y=3x+2 to'g'ri chiziq y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigiga teginish.

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

Yechim

y=-12x^2+bx-10 funksiya grafigidagi nuqtaning abssissasi x_0 bo'lsin, u orqali bu grafikning tangensi o'tadi. X_0 nuqtadagi hosilaning qiymati tangens qiyaligiga teng, ya'ni y"(x_0)=-24x_0+b=3. Boshqa tomondan, teginish nuqtasi bir vaqtning o'zida ikkala grafigiga ham tegishli. funksiya va tangens, ya'ni -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 tenglamalar tizimini olamiz

\begin(holatlar) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end (holatlar)

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Javob Vaziyat Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan (u uchta to‘g‘ri segmentdan tashkil topgan siniq chiziq). Rasmdan foydalanib, F(9)-F(5) hisoblang, bu erda F(x) lardan biri

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

antiderivativ funktsiyalar f(x). Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, F(9)-F(5) farqi, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biri bo'lib, cheklangan egri chiziqli trapetsiya maydoniga teng. y=f(x) funksiya grafigi bo‘yicha y=0 , x=9 va x=5 to‘g‘ri chiziqlar.

Jadvalga ko'ra, biz ko'rsatilganligini aniqlaymiz kavisli trapezoid

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

asoslari 4 va 3 ga, balandligi 3 ga teng trapetsiyadir.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Uning maydoni teng

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Manba: “Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2017. Profil darajasi." Ed. F. F. Lisenko, S. Yu.

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

asoslari 4 va 3 ga, balandligi 3 ga teng trapetsiyadir.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Rasmda (-4; 10) oraliqda aniqlangan y=f"(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda, ularning eng kattasining uzunligini ko'rsating.

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

Grafik f(x) funksiyaning f"(x) hosilasi [ oraliqdan to'liq bir nuqtada (-5 va -4 oralig'ida) ishorani plyusdan minusga (bunday nuqtalarda maksimal bo'ladi) o'zgartirishini ko'rsatadi. -6; -2 ] Demak, [-6] oraliqda aynan bitta maksimal nuqta bor.

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

asoslari 4 va 3 ga, balandligi 3 ga teng trapetsiyadir.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Rasmda (-2; 8) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi keltirilgan.

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini aniqlang.

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

asoslari 4 va 3 ga, balandligi 3 ga teng trapetsiyadir.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

Nuqtadagi hosilaning nolga tengligi bu nuqtada chizilgan funksiya grafigiga teginish Ox o'qiga parallel ekanligini bildiradi.

Tangens nuqtaning abssissasi noldan kichik ekanligini hisobga olib, b ni toping.

Yechimni ko'rsatish

Shuning uchun funksiya grafigiga tegish Ox o'qiga parallel bo'lgan nuqtalarni topamiz.

Ushbu jadvalda bunday nuqtalar ekstremal nuqtalardir (maksimal yoki minimal ball). Ko'rib turganingizdek, 5 ta ekstremal nuqta mavjud.

Ushbu tizimni yechishda biz x_0^2=1 ni olamiz, bu x_0=-1 yoki x_0=1 degan ma'noni anglatadi.

asoslari 4 va 3 ga, balandligi 3 ga teng trapetsiyadir.

Abscissa shartiga ko'ra, teginish nuqtalari noldan kichik, shuning uchun x_0=-1, keyin b=3+24x_0=-21.

y=-3x+4 to'g'ri chiziq y=-x^2+5x-7 funksiya grafigiga teginishga parallel.

Tangens nuqtaning abtsissasini toping.

y=-x^2+5x-7 funksiya grafigiga ixtiyoriy x_0 nuqtadagi to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsienti y"(x_0) ga teng. Lekin y"=-2x+5, ya'ni y" (x_0)=-2x_0+5 shartda ko'rsatilgan burchak koeffitsienti -3 ga teng Parallel chiziqlar bir xil burchak koeffitsientlariga ega bo'ladi, shuning uchun biz = -2x_0 +5=-3.

Biz olamiz: x_0 = 4.

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan va abtsissada -6, -1, 1, 4 nuqtalar belgilangan. Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosila eng kichikdir? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

SINFDAN TAShQARI AMALIY ISHI 2

Funksiya grafiklarini transformatsiya qilish.

