'llaniladi va elka bilan bir nechta kuchlar . Xuddi shu narsani kuch bilan qilish orqali , nuqtada qo'llaniladi IN, kuch olamiz , nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va yelkaga ega bo'lgan bir nechta kuchlar va boshqalar. Nuqtalarda qo'llaniladigan kuchlarning tekis tizimi A, B, C Va D, biz yaqinlashuvchi kuchlar bilan almashtirdik , bir nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va momentli kuchlar juftligi, teng daqiqalar nuqtaga nisbatan berilgan kuchlar HAQIDA:
1.24-rasm
Bir nuqtada yaqinlashuvchi kuchlar komponentlarning geometrik yig'indisiga teng bo'lgan bitta kuch bilan almashtirilishi mumkin,
Berilgan kuchlarning geometrik yig'indisiga teng bo'lgan bu kuch deyiladi kuch tizimining asosiy vektori va belgilang.
Asosiy vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalarining kattaligiga asoslanib, biz asosiy vektorning modulini topamiz:
Juft kuchlarni qo'shish qoidasiga asoslanib, ularni hosil bo'lgan juftlik bilan almashtirish mumkin, ularning momenti nuqtaga nisbatan berilgan kuchlarning momentlarining algebraik yig'indisiga teng. HAQIDA va deyiladi asosiy nuqta mos yozuvlar nuqtasiga nisbatan
Shunday qilib, kuchlarning ixtiyoriy tekislik tizimi bitta kuchga kamayadi(kuch tizimining asosiy vektori) va bir daqiqa(kuchlar tizimining asosiy momenti).
Shuni tushunish kerakki, yuzta asosiy vektor berilgan kuchlar tizimining natijasi emas, chunki bu tizim bitta kuchga ekvivalent emas. Asosiy vektor ma'lum tizimdagi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng bo'lganligi sababli, uning kattaligi ham, yo'nalishi ham qisqarish markazini tanlashga bog'liq emas. Asosiy momentning qiymati va belgisi qisqarish markazining holatiga bog'liq, chunki komponent juftlarining qo'llari kuchlarning nisbiy holatiga va momentlar olinadigan nuqtaga (markazga) bog'liq.
Kuchlar tizimini kamaytirishning alohida holatlari:
1) ; tizim muvozanatda, ya'ni. Tekis kuchlar tizimining muvozanati uchun uning asosiy vektori va asosiy momenti bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi zarur va etarli.
5-ma'ruza
Xulosa: Berilgan markazga kuch olib kelish. Kuchlar tizimini berilgan markazga olib kelish. Muvozanat shartlari fazoviy tizim parallel kuchlar. Tekis kuchlar sistemasi uchun muvozanat shartlari. Uch moment teoremasi. Statik aniqlanadigan va statik noaniq muammolar. Jismlar sistemasining muvozanati.
KUCHLAR TIZIMINI MUAYIM MARKAZGA KETIRISH. MUVOZANAT SHARTLARI
Berilgan markazga kuch olib kelish.
Birlashtiruvchi kuchlar tizimining natijasi to'g'ridan-to'g'ri parallelogramm qoidasiga ko'ra kuchlarni qo'shish orqali topiladi. Shubhasiz, shunga o'xshash muammoni ixtiyoriy kuchlar tizimi uchun hal qilish mumkin, agar ular uchun barcha kuchlarni bir nuqtaga o'tkazishga imkon beradigan usul topsak.
Parallel kuch uzatish haqidagi teorema . Mutlaq qattiq jismga qo'llaniladigan kuch, uning ta'sirini o'zgartirmasdan, berilgan nuqtadan tananing istalgan boshqa nuqtasiga o'tkazilishi mumkin, bu nuqtaga nisbatan o'tkazilgan kuch momentiga teng bo'lgan juftlikni qo'shishi mumkin. kuch uzatiladi.
