Matritsa determinanti - bu A kvadrat matritsani tavsiflovchi va tizimlarning yechimi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan son. chiziqli tenglamalar. A matritsaning determinanti yoki bilan belgilanadi. n tartibli har qanday A kvadrat matritsaga ma'lum bir qonunga ko'ra, ushbu matritsaning n-tartibining determinanti yoki determinanti deb ataladigan hisoblangan son beriladi. Ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini ko'rib chiqing.
Matritsa bo'lsin
,
keyin uning ikkinchi tartibli determinanti formula bilan hisoblanadi
.
Misol. A matritsaning determinantini hisoblang:
Javob: -10.
Uchinchi tartibli determinant formula bo'yicha hisoblanadi
Misol. B matritsaning determinantini hisoblang
.
Javob: 83.
n-darajali determinantni hisoblash determinantning xossalariga va quyidagi Laplas teoremasiga asoslanadi: determinant matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlari va ularning algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng:
Algebraik qo'shish element teng 
, bu yerda determinantdagi i-qator va j-ustunni oʻchirish natijasida olingan kichik element.
Kichik A matritsa elementining tartibi matritsaning (n-1)-chi tartibli determinanti bo'lib, A matritsadan i-satr va j-ustunni o'chirish yo'li bilan olinadi.
Misol. A matritsasining barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini toping:
.
Javob: 
.
Misol. Uchburchak matritsaning matritsa determinantini hisoblang:
Javob: -15.
Determinantlarning xususiyatlari:
1. Agar matritsaning har qanday satri (ustunlari) faqat nollardan iborat bo'lsa, uning determinanti 0 ga teng.
2. Agar matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlari songa ko‘paytirilsa, uning aniqlovchisi shu songa ko‘paytiriladi.
3. Matritsani ko‘chirishda uning determinanti o‘zgarmaydi.
4. Matritsaning ikki qatori (ustunlari) almashtirilganda uning determinanti teskari tomonga ishora qiladi.
5. Agar kvadrat matritsa ikkita bir xil qator (ustun) bo'lsa, uning determinanti 0 ga teng.
6. Agar matritsaning ikki qatori (ustunlari) elementlari proporsional bo‘lsa, uning aniqlovchisi 0 ga teng.
7. Matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlarining ushbu matritsaning boshqa qatori (ustunlari) elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmasining yig‘indisi 0 ga teng.
8. Agar matritsaning istalgan satri (ustunlari) elementlari boshqa qator (ustun) elementlariga qo‘shilsa, avval bir xil songa ko‘paytirilsa, matritsa determinanti o‘zgarmaydi.
9. Ixtiyoriy sonlar va har qanday satr (ustun) elementlarining algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalari yig‘indisi shu qator (ustun) elementlarini sonlar bilan almashtirib, berilganidan olingan matritsaning aniqlovchisiga teng bo‘ladi.
10. Ikki kvadrat matritsa ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng.
Teskari matritsa.
Ta'rif. Matritsa A kvadrat matritsaning teskari matritsasi deb ataladi, agar bu matritsa berilganga o'ng va chap tomonda ko'paytirilsa, bir xillik matritsasi olinadi:
.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, faqat kvadrat matritsada teskari bo'ladi; bu holda teskari matritsa ham bir xil tartibdagi kvadratdir. Agar matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, unda bunday kvadrat matritsa nodegenerativ deb ataladi.
Zarur va etarli shart teskari matritsaning mavjudligi: Teskari matritsa mavjud bo'ladi (va noyobdir), agar asl matritsa yagona bo'lmasa.
Teskari matritsani hisoblashning birinchi algoritmi:
1. Asl matritsaning determinantini toping. Agar determinant nolga teng bo'lmasa, asl matritsa yagona emas va teskari matritsa mavjud.
2. A ga ko‘chirilgan matritsani toping.
3. Ko‘chirilgan matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz va ulardan qo‘shma matritsa tuzamiz.
4. Hisoblang teskari matritsa formula bo'yicha: .
5. Teskari matritsani hisoblashning to'g'riligini uning ta'rifiga asoslanib tekshiramiz 
.
Misol.
.
Javob: 
.
Teskari matritsani hisoblashning ikkinchi algoritmi:
Teskari matritsani matritsa satrlari bo'yicha quyidagi elementar o'zgartirishlar asosida hisoblash mumkin:
Ikki qatorni almashtiring;
Matritsa qatorini har qanday nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;
Matritsaning bir qatoriga boshqa qatorni qo'shish, har qanday nolga teng bo'lmagan raqamga ko'paytiriladi.
A matritsa uchun teskari matritsani hisoblash uchun matritsani tuzish kerak , so'ngra elementar o'zgartirishlar orqali A matritsani E matritsasi ko'rinishiga keltiramiz, keyin bir xillik matritsasi o'rniga matritsani olamiz.