Maqsad

Turli transformatsiyalar yordamida funksiyalar grafiklarini tuzing va masala savoliga javob bering.

Ishni bajarish Ko'rsatmalar Ish 10 ta variant uchun mo'ljallangan, variantning soni ro'yxatdagi seriya raqamining oxirgi raqamiga to'g'ri keladi. Masalan, 1, 11, 21, 31... 1, 2,12, 22... variantni bajaring - 2-variant va hokazo. Ish ikki qismdan iborat: 1 - 5-topshiriqlarning birinchi qismi, agar bu topshiriqlar xato bilan yakunlangan bo'lsa, ularni to'g'rilash va tekshirish uchun ishni qayta topshirish kerak. Ikkinchi qism topshiriqlarni o'z ichiga oladi, ularni bajarish orqali siz qo'shimcha baho olishingiz mumkin: asosiy qism +2 vazifalar "4", asosiy qism +3 vazifalar "5".

Funksiya grafigi ko‘rsatilgan nuqtadan o‘tishini tekshirish uchun x va y o‘rniga nuqtaning koordinatalarini qo‘yish kerak, agar siz to‘g‘ri tenglikka erishsangiz, to‘g‘ri chiziq ko‘rsatilgan nuqtadan o‘tadi, aks holda o‘tmaydi; .

Vazifa 2, 3, 4. Ko'rsatilgan funksiyalarning grafiklari funksiyalar grafiklaridan olingan. , x yoki y o'qi bo'ylab siljish yordamida.

, avval funksiyaning grafigini quramiz yoki , keyin uni “a” birliklari bilan o‘ngga yoki chapga (+a – chapga, -a o‘ngga), so‘ngra “b” birliklarga yuqoriga yoki pastga siljiting (+b – yuqoriga, -b – pastga)

Boshqa funktsiyalar bilan bir xil:

5-topshiriq Funksiyaning grafigini tuzish uchun: , sizga kerak: 1) funksiya grafigini qurish , 2) grafikning x o‘qi ustida joylashgan qismi o‘zgarishsiz qoldirilgan, 3) grafikning x o‘qidan pastda joylashgan qismi aks ettirilgan.

Mustaqil hal qilish uchun muammolar.

Majburiy qism

1-topshiriq. Chiziqli funksiya grafigini tuzing, funksiya grafigi belgilangan nuqtadan o`tish-o`tmasligini aniqlang:

2-topshiriq. Grafik tuzing kvadratik funktsiya, ushbu funktsiya uchun qiymatlar to'plamini belgilang.

3-topshiriq. Funksiya grafigini tuzing, belgilangan funksiyaning ortishi yoki kamayishini aniqlang.

4-topshiriq. Funksiya grafigini tuzing, masala savoliga javob bering.

Topshiriq 5. Modul belgisini o'z ichiga olgan funksiya grafigini tuzing.

Qo'shimcha baholash uchun topshiriqlar.

Vazifa 6. Belgilangan funksiyaning grafigini qismlarga bo‘lib tuzing, bu funksiyaning uzilish nuqtasi bor yoki yo‘qligini aniqlang:

7-topshiriq. Tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega ekanligini aniqlang, javoblaringizni asoslang. Savollarga javob berib, xulosalar chiqaring.

Ushbu ishda qanday funktsiyalarni chizgansiz?

Chiziqli funksiyaning grafigi nima deyiladi?

Kvadrat funksiyaning grafigi nima deyiladi?

Qanday grafik transformatsiyalarni bilasiz?

Grafik koordinatalar tizimida qanday joylashgan hatto funktsiya? G'alati funktsiyaning grafigi?

$y = f(x)$ funktsiyaning berilgan nuqtadagi hosilasi $x_0$ funktsiya o'sishining uning argumentining mos keladigan o'sishiga nisbati chegarasi, agar ikkinchisi nolga moyil bo'lsa:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Differentsiatsiya - hosilani topish operatsiyasi.

