Integralida logarifm, arksinus, arktangens, shuningdek, butun son darajasining logarifmi va ko‘phadning logarifmi bo‘lgan integrallarni qismlar bo‘yicha yechish misollari batafsil ko‘rib chiqiladi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Qismlar bo'yicha integratsiya usuli
Noaniq integrallar jadvali
Noaniq integrallarni hisoblash usullari
Asosiy elementar funksiyalar va ularning xossalari

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi

Quyida misollarni echishda qismlar bo'yicha integratsiya formulasi qo'llaniladi:
;
.

Logarifmlar va teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarga misollar

Qismlar bilan integrallashgan integrallarga misollar:
, , , , , , .

Integrallashda logarifm yoki teskari trigonometrik funksiyalarni o'z ichiga olgan integratsiya qismi u bilan, qolgan qismi dv bilan belgilanadi.

Quyida ushbu integrallarning batafsil yechimlari bilan misollar keltirilgan.

Logarifm bilan oddiy misol

Polinom va logarifm ko'paytmasini o'z ichiga olgan integralni hisoblaymiz:

Bu erda integranda logarifm mavjud. O'zgartirishlarni amalga oshirish
u = ln x, dv = x 2 dx.
,
.

Keyin
.

.
Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik.
.
Keyin

Hisob-kitoblar oxirida doimiy C ni qo'shing.

2 darajali logarifmga misol

Keling, integranda butun sonning logarifmini o'z ichiga olgan misolni ko'rib chiqaylik. Bunday integrallarni qismlar orqali ham integrallash mumkin.
u = O'zgartirishlarni amalga oshirish(ln x) 2
,
.

, dv = x dx.
.
Keyin
.

Qolgan integralni qismlar bo'yicha ham hisoblaymiz:

Keling, almashtiramiz Logarifm argumenti polinom bo'lgan misol Integrallar argumenti ko'p nomli, ratsional yoki logarifmni o'z ichiga olgan qismlar bilan hisoblanishi mumkin.
.

Keling, integranda butun sonning logarifmini o'z ichiga olgan misolni ko'rib chiqaylik. Bunday integrallarni qismlar orqali ham integrallash mumkin.
u = irratsional funktsiya. Misol tariqasida, argumenti polinom bo'lgan logarifm bilan integralni hisoblaylik.
Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik.
,
.

ln( x 2 - 1)
.
, dv = x dx. Qolgan integralni hisoblaymiz: Bu yerda modul belgisini yozmaymiz 2 - 1 > 0 ln | x 2 - 1|
.

, chunki integral x da aniqlangan

.
.

Keling, integranda butun sonning logarifmini o'z ichiga olgan misolni ko'rib chiqaylik. Bunday integrallarni qismlar orqali ham integrallash mumkin.
u = Keling, almashtiramiz,
.
Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik.
,
.

Arcsine misol< 1 Keling, integrali arksinusni o'z ichiga olgan integral misolini ko'rib chiqaylik. arcsin x Keyinchalik, integral |x| uchun aniqlanganligini ta'kidlaymiz ..

Shuni hisobga olib, logarifm ostidagi modul belgisini kengaytiramiz

1 - x > 0
.

Keyin
.
Va
1 + x > 0 Ark tangensiga misol Keling, misolni arktangent bilan hal qilaylik: Kasrning butun qismini tanlaymiz: x;
.
Keling, integratsiya qilaylik:
.
Nihoyat bizda bor.

Kompleks integrallar

Ushbu maqola noaniq integrallar mavzusini yakunlaydi va men juda murakkab deb hisoblagan integrallarni o'z ichiga oladi. Dars saytga qiyinroq misollarni tahlil qilish istagini bildirgan tashrif buyuruvchilarning takroriy iltimoslari asosida yaratildi.

Ushbu matnni o'quvchi yaxshi tayyorlangan va asosiy integratsiya usullarini qanday qo'llashni biladi deb taxmin qilinadi. Dummies va integrallarga juda ishonmaydigan odamlar birinchi darsga murojaat qilishlari kerak - Noaniq integral. Yechimlarga misollar, bu erda mavzuni deyarli noldan o'zlashtirishingiz mumkin. Ko'proq tajribali talabalar mening maqolalarimda hali uchramagan integratsiya usullari va usullari bilan tanishishlari mumkin.

Qanday integrallar hisobga olinadi?

Avval biz ildizlari bo'lgan integrallarni ko'rib chiqamiz, ularni hal qilish uchun biz ketma-ket foydalanamiz o'zgaruvchan almashtirish Keyinchalik, integral |x| uchun aniqlanganligini ta'kidlaymiz qismlar bo'yicha integratsiya. Ya'ni, bitta misolda ikkita texnika bir vaqtning o'zida birlashtirilgan. Va undan ham ko'proq.

Keyin biz qiziqarli va original bilan tanishamiz integralni o'ziga kamaytirish usuli. Ko'pgina integrallar shu tarzda echiladi.

Dasturning uchinchi soni oldingi maqolalarda kassa yonidan uchib o'tgan murakkab kasrlarning integrallari bo'ladi.

To'rtinchidan, trigonometrik funktsiyalardan qo'shimcha integrallar tahlil qilinadi. Xususan, ko'p vaqt talab qiladigan universal trigonometrik almashtirishdan qochadigan usullar mavjud.