Misol. A matritsa uchun teskari matritsani hisoblang:
.
Biz B matritsasini shakllantiramiz:
.
Element = 1 va ushbu elementni o'z ichiga olgan birinchi qator qo'llanmalar deb ataladi. Keling, elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz, buning natijasida birinchi ustun birinchi qatordagi birlik bilan bitta ustunga aylanadi. Buning uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarga mos ravishda 1 va -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Ushbu o'zgarishlar natijasida biz quyidagilarni olamiz:
.
Nihoyat, olamiz
.
Qayerda 
.
Matritsa darajasi. A matritsaning darajasi deyiladi eng yuqori tartib bu matritsaning nolga teng bo'lmagan kichiklari. A matritsaning darajasi rang(A) yoki r(A) bilan belgilanadi.
Ta'rifdan kelib chiqadi: a) matritsaning darajasi uning o'lchamlarining eng kichikidan oshmaydi, ya'ni. r(A) m yoki n sonlarning minimalidan kichik yoki unga teng; b) r(A)=0, agar A matritsaning barcha elementlari nolga teng bo‘lsagina; c) n-tartibli kvadrat matritsa uchun r(A)=n, agar A matritsa birlik bo'lmagan bo'lsa.
Misol: matritsalar darajalarini hisoblang:
.
Javob: r(A)=1. Javob: r(A)=2.
Quyidagi matritsa konvertatsiyalarini elementar deb ataymiz:
1) Nolinchi qatorni (ustunni) rad etish.
2) Matritsa satrining (ustunining) barcha elementlarini nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish.
3) Matritsa satrlari (ustunlari) tartibini o'zgartirish.
4) Bir qatorning (ustunning) har bir elementiga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini istalgan raqamga ko'paytirish.
5) Matritsaning transpozitsiyasi.
Elementar matritsa o'zgarishida matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
Misollar: Matritsani hisoblang, bu erda
; 
;
Javob: .
Misol: Matritsani hisoblash 
, qayerda
; ; ; E - identifikatsiya matritsasi.
Javob: .
Misol: Matritsa determinantini hisoblang
.
Javob: 160.
Misol: A matritsaning teskarisi borligini aniqlang va agar shunday bo'lsa, uni hisoblang:
.
Javob: 
.
Misol: Matritsaning darajasini toping
.
Javob: 2.
2.4.2. Chiziqli tenglamalar sistemalari.
n ta o'zgaruvchiga ega m chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega:
,
bu yerda, ixtiyoriy sonlar, mos ravishda o'zgaruvchilarning koeffitsientlari va tenglamalarning erkin shartlari deb ataladi. Tenglamalar tizimining yechimi shunday n ta sonlar to'plamidir (), uni almashtirganda tizimning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi.
Tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa konsentsial, yechimlari bo'lmasa nomuvofiq deyiladi. Qo‘shma tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lsa, aniq, bir nechta yechimga ega bo‘lsa, noaniq deyiladi.
Kramer teoremasi:- "x" o'zgaruvchilar koeffitsientlaridan tashkil topgan A matritsaning determinanti va - A matritsadan ushbu matritsaning j-ustunini bo'sh a'zolar ustuniga almashtirish orqali olingan matritsaning determinanti bo'lsin. U holda, agar , u holda sistema formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi: (j=1, 2, …, n). Bu tenglamalar Kramer formulalari deb ataladi.
Misol. Kramer formulalari yordamida tenglamalar tizimini yeching:
Javoblar: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
Gauss usuli- o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli, elementar o'zgartirishlar yordamida tenglamalar tizimi bosqichli (yoki uchburchak) shakldagi ekvivalent tizimga keltirilishidan iborat bo'lib, undan barcha boshqa o'zgaruvchilar ketma-ket topiladi. soni bo'yicha oxirgi o'zgaruvchilar.
Misol: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yechish.
