Butun sonlar halqasi ustidagi polinom deyiladi ibtidoiy, agar uning koeffitsientlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 1 boʻlsa. Ratsional koeffitsientli koʻphad yagona musbat ratsional sonning koʻpaytmasi sifatida ifodalanadi. mazmuni polinom va tub ko'phad. Tub koʻphadlarning koʻpaytmasi ibtidoiy koʻphaddir. Bu faktdan kelib chiqadiki, agar butun sonli koeffitsientli ko'phad ratsional sonlar maydonida kamaytiriladigan bo'lsa, u holda butun sonlar halqasi ustida kamaytiriladi. Shunday qilib, ko'phadni ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga ko'paytirish masalasi butun sonlar halqasidagi shunga o'xshash masalaga keltiriladi.
Butun koeffitsientli va mazmuni 1 bo'lgan ko'phad va uning ratsional ildizi bo'lsin. Ko‘phadning ildizini qaytarilmas kasr sifatida tasavvur qilaylik. Polinom f(x) ibtidoiy ko‘phadlarning ko‘paytmasi sifatida ifodalanadi. Demak,
A. sanoqchi bo‘luvchi,
B. maxraj – bo‘luvchi
C. har qanday butun son uchun k ma'nosi f(k) – ( ga qoldiqsiz bo‘linadigan butun son. bk-a).
Sanab o'tilgan xususiyatlar ko'phadning ratsional ildizlarini topish muammosini chekli qidiruvga qisqartirish imkonini beradi. Shunga o'xshash yondashuv polinomni kengaytirishda qo'llaniladi f Kroneker usuli yordamida ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga. Agar polinom bo'lsa f(x) daraja n berilgan bo'lsa, omillardan biri dan yuqori bo'lmagan darajaga ega n/2. Bu omil bilan belgilaymiz g(x). Polinomlarning barcha koeffitsientlari butun sonlar bo'lganligi sababli, har qanday butun son uchun a ma'nosi f(a) ga qoldiqsiz bo‘linadi g(a). Keling, tanlaymiz m= 1+n/2 ta aniq son a men, i=1,…,m. Raqamlar uchun g(a i) chekli sonli imkoniyatlar mavjud (har qanday nolga teng bo'lmagan sonning bo'luvchilari soni cheklangan), shuning uchun bo'linuvchi bo'lishi mumkin bo'lgan cheklangan miqdordagi ko'phadlar mavjud. f(x). To'liq qidiruvni amalga oshirib, biz ko'phadning qaytarilmasligini ko'rsatamiz yoki uni ikkita ko'phadning mahsulotiga kengaytiramiz. Ko'rsatilgan sxemani barcha omillar qaytarilmas polinomga aylanmaguncha har bir omilga qo'llaymiz.
Ba'zi ko'phadlarning ratsional sonlar maydonida qaytarilmasligini oddiy Eyzenshteyn mezoni yordamida aniqlash mumkin.
Mayli f(x) butun sonlar halqasi ustidagi ko‘phaddir. Agar tub son bo'lsa p, Nima
I. Ko‘phadning barcha koeffitsientlari f(x), eng yuqori daraja uchun koeffitsientdan tashqari, bo'linadi p
II. Eng yuqori daraja uchun koeffitsient ga bo'linmaydi p
III. Erkin a'zo bo'linmaydi
Keyin polinom f(x) ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.
Shuni ta'kidlash kerakki, Eyzenshteyn mezoni beradi etarli sharoitlar polinomlarning qaytarilmasligi, lekin shart emas. Demak, polinom ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi, lekin Eyzenshteyn mezoniga javob bermaydi.
Eyzenshteyn mezoniga ko'ra, ko'phad kamaytirilmaydi. Shuning uchun, ratsional sonlar maydonida mavjud qaytarilmas polinom daraja n, Qayerda n 1 dan katta har qanday natural son.