(2) Integratsiya funksiyasida ayiruvchini maxraj hadiga bo‘lamiz.

(3) Biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz. Darhol oxirgi integralda funktsiyani differentsial belgisi ostiga qo'ying.

(4) Qolgan integrallarni olamiz. E'tibor bering, logarifmda moduldan ko'ra qavslardan foydalanishingiz mumkin, chunki .

(5) Biz to'g'ridan-to'g'ri almashtirishdan "te" ni ifodalovchi teskari almashtirishni amalga oshiramiz:

Masoxist talabalar javobni farqlashlari va men kabi asl integrandni olishlari mumkin. Yo'q, yo'q, men tekshiruvni to'g'ri ma'noda qildim =)

Ko'rib turganingizdek, yechim davomida biz ikkitadan ortiq echim usullaridan foydalanishga majbur bo'ldik, shuning uchun bunday integrallar bilan ishlash uchun sizga ishonchli integratsiya ko'nikmalari va biroz tajriba kerak bo'ladi.

Amalda, albatta, kvadrat ildiz ko'proq tarqalgan, bu erda uchta misol mustaqil qaror:

2-misol

Toping noaniq integral

3-misol

Noaniq integralni toping

4-misol

Noaniq integralni toping

Bu misollar bir xil, shuning uchun maqolaning oxiridagi to'liq yechim faqat 2-misol uchun bo'ladi 3-4 misollar bir xil javoblarga ega; Menimcha, qarorlarning boshida qaysi almashtirishni qo'llash aniq. Nega men bir xil turdagi misollarni tanladim? Ko'pincha ularning rolida topiladi. Ko'pincha, ehtimol, shunga o'xshash narsa .

Ammo har doim ham emas, arktangens, sinus, kosinus, eksponensial va boshqa funktsiyalar ostida ildiz mavjud bo'lganda. chiziqli funksiya, bir vaqtning o'zida bir nechta usullardan foydalanishingiz kerak. Bir qator hollarda, "oson chiqish" mumkin, ya'ni almashtirilgandan so'ng darhol osongina olinadigan oddiy integral olinadi. Yuqorida taklif qilingan vazifalarning eng osoni 4-misol bo'lib, unda almashtirilgandan so'ng nisbatan oddiy integral olinadi.

Integralni o'ziga kamaytirish orqali

Aqlli va chiroyli usul. Keling, janrning klassiklarini ko'rib chiqaylik:

5-misol

Noaniq integralni toping

Ildiz ostida kvadratik binomial mavjud va bu misolni birlashtirishga urinish choynakni soatlab bosh og'rig'iga olib kelishi mumkin. Bunday integral qismlarga bo'linadi va o'ziga qisqartiriladi. Aslida, bu qiyin emas. Agar bilsangiz.

Ko'rib chiqilayotgan integralni belgilaylik Lotin harfi va hal qilishni boshlaylik:

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

(1) Integratsiya funktsiyasini muddatlarga bo'lish uchun tayyorlang.

(2) Biz integral funksiya atamasini terminga ajratamiz. Bu hamma uchun tushunarli bo'lmasligi mumkin, lekin men buni batafsilroq tasvirlab beraman:

(3) Biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatidan foydalanamiz.

(4) Oxirgi integralni (“uzun” logarifm) oling.

Endi yechimning eng boshiga qaraylik:

Va oxirida:

Nima bo'ldi? Bizning manipulyatsiyalarimiz natijasida integral o'ziga qisqardi!

Keling, boshi va oxirini tenglashtiramiz:

Belgini o'zgartirish bilan chap tomonga o'ting:

Va biz ikkalasini o'ng tomonga o'tkazamiz. Natijada:

Doimiy, qat'iy aytganda, avvalroq qo'shilishi kerak edi, lekin men uni oxirida qo'shdim. Bu erda qat'iylik nima ekanligini o'qishni tavsiya qilaman:

Eslatma: Aniqroq aytganda, yechimning yakuniy bosqichi quyidagicha ko'rinadi:

Shunday qilib:

Doimiyni tomonidan qayta belgilanishi mumkin. Nima uchun uni qayta belgilash mumkin? Chunki u hali ham buni qabul qiladi har qanday qadriyatlar va bu ma'noda doimiylar va o'rtasida hech qanday farq yo'q.
Natijada:

Doimiy renotatsiyaga ega shunga o'xshash hiyla keng qo'llaniladi differensial tenglamalar. Va u erda men qattiqqo'l bo'laman. Va bu erda men bunday erkinlikka faqat sizni keraksiz narsalar bilan aralashtirib yubormaslik va diqqatni integratsiya usulining o'ziga qaratish uchun ruxsat beraman.

6-misol

Noaniq integralni toping

Mustaqil yechim uchun yana bir tipik integral. To'liq yechim va javob dars oxirida. Oldingi misoldagi javob bilan farq bo'ladi!

Agar ostida kvadrat ildiz joylashgan kvadratik trinomial, keyin har qanday holatda yechim ikkita tahlil qilingan misolga tushadi.

Masalan, integralni ko'rib chiqing . Sizga kerak bo'lgan yagona narsa - birinchi to'liq kvadratni tanlang:
.
Keyinchalik, chiziqli almashtirish amalga oshiriladi, bu "hech qanday oqibatlarsiz" amalga oshiriladi:
, natijada integral hosil bo'ladi. Tanish narsa, to'g'rimi?