Javoblar: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
Chiziqli tenglamalarning izchil tizimlari uchun quyidagi bayonotlar to'g'ri bo'ladi:
agar qo'shma sistemaning matritsasi darajasi soniga teng o'zgaruvchilar, ya'ni. r = n, u holda tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo'ladi;
· agar qo'shma tizim matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, ya'ni. r 2.4.3. EXCEL muhitida matritsalar ustida amallarni bajarish texnologiyasi. Keling, Excel elektron jadval protsessori bilan ishlashning ba'zi jihatlarini ko'rib chiqaylik, bu bizga optimallashtirish masalalarini hal qilish uchun zarur bo'lgan hisob-kitoblarni soddalashtirish imkonini beradi. Elektron jadval protsessori - jadval ko'rinishidagi ma'lumotlarni qayta ishlashni avtomatlashtirish uchun mo'ljallangan dasturiy mahsulot. Formulalar bilan ishlash. Elektron jadval dasturlarida formulalar juda ko'p turli xil hisoblarni bajarish uchun ishlatiladi. Excel yordamida siz tezda formula yaratishingiz mumkin. Formula uchta asosiy qismdan iborat: Teng belgisi; Operatorlar. Funktsiya formulalarida foydalaning. Formulalarni kiritishni osonlashtirish uchun siz Excel funksiyalaridan foydalanishingiz mumkin. Funktsiyalar Excelga o'rnatilgan formulalardir. Muayyan formulani faollashtirish uchun tugmalarni bosing Kiritmoq, Funksiyalar. Ko'rsatilgan oynada Funktsiya ustasi chap tomonda funksiya turlari ro'yxati mavjud. Turni tanlagandan so'ng, o'ng tomonda funktsiyalar ro'yxati joylashtiriladi. Funksiyalarni tanlash tegishli nomdagi sichqoncha tugmasini bosish orqali amalga oshiriladi. Matritsalar ustida amallarni bajarishda, chiziqli tenglamalar tizimini echishda, optimallashtirish masalalarini echishda siz Excelning quyidagi funktsiyalaridan foydalanishingiz mumkin: MULTIPLE - matritsalarni ko'paytirish; TRANSPOZA - matritsaning transpozitsiyasi; MOPRED - matritsaning determinantini hisoblash; MOBR - teskari matritsani hisoblash. Tugma asboblar panelida joylashgan. Matritsalar bilan amallarni bajarish funksiyalari turkumga kiradi Matematik. Funktsiya bilan matritsani ko'paytirish MUMNOZH
. MULTIP funksiyasi matritsalar mahsulotini qaytaradi (matritsalar 1 va 2 massivlarda saqlanadi). Natijada qatorlar soni 1-massiv bilan bir xil va ustunlar soni 2-massiv bilan bir xil bo‘lgan massiv hosil bo‘ladi. Misol. Excelda ikkita A va B matritsalarining mahsulotini toping (2.9-rasmga qarang): A2:C3 yacheykalarga A va E2:F4 yacheykalarga B matritsalarni kiriting. Ko'paytirish natijasi uchun hujayralar oralig'ini tanlang - H2: I2. Matritsani ko'paytirish formulasini kiriting =MMULT(A2:C3, E2:F4). CTRL+SHIFT+ENTER tugmalarini bosing. NIBR funksiyasidan foydalangan holda teskari matritsali hisoblar. MIN funksiyasi massivda saqlangan matritsaning teskarisini qaytaradi. Sintaksis: NBR (massiv). Shaklda. 2.10 Excel muhitida misol yechimini ko'rsatadi. Misol. Berilganiga teskari matritsani toping: 2.9-rasm. Matritsalarni ko'paytirish uchun dastlabki ma'lumotlar. Matritsa determinanti belgilanadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matritsa determinanti to'plamdan olingan mahsulotlar yig'indisi mos almashtirish belgisiga ko'paytiriladi. Ikkinchi tartibli determinant asosiy diagonal elementlarining ko'paytmasiga minus ikkilamchi elementlarning ko'paytmasiga teng. Biz uchburchak qoidasini oldik: Determinantlarning eng oddiy xossalari Nol qatorli (ustunli) matritsaning determinanti nolga teng Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonalda joylashgan elementlarning mahsulotiga teng. Agar asosiy diagonal ostidagi elementlar nolga teng bo'lsa, bu uchburchak matritsadir. Diagonal matritsaning determinanti asosiy diagonalda joylashgan elementlarning mahsulotiga teng. Agar asosiy diagonaldan tashqaridagi barcha elementlar nolga teng bo'lsa, matritsa diagonal hisoblanadi. Determinantlarning asosiy xossalari skalyar maydon, Isbot: bildirmoq. Agar butun to'plam "o'tib ketsa", unda hamma narsa ham "ishlaydi" ya'ni. Matritsaning ikkita ustuni (qatori) almashtirilsa, uning determinanti ishorasini