A nuqtaga kuch qo'llanilsin. B nuqtasida ikkita muvozanatli kuch qo'llanilsa, bu kuchning ta'siri o'zgarmaydi. Natijada paydo bo'lgan uchta kuch tizimi B nuqtasida qo'llaniladigan kuchga teng, ammo momentga ega bo'lgan juftlikdir. Kuchni kuch va juft kuch bilan almashtirish jarayoni kuchni berilgan B markazga keltirish deyiladi.
Kuchlar tizimini berilgan markazga olib kelish.
Asosiy teorema statika (Poinsot).
Qattiq jismga ta'sir qiluvchi har qanday ixtiyoriy kuchlar tizimi, umuman olganda, kuch va kuchlar juftligiga kamayishi mumkin. Bu kuchlar tizimini bir kuch va bir juft kuch bilan almashtirish jarayoni deyiladi kuchlar tizimini berilgan markazga olib kelish.
Tizimning asosiy vektori kuch ga teng vektor deyiladi vektor yig'indisi bu kuchlar.
Tizimning asosiy nuqtasi kuch jismning O nuqtasiga nisbatan sistemaning barcha kuchlari momentlarining bu nuqtaga nisbatan vektor yig'indisiga teng vektor deyiladi.
Asosiy vektor va asosiy momentni hisoblash formulalari
Modul va yo'nalish kosinuslarini hisoblash formulalari
asosiy vektor va asosiy moment
Kuchlar sistemasi muvozanatining shartlari.
Vektor shakli.
Qattiq jismga qo'llaniladigan ixtiyoriy kuchlar tizimining muvozanati uchun kuchlar tizimining asosiy vektori nolga teng bo'lishi va har qanday qisqarish markaziga nisbatan kuch tizimining asosiy momenti ham teng bo'lishi zarur va etarli. nol.
Algebraik shakl.
Qattiq jismga qo'llaniladigan ixtiyoriy kuchlar tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning o'qdagi proyeksiyalarining uchta yig'indisi zarur va etarli. Dekart koordinatalari nolga teng edi va barcha kuchlarning uchta koordinata o'qiga nisbatan momentlarining uchta yig'indisi ham nolga teng edi.
Fazoviy tizim muvozanatining shartlari
parallel kuchlar.
Tanaga parallel kuchlar tizimi ta'sir qiladi. Oz o'qini kuchlarga parallel joylashtiramiz.
Tenglamalar 
Qattiq jismga ta'sir etuvchi parallel kuchlarning fazoviy tizimining muvozanati uchun bu kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lishi va bu kuchlarning momentlari yig'indisi ikkita koordinata o'qiga perpendikulyar bo'lishi zarur va etarlidir. kuchlar ham nolga teng.
- kuchning Oz o'qiga proyeksiyasi.
YASSI KUCH TIZIMI.
Tekis kuchlar sistemasi uchun muvozanat shartlari.
Jismga tekis kuchlar tizimi ta'sir qiladi. Ox va Oy o'qlarini kuchlarning ta'sir tekisligiga joylashtiramiz.
Tenglamalar 
Qattiq jismga ta'sir etuvchi kuchlarning tekis sistemasi muvozanati uchun bu kuchlarning ta'sir tekisligida joylashgan ikkita to'rtburchak koordinata o'qlarining har biriga proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir. va bu kuchlarning harakat tekisligida joylashgan har qanday nuqtaga nisbatan momentlari yig'indisi ham kuchlar nolga teng edi.
Uch moment teoremasi.
Qattiq jismga ta'sir etuvchi kuchlarning tekis tizimining muvozanati uchun tizimning ushbu kuchlari momentlarining yig'indisi kuchlarning harakat tekisligida joylashgan va yotmaydigan har qanday uchta nuqtaga nisbatan bo'lishi zarur va etarli. bir xil to'g'ri chiziq nolga teng.
Statik aniqlanadigan va statik noaniq muammolar.
Qattiq jismga ta'sir etuvchi kuchlarning har qanday tekislik tizimi uchun uchta mustaqil muvozanat sharti mavjud. Binobarin, har qanday tekis kuchlar tizimi uchun muvozanat shartlaridan uchtadan ko'p bo'lmagan noma'lumlarni topish mumkin emas.
