Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash formulasi. Vektorlar orasidagi burchakni aniqlash

Vektorlarning nuqta mahsuloti

Biz vektorlar bilan ishlashda davom etamiz. Birinchi darsda Dummies uchun vektorlar vektor tushunchasi, vektorlar bilan amallar, vektor koordinatalari va vektorlar bilan eng oddiy masalalarni ko'rib chiqdik. Agar siz ushbu sahifaga birinchi marta qidiruv tizimidan kelgan bo'lsangiz, yuqoridagilarni o'qishni tavsiya qilaman kirish maqolasi, chunki materialni o'zlashtirish uchun men foydalanadigan atamalar va belgilar bo'yicha harakat qilish, vektorlar haqida asosiy bilimga ega bo'lish va hal qila olish kerak. elementar vazifalar. Ushbu dars mavzuning mantiqiy davomi bo'lib, unda men vektorlarning skalyar mahsulotidan foydalanadigan tipik vazifalarni batafsil tahlil qilaman. Bu JUDA MUHIM ish.. Misollarni o'tkazib yubormaslikka harakat qiling, ular foydali bonus bilan birga keladi - amaliyot sizga o'tilgan materialni birlashtirishga va analitik geometriyaning umumiy muammolarini hal qilishda "qo'lingizni olishga" yordam beradi.

Vektorlarni qo'shish, vektorni raqamga ko'paytirish .... Matematiklar boshqa narsani o'ylab topmagan deb o'ylash soddalik bo'lardi. Ko'rib chiqilgan harakatlardan tashqari, vektorlar bilan bir qator boshqa operatsiyalar mavjud, xususan: vektorlarning nuqta mahsuloti, vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi va vektorlarning aralash mahsuloti. Vektorlarning skalyar mahsuloti bizga maktabdan tanish, qolgan ikkita mahsulot an'anaviy ravishda oliy matematika kursi bilan bog'liq. Mavzular sodda, ko'p muammolarni hal qilish algoritmi stereotip va tushunarli. Yagona narsa. Ma'lumotlarning munosib miqdori mavjud, shuning uchun hamma narsani va bir vaqtning o'zida o'zlashtirishga va hal qilishga harakat qilish istalmagan. Bu, ayniqsa, qo'g'irchoqlar uchun to'g'ri keladi, menga ishoning, muallif o'zini matematikadan Chikatilo kabi his qilishni mutlaqo istamaydi. Xo'sh, matematikadan emas, albatta, =) Ko'proq tayyor talabalar etishmayotgan bilimlarni "o'zlashtirish" uchun ma'lum ma'noda materiallardan tanlab foydalanishlari mumkin, siz uchun men zararsiz graf Drakula bo'laman =)

Nihoyat, keling, eshikni biroz ochib, ikkita vektor bir-biriga duch kelganida nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik….

Vektorlarning skalyar ko'paytmasining ta'rifi.
Skayar mahsulotning xossalari. Oddiy vazifalar

Nuqtali mahsulot tushunchasi

Avvalo haqida vektorlar orasidagi burchak. O'ylaymanki, hamma vektorlar orasidagi burchak nima ekanligini intuitiv ravishda tushunadi, lekin har holda, biroz ko'proq. Erkin nolga teng bo'lmagan vektorlarni va . Agar biz ushbu vektorlarni ixtiyoriy nuqtadan kechiktirsak, biz ko'pchilik allaqachon aqliy ravishda taqdim etgan rasmni olamiz:

Tan olaman, bu erda men vaziyatni faqat tushunish darajasida tasvirlab berdim. Agar sizga vektorlar orasidagi burchakning qat'iy ta'rifi kerak bo'lsa, iltimos, darslikka murojaat qiling, ammo amaliy vazifalar uchun biz, qoida tariqasida, bunga muhtoj emasmiz. Shuningdek, BU YERDA VA BOSHQARA, men ba'zan nol vektorlarni amaliy ahamiyati pastligi sababli e'tiborsiz qoldiraman. Men saytning ilg'or tashrif buyuruvchilari uchun maxsus buyurtma qildim, ular meni quyidagi bayonotlarning nazariy jihatdan to'liq emasligi uchun tanqid qilishlari mumkin.

0 dan 180 darajagacha (0 dan radiangacha) qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Analitik jihatdan bu fakt ikki tomonlama tengsizlik sifatida yoziladi:

yoki

(radianlarda).