o'zgartiradi. Isbot: I) Ustunni almashtirish: Ikki ustunning raqamlar bilan almashtirilishidan olingan matritsa bo'lsin, bu erda. Transpozitsiyani ko'rib chiqing: Transpozitsiya - bu g'alati almashtirish, Isbotda biz tenglikdan foydalanamiz: Agar u barcha qiymatlar to'plami bo'ylab ishlasa, u barcha qiymatlar orqali ham ishlaydi va II) Satrlarni almashtirish Ikki qatorli almashtirishdan olingan bo'lsin, keyin ikkita ustunning almashtirilishidan olingan bo'lsin, keyin III) Nolga teng ikkita bir xil qatorga (ustunlarga) ega matritsa determinanti Isbot: Keling, bunday maydon uchun amalga oshiraylik, qaerda Izoh Kulikovaning “Algebra va sonlar nazariyasi” darsligidagi ishning isbotini toping Raqamli ikkita bir xil qator bo'lsin va bu erda qatorlarni almashtiramiz va biz matritsani olamiz. Agar ikkita ustun bir xil bo'lsa, ko'chirilgan matritsa ikkita bir xil qatorga ega. IV) Agar matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlari ko'paytirilsa, determinant ga ko'paytiriladi. Isbot: U satrlarga ko'paytirishdan olingan bo'lsin O'shandan beri Ustunlar uchun shunga o'xshash dalil V) Ikki qatori (ustunlari) nolga proporsional bo‘lgan matritsaning aniqlovchisi. Isbot: Matritsada qatorlar proportsional bo'lsin, ya'ni. -string -satr bo'yicha ko'paytmaga teng. Mayli Ustunlar uchun: dan olingan bo'lsin. va ustunlari va ga proportsionaldir VI) Agar kvadrat matritsaning -satr (ustun) ning har bir elementi ikkita elementning yig'indisi bo'lsa, determinant ikkita determinantning yig'indisiga teng bo'ladi. Qator (ustun)dagi birinchi aniqlovchining matritsasiga birinchi hadlar, ikkinchi aniqlovchining matritsasiga ikkinchi hadlar yoziladi. Bu determinantlar matritsalarining qolgan elementlari matritsaniki bilan bir xil Isbot: VII) Agar aniqlovchi matritsaning istalgan qatoriga (ustuniga) ko‘paytirilgan boshqa qator (ustun) qo‘shsak, u holda determinant o‘zgarmaydi. Isbot: Ustunlar uchun ham xuddi shunday. VIII) Agar matritsaning har qanday satri (ustunlari) boshqa satrlarning (ustunlarning) chiziqli birikmasi bo'lsa, u holda determinant Isbot: Agar biron bir satr boshqa satrlarning chiziqli birikmasi bo'lsa, u holda unga skalerlar bilan ko'paytiriladigan boshqa satrlarni qo'shish mumkin, shunda nol qator olinadi. Bunday matritsaning determinanti nolga teng. (birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz va ikkinchisiga, keyin -3 ga qo'shamiz va uchinchisiga qo'shamiz). Ushbu uchburchak qisqartirish qoidasi determinantlar uchun ishlatiladi - tartib: chunki uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonalda joylashgan elementlarning mahsulotidir. Agar kvadrat matritsa ba'zi matritsalarning mahsuloti bo'lsa (ular to'rtburchaklar bo'lishi mumkin), u holda ko'pincha mahsulotning determinantini omillarning xususiyatlari bo'yicha ifodalay olish muhimdir. Quyidagi teorema buning kuchli ko'rsatkichidir. Minorlar va algebraik qo‘shimchalar. Determinantlar haqidagi teoremalar. skalyar maydon, Def. Tartib determinantining kichik elementi - satr va - ustunni o'chirish orqali olingan tartib aniqlovchidir. Determinantning asosiy kichiklari Katta voyaga etmaganlar uchun determinantlar mavjud Matritsani ko'rib chiqing va uning kichiklarini hisoblang Ta'rif. Belgilangan elementning algebraik to'ldiruvchisi son deyiladi Misol: Keling, hisoblaymiz, Isbot: (jamida faqat bu shartlar nolga teng, bu erda) Keyin almashtirish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: , qaerda. Keling, almashtirishni tayinlaymiz, ya'ni. Bunday muvofiqlik almashinishlar to'plamini almashtirishlar to'plamiga birma-bir xaritalash deb ataladi, . Ko'rinib turibdiki, va bir xil inversiyalarga ega, ya'ni ular bir xil paritet va belgilarga ega Agar matritsaning har qanday satrining (ustunining) barcha elementlari nolga teng bo'lsa, bitta elementni istisno qilganda, matritsa determinanti ushbu element va uning algebraik to'ldiruvchisi mahsulotiga teng bo'ladi. Isbot: Elementdan tashqari barcha elementlar matritsaning qatorlari bo'lsin satr va ustunlarni almashtirish elementni pastki o'ng burchakka