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari jadvali

Funktsiya	Hosil
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Differensiallashning asosiy qoidalari

1. Yig‘indining hosilasi (farq) hosilalari yig‘indisiga (farqiga) teng.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Yig'indining hosilasi (farq) hosilalarning yig'indisiga (farqiga) teng.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Mahsulotning hosilasi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ hosilasini toping

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bo‘lakning hosilasi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ hosilasini toping

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Hosil murakkab funktsiya tashqi funktsiyaning hosilasi va ichki funktsiya hosilasining ko'paytmasiga teng

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Hosilning fizik ma'nosi

Agar moddiy nuqta to'g'ri chiziqli harakat qiladi va uning koordinatasi $x(t)$ qonuniga ko'ra vaqtga qarab o'zgaradi, keyin oniy tezlik berilgan nuqtaning hosilasi funksiyaning hosilasiga teng.

Nuqta $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$ qonuniga muvofiq koordinata chizig‘i bo‘ylab harakatlanadi, bu yerda $x(t)$ $t$ vaqtdagi koordinatadir. Vaqtning qaysi nuqtasida nuqta tezligi $12$ ga teng bo'ladi?

1. Tezlik $x(t)$ hosilasidir, shuning uchun berilgan funksiyaning hosilasini topamiz.

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. $t$ vaqtning qaysi nuqtasida tezlik $12$ ga teng bo'lganini topish uchun tenglama tuzamiz va yechamiz:

Hosilning geometrik ma'nosi

Eslatib o'tamiz, koordinata o'qlariga parallel bo'lmagan to'g'ri chiziq tenglamasini $y = kx + b$ ko'rinishda yozish mumkin, bu erda $k$ - to'g'ri chiziqning qiyaligi. $k$ koeffitsienti to'g'ri chiziq orasidagi qiyalik burchagi tangensiga teng ijobiy yo'nalish o'qi $Ox$.

$f(x)$ funksiyaning $x_0$ nuqtadagi hosilasi ushbu nuqtadagi grafikga teginishning $k$ nishabiga teng:

Shunday qilib, biz umumiy tenglikni yaratishimiz mumkin:

$f"(x_0) = k = tana$

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish ortib boradi, shuning uchun $k > 0$ koeffitsienti. $k > 0$ boʻlgani uchun $f"(x_0) = tana > 0$. Tangens bilan $Ox$ musbat yoʻnalishi orasidagi $a$ burchak oʻtkirdir.

Rasmda $f(x)$ funksiyasiga teginish kamayadi, shuning uchun $k koeffitsienti< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Rasmda $f(x)$ funksiyasining tangensi $Ox$ o'qiga parallel, shuning uchun koeffitsient $k = 0$, demak, $f"(x_0) = tan a = 0$. $x_0$ nuqtasi, bunda $f "(x_0) = 0$, chaqiriladi ekstremum.

Rasmda $y=f(x)$ funksiyaning grafigi va $x_0$ abscissasi bilan nuqtada chizilgan ushbu grafikga teginish ko'rsatilgan. $f(x)$ funksiyasi hosilasining $x_0$ nuqtasidagi qiymatini toping.

Grafikning tangensi ortadi, shuning uchun $f"(x_0) = tan a > 0$

$f"(x_0)$ ni topish uchun $Ox$ o'qining tangensi va musbat yo'nalishi orasidagi qiyalik burchagi tangensini topamiz. Buning uchun $ABC$ uchburchakka teginish quramiz.

$BAC$ burchak tangensini topamiz. (Tangensial o'tkir burchak V to'g'ri uchburchak qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati deyiladi.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Javob: $0,25$

Hosildan funktsiyaning ortish va kamayish oraliqlarini topish uchun ham foydalaniladi:

Agar intervalda $f"(x) > 0$ bo'lsa, u holda $f(x)$ funksiyasi bu oraliqda ortib bormoqda.

Agar $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Rasmda $y = f(x)$ funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. $x_1,x_2,x_3...x_7$ nuqtalar orasidan funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan nuqtalarni toping.

Bunga javoban ushbu nuqtalar sonini yozing.

Sergey Nikiforov

Agar funktsiyaning hosilasi oraliqda doimiy ishorali bo'lsa va funksiyaning o'zi uning chegaralarida uzluksiz bo'lsa, u holda chegara nuqtalari ortib boruvchi va kamayuvchi oraliqlarga qo'shiladi, bu esa o'sish va kamayuvchi funktsiyalarning ta'rifiga to'liq mos keladi.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Salom. Qanday qilib (qaysi asosda) hosila nolga teng bo'lgan nuqtada funktsiya kuchayadi deb aytish mumkin. Sabablarini keltiring. Aks holda, bu kimningdir injiqligi. Qaysi teorema bo'yicha? Va shuningdek, dalil. Rahmat.