Adabiyotda burchak belgisi ko'pincha o'tkazib yuboriladi va oddiygina yoziladi.

Ta'rifi: Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng RAQAMdir:

Endi bu juda qattiq ta'rif.

Biz asosiy ma'lumotlarga e'tibor qaratamiz:

Belgilash: skalyar mahsulot yoki oddiygina bilan belgilanadi.

Amaliyot natijasi NUMBER: Raqam olish uchun vektorni vektorga ko'paytiring. Haqiqatan ham, agar vektorlarning uzunliklari raqamlar bo'lsa, burchakning kosinusu son bo'lsa, ularning mahsuloti ham raqam bo'ladi.

Faqat bir nechta isitish misollari:

1-misol

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz . Ushbu holatda:

Javob:

Kosinus qiymatlarini topish mumkin trigonometrik jadval. Men uni chop etishni maslahat beraman - bu minoraning deyarli barcha bo'limlarida talab qilinadi va ko'p marta talab qilinadi.

Sof matematik nuqtai nazardan, skalyar mahsulot o'lchovsizdir, ya'ni natija, bu holda, shunchaki raqam va tamom. Fizika muammolari nuqtai nazaridan, skalyar mahsulot har doim ma'lum bir qiymatga ega jismoniy ma'no, ya'ni natijadan keyin u yoki bu jismoniy birlik ko'rsatilishi kerak. Kuchning ishini hisoblashning kanonik misolini har qanday darslikda topish mumkin (formula aniq nuqta mahsulotidir). Kuchning ishi Joulda o'lchanadi, shuning uchun javob juda aniq yoziladi, masalan,.

2-misol

Agar toping , vektorlar orasidagi burchak esa .

Bu misol uchun mustaqil qaror, javob dars oxirida.

Vektorlar orasidagi burchak va nuqta mahsulot qiymati

1-misolda skalyar ko'paytma musbat, 2-misolda esa manfiy bo'lib chiqdi. Keling, skalar ko'paytmaning belgisi nimaga bog'liqligini bilib olaylik. Keling, formulamizni ko'rib chiqaylik: . Nolga teng bo'lmagan vektorlarning uzunliklari har doim ijobiy bo'ladi: , shuning uchun belgi faqat kosinusning qiymatiga bog'liq bo'lishi mumkin.

Eslatma: Quyidagi ma'lumotlarni yaxshiroq tushunish uchun qo'llanmada kosinus grafigini o'rganish yaxshiroqdir Grafiklar va funksiya xossalari. Kosinus segmentda qanday harakat qilishini ko'ring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, vektorlar orasidagi burchak ichida farq qilishi mumkin , va quyidagi holatlar mumkin:

1) Agar in'ektsiya vektorlar orasida achchiq: (0 dan 90 darajagacha), keyin , va nuqta mahsuloti ijobiy bo'ladi hamkorlikda boshqargan, u holda ular orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi va skalyar ko'paytma ham ijobiy bo'ladi. dan boshlab, u holda formula soddalashtiriladi: .

2) Agar in'ektsiya vektorlar orasida to'mtoq: (90 dan 180 darajagacha), keyin , va shunga mos ravishda, nuqta mahsuloti manfiy: . Maxsus holat: vektorlar bo'lsa qarama-qarshi yo'naltirilgan, keyin ular orasidagi burchak hisobga olinadi joylashtirilgan: (180 daraja). Skayar mahsulot ham manfiy, chunki

Qarama-qarshi bayonotlar ham to'g'ri:

1) bo'lsa, bu vektorlar orasidagi burchak o'tkirdir. Shu bilan bir qatorda, vektorlar ko'p yo'nalishli.

2) bo'lsa, bu vektorlar orasidagi burchak to'g'ri burchakli bo'ladi. Shu bilan bir qatorda vektorlar qarama-qarshi yo'naltiriladi.

