Har biri teng bo'lgan uchta omil x.(\displaystyle x.) Bu arifmetik amal "kub" deb ataladi va uning natijasi belgilanadi:

x 3 (\displaystyle x^(3))

x 3 = x ⋅ x ⋅ x (\displaystyle x^(3)=x\cdot x\cdot x) Kub uchun teskari amal kub ildizini olishdir. Geometrik nom uchinchi daraja " kub "Qadimgi matematiklar kublarning qiymatlarini deb hisoblashganligi bilan bog'liq, kub raqamlari maxsus turdagi jingalak raqamlar (pastga qarang), buyon raqamning kubi x (\displaystyle x) jingalak raqamlar (pastga qarang), buyon raqamning kubi.

ga teng chekka uzunligi bo'lgan kub hajmiga teng

, , , , , 125, 216, 343, 512, 729, , 1331, , 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Kublar ketma-ketligi Birinchi kublar yig'indisi n (\displaystyle n)

musbat natural sonlar quyidagi formula bilan hisoblanadi:

∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + n 3 = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(i=1)^(n)i^(3) )=1^(3)+2^(3)+3^(3)+\ldots +n^(3)=\left((\frac (n(n+1))(2))\o‘ng) ^(2))

Formulaning kelib chiqishi

Kublar yig'indisi formulasini ko'paytirish jadvali va arifmetik progressiya yig'indisi formulasidan foydalanib olish mumkin. Usulning misoli sifatida ikkita 5 × 5 ko'paytirish jadvalini ko'rib chiqamiz, biz n × n o'lchamdagi jadvallar uchun fikr yuritamiz. × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Ko'paytirish jadvali va raqamlar kublari × 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25

Ko'paytirish jadvallari va arifmetik progressiya

Birinchi jadvalning k-chi (k=1,2,...) tanlangan maydonidagi raqamlar yig'indisi:

k 2 + 2 k ∑ l = 1 k - 1 l = k 2 + 2 k k (k − 1) 2 = k 3 (\displaystyle k^(2)+2k\sum _(l=1)^(k-) 1)l=k^(2)+2k(\frac (k(k-1))(2))=k^(3)) Va ikkinchi jadvalning k-chi (k=1,2,...) tanlangan maydonidagi raqamlar yig'indisi:

arifmetik progressiya

k ∑ l = 1 n l = k n (n + 1) 2 (\displaystyle k\sum _(l=1)^(n)l=k(\frac (n(n+1))(2)))

Birinchi jadvalning barcha tanlangan joylarini jamlagan holda, biz ikkinchi jadvalning barcha tanlangan joylarini yig'ish bilan bir xil sonni olamiz:

∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n k n (n + 1) 2 = n (n + 1) 2 ∑ k = 1 n k = (n (n + 1) 2) 2 (\displaystyle \sum _(k) =1)^(n)k^(3)=\sum _(k=1)^(n)k(\frac (n(n+1))(2))=(\frac (n(n+ 1) ))(2))\sum _(k=1)^(n)k=\left((\frac (n(n+1))(2))\o‘ng)^(2))

• Ba'zi xususiyatlar
• O'nli kasrlarda kubning oxirgi ikki raqami 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28 bo'lishi mumkin. , 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 6 , 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Kubning oxirgidan oldingi raqamiga bogʻliqligi. oxirgisini quyidagi jadvalda ko'rsatish mumkin:

Kublar raqamlar sifatida

"Kubik raqam" Q n = n 3 (\displaystyle Q_(n)=n^(3)) tarixiy jihatdan fazoviy figurali raqamlarning bir turi sifatida qaraladi. Bu ketma-ket uchburchak sonlar kvadratlarining farqi sifatida ifodalanishi mumkin T n (\displaystyle T_(n)):

Q n = (T n) 2 - (T n - 1) 2 , n ⩾ 2 (\displaystyle Q_(n)=(T_(n))^(2)-(T_(n-1))^(2) ),n\geqslant 2) Q 1 + Q 2 + Q 3 + ⋯ + Q n = (T n) 2 (\displaystyle Q_(1)+Q_(2)+Q_(3)+\nuqtalar +Q_(n)=(T_(n)) )^(2))

Ikki qo'shni kub sonlar orasidagi farq markazlashtirilgan olti burchakli sondir.