Agar bu maydon ustidagi har qanday ko'phad bo'lmasa, maydon algebraik jihatdan yopiq deyiladi doimiyga teng, kamida bitta ildizga ega. Bezout teoremasidan darhol shunday xulosa kelib chiqadiki, bunday maydonda har qanday doimiy bo'lmagan ko'phad chiziqli omillar mahsulotiga ajralishi mumkin. Shu ma'noda algebraik yopiq maydonlar algebraik yopiq bo'lmagan maydonlarga qaraganda tuzilishi jihatidan soddaroqdir. Biz bilamizki, haqiqiy sonlar sohasida hamma ham emas kvadratik trinomial ildizga ega, shuning uchun ℝ maydoni algebraik jihatdan yopiq emas. Ma'lum bo'lishicha, u algebraik yopilishga biroz kamlik qiladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak: tenglama bo'yicha aniq ko'rinadigan masalani hal qilib, biz bir vaqtning o'zida boshqa barcha polinom tenglamalarni yechdik.
ALGebraNING ASOS TEOREMASI.ℂ maydonidagi doimiyga teng bo'lmagan har qanday ko'phad kamida bitta murakkab ildizga ega.
TEST. Kompleks sonlar maydonida doimiyga teng bo'lmagan har qanday ko'phadni chiziqli omillar mahsulotiga kengaytira olamiz:
Bu erda polinomning etakchi koeffitsienti har xil; murakkab ildizlar polinom - ularning ko'pligi. Tenglik qondirilishi kerak
Natijaning isboti polinom darajasi bo'yicha oddiy induksiyadir.
Boshqa sohalarga qaraganda, polinomlarning parchalanishi nuqtai nazaridan vaziyat unchalik yaxshi emas. Agar, birinchidan, doimiy bo'lmasa, ikkinchidan, uni quyi darajali ko'phadlar ko'paytmasiga ajratib bo'lmasa, biz ko'phadni kamaytirilmaydigan deb ataymiz. Ko'rinib turibdiki, har bir chiziqli ko'phad (har qanday sohada) qaytarilmasdir. Xulosa quyidagicha qayta shakllantirilishi mumkin: yetakchi birlik koeffitsienti (boshqacha aytganda: unitar) bo'lgan kompleks sonlar maydonidagi qaytarilmas ko'phadlar () ko'rinishdagi ko'phadlar bilan tugaydi.
Kvadrat trinomning parchalanishi kamida bitta ildiz mavjudligiga teng. Tenglamani ko‘rinishga o‘tkazar ekanmiz, kvadrat trinomiyaning ildizi diskriminant K maydonining qaysidir elementining kvadrati bo‘lsagina mavjud bo‘ladi, degan xulosaga kelamiz (bu yerda biz K maydonida 2≠ 0 deb faraz qilamiz). Bu erdan olamiz
TAKLIF. K maydonida 2≠ 0 ni qisqartirib bo'lmaydigan kvadrat trinomial, agar uning K maydonida ildizlari bo'lmasa. Bu diskriminant K maydonining biron bir elementining kvadrati emasligiga ekvivalentdir. Xususan , haqiqiy sonlar maydonida kvadrat uch a'zosi Kamaytirilmas, agar va faqat bo'lsa.
Shunday qilib, haqiqiy sonlar maydonida kamaytirilmaydigan polinomlarning kamida ikkita turi mavjud: chiziqli va kvadratik va manfiy diskriminant. Ma'lum bo'lishicha, bu ikki holat ℝ dan ortiq qisqartirilmaydigan ko'phadlar to'plamini tugatadi.
TEOREMA. Haqiqiy sonlar maydonidagi har qanday polinomni manfiy diskriminantlarga ega chiziqli omillar va kvadratik omillar mahsulotiga ajratishimiz mumkin:
Bu erda ko'phadning barcha turli xil haqiqiy ildizlari, ularning ko'paytmalari, barcha diskriminantlar noldan kichik va kvadrat uch a'zolar hammasi boshqacha.
Avval lemmani isbotlaymiz
LEMMA. Agar mavjud bo'lsa, u holda konjugat son ham ko'phadning ildizidir.
Isbot. Keling, va ko'phadning kompleks ildizi bo'lsin. Keyin
bu erda biz sherik xususiyatlaridan foydalanganmiz. Demak, . Shunday qilib, u polinomning ildizidir. □
Teoremaning isboti. Haqiqiy sonlar maydoni ustidagi har qanday qaytarilmas ko'phadning manfiy diskriminantga ega chiziqli yoki kvadratik ekanligini isbotlash kifoya. Birlik yetakchi koeffitsientli kamaytirilmaydigan ko'phad bo'lsin. holatda biz darhol ba'zi real uchun olish. Buni taxmin qilaylik. Kompleks sonlar algebrasining asosiy teoremasiga ko'ra mavjud bo'lgan ushbu ko'phadning istalgan kompleks ildizi bilan belgilaymiz. U qaytarilmas ekan, demak (Bezout teoremasiga qarang). Keyin, lemma bo'yicha, polinomning boshqa ildizi bo'ladi.