Ammo uchinchi holat alohida qiziqish uyg'otadi:

3) Agar in'ektsiya vektorlar orasida Streyt: (90 daraja) keyin va nuqta mahsuloti nolga teng: . Qarama-qarshilik ham to'g'ri: agar , keyin . Kompakt bayonot quyidagicha tuzilgan: Agar berilgan vektorlar ortogonal bo'lsa, ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'ladi. Qisqa matematik belgilar:

! Eslatma : takrorlang matematik mantiq asoslari: ikki tomonlama mantiqiy oqibat belgisi odatda "agar va faqat keyin", "agar va faqat agar" o'qiladi. Ko'rib turganingizdek, o'qlar ikkala yo'nalishda ham yo'naltirilgan - "bundan kelib chiqadi va aksincha - bundan kelib chiqadi". Aytgancha, bir tomonlama kuzatuv belgisidan qanday farq bor? Icon da'volar faqat shu"Bundan kelib chiqadiki", buning aksi haqiqat emas. Masalan: , lekin har bir hayvon pantera emas, shuning uchun bu holda ikonkadan foydalanib bo'lmaydi. Shu bilan birga, belgi o'rniga mumkin bir tomonlama belgidan foydalaning. Masalan, masalani yechishda vektorlar ortogonal degan xulosaga keldik: - bunday yozuv to'g'ri bo'ladi va undan ham ko'proq mos keladi .

Uchinchi holatda katta hajm mavjud amaliy ahamiyati , chunki u vektorlarning ortogonal yoki yo'qligini tekshirishga imkon beradi. Bu vazifa darsning ikkinchi qismida hal qilamiz.

Nuqta mahsulotining xususiyatlari

Keling, ikkita vektor bo'lgan vaziyatga qaytaylik hamkorlikda boshqargan. Bunda ular orasidagi burchak nolga teng, skalyar hosila formulasi quyidagi shaklni oladi: .

Agar vektor o'ziga ko'paytirilsa nima bo'ladi? Vektor o'zi bilan birgalikda yo'naltirilganligi aniq, shuning uchun biz yuqoridagi soddalashtirilgan formuladan foydalanamiz:

Raqam chaqiriladi skalyar kvadrat vektor, va sifatida belgilanadi.

Shunday qilib, vektorning skalyar kvadrati berilgan vektor uzunligining kvadratiga teng:

Ushbu tenglikdan vektor uzunligini hisoblash formulasini olishingiz mumkin:

Bu noaniq ko'rinadi, ammo darsning vazifalari hamma narsani o'z o'rniga qo'yadi. Muammolarni hal qilish uchun bizga ham kerak nuqta mahsulot xususiyatlari.

Ixtiyoriy vektorlar va har qanday son uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:

1) - almashtiriladigan yoki kommutativ skalyar mahsulot qonuni.

2) - tarqatish yoki tarqatuvchi skalyar mahsulot qonuni. Oddiy qilib aytganda, siz qavslarni ochishingiz mumkin.

3) - kombinatsiya yoki assotsiativ skalyar mahsulot qonuni. Konstantani skalyar mahsulotdan chiqarish mumkin.

Ko'pincha, barcha turdagi xususiyatlar (bu ham isbotlanishi kerak!) Talabalar tomonidan keraksiz axlat sifatida qabul qilinadi, ularni faqat imtihondan so'ng darhol eslab qolish va xavfsiz tarzda unutish kerak. Ko'rinishidan, bu erda muhim bo'lgan narsa, hamma birinchi sinfdan boshlab mahsulot omillarning almashinuvidan o'zgarmasligini biladi: Men sizni ogohlantirishim kerak, oliy matematikada bunday yondashuv bilan narsalarni chalkashtirib yuborish oson. Shunday qilib, masalan, kommutativ xususiyat uchun haqiqiy emas algebraik matritsalar. uchun haqiqiy emas vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasi. Shuning uchun, nima qilish mumkin va mumkin emasligini tushunish uchun hech bo'lmaganda oliy matematika kursida uchrashadigan har qanday xususiyatlarni o'rganish yaxshiroqdir.

3-misol

Yechim: Birinchidan, vektor bilan vaziyatni aniqlab olaylik. Bu nima haqida? va vektorlarining yig'indisi aniq belgilangan vektor bo'lib, u bilan belgilanadi. Vektorlar bilan harakatlarning geometrik talqinini maqolada topish mumkin Dummies uchun vektorlar. Vektorli bir xil maydanoz vektorlarning yig'indisi va .

Demak, shartga ko'ra, skalyar ko'paytmani topish talab qilinadi. Nazariy jihatdan, siz ishchi formulani qo'llashingiz kerak , lekin muammo shundaki, biz vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakni bilmaymiz. Ammo vaziyatda shunga o'xshash parametrlar vektorlar uchun berilgan, shuning uchun biz boshqa yo'ldan boramiz:

(1) vektorlarning ifodalarini almashtiramiz.