Qattiq jismga ta'sir etuvchi kuchlarning fazoviy tizimi holatida oltita mustaqil muvozanat sharti mavjud. Binobarin, har qanday fazoviy kuchlar tizimi uchun muvozanat sharoitidan oltitadan ko'p bo'lmagan noma'lumlarni topish mumkin emas.
Qattiq jismga berilgan kuchlar sistemasi uchun noma'lumlar soni mustaqil muvozanat shartlari sonidan ko'p bo'lmagan masalalar deyiladi. statik jihatdan aniqlanishi mumkin.
Aks holda, muammolar statik jihatdan noaniq.
Jismlar sistemasining muvozanati.
O'zaro ta'sir qiluvchi jismlar tizimiga qo'llaniladigan kuchlar muvozanatini ko'rib chiqaylik. Korpuslar menteşalar yordamida yoki boshqa yo'l bilan bir-biriga ulanishi mumkin.
Ko'rib chiqilayotgan jismlar tizimiga ta'sir qiluvchi kuchlarni tashqi va ichki qismlarga bo'lish mumkin.
Tashqi ko'rib chiqilayotgan tizim jismlariga ushbu kuchlar tizimiga kirmagan jismlar tomonidan ta'sir qiladigan kuchlar deyiladi.
Ichki ko'rib chiqilayotgan tizim jismlari orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari deyiladi.
Jismlar sistemasiga qo'llaniladigan kuchlar muvozanatini ko'rib chiqayotganda, jismlar tizimini alohida qattiq jismlarga aqliy ravishda ajratish va bir jism uchun olingan muvozanat shartlarini ushbu jismlarga ta'sir qiluvchi kuchlarga qo'llash mumkin. Ushbu muvozanat sharoitlari jismlar tizimining tashqi va ichki kuchlarini o'z ichiga oladi. Ichki kuchlar Ikki jismning har bir artikulyatsiya nuqtasida harakat va reaksiya kuchlarining tengligi aksiomasidan kelib chiqib, ular kuchlarning muvozanat tizimini hosil qiladi.
Keling, buni ikkita jismdan iborat tizim va kuchlarning tekis tizimi misolida ko'rsatamiz.
Har biri uchun muvozanat sharoitlarini yaratsak qattiq jismlar tizimi, keyin I tana uchun 
.
II tana uchun 
Bundan tashqari, ikkita o'zaro ta'sir qiluvchi jismlar uchun harakat va reaktsiya kuchlarining tengligi haqidagi aksiomadan 
.
Taqdim etilgan tengliklar muvozanat shartlaridir tashqi kuchlar, tizimda harakat qilish.
Yopish reaktsiyasi.
Keling, bir uchi AB devorga o'rnatilgan nurni ko'rib chiqaylik. AB nurining uchini mahkamlashning bunday turi deyiladi nuqtada muhrlash B. Nurga tekis kuchlar sistemasi ta'sir qilsin. AB nurining bir qismi tashlansa, nurning B nuqtasiga qo'llanilishi kerak bo'lgan kuchlarni aniqlaymiz. Tarqalgan reaksiya kuchlari nur qismiga (B) qo'llaniladi. Agar bu kuchlar elementar kontsentrlangan kuchlar bilan almashtirilsa va keyin B nuqtaga keltirilsa, u holda B nuqtada biz bir kuch (reaktsiya kuchlarining asosiy vektori) va momenti M (reaktsiya kuchlarining asosiy vektoriga nisbatan) bo'lgan kuchlar juftligini olamiz. B nuqtasi). Moment M yopilish momenti deb ataladi yoki direktiv moment. Reaksiya kuchi ikki komponent bilan almashtirilishi mumkin va .
Muhr, ilgakdan farqli o'laroq, nafaqat kattaligi va yo'nalishi bo'yicha noma'lum reaktsiyani, balki muhrda M momenti noma'lum bo'lgan juft kuchlarni ham yaratadi.