ko'chirdi, bu satrlar va ustunlar degan ma'noni anglatadi. Belgi bir marta o'zgaradi, shundan so'ng oxirgi qatorning barcha elementlari nolga teng bo'lishi mumkin bo'lgan matritsa olinadi. Lemma 1 tomonidan, beri Lagranj teoremasi matritsaning istalgan ustuni (qatori) elementlari va ularning algebraik to‘ldiruvchisi ko‘paytmalari yig‘indisiga teng. Boshqacha qilib aytganda: matritsa-ustunli dekompozitsiya quyidagi ko'rinishga ega: , va matritsa-satr parchalanishi: Isbot: matritsaning -ustunini ko'rib chiqing va uni quyidagicha yozing: , aniqlovchilarning 6-xususiyatiga ko'ra: determinant matritsasi lagrange matematik xuddi shunday, matritsaning - qatoridagi kengayish formulasi isbotlangan. Teorema 2 Haqiqiy tengliklar: Matritsadan quyidagi tarzda olingan matritsani ko'rib chiqaylik: matritsaning barcha ustunlari, matritsadan tashqari, matritsaniki bilan bir xil. Matritsaning - ustuni - ustuniga to'g'ri keladi, keyin u ikkita bir xil ustunga ega, shuning uchun matritsaning determinanti nolga teng, biz matritsaning determinantini - ustuniga kengaytiramiz. Keyin. Formula (2) xuddi shunday ko'rsatilgan. Natija: Matritsa mahsulotini aniqlovchi skalyar maydon, Elementar tartib matritsasi bo'lsin, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi: 1) ., ya'ni. matritsadan - qatorni skalerga ko'paytirish orqali olinadi. Matritsa determinanti. Matritsa - qatorni skalerga ko'paytirish orqali olinadi, shuning uchun determinant Matritsa - qatorga qo'shishdan olingan 2) , shart ostida (1) taʼkiddan dalil Teorema 1 Ikki matritsa ko'paytmasining determinanti ularning determinantlari ko'paytmasiga teng, ya'ni. Isbot: Matritsa qatorlari chiziqli mustaqil bo'lsin, u holda elementar transformatsiyalar zanjiri mavjud keyin Lemma 2 tomonidan bu quyidagicha. Faktdan () bizda: , keyin 2) Qatorlar chiziqli bog'liq, keyin nol qatorga ega bo'lgan bosqichli matritsaga aylanadigan elementar transformatsiyalar zanjiri mavjud, ya'ni. , . Keyin Asarda nol qatori ham borligidan, chunki Aniqlovchining nolga tengligi uchun zarur va yetarli shartlar skalerlar maydoni, - maydon ustidagi matritsa Teorema 1 matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir Muvofiqlik: Agar matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ba'zi qatorlar boshqa qatorlarning chiziqli birikmasidir (determinantlarning 8 xususiyatiga ko'ra) Kerak: Mayli. Satrlarning chiziqli bog'liqligini isbotlaylik. Satrlar chiziqli mustaqil deb faraz qilaylik, u holda tarjima qilinadigan elementar transformatsiyalar zanjiri mavjud. II bandda isbotlanganidan shunday xulosa kelib chiqadi. Bizda qarama-qarshilik bor. Agar matritsaning - qatori chiziqli bog'liq bo'lsa, lekin (ustun vektorlari soni) chiziqli bog'liqligini isbotlaylik. Teorema 2 quyidagi shartlar ekvivalentdir: Isbot: 1-teoremada isbotlangan Matritsalarni bo'lish Agar matritsa, matritsa, matritsa va matritsa shunday yozilsa Keyin ular ma'lum bir matritsa hosil qiladi. Bunday holda, ularni matritsa bloklari deb atash mumkin. va shunga mos ravishda etiketlanadi. Ko'rinish (1) matritsaning bo'limi deb ataladi. Agar matritsa mahsuloti mavjud bo'lsa va bloklarga bo'lingan bo'lsa va matritsaning ustunlari bo'yicha bo'linish matritsaning satrlari bo'linmasiga to'g'ri keladigan bo'lsa, unda formula bo'yicha berilgan bloklarga ega bo'lishini kutishimiz mumkin. Shunday qilib, omillarning mos keladigan bo'linmalari tomonidan olingan bloklar bo'yicha matritsalar mahsuloti skaler elementlar bo'yicha ushbu matritsalarning mahsuloti bilan rasmiy ravishda mos keladi deb faraz qilamiz. Buni misol bilan ko'rsatamiz: 1-mashq. Mayli Bu to'g'ridan-to'g'ri hisoblash bilan tasdiqlangan Teorema (1) dan matritsa bloklarga ega bo'lsin, bu erda matritsa va o'lchamli bloklardan iborat matritsa. Keyin bloklar mavjud Isbot. E'tibor bering, har bir mahsulot mavjud va matritsadir. Shuning uchun matritsa mavjud va bo'ladi. Ruxsat etilganlar uchun har birida ustunlar va qat'iylar uchun har birida qatorlar mavjud, bu bloklar qandaydir matritsadan iboratligini bildiradi. Blok katakchasida joylashgan