(2) Biz qavslarni polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra ochamiz, maqolada qo'pol tilni burish mumkin. Kompleks sonlar yoki Kasr-ratsional funktsiyani integrallash. Men o'zimni takrorlamayman =) Aytgancha, skalyar mahsulotning distributiv xususiyati qavslarni ochishga imkon beradi. Bizning huquqimiz bor.

(3) Birinchi va oxirgi shartlarda vektorlarning skalyar kvadratlarini ixcham yozamiz: . Ikkinchi hadda skalyar ko'paytmaning almashinish qobiliyatidan foydalanamiz: .

(4) Mana o'xshash atamalar: .

(5) Birinchi atamada biz yaqinda aytib o'tilgan skalyar kvadrat formulasidan foydalanamiz. Oxirgi muddatda, mos ravishda, xuddi shu narsa ishlaydi: . Ikkinchi muddat standart formulaga muvofiq kengaytiriladi .

(6) Ushbu shartlarni almashtiring , va yakuniy hisob-kitoblarni DIQQAT bilan bajaring.

Javob:

Salbiy ma'no nuqta ko'paytma vektorlar orasidagi burchakning to'g'ri bo'lmaganligini bildiradi.

Vazifa odatiy, bu erda mustaqil hal qilish uchun misol:

4-misol

Agar ma'lum bo'lsa, vektorlarning skalyar ko'paytmasini toping .

Endi yana bir umumiy vazifa yangi formula vektor uzunligi. Bu yerdagi belgilar bir-biriga mos tushadi, shuning uchun aniqlik uchun men uni boshqa harf bilan qayta yozaman:

5-misol

Agar vektor uzunligini toping .

Yechim quyidagicha bo'ladi:

(1) Biz vektor ifodasini beramiz.

(2) Biz uzunlik formulasidan foydalanamiz: , bizda "ve" vektori sifatida butun son ifodasi mavjud.

(3) Biz yig'indining kvadrati uchun maktab formulasidan foydalanamiz. Bu erda qanday qilib qiziq ishlayotganiga e'tibor bering: - aslida bu farqning kvadrati va aslida shunday. Istaganlar vektorlarni joylarda o'zgartirishlari mumkin: - atamalarni qayta tartibga solishgacha xuddi shunday bo'ldi.

(4) Keyingi ikkita oldingi muammodan allaqachon tanish.

Javob:

Biz uzunlik haqida gapirayotganimiz sababli, o'lchamni - "birliklar" ni ko'rsatishni unutmang.

6-misol

Agar vektor uzunligini toping .

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va dars oxirida javob.

Biz skaler mahsulotdan foydali narsalarni siqib chiqarishni davom ettiramiz. Keling, formulamizga yana qaraylik . Proportsional qoidaga ko'ra, vektorlarning uzunliklarini chap tomonning maxrajiga qaytaramiz:

Keling, qismlarni almashtiramiz:

Ushbu formulaning ma'nosi nima? Agar ikkita vektorning uzunliklari va ularning skalyar ko'paytmasi ma'lum bo'lsa, u holda bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusini va, demak, burchakning o'zini hisoblash mumkin.

Skayar mahsulot sonmi? Raqam. Vektor uzunliklari raqamlarmi? Raqamlar. Demak, kasr ham sondir. Va agar burchakning kosinusu ma'lum bo'lsa: , keyin foydalaning teskari funktsiya burchakning o'zini topish oson: .

7-misol

va vektorlari orasidagi burchakni toping, agar ma'lum bo'lsa.

Yechim: Biz formuladan foydalanamiz:

Hisob-kitoblarning yakuniy bosqichida biz foydalandik texnikasi– maxrajdagi mantiqsizlikni bartaraf etish. Mantiqsizlikni yo'q qilish uchun men son va maxrajni ga ko'paytirdim.

Shunday qilib, agar , keyin:

Teskari qiymatlar trigonometrik funktsiyalar tomonidan topish mumkin trigonometrik jadval. Garchi bu kamdan-kam hollarda bo'lsa ham. Analitik geometriya muammolarida ba'zi bir bema'ni ayiqlar ko'proq uchraydi va burchak qiymatini taxminan kalkulyator yordamida topish kerak. Aslida, biz bu rasmni qayta-qayta ko'ramiz.

Javob:

Shunga qaramay, o'lchamni - radian va darajani belgilashni unutmang. Shaxsan, ataylab "barcha savollarni olib tashlash" uchun men ikkalasini ham ko'rsatishni afzal ko'raman (agar, albatta, shart bo'yicha, javobni faqat radyanlarda yoki faqat darajalarda taqdim etish talab etilmasa).