Yoki kvadratik binom bilan bu misol:
To'liq kvadratni tanlang:
Va chiziqli almashtirishdan so'ng biz integralni olamiz, u ham allaqachon muhokama qilingan algoritm yordamida hal qilinadi.

Keling, integralni o'ziga kamaytirishning yana ikkita tipik misolini ko'rib chiqaylik:
– ko‘rsatkichning sinusga ko‘paytirilgan integrali;
– ko‘rsatkichning kosinusga ko‘paytirilgan integrali.

Qismlar bo'yicha sanab o'tilgan integrallarda siz ikki marta integrallashingiz kerak bo'ladi:

7-misol

Noaniq integralni toping

Integratsiya ko'rsatkichni sinusga ko'paytiradi.

Biz qismlarga ikki marta integrallashamiz va integralni o'ziga qisqartiramiz:

Qismlar bo'yicha qo'sh integrallash natijasida integral o'ziga qisqardi. Biz yechimning boshi va oxirini tenglashtiramiz:

Biz uni belgini o'zgartirish bilan chap tomonga siljitamiz va integralimizni ifodalaymiz:

Tayyor. Shu bilan birga, o'ng tomonni tarash tavsiya etiladi, ya'ni. ko'rsatkichni qavslar ichidan chiqaring va qavs ichiga sinus va kosinusni "chiroyli" tartibda joylashtiring.

Endi misolning boshiga, aniqrog‘i, qismlar bo‘yicha integratsiyaga qaytaylik:

Biz ko'rsatkichni shunday belgiladik. Savol tug'iladi: ko'rsatkich har doim bilan belgilanishi kerakmi? Majburiy emas. Aslida, ko'rib chiqilayotgan integralda asosan muhim emas, deganda nimani nazarda tutamiz, biz boshqacha yo'l tutishimiz mumkin edi:

Nima uchun bu mumkin? Koʻrsatkich oʻz-oʻzidan (differensiallanishda ham, integrasiyada ham) aylangani uchun sinus va kosinus oʻzaro bir-biriga aylanadi (yana differensiallanishda ham, integrasiyada ham).

Ya'ni trigonometrik funktsiyani ham belgilashimiz mumkin. Ammo, ko'rib chiqilgan misolda, bu unchalik oqilona emas, chunki kasrlar paydo bo'ladi. Agar xohlasangiz, javoblar mos kelishi kerak bo'lgan ikkinchi usul yordamida ushbu misolni hal qilishga harakat qilishingiz mumkin;

8-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Qaror qabul qilishdan oldin, o'ylab ko'ring, bu holda ko'rsatkichli yoki trigonometrik funktsiyani belgilash foydaliroqmi? To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va, albatta, javoblarning ko'pchiligini unutmang bu dars Farqlash orqali tekshirish juda oson!

Ko'rib chiqilgan misollar eng murakkab emas edi. Amalda, konstanta trigonometrik funktsiyaning ko'rsatkichida ham, argumentida ham bo'lsa, integrallar ko'proq uchraydi, masalan: . Bunday integralda ko'p odamlar chalkashib ketishadi; Gap shundaki, eritmada fraksiyalarning paydo bo'lish ehtimoli yuqori va ehtiyotsizlik tufayli biror narsani yo'qotish juda oson. Bundan tashqari, belgilarda xatolik ehtimoli yuqori, ko'rsatkich minus belgisiga ega va bu qo'shimcha qiyinchilik tug'diradi;

Yakuniy bosqichda natija ko'pincha shunday bo'ladi:

Yechim oxirida ham siz juda ehtiyot bo'lishingiz va fraktsiyalarni to'g'ri tushunishingiz kerak:

Murakkab kasrlarni integrallash

Biz asta-sekin darsning ekvatoriga yaqinlashamiz va kasrlarning integrallarini ko'rib chiqa boshlaymiz. Shunga qaramay, ularning hammasi ham o'ta murakkab emas, shunchaki bir sababga ko'ra misollar boshqa maqolalarda biroz "mavzudan tashqari" edi.

Ildizlar mavzusini davom ettirish

9-misol

Noaniq integralni toping

Ildiz ostidagi maxrajda kvadrat uchlik va ildizdan tashqarida "X" ko'rinishidagi "qo'shimcha" mavjud. Bunday turdagi integralni standart almashtirish yordamida yechish mumkin.

Biz qaror qilamiz:

Bu erda almashtirish oddiy:

Keling, almashtirishdan keyingi hayotni ko'rib chiqaylik:

(1) O'zgartirishdan keyin biz ga kamaytiramiz umumiy maxraj ildiz ostidagi atamalar.
(2) Biz uni ildiz ostidan chiqaramiz.
(3) Pay va maxraj ga kamaytiriladi. Shu bilan birga, ildiz ostida men shartlarni qulay tartibda qayta tashkil qildim. Ba'zi tajribaga ega bo'lgan holda, (1), (2) bosqichlarni sharhlangan harakatlarni og'zaki bajarish orqali o'tkazib yuborish mumkin.
(4) Darsdan eslaganingizdek, olingan integral Ayrim kasrlarni integrallash, qaror qilinmoqda to'liq kvadrat qazib olish usuli. To'liq kvadratni tanlang.
(5) Integrallash orqali biz oddiy “uzun” logarifmni olamiz.
(6) Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz. Agar dastlab , keyin orqaga: .
(7) Yakuniy harakat natijani to'g'rilashga qaratilgan: ildiz ostida biz yana atamalarni umumiy maxrajga keltiramiz va ularni ildiz ostidan chiqaramiz.