Kub sonni tetraedr shaklida ifodalash n n (3) (\displaystyle \Pi _(n)^((3))).

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Trening.

Quyidagi iboralarni shu tarzda baholashga harakat qiling:

Javoblar:

Yoki asosiy ikki xonali raqamlarning kvadratlarini bilsangiz, uning qancha ekanligini eslaysizmi? Esingizdami? . Ajoyib! Biz kvadrat bo'lganimiz uchun, biz ko'paytirishimiz kerak. Ma'lum bo'ladiki.

Esda tutingki, kvadrat yig'indi va kvadrat ayirma formulalari nafaqat sonli ifodalar uchun amal qiladi:

Quyidagi ifodalarni o'zingiz hisoblang:

Javoblar:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Pastki qator.

Keling, bir oz umumlashtiramiz va yig'indi va ayirma kvadratining formulalarini bitta qatorga yozamiz:

Keling, formulani parchalangan ko'rinishdan ko'rinishgacha "yig'ishni" mashq qilaylik. Keyinchalik katta iboralarni konvertatsiya qilishda bizga bu mahorat kerak bo'ladi.

Aytaylik, bizda quyidagi ifoda bor:

Biz bilamizki, yig'indining (yoki farqning) kvadrati bitta raqamning kvadrati boshqa raqamning kvadrati Va bu raqamlarning ikki barobar ko'paytmasi.

Bu masalada bitta raqamning kvadratini ko'rish oson - bu. Shunga ko'ra, qavsga kiritilgan raqamlardan biri kvadrat ildiz dan, ya'ni

Ikkinchi atama o'z ichiga olganligi sababli, bu mos ravishda bir va boshqa sonning ikki barobar ko'paytmasi ekanligini anglatadi:

Qavsimizga kiritilgan ikkinchi raqam qayerda.

Qavsdagi ikkinchi raqam ga teng.

Keling, tekshiramiz. teng bo'lishi kerak. Darhaqiqat, bu shunday, ya'ni biz qavs ichida mavjud ikkala raqamni topdik: va. Ularning orasidagi belgini aniqlash uchun qoladi. Sizningcha, u erda qanday belgi bo'ladi?

To'g'ri! Bizdan beri qo'shish Agar mahsulot ikki baravar ko'paytirilsa, raqamlar orasida qo'shish belgisi bo'ladi. Endi o'zgartirilgan ifodani yozing. Siz boshqardingizmi? Siz quyidagilarni olishingiz kerak:

Eslatma: atamalar joylarini o'zgartirish natijaga ta'sir qilmaydi (qo'shish yoki ayirish va orasiga qo'yilganligi muhim emas).

O'zgartirilayotgan iboradagi atamalar formulada yozilganidek bo'lishi mutlaqo shart emas. Ushbu ifodaga qarang: . Uni o'zingiz aylantirishga harakat qiling. Ishladimi?

Amaliyot - quyidagi iboralarni o'zgartiring:

Javoblar: Siz boshqardingizmi? Keling, mavzuni to'g'rilaymiz. Quyidagi iboralardan yig'indi yoki farqning kvadrati sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan iboralarni tanlang.

1. - ekvivalent ekanligini isbotlang.

1. - kvadrat shaklida tasvirlash mumkin emas; uning o'rniga borligini tasavvur qilish mumkin edi.

Kvadratchalar farqi

Yana bir qisqartirilgan ko'paytirish formulasi kvadratlar farqidir.

Kvadratlarning farqi farqning kvadrati emas!