matritsaning qaysidir elementi bo'lsin. Chunki hujayralar va matritsalarda elementlar yig'indisi mavjud. Lekin katakdagi matritsa elementi matritsa qatori va matritsa ustuni elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisidir. Bundan tashqari, matritsa satrining elementlari qatorning ba'zi elementlariga to'g'ri keladi, ya'ni indeks tengsizliklar bilan aniqlanadi. Matritsa ustuni elementlari undagi elementlar bo'ladi. Binobarin, Determinant uchun kichik tartibni belgilab oldik. Umumiy holatda, agar satrlardan tashqari barcha satrlar va ustunlardan tashqari barcha ustunlar matritsadan olib tashlansa, natijada olingan matritsaning determinanti tartib matritsasining minori deb ataladi, keyin Matritsa uchun asosiy deb ataladigan voyaga etmaganlar. Agar matritsa bo'lsa, algebraik to'ldiruvchi, masalan, bo'ladi Agar kvadrat matritsa ba'zi matritsalarning mahsuloti bo'lsa (ular to'rtburchaklar bo'lishi mumkin), ba'zida mahsulotning determinantini omillarning xususiyatlari bo'yicha ifodalash muhimdir. Quyidagi teorema bu turdagi kuchli natijadir. Ta'rif. Ikki matritsaning mahsuloti LEKIN va DA matritsa deb ataladi FROM, kimning elementi, chorrahada joylashgan i-chi qator va j-ustun, elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng i-matritsaning qatori LEKIN tegishli (tartibda) elementlar bo'yicha j-matritsaning ustuni DA. Ushbu ta'rif matritsa elementi uchun formulani nazarda tutadi C: Matritsa mahsuloti LEKIN matritsaga DA belgilangan AB. 1-misol Ikki matritsaning mahsulotini toping LEKIN va B, agar Yechim. Ikki matritsaning mahsulotini topish qulay LEKIN va DA 2-rasmdagi kabi yozing: Diagrammada kulrang o'qlar matritsaning qaysi qatorining elementlarini ko'rsatadi LEKIN matritsaning qaysi ustunining elementlari bo'yicha DA matritsaning elementlarini olish uchun ko'paytirish kerak FROM, va matritsa elementining ranglari C matritsalarning mos keladigan elementlari ulanadi A va B, uning mahsulotlari matritsa elementini olish uchun qo'shiladi C. Natijada matritsalar mahsulotining elementlarini olamiz: Ikki matritsaning mahsuloti AB faqat matritsaning ustunlar soni mantiqiy bo'ladi LEKIN matritsa qatorlari soniga mos keladi DA.
Agar siz quyidagi eslatmalardan tez-tez foydalansangiz, ushbu muhim xususiyatni eslab qolish osonroq bo'ladi: Matritsalar mahsulotining satr va ustunlar soniga nisbatan yana bir muhim xususiyati bor: Matritsalar hosilasida AB qatorlar soni matritsa qatorlari soniga teng LEKIN, va ustunlar soni matritsaning ustunlar soniga teng DA
. 2-misol Matritsaning qator va ustunlari sonini toping C, bu ikki matritsaning mahsulotidir A va B quyidagi o'lchamlar: a) 2 X 10 va 10 X 5; b) 10 X 2 va 2 X 5; 3-misol Matritsalar hosilasi toping A va B, agar: A B- 2. Demak, matritsaning o'lchami C = AB- 2 x 2. Matritsa elementlarini hisoblash C = AB. Matritsalarning topilgan mahsuloti: . Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori . 5-misol Matritsalar hosilasi toping A va B, agar: Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 2, matritsadagi ustunlar soni B C = AB- 2 X 1. Matritsa elementlarini hisoblash C = AB. Matritsalar hosilasi ustunli matritsa shaklida yoziladi: . Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori . 6-misol Matritsalar hosilasi toping A va B, agar: Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 3, matritsadagi ustunlar soni B- 3. Demak, matritsaning o'lchami C = AB- 3x3. Matritsa elementlarini hisoblash C = AB. Matritsalarning topilgan mahsuloti: Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori . 7-misol Matritsalar hosilasi toping A va B, agar: Yechim. Matritsadagi qatorlar soni A- 1, matritsadagi ustunlar soni B- 1. Binobarin, matritsaning o'lchami C = AB- 1 X 1. Matritsaning elementini hisoblang C = AB. Matritsalar ko'paytmasi bitta elementning matritsasi: . Ushbu va boshqa shunga o'xshash muammolarning echimini tekshirishingiz mumkin onlayn matritsa mahsulot kalkulyatori . C++ da ikkita matritsa hosilasining dasturiy ta'minoti "Kompyuterlar va dasturlash" blokidagi tegishli maqolada muhokama qilinadi. Matritsani bir darajaga ko'tarish matritsani bir xil matritsaga ko'paytirish sifatida aniqlanadi. Matritsalar mahsuloti faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lganda mavjud bo'lganligi sababli, faqat kvadrat matritsalar kuchga ko'tarilishi mumkin. n matritsani o'ziga ko'paytirish orqali matritsaning th darajasi n bir marta: 8-misol Matritsa berilgan. Toping A² va A³