10-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bu erda yagona "X" ga doimiy qo'shiladi va almashtirish deyarli bir xil:

Qo'shimcha qilish kerak bo'lgan yagona narsa, amalga oshirilayotgan almashtirishdan "x" ni ifodalashdir:

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Ba'zan bunday integralda ildiz ostida kvadratik binomi bo'lishi mumkin, bu hal qilish usulini o'zgartirmaydi, u yanada soddaroq bo'ladi. Farqni his eting:

11-misol

Noaniq integralni toping

12-misol

Noaniq integralni toping

Dars oxirida qisqacha echimlar va javoblar. Shuni ta'kidlash kerakki, 11-misol aynan binom integral, yechish usuli sinfda muhokama qilingan Irratsional funksiyalarning integrallari.

2-darajali ajralmaydigan ko'phadning darajaga integrali

(maxrajdagi polinom)

Integralning kam uchraydigan turi, ammo shunga qaramay amaliy misollarda uchraydi.

13-misol

Noaniq integralni toping

Ammo 13-raqamli omadli misolga qaytaylik (to'g'risini aytsam, men to'g'ri taxmin qilmadim). Ushbu integral, shuningdek, qanday hal qilishni bilmasangiz, juda xafa bo'lishi mumkin bo'lgan narsalardan biridir.

Yechim sun'iy o'zgartirishdan boshlanadi:

O'ylaymanki, hamma allaqachon hisoblagichni maxraj bo'yicha atama bo'yicha qanday ajratishni tushunadi.

Olingan integral qismlarga bo'linadi:

Shaklning integrali uchun (- natural son) olib tashlandi takrorlanuvchi kamaytirish formulasi:
, Qayerda – bir daraja past integrali.

Keling, echilgan integral uchun ushbu formulaning to'g'riligini tekshiramiz.
Bu holda: , , formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, javoblar bir xil.

14-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Namuna yechim yuqoridagi formuladan ikki marta ketma-ket foydalanadi.

Agar daraja ostida bo'lsa bo'linmas kvadrat trinomial, keyin yechim mukammal kvadratni ajratib, binomialga keltiriladi, masalan:

Numeratorda qo'shimcha ko'phad bo'lsa-chi? Bunday holda, usul qo'llaniladi noaniq koeffitsientlar, va integratsiya kasrlar yig'indisiga kengaytiriladi. Ammo mening amaliyotimda bunday misol bor hech qachon uchrashmagan, shuning uchun maqolada bu ishni o'tkazib yubordim Kasr-ratsional funksiyalarning integrallari, Men hozir o'tkazib yuboraman. Agar siz hali ham bunday integralga duch kelsangiz, darslikka qarang - u erda hamma narsa oddiy. Menimcha, materialni (hatto oddiy narsalarni) kiritish tavsiya etilmaydi, ular bilan uchrashish ehtimoli nolga teng.

Murakkab trigonometrik funktsiyalarni integrallash

Ko'pgina misollar uchun "murakkab" sifatlari yana asosan shartli. Keling, tangens va kotangentlardan boshlaylik yuqori darajalar. Amaldagi yechish usullari nuqtai nazaridan, tangens va kotangens deyarli bir xil, shuning uchun men tangens haqida ko'proq gaplashaman, bu integralni echishning ko'rsatilgan usuli kotangens uchun ham tegishli ekanligini anglatadi.

Yuqoridagi darsda biz ko'rib chiqdik universal trigonometrik almashtirish dan ma'lum turdagi integrallarni yechish trigonometrik funktsiyalar. Umumjahon trigonometrik almashtirishning kamchiligi shundaki, uni qo'llash ko'pincha qiyin hisob-kitoblarga ega bo'lgan noqulay integrallarga olib keladi. Va ba'zi hollarda, universal trigonometrik almashtirishdan qochish mumkin!

Keling, yana bir kanonik misolni, sinusga bo'lingan integralini ko'rib chiqaylik:

17-misol

Noaniq integralni toping

Bu erda siz universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz va javob olishingiz mumkin, ammo undan oqilona yo'l bor. Men har bir qadam uchun sharhlar bilan to'liq yechimni taqdim etaman:

(1) Foydalanish trigonometrik formula ikki burchakli sinus.
(2) Biz sun'iy o'zgartirishni amalga oshiramiz: maxrajga bo'linadi va ga ko'paytiriladi.
(3) tomonidan ma'lum formula maxrajda kasrni tangensga aylantiramiz.
(4) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.
(5) Integralni oling.

Juftlash oddiy misollar Mustaqil yechim uchun:

18-misol

Noaniq integralni toping

Eslatma: Birinchi qadam kamaytirish formulasidan foydalanish bo'lishi kerak va oldingi misolga o'xshash harakatlarni diqqat bilan bajaring.

19-misol

Noaniq integralni toping

Xo'sh, bu juda oddiy misol.

Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.

O'ylaymanki, endi hech kim integral bilan muammoga duch kelmaydi:
va hokazo.