Ikki raqamning kvadratlari orasidagi farq bu raqamlar yig'indisi va ularning farqining ko'paytmasiga teng:

Keling, ushbu formula to'g'ri yoki yo'qligini tekshiramiz. Buning uchun yig‘indi va ayirma kvadratining formulalarini chiqarishda qilganimizdek, ko‘paytiramiz:

Shunday qilib, biz formulaning haqiqatan ham to'g'ri ekanligini tasdiqladik. Bu formula murakkab hisoblash operatsiyalarini ham soddalashtiradi. Mana bir misol:

Hisoblash kerak: . Albatta, biz kvadrat, keyin kvadrat va birini boshqasidan ayirishimiz mumkin, ammo formula biz uchun buni osonlashtiradi:

Ishladimi? Keling, natijalarni taqqoslaylik:

Xuddi yig'indining kvadrati (farq) kabi kvadratlar farqi formulasini nafaqat raqamlar bilan ishlatish mumkin:

Kvadratlar farqini qanday hisoblashni bilish bizga murakkab matematik ifodalarni o'zgartirishga yordam beradi.

Esda tuting:

Chunki, to'g'ri ifodaning farqini kvadratga ajratganda, biz olamiz

Ehtiyot bo'ling va qaysi atama kvadratga aylanayotganini ko'ring! Mavzuni mustahkamlash uchun quyidagi iboralarni o'zgartiring:

Siz yozdingizmi? Olingan ifodalarni solishtiramiz:

Yig‘indining kvadrati va ayirmaning kvadratini hamda kvadratlar ayirmasini o‘zlashtirganingizdan so‘ng, keling, ushbu uchta formulaning birikmasiga misollar yechishga harakat qilaylik.

Elementar ifodalarni o'zgartirish (yig'indi kvadrati, ayirma kvadrati, kvadratlar ayirmasi)

Aytaylik, bizga misol keltirildi

Bu ifodani soddalashtirish kerak. Diqqat bilan qarang, hisoblagichda nimani ko'rasiz? To'g'ri, hisoblagich mukammal kvadratdir:

Ifodani soddalashtirganda esda tutingki, soddalashtirishda qaysi yo'nalishga borish kerakligi maxrajda (yoki numeratorda) bo'ladi. Bizning holatimizda, maxraj kengaytirilganda va boshqa hech narsa qilish mumkin bo'lmaganda, hisoblagich yig'indining kvadrati yoki farqning kvadrati bo'lishini tushunishimiz mumkin. Biz qo'shayotganimiz sababli, hisoblagich yig'indining kvadrati ekanligi ayon bo'ladi.

Quyidagi iboralarni oʻzingizga aylantirib koʻring:

Ishladimi? Javoblarni solishtiring va davom eting!

Yig'indi kubi va ayirma kubi

Yig'indi kubi va ayirma kub formulalari xuddi shunday tarzda olinadi summaning kvadrati Va kvadrat farq: hadlarni bir-biriga ko'paytirishda qavs ochish.

Agar yig'indining kvadrati va farqning kvadratini eslab qolish juda oson bo'lsa, unda savol tug'iladi: "kublarni qanday eslab qolish kerak?"

O'xshash atamalarni kvadratlash bilan solishtirganda tasvirlangan ikkita formulani diqqat bilan ko'rib chiqing:

Qanday naqshni ko'rasiz?

1. Qachon o'rnatilgan kvadrat bizda ... bor kvadrat birinchi kun va kvadrat ikkinchi; kubga ko'tarilganda - ha uchinchi daraja " bir xil raqam va uchinchi daraja " boshqa raqam.

2. qad rostlaganda kvadrat, bizda ... bor ikki barobar raqamlar mahsuloti (1-darajali darajaga ko'tarilgan raqamlar, bu biz ifodani ko'targanimizdan bir daraja kamroq); qurilish vaqtida uchinchi daraja " - uch barobar raqamlardan biri kvadrat bo'lgan mahsulot (bu ham biz ifodani ko'taradigan quvvatdan 1 kuch kamroq).