Polinom haqiqiy koeffitsientlarga ega. Bundan tashqari, Bezout teoremasi bo'yicha bo'linadi. U kamaytirilmaydigan va birlik etakchi koeffitsientiga ega bo'lgani uchun biz tenglikni olamiz. Bu ko'phadning diskriminanti manfiy, chunki aks holda uning haqiqiy ildizlari bo'lar edi.□
MISOLLAR. A. Polinomni kamaytirilmaydigan omillarga ajratamiz. 6 doimiy hadining bo‘luvchilari orasidan ko‘phadning ildizlarini qidiramiz. Biz 1 va 2 ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, ko'phad ga bo'linadi. Bo'lingandan so'ng, biz topamiz
Maydon bo'ylab yakuniy kengayish, chunki kvadrat trinomialning diskriminanti manfiy va shuning uchun uni haqiqiy sonlar maydonida yanada kengaytirib bo'lmaydi. Kvadrat uch a’zoning kompleks ildizlarini topsak, kompleks sonlar maydoni bo‘yicha bir xil ko‘phadning kengayishini olamiz. Ular mohiyatdir. Keyin
Ushbu polinomning kengayishi tugadi
B. Haqiqiy va kompleks sonlar sohalarini kengaytiramiz. Ushbu ko'phadning haqiqiy ildizlari yo'qligi sababli, uni manfiy diskriminantlari bo'lgan ikkita kvadrat trinomga ajratish mumkin.
Ko'phad bilan almashtirilganda u o'zgarmasligi sababli, bunday almashtirish bilan kvadrat uch a'zoga kirishi kerak va aksincha. Bu yerdan. Olingan koeffitsientlarni tenglashtirish Xususan, . Keyin munosabatdan (almashtirish orqali olingan, va nihoyat, . Demak,
Haqiqiy sonlar maydonini kengaytirish.
Ushbu polinomni kengaytirish uchun murakkab sonlar, tenglamani yeching yoki. Ildizlari bo'lishi aniq. Biz har xil ildizlarni olamiz. Demak,
Kompleks sonlar ustidan kengayish. Hisoblash oson
va biz ko'phadni haqiqiy sonlar maydoniga kengaytirish masalasining yana bir yechimini olamiz.
Ishning oxiri -
Ushbu mavzu bo'limga tegishli:
Asosiy va kompyuter algebrasi
Kirish.. fundamental va kompyuter algebrasi kursi amaliy matematika yoʻnalishi talabalari uchun moʻljallangan.
Agar kerak bo'lsa qo'shimcha material Ushbu mavzu bo'yicha, yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmadingiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:
Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:
Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:
| Tvit |
Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:
N.I. Dubrovin
Spasskiy posyolkasi 2012 Mundarija Kirish. 4 Belgilar va atamalar ro'yxati. 5 1 BASIC haqida bir oz. 6 2 Oddiy to'plamlar nazariyasi. 9
BASIC haqida bir oz
Matematika raqamlar kabi ob'ektlar bilan shug'ullanadi har xil tabiatga ega(tabiiy, butun, ratsional, haqiqiy, kompleks), bir va bir necha oʻzgaruvchili koʻphadlar, matritsalar
Oddiy to'plam nazariyasi
Matematik matn ta'riflar va bayonotlardan iborat. Ba'zi bayonotlar, ularning ahamiyati va boshqa bayonotlar bilan aloqasiga qarab, quyidagi atamalardan biri deb ataladi:
Kartezyen mahsulotlar
Tartibli juftlik yoki oddiygina juft elementlar matematikadagi asosiy konstruksiyalardan biridir. Siz uni ikkita joydan iborat javon sifatida tasavvur qilishingiz mumkin - birinchi va ikkinchi. Ko'pincha matematikada bunday emas
Natural sonlar
Birdan qoʻshish yoʻli bilan olinadigan sonlar (1,2,3,...) natural sonlar deyiladi va ℕ bilan belgilanadi. Aksiomatik tavsif natural sonlar shunday bo'lishi mumkin (qarang
Rekursiya
N1-N3 aksiomalaridan tortib hammaga tanish bo'lganlargacha boshlang'ich maktab natural sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallari, natural sonlarni bir-biri bilan solishtirish va shaklning xossalari «ayrimlarning o‘rinlarini teskari ko‘rsatishdan yig‘indi hosil qilmaydi.