Bitta kuchni ma'lum bir nuqtaga etkazishning tavsiflangan usuli har qanday miqdordagi kuchlarga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Tana nuqtalarida deb faraz qilaylik A, B, C Va D(19-rasm) qo'llaniladigan kuchlar 1 , 2 , 3 Va 4 . Bu kuchlarni nuqtaga olib kelish talab etiladi HAQIDA samolyot. Keling, avval kuchni beramiz 1 , nuqtada qo'llaniladi A. Keling, shu nuqtada murojaat qilaylik HAQIDA ikki kuch ’ 1 Va ’’ 1 , alohida-alohida moduli ma'lum bir kuchga teng 1 , unga parallel va tomon yo'naltirilgan qarama-qarshi tomonlar. Kuchni olib kelish natijasida 1 quvvat olamiz ’ 1 , nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va bir nechta kuchlar 1 ’’ 1 (juft hosil qiluvchi kuchlar tire bilan belgilanadi) elka bilan a 1. Xuddi shu narsani kuch bilan qilish orqali 2 , nuqtada qo'llaniladi IN, biz kuch olamiz 2 , nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va bir nechta kuchlar 2 ’’ 2 elka bilan a 2 va hokazo.
Nuqtalarda qo'llaniladigan kuchlarning tekis tizimi A, IN, BILAN Va D, biz yaqinlashuvchi kuchlar bilan almashtirdik ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 Va ’ 4 , nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va nuqtaga nisbatan berilgan kuchlarning momentlariga teng momentli kuchlar juftlari HAQIDA:
M 1 = P 1 a 1 = M o (1); M 2 = P 2 a 2 = M o (2);
M 3 = – P 3 a 3 = M o (3); M 4 = – P 4 a 4 = M o (4).
Bir nuqtada yaqinlashuvchi kuchlar bitta kuch bilan almashtirilishi mumkin " , komponentlarning geometrik yig'indisiga teng,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i .(16)
Berilgan kuchlarning geometrik yig'indisiga teng bo'lgan bu kuch deyiladi kuchlar tizimining asosiy vektori.
Juft kuchlarni qo'shish qoidasiga asoslanib, dan momenti berilgan kuchlarning nuqtaga nisbatan momentlarining algebraik yig'indisiga teng bo'lgan natijaviy juftlik bilan almashtirilishi mumkin. HAQIDA:
M o = M 1 + M 2 + M 3 + M 4 = i = o (i).(17)
Asosiy vektorga o'xshab, moment M 0 qisqarish markaziga nisbatan barcha kuchlar momentlarining algebraik yig‘indisiga teng juftlar HAQIDA, chaqirildi sistemaning berilgan qisqarish markaziga nisbatan asosiy momenti O. Demak, umumiy holatda, berilgan O nuqtaga qisqarish natijasida tekis kuchlar tizimi bir kuch - asosiy vektor - va bir juftdan iborat ekvivalent tizim bilan almashtiriladi, uning momenti asosiy moment deb ataladi. qisqarish markaziga nisbatan berilgan kuchlar tizimi.
Asosiy vektor ekanligini tushunish kerak ’ berilgan kuchlar tizimining natijasi emas, chunki bu tizim bitta kuchga ekvivalent emas ’. Faqatgina asosiy moment yo'qolgan maxsus holatda, asosiy vektor berilgan kuchlar tizimining natijasi bo'ladi. Asosiy vektor ma'lum tizim kuchlarining geometrik yig'indisiga teng bo'lganligi sababli, uning kattaligi ham, yo'nalishi ham qisqarish markazini tanlashga bog'liq emas. Asosiy momentning kattaligi va belgisi M 0 qisqarish markazining holatiga bog'liq, chunki komponent juftlarining qo'llari kuchlarning nisbiy holatiga va momentlar olinadigan nuqtaga (markazga) bog'liq.