Yordam stoli

Bir nuqtadagi hosilaning qiymati oraliq bo'yicha funktsiyaning ortishi bilan bevosita bog'liq emas. Masalan, funktsiyalarni ko'rib chiqing - ularning barchasi intervalgacha ortib bormoqda

Vladlen Pisarev 02.11.2016 22:21

Agar funktsiya (a;b) oralig'ida ortib borayotgan bo'lsa va a va b nuqtalarda aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, u oraliqda ortib bormoqda. Bular. x=2 nuqta bu intervalga kiritilgan.

Garchi, qoida tariqasida, o'sish va pasayish segmentda emas, balki intervalda ko'rib chiqiladi.

Lekin x=2 nuqtada funksiya mahalliy minimumga ega. Va bolalarga ular ortib borayotgan (kamayuvchi) ballarni qidirganda, keyin ballar ekanligini qanday tushuntirish kerak mahalliy ekstremal Biz hisoblamaymiz, lekin ular o'sish (kamayish) oraliqlariga kiradi.

Shuni hisobga olib, birinchi Yagona davlat imtihonining bir qismi"uchun" o'rta guruh bolalar bog'chasi", keyin, ehtimol, bunday nuances juda ko'p.

Alohida, barcha xodimlarga "Yagona davlat imtihonini yechish" uchun katta rahmat - bu ajoyib qo'llanma.

Sergey Nikiforov

Agar biz o'sish/kamayuvchi funksiya ta'rifidan boshlasak, oddiy tushuntirishni olish mumkin. Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu shunday eshitiladi: agar funktsiyaning kattaroq argumenti funktsiyaning kattaroq/kichik qiymatiga to'g'ri kelsa, funktsiya intervalda ortish/kamayish deyiladi. Ushbu ta'rifda hosila tushunchasidan hech qanday tarzda foydalanilmaydi, shuning uchun hosila yo'qolgan nuqtalar haqida savollar tug'ilishi mumkin emas.

Irina Ishmakova 20.11.2017 11:46

Hayrli kun. Bu erda sharhlarda men chegaralarni kiritish kerak degan e'tiqodlarni ko'raman. Aytaylik, men bunga qo'shilaman. Iltimos, 7089-muammoning yechimiga qarang. U yerda ortib borayotgan intervallarni belgilashda chegaralar kiritilmaydi. Va bu javobga ta'sir qiladi. Bular. 6429 va 7089-sonli vazifalarning yechimlari bir-biriga zid. Iltimos, ushbu holatga oydinlik kiriting.

Aleksandr Ivanov

6429 va 7089-topshiriqlar butunlay boshqacha savollarga ega.

Ulardan biri ortib borayotgan intervallar haqida, ikkinchisi esa ijobiy hosilali intervallar haqida.

Hech qanday qarama-qarshilik yo'q.

Ekstrema ortish va kamayish oraliqlariga kiradi, lekin hosila nolga teng bo'lgan nuqtalar hosila ijobiy bo'lgan intervallarga kiritilmaydi.

A Z 28.01.2019 19:09

Hamkasblar, bir nuqtada oshirish tushunchasi bor

(masalan, Fichtenholtzga qarang)

va x = 2 da o'sish haqidagi tushunchangiz klassik ta'rifga ziddir.

O'sish va kamayish - bu jarayon va men ushbu tamoyilga amal qilishni xohlayman.

X=2 nuqtasini o'z ichiga olgan har qanday oraliqda funktsiya o'smaydi. Shuning uchun inklyuziya berilgan nuqta x=2 - bu maxsus jarayon.

Odatda, chalkashmaslik uchun intervallarning uchlarini kiritish alohida muhokama qilinadi.

Aleksandr Ivanov

Agar bu oraliqdagi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos kelsa, y=f(x) funksiya ma’lum oraliqda ortib borayotgan deyiladi.

x=2 nuqtada funktsiya differentsiallanadi va (2; 6) oraliqda hosila musbat, ya'ni intervalda )