Natural sonlar to'plamida tartib Natural sonlarning bo‘linuvchanligi Butun sonlarning bo‘linuvchanligi Evklid algoritmi Evklid algoritmining matritsali talqini Mantiq elementlari Ekspressiv shakllar Matritsa algebrasi Aniqlovchilar Chiziqli tekislik transformatsiyalari Kompleks sonlar Kompleks sonlar maydonini qurish Murakkab sonlarni birlashtirish Kompleks songa konjugat va xarita deyiladi Kompleks sonni vektor sifatida ifodalaylik. Ushbu vektorning uzunligi, ya'ni. miqdor kompleks sonning moduli deb ataladi va belgilanadi. Biz miqdorni raqamning me'yori deb ataymiz, ba'zan e dan foydalanish qulayroqdir Paragrafning (2) qoidasi bizga sof xayoliy sonning ko'rsatkichini aniqlash huquqini beradi: Haqiqatan ham, shu tarzda aniqlangan funktsiya quyidagi xususiyatlarga ega: & Chiziqli ko'phad har doim ildizga ega. Kvadrat trinomial endi har doim ham haqiqiy sonlar maydonida ildizlarga ega emas. Ekvivalentlik munosabati teoremasi M to‘plamdagi “ ” ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Element uchun uni ekvivalentlik sinfi bilan belgilaymiz. Keyin M to'plam ekvivalentlik sinflari birligiga bo'linadi; M dan har bir element at Har qanday kompleks son tekislikdagi nuqtani bildiradi. Argumentlar bitta murakkab tekislikda, funktsiya qiymatlari boshqa murakkab tekislikda joylashgan bo'ladi. F(z) – kompleks o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi. Kompleks o‘zgaruvchining kompleks funksiyalari orasida uzluksiz funksiyalar sinfi alohida ajralib turadi. Def: kompleks o'zgaruvchining kompleks funksiyasi uzluksiz deyiladi, agar , shunday bo'lsa, .+< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше . Geometrik ma'nosi quyidagicha: Xulosa: kompleks sonlar sohasida ko‘phadning moduli uzluksiz funksiyadir. 2-teorema: - murakkab koeffitsientli polinomlar halqasi, keyin shunday qiymatlar. Teorema 3. (ko‘phad modulining cheksiz ortishi haqida): Algebraning asosiy teoremasi: 0 darajali bo'lmagan kompleks sonlar maydonidagi har qanday polinom kompleks sonlar sohasida kamida bitta ildizga ega. (Biz dalilda quyidagi bayonotlardan foydalanamiz): D.: 1. Agar a n =0 bo'lsa, u holda z=0 f(z) ning ildizidir. 2. a n 0 bo‘lsa, 3-teorema bo‘yicha tengsizlik kompleks tekislikdagi S radiusli aylanadan tashqarida joylashgan hududni aniqlaydi. Bu mintaqada ildiz yo‘q, chunki. shuning uchun f(z) ko‘phadning ildizlarini mintaqa ichidan izlash kerak. Keling, T1 dan ko'rib chiqaylik. f(z) uzluksiz ekanligi kelib chiqadi. Weierstrass teoremasiga ko'ra, u yopiq mintaqada bir nuqtada minimal darajaga etadi, ya'ni. . Keling, nuqta minimal nuqta ekanligini ko'rsataylik. Chunki 0 E, keyin, chunki funksiya qiymatining E mintaqasidan tashqarida, u holda z 0 butun kompleks tekislikdagi minimal nuqtadir. f(z 0)=0 ekanligini ko'rsataylik. Faraz qilaylik, bunday emas, demak, d'Alemberning Lemmasi orqali biz qarama-qarshilikka erishamiz, chunki z 0 minimal nuqta. Algebraik yopilish: Def: Agar bu maydon ustida kamida bitta ildiz bo'lsa, P maydoni algebraik yopiq deb ataladi. Teorema: kompleks sonlar maydoni algebraik jihatdan yopiq. (d-algebraning asosiy teoremasidan kelib chiqadi). Ratsional va haqiqiy sonlar sohalari algebraik jihatdan yopiq emas. Parchalanish qobiliyati: Teorema: 1 dan yuqori darajadagi kompleks sonlar maydonidagi har qanday ko'phadni chiziqli omillar mahsulotiga ajratish mumkin. Xulosa 1. Kompleks sonlar maydonidagi n darajali ko‘phad aynan n ta ildizga ega. Keyingi 2: 1 dan katta darajali kompleks sonlar maydonidagi har qanday polinom har doim kamaytirilishi mumkin. Def: ko'plik C\R raqamlari, ya'ni. b 0 ga teng bo'lmagan a+bi ko'rinishdagi sonlar xayoliy deyiladi. 