Kuchlar tizimini olib kelishning quyidagi holatlari bo'lishi mumkin:
1. " ≠ 0; M o ≠ 0 - umumiy holat; sistema asosiy vektor va asosiy momentga qisqartiriladi.
2. " ≠ 0; M o = 0; tizim tizimning asosiy vektoriga teng bo'lgan bitta natijaga qisqartiriladi.
3. " = 0; M o ≠ 0; sistema momenti asosiy momentga teng bo'lgan bir juft kuchga qisqartiriladi.
4. " = 0; M o = 0; tizim muvozanatda.
Buni isbotlash mumkinki, umumiy holatda, qachon " ≠ 0 va M o ≠ 0, Har doim kuchlar tizimining asosiy momenti nolga teng bo'lgan nuqta mavjud.
Keling, nuqtaga qisqartirilgan kuchlarning tekis tizimini ko'rib chiqaylik HAQIDA, ya'ni. bosh vektor bilan almashtiriladi " ≠ 0 , nuqtada qo'llaniladi HAQIDA, va asosiy nuqta M o ≠ 0(20-rasm).
Aniqlik uchun biz asosiy moment soat yo'nalishi bo'yicha yo'naltirilgan deb hisoblaymiz, ya'ni. M o< 0. Keling, ushbu asosiy momentni bir juft kuch bilan tasvirlaylik "" , moduli asosiy vektor moduliga teng tanlangan " , ya'ni. R =R'' = R'. Juftlikni tashkil etuvchi kuchlardan biri bu kuchdir "" – qisqartirish markaziga murojaat qiling HAQIDA, boshqa kuch - bir nuqtada BILAN, uning pozitsiyasi shartdan aniqlanadi: M o = OS*R. Demak,
OS =. (18)
Keling, bir nechta kuchlarni qo'yaylik "" shunday qilib, kuch "" asosiy vektorga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirildi " . Shu nuqtada HAQIDA(20-rasm) bizda ikkita teng va o'zaro qarama-qarshi kuchlar mavjud " Va "" , bitta to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan; ularni tashlab yuborish mumkin (uchinchi aksiomaga ko'ra). Shuning uchun, nuqtaga nisbatan BILAN ko'rib chiqilayotgan kuchlar tizimining asosiy momenti nolga teng va tizim natijaga kamayadi. .
§ 18. Natija momenti haqidagi teorema (Varinyon teoremasi)
Umumiy holatda (17-bandga qarang), kuchlarning ixtiyoriy tekislik tizimi asosiy vektorga qisqartiriladi. " va asosiy nuqta M 0 tanlangan qisqarish markaziga nisbatan, asosiy moment esa berilgan kuchlarning nuqtaga nisbatan momentlarining algebraik yig‘indisiga teng. HAQIDA
M o = o (i).(A)
Qisqartirish markazini tanlash mumkinligi ko'rsatildi (20-rasmda nuqta BILAN), unga nisbatan tizimning asosiy momenti nolga teng bo'ladi va kuchlar tizimi asosiy vektorga teng bo'lgan bitta natijaga kamayadi ( R = R'). Natijaning nuqtaga nisbatan momentini aniqlaymiz HAQIDA. Bu elkasini hisobga olgan holda OS kuchlar teng , olamiz
M o () = R*OC = R = M o.(b)
Alohida uchinchisiga teng bo'lgan ikkita kattalik bir-biriga teng, shuning uchun (a) va (b) tenglamalardan topamiz.
M o () = o (i).(19)
Olingan tenglama Varinyon teoremasini ifodalaydi: ixtiyoriy nuqtaga nisbatan kuchlarning natijaviy tekislik tizimining momenti bir xil nuqtaga nisbatan komponent kuchlari momentlarining algebraik yig'indisiga teng.
Varinyon teoremasidan shunday xulosa kelib chiqadiki, tekis kuchlar sistemasining natijaviy taʼsir chizigʻida yotgan har qanday nuqtaga nisbatan bosh momenti nolga teng.