3. Kvadratlanishda ochiq ifodadagi qavs ichidagi belgi qo‘sh ko‘paytmani qo‘shganda (yoki ayirganda) aks ettiriladi - qavs ichida qo‘shimcha bo‘lsa, qo‘shamiz, ayirish bo‘lsa, ayirib olamiz; kubni ko'tarishda qoida quyidagicha: agar bizda yig'indisi kub bo'lsa, unda barcha belgilar "+" bo'ladi va agar bizda farq kub bo'lsa, u holda belgilar almashinadi: " ” - " ” - “ ” - “ “ .

Yuqorida aytilganlarning barchasi, atamalarni ko'paytirishda kuchlarning bog'liqligidan tashqari, rasmda ko'rsatilgan.

Mashq qilaylikmi? Quyidagi iboralardagi qavslarni oching:

Olingan ifodalarni solishtiring:

Kublarning farqi va yig'indisi

Keling, formulalarning oxirgi juftligini ko'rib chiqaylik: kublarning farqi va yig'indisi.

Esda tutganimizdek, kvadratlar farqida biz bu raqamlarning farqini va yig'indisini bir-biriga ko'paytiramiz. Kublar farqi va kublar yig'indisida ham ikkita qavs mavjud:

1 qavs - raqamlarning birinchi darajagacha bo'lgan farqi (yoki yig'indisi) (farqni yoki kublar yig'indisini ochishimizga qarab);

2 qavs - to'liq bo'lmagan kvadrat (yaqindan qarang: agar raqamlarning qo'sh ko'paytmasini ayirsak (yoki qo'shsak), kvadrat bo'lar edi), raqamlarni ko'paytirishda belgi asl ifoda belgisiga qarama-qarshidir.

Mavzuni mustahkamlash uchun bir nechta misollarni hal qilaylik:

Olingan ifodalarni solishtiring:

Trening

Javoblar:

Keling, xulosa qilaylik:

7 ta qisqartirilgan ko'paytirish formulalari mavjud:

ILG'IY DARAJA

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari - bu formulalar bo'lib, qaysi birini bilsangiz, ifodalarni soddalashtirish yoki polinomlarni faktoring qilishda ba'zi standart amallarni bajarishdan qochishingiz mumkin. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak!

1. Yig'indi kvadrati ikkita ifoda birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasiga va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng:
2. Kvadrat farq ikkita ifoda birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko‘paytmasi va ikkinchisi plyus ikkinchi ifodaning kvadratiga teng:
3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng:
4. Jami kub ikkita ifoda kubga teng birinchi ifoda plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasini va ikkinchisi plyus birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini plyus ikkinchi ifodaning kubini uch barobar ko‘paytiring:
5. Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga teng: birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasini va ikkinchisi plyus birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifodaning kubini ayirib uch marta ko‘paytiring:
6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng:
7. Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining ushbu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng:

Endi bu formulalarning barchasini isbotlaylik.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Isbot.

1. .
Ifodani kvadratga solish uni o'ziga ko'paytirishni anglatadi:
.

Qavslarni ochamiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

2. .
Biz ham xuddi shunday qilamiz: farqni o'z-o'zidan ko'paytiramiz, qavslarni ochamiz va shunga o'xshashlarni beramiz:
.

3. .
Keling, o'ng tomondagi ifodani olamiz va qavslarni ochamiz:
.

4. .
Kubli sonni bu raqam uning kvadratiga ko'paytirilishi bilan ifodalanishi mumkin:

Xuddi shunday:

Kublar farqida belgilar almashinadi.

6. .

.

7. .
Keling, o'ng tarafdagi qavslarni ochamiz:
.

Misollarni yechish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish

1-misol:

Ifodalarning ma'nosini toping:

Yechim:

1. Yig'indining kvadrat formulasidan foydalanamiz: .
2. Keling, bu sonni farq sifatida tasavvur qilaylik va farqning kvadrati formulasidan foydalanamiz: .

2-misol:

Ifodaning ma'nosini toping: .