. 9-misol Matritsa berilgan Berilgan matritsa va ko‘chirilgan matritsaning ko‘paytmasini, ko‘chirilgan matritsa va berilgan matritsaning ko‘paytmasini toping. Mulk 1. Har qanday A matritsasi va mos keladigan tartibdagi E matritsasining mahsuloti ham o'ngda, ham chapda A matritsaga to'g'ri keladi, ya'ni. AE = EA = A. Boshqacha qilib aytganda, matritsalarni ko'paytirishda o'ziga xoslik matritsasining roli sonlarni ko'paytirishda birliklarning roli bilan bir xil. 10-misol Matritsaning ko'paytmalarini topib, 1-xususiyatning to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling o'ng va chapdagi identifikatsiya matritsasiga. Yechim. Matritsadan beri LEKIN uchta ustunni o'z ichiga oladi, keyin siz mahsulotni topishingiz kerak AE, qayerda Ma'lum bo'ladiki AE = LEKIN . Endi ishni topamiz EA, qayerda E ikkinchi tartibli identifikatsiya matritsasi, chunki A matritsasi ikkita qatordan iborat. Keling, ishning elementlarini topamiz FROM = EA : Teorema:
Isbot: n tartibli kvadrat matritsalar berilsin. To'g'ri determinantni kvazi uchburchak shaklga keltirish uchun undagi 1 va 1+ n ustunlarni, 2 va 2+ n … n va 2 n ustunlarni almashtiramiz. Natijada biz tenglikni olamiz: Izoh: Ko'rinib turibdiki, teorema har qanday chekli matritsalar uchun amal qiladi. Ayniqsa Ta'rif: Agar a Ixtiyoriy kvadrat matritsani ko'rib chiqaylik A. Ushbu matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchilaridan biz matritsa tuzamiz va uni almashtiramiz. Biz C matritsasini olamiz: Shunday qilib, A -1 ning mavjudligi A matritsaning yagona emasligidan kelib chiqadi. Boshqa tomondan, agar A ning A -1 bo'lsa, AX=E matritsa tenglamasi echilishi mumkin. Natijada Teorema: P maydoni ustidagi kvadrat matritsa, agar u birlik bo'lmasa, teskari bo'ladi. Agar teskari matritsa mavjud bo'lsa, u quyidagi formula bo'yicha topiladi: Izoh:
Ta'rif: A matritsaning k-tartibli minori k-tartibli determinant boʻlib, elementlar har qanday k qator va har qanday k ustun kesishmasida joylashgan. Ta'rif: A matritsasining darajasi bu matritsaning 0 ta kichikidan tashqari eng yuqori tartibdir. Belgilangan r(A). aniq 0<=r(A)<=min(m,n).
Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от
0, а все минорыr+1 порядка
и выше равны 0. Ta'rif: Tartibi matritsaning darajasiga teng bo'lgan 0 dan boshqa har qanday minor matritsa ushbu matritsaning bazis minori deb ataladi. Ko'rinib turibdiki, matritsada bir nechta asosiy minorlar bo'lishi mumkin. Asosiy minorlarni tashkil etuvchi ustunlar va satrlar tayanch deyiladi. Teorema: A=(a i) m , n hosilaviy matritsada har bir ustun asosiy minor joylashgan asosiy ustunlarning chiziqli birikmasidir (satrlar uchun ham xuddi shunday). Isbot: r(A)=r bo‘lsin. Matritsadan bitta asosiy minorni tanlaymiz. Oddiylik uchun, asosiy minor matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan deb faraz qilaylik, ya'ni. birinchi r qatorda va birinchi r ustunda. Keyin asosiy kichik janob quyidagicha ko'rinadi: Asosiy minorga bir necha k-ustun va s-qator qo'shamiz: ustun asosiy, keyin determinant qatoriga kiradi Natija: Agar A kvadrat matritsa va determinant A=0 bo'lsa, u holda matritsaning ustunlaridan biri qolgan ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi va qatorlardan biri qolgan qatorlarning chiziqli birikmasidir. Isbot: Agar matritsaning determinantiA=0 bo‘lsa, bu matritsaning darajasi<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому,
по крайней мере одна строка или один
столбец не входят в число базисных. Эта
строка (столбец) линейно выраженная
через строки (столбцы) в которой расположен
базисный минор, а значит линейно
выраженная через остальные строки