Usulning g'oyasi nima? G'oya faqat tangenslar va tangens hosilasini integratsiyaga o'tkazish uchun transformatsiyalar va trigonometrik formulalardan foydalanishdir. Ya'ni, haqida gapiramiz almashtirish haqida: . 17-19-misollarda biz aslida bu almashtirishdan foydalandik, lekin integrallar shunchalik sodda ediki, biz ekvivalent amalni bajardik - funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish.

Yuqorida aytib o'tganimdek, shunga o'xshash mulohazalar kotangent uchun ham amalga oshirilishi mumkin.

Yuqoridagi almashtirishni qo'llash uchun rasmiy shart ham mavjud:

Kosinus va sinus kuchlarining yig'indisi manfiy butun son EVEN sondir, Masalan:

integral uchun - manfiy butun son EVEN soni.

! Eslatma : agar integralda FAQAT sinus yoki FAQAT kosinus boʻlsa, integral ham manfiy toq daraja uchun olinadi (eng oddiy holatlar №17, 18-misollarda keltirilgan).

Keling, ushbu qoidaga asoslanib, yana bir nechta mazmunli vazifalarni ko'rib chiqaylik:

20-misol

Noaniq integralni toping

Sinus va kosinus kuchlarining yig'indisi: 2 – 6 = –4 manfiy butun son EVEN son, ya'ni integralni tangenslarga va uning hosilasiga keltirish mumkin:

(1) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(2) Ma'lum formuladan foydalanib, biz .
(3) Keling, maxrajni o'zgartiramiz.
(4) Biz formuladan foydalanamiz .
(5) Funksiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz.
(6) Biz almashtirishni amalga oshiramiz. Ko'proq tajribali talabalar almashtirishni amalga oshirmasliklari mumkin, ammo tangensni bitta harf bilan almashtirgan ma'qul - chalkashlik xavfi kamroq.

21-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Kutib turing, chempionat raundlari boshlanish arafasida =)

Ko'pincha integralda "hodgepodge" mavjud:

22-misol

Noaniq integralni toping

Ushbu integral dastlab tangensni o'z ichiga oladi, bu darhol allaqachon tanish fikrga olib keladi:

Men sun'iy o'zgartirishni boshida va qolgan bosqichlarni izohsiz qoldiraman, chunki hamma narsa yuqorida muhokama qilingan.

O'zingizning yechimingiz uchun bir nechta ijodiy misollar:

23-misol

Noaniq integralni toping

24-misol

Noaniq integralni toping

Ha, ularda, albatta, siz sinus va kosinusning kuchlarini pasaytirishingiz va universal trigonometrik almashtirishdan foydalanishingiz mumkin, ammo agar u tangentlar orqali amalga oshirilsa, yechim ancha samaraliroq va qisqaroq bo'ladi. To'liq yechim va javoblar dars oxirida

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechimlarga misollar

Yana salom. Bugun darsda biz qismlar bo'yicha integratsiyani o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integrallash usuli integral hisobning asoslaridan biridir. Sinovlar yoki imtihonlar paytida talabalardan deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni echish so'raladi: eng oddiy integral (maqolaga qarang) yoki o'zgaruvchini almashtirish orqali integral (maqolaga qarang) yoki integral faqat yoqilgan qismlar usuli bilan integratsiya.

Har doimgidek, qo'lingizda bo'lishi kerak: Integrallar jadvali Keyinchalik, integral |x| uchun aniqlanganligini ta'kidlaymiz Hosilalar jadvali. Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, mening veb-saytimning saqlash xonasiga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar. Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman;

Qismlar bo'yicha integrallash usuli qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya usuli juda hal qiladi muhim vazifa, bu sizga jadvalda etishmayotgan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi, ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - hatto ko'rsatkichlar. Esda tutganimizdek, qulay formula yo'q: . Ammo bu bor: - shaxsan qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - biz u bilan butun dars davomida ishlaymiz (endi osonroq).

Va darhol ro'yxatni studiyaga yuboring. Quyidagi turdagi integrallar qismlar tomonidan qabul qilinadi:

1) , , – logarifm, logarifm ba’zi ko‘phadga ko‘paytiriladi.

2) ,koʻrsatkichli funksiya baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi. Bunga, shuningdek, ko'rsatkichli funktsiya ko'paytmasi kabi integrallar kiradi, lekin amalda bu 97 foizni tashkil qiladi, integral ostida chiroyli "e" harfi mavjud. ... maqola biroz lirik bo'lib chiqdi, ha ... bahor keldi.

3) , , trigonometrik funksiyalar ba’zi polinomga ko‘paytiriladi.

4) , – teskari trigonometrik funksiyalar (“arklar”), “arklar” baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi.

Ba'zi kasrlar ham qismlarga bo'linadi; biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.

Logarifmlarning integrallari

1-misol

Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish tavsiya etilmaydi, chunki o'qituvchi bahorgi vitamin etishmasligiga ega va qattiq qasam ichadi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u qismlarga bo'linadi. Biz qaror qilamiz:

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Biz qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanamiz:

Formula chapdan o'ngga qo'llaniladi

Biz chap tomonga qaraymiz: . Shubhasiz, bizning misolimizda (va biz ko'rib chiqadigan barcha boshqa misollarda) biror narsa , va biror narsa sifatida belgilanishi kerak.

Ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarda logarifm doimo belgilanadi.

Texnik jihatdan, yechimning dizayni quyidagicha amalga oshiriladi, biz ustunga yozamiz:

Ya'ni, logarifmni va deb belgiladik xordiq; qolganlar integral ifodasi.

Keyingi bosqich: differentsialni toping:

Differensial hosila bilan deyarli bir xil, biz uni qanday topishni oldingi darslarda muhokama qilgan edik;

Endi biz funktsiyani topamiz. Funktsiyani topish uchun siz integratsiya qilishingiz kerak o'ng tomoni past tenglik:

Endi biz yechimimizni ochamiz va formulaning o'ng tomonini quramiz: .
Aytgancha, bu erda ba'zi eslatmalar bilan yakuniy yechimning namunasi:

Ishdagi yagona nuqta shundaki, men darhol va ni almashtirdim, chunki koeffitsientni logarifmdan oldin yozish odatiy holdir.

Ko'rib turganingizdek, qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llash bizning yechimimizni ikkita oddiy integralga qisqartirdi.

E'tibor bering, ba'zi hollarda darhol keyin formulani qo'llashda, soddalashtirish qolgan integral ostida amalga oshirilishi kerak - ko'rib chiqilayotgan misolda biz integralni "x" ga tushirdik.

Keling, tekshiramiz. Buning uchun siz javobning hosilasini olishingiz kerak:

Dastlabki integral funksiyasi olindi, ya’ni integral to‘g‘ri yechilgan.

Sinov paytida biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalandik: . Va bu tasodif emas.

Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi va formula - bu ikki o'zaro teskari qoida.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Integratsiya logarifm va ko'phadning mahsulotidir.
Keling, qaror qilaylik.

Men yana bir bor qoidani qo'llash tartibini batafsil tasvirlab beraman, in boshqa misollar qisqacha taqdim etiladi va agar siz uni o'zingiz hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsning dastlabki ikkita misoliga qaytishingiz kerak.

Yuqorida aytib o'tilganidek, logarifmni belgilash kerak (uning kuch ekanligi muhim emas). bilan belgilaymiz xordiq; qolganlar integral ifodasi.

Biz ustunga yozamiz:

Avval biz differentsialni topamiz:

Bu erda biz farqlash qoidasidan foydalanamiz murakkab funktsiya . Mavzuning birinchi darsida bu bejiz emas Noaniq integral. Yechimlarga misollar Men integrallarni o'zlashtirish uchun hosilalarni "qo'lingizga olish" kerakligiga e'tibor qaratdim. Siz derivativlar bilan bir necha marta shug'ullanishingiz kerak bo'ladi.

Endi biz funktsiyani topamiz, buning uchun biz birlashamiz o'ng tomoni past tenglik:

Integratsiya uchun biz eng oddiy jadval formulasidan foydalandik

Endi hamma narsa formulani qo'llashga tayyor . Yulduzcha bilan oching va yechimni o'ng tomonga mos ravishda "quring":

Integral ostida bizda yana logarifm uchun polinom mavjud! Shuning uchun yechim yana uzilib, qismlar bo'yicha integrallash qoidasi ikkinchi marta qo'llaniladi. Shuni unutmangki, shunga o'xshash holatlarda logarifm har doim belgilanadi.

Hozirgacha eng oddiy integral va hosilalarni og'zaki topishni bilsangiz yaxshi bo'lardi.

(1) Belgilar haqida adashmang! Ko'pincha bu erda minus yo'qoladi, shuningdek minusga tegishli ekanligini unutmang hammaga qavs , va bu qavslarni to'g'ri kengaytirish kerak.

(2) Qavslarni oching. Biz oxirgi integralni soddalashtiramiz.

(3) Biz oxirgi integralni olamiz.

(4) Javobni “tarash”.

Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasini ikki marta (hatto uch marta) qo'llash zarurati juda kamdan-kam hollarda paydo bo'lmaydi.

Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misollar:

3-misol

Noaniq integralni toping.

Bu misol o'zgaruvchini o'zgartirish (yoki differensial belgisi ostida almashtirish) orqali hal qilinadi! Nega emas - siz uni qismlarga bo'lib olishga harakat qilishingiz mumkin, bu kulgili narsa bo'lib chiqadi.

4-misol

Noaniq integralni toping.

Ammo bu integral qismlar (va'da qilingan kasr) bilan integrallanadi.

Bular siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misollar, dars oxiridagi echimlar va javoblar.

Ko'rinishidan, 3 va 4-misollarda integrallar o'xshash, ammo yechim usullari boshqacha! Bu integrallarni o'zlashtirishdagi asosiy qiyinchilik - agar siz integralni echishning noto'g'ri usulini tanlasangiz, u bilan haqiqiy boshqotirma kabi soatlab o'ylashingiz mumkin. Shuning uchun, turli integrallarni qanchalik ko'p yechsangiz, shuncha yaxshi, test va imtihon shunchalik oson bo'ladi. Bundan tashqari, ikkinchi yilda ham bo'ladi differensial tenglamalar, va integral va hosilalarni echish tajribasi bo'lmasa, u erda hech narsa qilish mumkin emas.