Yechim:

Ikki ifoda kvadratlarining farqi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

3-misol:

Ifodani soddalashtiring:

Yechim ikki usulda:

Keling, formulalardan foydalanamiz: yig'indining kvadrati va farqning kvadrati:

II usul.

Keling, ikkita ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanamiz:

ENDI SIZNING SO'ZINGIZ...

Men sizga qisqartirilgan ko'paytirish formulalari haqida bilgan hamma narsani aytdim.

Ayting-chi, ulardan foydalanasizmi? Agar yo'q bo'lsa, nima uchun?

Ushbu maqola sizga qanday yoqadi?

Balki savollaringiz bordir. Yoki takliflar.

Izohlarda yozing. Biz barcha sharhlarni o'qiymiz va barchaga javob beramiz.

Va imtihonlaringizga omad!

Qisqartirilgan ifoda formulalari amaliyotda juda tez-tez qo'llaniladi, shuning uchun ularning barchasini yoddan bilib olish tavsiya etiladi. Shu paytgacha u bizga sodiqlik bilan xizmat qiladi, biz uni chop etishni va har doim ko'z oldingizda saqlashni tavsiya qilamiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining tuzilgan jadvalidagi dastlabki to'rtta formula sizga ikkita ifodaning yig'indisi yoki ayirmasini kvadrat va kub qilish imkonini beradi. Beshinchisi ikki ifodaning farqini va yig'indisini qisqacha ko'paytirish uchun mo'ljallangan. Oltinchi va yettinchi formulalar esa ikkita a va b ifoda yig‘indisini ularning to‘liq bo‘lmagan ayirma kvadratiga (a 2 −a b+b 2 ko‘rinishdagi ifoda shunday deyiladi) va ikkitaning ayirmasiga ko‘paytirish uchun ishlatiladi. a va b ifodalari mos ravishda ularning yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga (a 2 + a·b+b 2 ).

Jadvaldagi har bir tenglik o'ziga xoslik ekanligini alohida ta'kidlash kerak. Bu nima uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi.

Misollarni echishda, ayniqsa polinom faktorlarga ajratilganda, FSU ko'pincha chap va o'ng tomonlari almashtirilgan shaklda qo'llaniladi:

Jadvaldagi oxirgi uchta identifikatsiya o'z nomlariga ega. a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) formulasi deyiladi kvadratlar farqi formulasi, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - kublar yig'indisi formulasi, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - kublarning farqi formulasi. E'tibor bering, biz oldingi jadvaldagi qismlarni qayta tartibga solingan tegishli formulalarni nomlamadik.

Qo'shimcha formulalar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari jadvaliga yana bir nechta identifikatsiyani qo'shish zarar qilmaydi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini (FSU) qo'llash sohalari va misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining (fsu) asosiy maqsadi ularning nomi bilan izohlanadi, ya'ni u qisqacha ko'paytirish ifodalaridan iborat. Biroq, FSUni qo'llash doirasi ancha kengroq va qisqa ko'paytirish bilan cheklanmaydi. Keling, asosiy yo'nalishlarni sanab o'tamiz.

Shubhasiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasining markaziy qo'llanilishi ifodalarni bir xil o'zgartirishlarni amalga oshirishda topildi. Ko'pincha bu formulalar jarayonda qo'llaniladi ifodalarni soddalashtirish.

Misol.

9·y−(1+3·y) 2 ifodasini soddalashtiring.

Yechim.

Ushbu iborada kvadratlashtirish qisqartirilgan holda bajarilishi mumkin, bizda bor 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Qavslarni ochish va shunga o'xshash shartlarni keltirish qoladi: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini o'rganish: yig'indining kvadrati va ikki ifodaning ayirmasining kvadrati; ikki ifoda kvadratlarining farqi; ikki ifodaning yig‘indisining kubi va ayirmasining kubi; ikki ifoda kublarining yig‘indisi va ayirmalari.