(столбцы). [A] =0 uchun kamida bitta satr (ustun) uning boshqa satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli. Izoh. Matritsani ko'paytirish operatsiyasi kommutativ emas, ya'ni. Haqiqatan ham, agar AB mahsuloti mavjud bo'lsa, u holda o'lchamlardagi nomuvofiqlik tufayli BA umuman mavjud bo'lmasligi mumkin (oldingi misolga qarang). Agar ikkala AB va BA mavjud bo'lsa, ular turli o'lchamlarga ega bo'lishi mumkin (agar). Xuddi shu tartibli kvadrat matritsalar uchun AB va BA ko'paytmalari mavjud va bir xil o'lchamga ega, ammo ularning mos keladigan elementlari odatda teng emas. Biroq, ba'zi hollarda AB va BA mahsulotlari mos keladi. A kvadrat matritsa va bir xil tartibdagi E matritsaning mahsulotini ko'rib chiqing: Biz EA mahsuloti uchun bir xil natijaga erishamiz. Demak, har qanday kvadrat matritsa uchun A AE = EA = A. Teskari matritsa. Ta'rif 3.7. Kvadrat matritsa A degenerativ bo'lsa, degenerativ bo'lmagan deb ataladi. Ta'rif 3.8. Agar AB = BA = E bo'lsa, B kvadrat matritsa bir xil tartibli A kvadrat matritsaga teskari deyiladi. Bu holda, B belgilanadi. Berilganiga teskari matritsaning mavjudligi sharti va uni hisoblash usulini ko'rib chiqamiz. 3.2 teorema. Teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun dastlabki matritsaning yagona bo'lmagan bo'lishi zarur va etarli. Isbot. 1) Zarurlik: shundan beri (3.1-teorema), shuning uchun 2) Yetarlilik: matritsani quyidagi shaklda o'rnating: U holda mahsulotning (yoki) asosiy diagonalda yotmagan har qanday elementi A matritsasining bir satri (yoki ustuni) elementlarining ko‘paytmalari va boshqa ustun elementlariga algebraik qo‘shimchalar yig‘indisiga teng bo‘ladi. , shuning uchun 0 ga teng (ikki teng ustunli determinant sifatida). Asosiy diagonaldagi elementlar tengdir. *=. Teorema isbotlangan. Izoh. Keling, teskari matritsani hisoblash usulini yana bir bor shakllantiramiz: uning elementlari ko'chirilgan A matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchisi bo'lib, uning determinantiga bo'linadi.
; . .
,
.
Endi ikkita matritsaning mahsulotini yozish uchun hamma narsa bor:
.
.
.
.
.
.
Matritsalarning ko'paytmasini o'zingiz toping va keyin yechimni ko'ring
-
uchinchi tartibli identifikatsiya matritsasi. Keling, ishning elementlarini topamiz FROM = AE :
14. Matritsalar hosilasining aniqlovchisi haqidagi teorema.
va 
. Kvazi-uchburchak matritsaning determinanti haqidagi teorema asosida ( 
) bizda ... bor: 
bu matritsaning tartibi 2n. Determinantni o'zgartirmasdan, biz 2n tartibli matritsada quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz: birinchi qatorga qo'shing. Bunday o'zgartirish natijasida birinchi qatorning birinchi n pozitsiyasi hammasi 0 bo'ladi, ikkinchisida (ikkinchi blokda) A matritsasining birinchi qatori va matritsaning birinchi ustuni ko'paytmalari yig'indisi bo'ladi. B. 2 ... n qator bilan bir xil o‘zgartirishlarni bajarib, quyidagi tenglikni olamiz: 
.15. Teskari matritsaning mavjudligi haqidagi teorema.
matritsa yagona bo'lmagan (birlik bo'lmagan) deb ataladi. Agar a 
keyin matritsa degenerativ (maxsus) deb ataladi.
C matritsasi A matritsasiga nisbatan biriktirilgan deb ataladi. A*C va B*C koʻpaytmasini hisoblab chiqamiz. 
Natijada 
, Shunday qilib 
agar 
.
va. Olingan natijalarni birlashtirib, biz quyidagi bayonotni olamiz:
, bu erda C - bog'langan matritsa.
16. Matritsaning darajasini aniqlash. Asosiy minor teorema va uning natijasi.
. A matritsaning har qanday ustuni bu matritsaning bazis minor joylashgan birinchi ustunlarining chiziqli birikmasi ekanligini isbotlashimiz kerak, ya'ni. A matritsaning istalgan k-ustunida tenglik sodir bo'ladigan l j sonlar mavjudligini isbotlash kerak: bu erda. 
…
.
chunki qo'shilgan qator yoki
, ikkita bir xil qator (ustun) bilan determinant sifatida. Agar qator (ustun) qo'shilsa 
matritsa darajasining ta'rifiga ko'ra. Determinantni kengaytiring 
pastki qatorning elementlari bo'yicha biz olamiz: bu erdan biz olamiz: 
Bu erda l 1 … l r S soniga bog'liq emas, chunki Va Sj qo'shilgan S-qatorning elementlariga bog'liq emas. Tenglik (1) - bu bizga kerak bo'lgan tenglik. (p.t.d.)