Logarifmlar nuqtai nazaridan, bu, ehtimol, etarli. Bundan tashqari, muhandislik talabalari ayol ko'kraklarini chaqirish uchun logarifmlardan foydalanishlarini ham eslay olaman =). Aytgancha, asosiyning grafikasini yoddan bilish foydalidir elementar funktsiyalar: sinus, kosinus, arktangens, koʻrsatkichli, uchinchi, toʻrtinchi darajali koʻphadlar va boshqalar. Yo'q, albatta, dunyoda prezervativ
Men uni cho'zmayman, lekin endi siz bo'limdan ko'p narsani eslaysiz Grafiklar va funksiyalar =).

Ko'rsatkichni ko'paytmali ko'rsatkichning integrallari

Umumiy qoida:

5-misol

Noaniq integralni toping.

Tanish algoritmdan foydalanib, biz qismlarga birlashamiz:

Agar siz integral bilan bog'liq qiyinchiliklarga duch kelsangiz, maqolaga qaytishingiz kerak Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Siz qilishingiz mumkin bo'lgan yagona narsa - javobni sozlash:

Ammo agar sizning hisoblash texnikangiz juda yaxshi bo'lmasa, unda eng foydali variant uni javob sifatida qoldirishdir yoki hatto

Ya'ni oxirgi integral olinganda misol yechilgan hisoblanadi. Bu xato bo'lmaydi, bu o'qituvchi sizdan javobni soddalashtirishni so'rashi mumkin.

6-misol

Noaniq integralni toping.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bu integral ikki marta qismlar bilan integrallanadi. Belgilarga alohida e'tibor berilishi kerak - ularda chalkashib ketish oson, biz bu murakkab funktsiya ekanligini ham eslaymiz.

Ko'rgazma ishtirokchisi haqida boshqa hech narsa aytish mumkin emas. Men faqat eksponensial va natural logarifm o'zaro teskari funktsiyalar ekanligini qo'shishim mumkin, bu men oliy matematikaning qiziqarli grafiklari mavzusida =) To'xta, to'xta, xavotir olma, o'qituvchi hushyor.

Trigonometrik funktsiyalarning ko'phadga ko'paytiriladigan integrallari

Umumiy qoida: for har doim polinomni bildiradi

7-misol

Noaniq integralni toping.

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Hmmm ... va izoh beradigan hech narsa yo'q.

8-misol

Noaniq integralni toping

Bu o'zingiz hal qilishingiz uchun namunadir

9-misol

Noaniq integralni toping

Kasr bilan yana bir misol. Oldingi ikkita misolda bo'lgani kabi, for ko'phadni bildiradi.

Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:

Agar sizda integralni topishda qiyinchiliklar yoki tushunmovchiliklar bo'lsa, men darsga borishni tavsiya qilaman Trigonometrik funksiyalarning integrallari.

10-misol

Noaniq integralni toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.

Maslahat: Qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashdan oldin, ikkita trigonometrik funktsiyaning mahsulotini bitta funktsiyaga aylantiradigan ba'zi trigonometrik formulalarni qo'llashingiz kerak. Formuladan siz uchun qaysi biri qulayroq bo'lsa, qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashda ham foydalanish mumkin.

Ehtimol, bularning barchasi ushbu paragrafda. Negadir fizika va matematika madhiyasining “Va sinus grafigi abscissa o‘qi bo‘ylab to‘lqin ortidan to‘lqin bo‘lib yuradi” degan satrini esladim...

Teskari trigonometrik funksiyalarning integrallari.
Teskari trigonometrik funksiyalarning ko‘p nomga ko‘paytirilgan integrallari

Umumiy qoida: har doim teskari trigonometrik funktsiyani bildiradi.

Teskari trigonometrik funksiyalar arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangensni o'z ichiga olishini eslatib o'taman. Yozuvning qisqaligi uchun men ularni "arklar" deb atayman.

Logarifmlarning integrallari

Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechimlarga misollar

Yechim.

Masalan.

Integralni hisoblang:

Integralning xossalaridan foydalanib (chiziqlilik), ᴛ.ᴇ. , biz uni jadvalli integralga keltiramiz, biz buni olamiz

Yana salom. Bugun darsda biz qismlar bo'yicha integratsiyani o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integrallash usuli integral hisoblashning asoslaridan biridir. Sinovlar yoki imtihonlar paytida talabalardan deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni echish so'raladi: eng oddiy integral (maqolaga qarangNoaniq integral. Yechimlarga misollar ) yoki o'zgaruvchini almashtirish orqali integral (maqolaga qarangNoaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli ) yoki integral faqat yoqilgan qismlar usuli bilan integratsiya.

Har doimgidek, qo'lingizda bo'lishi kerak: Integrallar jadvali Keyinchalik, integral |x| uchun aniqlanganligini ta'kidlaymiz Hosilalar jadvali. Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, mening veb-saytim omboriga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar. Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman;

Qismlar bo'yicha integrallash usuli qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya usuli juda muhim muammoni hal qiladi, bu sizga jadvalda bo'lmagan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi; ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - hatto ko'rsatkichlar. Biz eslaganimizdek, qulay formula yo'q: . Ammo bu bor: - qismlarga shaxsan integratsiya qilish formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - biz u bilan butun dars davomida ishlaymiz (endi osonroq).

Va darhol ro'yxatni studiyaga yuboring. Quyidagi turdagi integrallar qismlar tomonidan qabul qilinadi:

1) , – logarifm, logarifmni qandaydir ko‘phadga ko‘paytirish.