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

Ifodalarni soddalashtirish, koʻpaytmali koʻphadlar va koʻphadlarni standart koʻrinishga keltirish uchun qisqartirilgan koʻpaytirish formulalari qoʻllaniladi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini yoddan bilish kerak.

a, b R bo'lsin. Keyin:

1. Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga plyus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Ikki ifoda ayirmasining kvadrati ga teng birinchi ifodaning kvadratiga minus birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ortiqcha ikkinchi ifodaning kvadrati.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Kvadratchalar farqi ikkita ifoda bu ifodalar ayirmasi va ularning yig‘indisi ko‘paytmasiga teng.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Jami kub ikkita ifoda birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifoda kvadratining uch baravar ko‘paytmasiga, ikkinchisi esa birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratiga plyus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Farq kubi ikkita ifoda birinchi ifodaning kubini minus birinchi ifoda kvadratining uch karrasini va ikkinchi ortiqcha birinchi ifodaning ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchi ifoda kubining uch baravariga teng.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Kublar yig'indisi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar yig‘indisi va bu ifodalar ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratining ko‘paytmasiga teng.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Kublarning farqi ikkita ifoda birinchi va ikkinchi ifodalar ayirmasining shu ifodalar yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Misollarni yechishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini qo'llash.

1-misol.

Hisoblash

a) Ikki ifoda yig‘indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz bor

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Ikki ifodaning ayirmasining kvadrati formulasidan foydalanib, olamiz

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

2-misol.

Hisoblash

Ikki ifoda kvadratlarining farqi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

3-misol.

Ifodani soddalashtiring

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ikki ifodaning yig‘indisining kvadrati va ayirmasining kvadrati uchun formulalardan foydalanamiz

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Bitta jadvalda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Oldingi darsda biz faktorizatsiya bilan shug'ullangan edik. Biz ikkita usulni o'zlashtirdik: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish va guruhlash. Ushbu darsda - quyidagi kuchli usul: qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqasi - FSU.

Qisqartirilgan ko‘paytirish formulalari (yig‘indi va ayirma kvadrati, yig‘indi va ayirma kubi, kvadratlar ayirmasi, kublarning yig‘indisi va ayirmasi) matematikaning barcha bo‘limlarida nihoyatda zarurdir. Ular ifodalarni soddalashtirishda, tenglamalarni yechishda, ko‘phadlarni ko‘paytirishda, kasrlarni kamaytirishda, integrallarni yechishda va hokazolarda qo‘llaniladi. va hokazo. Muxtasar qilib aytganda, ular bilan kurashish uchun barcha asoslar mavjud. Ular qaerdan kelib chiqqanligini, nima uchun kerakligini, ularni qanday eslab qolish va ularni qanday qo'llash kerakligini tushuning.

Tushundikmi?)

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qayerdan keladi?

6 va 7 tengliklari juda tanish tarzda yozilmagan. Bu qandaydir teskari. Bu ataylab qilingan.) Har qanday tenglik ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga ishlaydi. Ushbu yozuv FSUlar qaerdan kelganligini aniqroq qiladi.

Ular ko'paytirishdan olingan.) Masalan:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Mana, ilmiy hiylalar yo'q. Biz shunchaki qavslarni ko'paytiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz. Bu shunday chiqadi barcha qisqartirilgan ko'paytirish formulalari. Qisqartirilgan ko'paytirish, chunki formulalarning o'zida qavslarni ko'paytirish va shunga o'xshashlarni kamaytirish yo'q. Qisqartirilgan.) Natija darhol beriladi.

FSUni yoddan bilish kerak. Birinchi uchtasi bo'lmasa, siz C ni orzu qila olmaysiz, qolganlarisiz siz B yoki A ni orzu qila olmaysiz.)

Nima uchun bizga qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kerak?

Ushbu formulalarni o'rganish, hatto yodlash uchun ikkita sabab bor. Birinchisi, tayyor javob avtomatik ravishda xatolar sonini kamaytiradi. Lekin bu asosiy sabab emas. Ammo ikkinchisi ...

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.