2. Maydon ustidagi ko‘p nomlilar. Ikki polinomning GCD va Evklid algoritmi. Ko'phadni kamaytirilmaydigan omillar ko'paytmasiga ajratish va uning yagonaligi. Def. Noma'lumda ko'p nomli (ko'p nomli). X maydon ustida R chaqirdi Butun son manfiy bo'lmagan darajalarning algebraik yig'indisi X, maydondan qandaydir koeffitsient bilan olingan R. aiÎP qayerda yoki Polinomlar deyiladi teng, agar ularning koeffitsientlari noma'lumlarning mos keladigan vakolatlari uchun teng bo'lsa. Ko'phadning darajasi deyiladi. noma'lum ko'rsatkichning eng katta qiymati, koeffitsienti noldan farq qiladi. Belgilangan: N(f(x))=n Maydondagi barcha ko'phadlar to'plami R bilan belgilanadi: P[x]. Nol darajali polinomlar maydon elementlari bilan mos keladi R, noldan farq qiladi
nol ko'phad, uning darajasi noaniq. Polinomlar ustida amallar. 1. Qo‘shish. n³s bo‘lsin, u holda N(f(x)+g(x))=n=max(n,s). <P[x],+> 2. Ko‘paytirish. Algebraik tuzilmani o'rganish<P[x],*> <P[x],*>- identifikatsiya elementi bo'lgan yarim guruh (manoid) Taqsimlash qonunlari qondiriladi, shuning uchun<P[x],+,*> identifikatsiyaga ega kommutativ halqadir. Ko‘phadlarning bo‘linuvchanligi ODA: polinom f(x), f(x)OP[x], P– maydon polinomga bo‘linadi g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x], agar shunday polinom mavjud bo'lsa h(x)OP[x], bu f(x)=g(x)h(x) Bo'linish xususiyatlari: Misol:, ustunga bo'ling gcd =( x+3) Qoldiq bilan bo'lish teoremasi: Har qanday polinomlar uchun f (x), g(x)OP[x], faqat bitta polinom mavjud q(x) Va r(x) shunday f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) Hujjat g'oyasi: biz mavjud bo'lgan ikkita holatni ko'rib chiqamiz n ODA: f (x) va g(x), f(x), g(x)OP[x], h(x)OP[x] GCD f deb ataladi (x) va g(x) Agar Evklid algoritmi Keling, ketma-ket bo'linish jarayonini yozamiz f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1) g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2) r 1 (x)= r 2 (x) q 3 (x)+r 3 (x) (3) va hokazo. r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k) r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1) GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x) Fikr isbotdir: biz buni ko'rsatamiz 1 ) f(x):(to'liq) d (x) Va g (x):(to'liq) d(x); 2) f(x):(to'liq) h(x) Va g(x):(to'liq) h(x) buni ko'rsatamiz d(x):( butunlay) h(x). GCD ning chiziqli tasviri T: agar d (x) - ko'phadlarning gcd f (x) va g (x), u holda ko'phadlar mavjud v (x) va u(x)OP[x], Nima f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Def: f(x) va g(x)OP[x] har doim umumiy boʻluvchilarga, yaʼni P maydoniga toʻgʻri keladigan nol darajali koʻphadlarga ega boʻladi, agar boshqa umumiy boʻluvchilar boʻlmasa, f(x) va g(x) koʻp tubdir. (belgisi: (f(x),g(x))=1) T: f (x) Va g (x) nisbatan tub