2) , koʻrsatkich funksiyasi qandaydir koʻphadga koʻpaytiriladi. Bu, shuningdek, integrallarni o'z ichiga oladi - ko'rsatkichli funktsiya polinomga ko'paytiriladi, lekin amalda bu 97 foizni tashkil qiladi, integral ostida ʼʼeʼʼ chiroyli harfi bor. ... maqola biroz lirik bo'lib chiqdi, ha ... bahor keldi.

3) , – trigonometrik funksiyalarning ba’zi ko‘phadga ko‘paytirilishi.

4) , – teskari trigonometrik funksiyalar (“arklar”), “arklar”, ba’zi bir polinomga ko‘paytiriladi.

Ba'zi kasrlar ham qismlarga bo'linadi; biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.

1-misol

Noaniq integralni toping.

Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish tavsiya etilmaydi, chunki o'qituvchi bahorgi vitamin etishmasligiga ega va qattiq qasam ichadi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u qismlarga bo'linadi. Biz qaror qilamiz:

Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.

Biz qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanamiz:

Logarifmlarning integrallari - tushunchasi va turlari. "Logarifmlar integrallari" toifasining tasnifi va xususiyatlari 2017, 2018 y.

Antiderivativ va integral

1. Antiderivativ. Agar X dan istalgan x uchun F"(x)=f(x) tenglik bajarilsa, F(x) funksiya X oraliqdagi f (x) funksiya uchun antiderivativ deyiladi.

T.7.13 (Agar F(x) X oraliqdagi f(x) funksiya uchun antihosil bo‘lsa, f(x) funksiya cheksiz ko‘p anti hosilalarga ega bo‘lib, bu barcha antiderivativlar F (x) + C ko‘rinishga ega bo‘ladi. bu yerda C ixtiyoriy doimiy (antiderivativning asosiy xossasi).

2. Antiderivativlar jadvali. Antiderivativni topish differensiallashning teskari amali ekanligini hisobga olib, hosilalar jadvalidan boshlab, quyidagi antiderivativlar jadvalini olamiz (oddiylik uchun jadvalda bitta antiderivativ F(x) ko'rsatilgan, lekin emas) umumiy ko'rinish F(x) + C antiderivativlari:

	Antiderivativ		Antiderivativ

Anti hosilaviy va logarifmik funksiya

Logarifmik funktsiya, ko'rsatkichli funktsiyaga teskari. L. f. bilan belgilanadi

uning x argumentining qiymatiga mos keladigan y qiymati deyiladi tabiiy logarifm raqamlari x. Ta'rifga ko'ra, (1) munosabat ekvivalentdir

(e - Neper raqami). Har qanday haqiqiy y uchun ey > 0 boʻlgani uchun L.f. faqat x > 0 uchun aniqlanadi. Umumiy maʼnoda L. f. funksiyani chaqiring

antiderivativ kuch integral logarifmi

bu yerda a > 0 (a? 1) logarifmlarning ixtiyoriy asosidir. Biroq, ichida matematik tahlil InX funktsiyasi alohida ahamiyatga ega; logaX funktsiyasi unga quyidagi formula yordamida qisqartiriladi:

bu erda M = 1/In a. L. f. - asosiy elementar funksiyalardan biri; uning grafigi (1-rasm) logarifmik deb ataladi. L. f ning asosiy xossalari. darajali funktsiya va logarifmlarning mos xossalaridan kelib chiqadi; masalan, L. f. funksional tenglamani qanoatlantiradi

Uchun - 1< х, 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Ko'pgina integrallar chiziqli funksiyalar bilan ifodalanadi; Masalan

L. f. matematik tahlil va uni qo'llashda doimo uchraydi.

L. f. 17-asr matematiklariga yaxshi maʼlum boʻlgan. L. f. tomonidan ifodalangan oʻzgaruvchan miqdorlar oʻrtasidagi bogʻliqlik birinchi marta J. Napier (1614) tomonidan koʻrib chiqilgan. U raqamlar va ularning logarifmlari o'rtasidagi munosabatni parallel chiziqlar bo'ylab harakatlanuvchi ikkita nuqta yordamida ifodalagan (2-rasm). Ulardan biri (Y) C dan boshlab bir xilda harakatlanadi, ikkinchisi (X) A dan boshlab B gacha bo'lgan masofaga mutanosib tezlik bilan harakat qiladi. Agar SU = y, XB = x qo'ysak, u holda quyidagicha bu ta'rif,

dx/dy = - kx, qaerdan.

L. f. murakkab tekislikda ko'p qiymatli (cheksiz qiymatli) funktsiya z argumentining barcha qiymatlari uchun aniqlanganmi? 0 Lnz bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyaning yagona qiymatli tarmog'i, deb belgilangan

Inz = In?z?+ i arg z,

bu yerda arg z - chiziqli funksiyaning bosh qiymati deb ataladigan z kompleks sonining argumenti. Bizda ... bor

Lnz = lnz + 2kpi, k = 0, ±1, ±2, ...

L. f ning barcha ma'nolari. salbiy uchun: real z are murakkab sonlar. L. f ning birinchi qoniqarli nazariyasi. murakkab tekislikda ta'rifdan kelib chiqqan L. Eyler (1749) tomonidan berilgan