i.i.t.k. v(x) va u(x)OP[x] ko'phadlari mavjud shundayki f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. O'zaro tub ko'phadlarning xossalari ODA: f(x), f(x)OP[x] ko'phadlari deyiladi berilgan P maydoni ustida, agar uni darajalari 0 dan katta va f (x) darajasidan kichik bo'lgan omillarga ajratish mumkin bo'lsa, ya'ni. f (x)=f 1 (x)f 2 (x), bu erda darajalar f 1 va f 2 >0, Ko'phadlarning kamaytiruvchanligi ular ko'rib chiqiladigan sohaga bog'liq. Ko'phad Q maydonida kamaytirilmaydigan (pastki darajali omillarga ko'paytirilmaydigan ko'phad) va R maydonida kamaytiriladigan. Qaytarib bo'lmaydigan polinomlarning xossalari: 1) ko'phadlar f (x) Va p (x) nisbatan asosiy hisoblanadi 2) f(x):(to'liq) p (x)
To'plamning munosabati bor chiziqli tartib. Aytaylik, n
Natural sonlar sohasida bo'lish amali har doim ham mumkin emas. Bu bizga boʻlinish munosabatini kiritish huquqini beradi: deylik, n soni m sonni baʼzi mos k∈ uchun m=nk boʻlsa, ajratadi.
Butun sonlar halqasi bilan belgilaymiz. "Rizka" atamasi biz R to'plami bilan ishlayotganimizni anglatadi, unda ikkita amal - qo'shish va ko'paytirish, ma'lum qonunlarga bo'ysunish beriladi.
Bir juft butun sonlar (m, n) berilgan. Biz n ni 1 raqami bilan qoldiq deb hisoblaymiz. Evklid algoritmining birinchi bosqichi m ni qoldiq bilan n ga bo'lish va keyin qolganni yangi olingan qoldiqqa bo'lishdir.
Evklid algoritmiga matritsa talqinini beramiz (matritsalar uchun keyingi bandga qarang). Qoldiqli bo'linishlar ketma-ketligini matritsa ko'rinishida qayta yozamiz: Har birida almashtirish
Matematiklar, masalan, raqamlar, funktsiyalar, matritsalar, tekislikdagi chiziqlar va boshqalar kabi ob'ektlar bilan, shuningdek, bayonotlar bilan shug'ullanadilar. Nutq - bu qandaydir hikoya
Ifoda bayonot bo'ladimi? Yo'q, bu yozuv bitta o'zgaruvchining ekspressiv shaklidir. Agar biz o'zgaruvchi o'rniga haqiqiy qiymatlarni almashtirsak, biz turli xil bayonotlarni olamiz
R halqa ustidagi matritsalar algebrasi (R - butun sonlar halqasi, ratsional sonlar maydoni, haqiqiy sonlar maydoni) operatsiyalar to'plamiga ega bo'lgan eng keng tarqalgan algebraik tizimdir.
A kvadrat matritsaning determinanti uning son xarakteristikasi bo'lib, yoki bilan belgilanadi. Kichik o'lchamli matritsalarning determinantlaridan boshlaylik 1,2,3: TA'RIF. Pu
Ma'lumki, masofalarni saqlagan holda s tekislikning har qanday o'zgarishi yo vektorga parallel ko'chirish yoki O nuqta atrofida a burchak bilan aylanish yoki to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriyadir.
Ushbu bo'limda biz faqat bitta sohani o'rganamiz - kompleks sonlar maydoni ℂ. Geometrik nuqtai nazardan bu tekislik, algebraik nuqtai nazardan esa shunday
Biz avvalgi xatboshida murakkab sonlar maydonini allaqachon qurgan edik. Kompleks sonlar sohasining alohida ahamiyati tufayli biz uning bevosita qurilishini taqdim etamiz. bilan bo'sh joyni ko'rib chiqing
Kompleks sonlar maydoni bizga yangi xususiyatni beradi - bir xil bo'lmagan uzluksiz avtomorfizmning mavjudligi (o'ziga nisbatan izomorfizm).
Kompleks sonlarni yozishning trigonometrik shakli
Murakkab ko'rsatkich
Kvadrat tenglamalarni yechish
Kompleks sonlar () maydoni ustidagi kvadrat trinomial bo'lsin. Konvoy