Endi siz o'zingiz qiyinroq vazifani engishingiz mumkin bo'ladi:

7-misol*

Vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak berilgan. , vektorlar orasidagi burchakni toping.

Vazifa ko'p tomonlama kabi qiyin emas.
Keling, yechim algoritmini tahlil qilaylik:

1) Shartga ko'ra, va vektorlar orasidagi burchakni topish talab qilinadi, shuning uchun formuladan foydalanish kerak. .

2) Skalar mahsulotini topamiz (3, 4-misollarga qarang).

3) Vektor uzunligi va vektor uzunligini toping (5, 6-misollarga qarang).

4) Yechimning oxiri 7-misolga to'g'ri keladi - biz raqamni bilamiz , ya'ni burchakning o'zini topish oson:

Tez yechim va dars oxirida javob.

Darsning ikkinchi bo'limi xuddi shu nuqta mahsulotiga bag'ishlangan. Koordinatalar. Bu birinchi qismga qaraganda osonroq bo'ladi.

Vektorlarning nuqta mahsuloti,
ortonormal asosda koordinatalar bilan berilgan

Javob:

Aytishga hojat yo'q, koordinatalar bilan shug'ullanish ancha yoqimli.

14-misol

Vektorlarning skalyar mahsulotini toping va agar

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Bu erda siz operatsiyaning assotsiativligidan foydalanishingiz mumkin, ya'ni hisoblamang, lekin darhol skalyar ko'paytmadan uchlikni oling va oxirgi marta ko'paytiring. Dars oxirida yechim va javob.

Paragrafning oxirida vektor uzunligini hisoblashning provokatsion misoli:

15-misol

Vektorlarning uzunliklarini toping , agar

Yechim: yana oldingi bo'limning usuli o'zini taklif qiladi: lekin boshqa yo'l bor:

Vektorni topamiz:

Va uning uzunligi ahamiyatsiz formulaga muvofiq :

Skayar mahsulot bu erda umuman ahamiyatli emas!

Vektor uzunligini hisoblashda qanday qilib ishlamayapti:
STOP. Nega foydadan foydalanmaslik kerak aniq mulk vektor uzunligi? Vektor uzunligi haqida nima deyish mumkin? Bu vektor vektordan 5 marta uzun. Yo'nalish qarama-qarshidir, lekin bu muhim emas, chunki biz uzunlik haqida gapiramiz. Shubhasiz, vektorning uzunligi mahsulotga teng modul vektor uzunligi uchun raqamlar:
- modulning belgisi raqamning mumkin bo'lgan minusini "yeydi".

Shunday qilib:

Javob:

Koordinatalar bilan berilgan vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasi

endi bizda bor to'liq ma'lumot, shunday qilib vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari uchun ilgari olingan formula vektor koordinatalari bilan ifodalang:

Tekis vektorlar orasidagi burchakning kosinusu va ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:
.

Fazo vektorlari orasidagi burchakning kosinusu, ortonormal asosda berilgan, formula bilan ifodalanadi:

16-misol

Uchburchakning uchta uchi berilgan. Toping (cho'qqi burchagi ).

Yechim: Shartga ko'ra, rasm chizish shart emas, lekin baribir:

Kerakli burchak yashil yoy bilan belgilangan. Biz darhol burchakning maktab belgilanishini eslaymiz: - alohida e'tibor o'rtada harf - bu bizga kerak bo'lgan burchakning tepasi. Qisqasi, uni oddiygina yozish ham mumkin edi.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, uchburchakning burchagi vektorlar orasidagi burchakka to'g'ri keladi va boshqacha qilib aytganda: .

Aqliy jihatdan bajarilgan tahlilni qanday bajarishni o'rganish maqsadga muvofiqdir.

Vektorlarni topamiz:

Keling, skalyar mahsulotni hisoblaymiz:

Va vektorlarning uzunliklari:

Burchakning kosinusu:

Men qo'g'irchoqlarga topshiriqning shu tartibini tavsiya qilaman. Ilg'or o'quvchilar hisob-kitoblarni "bir qatorda" yozishlari mumkin:

Mana "yomon" kosinus qiymatiga misol. Olingan qiymat yakuniy emas, shuning uchun denominatordagi irratsionallikdan qutulishning ko'p ma'nosi yo'q.

Keling, burchakni topamiz:

Agar siz chizilgan rasmga qarasangiz, natija juda ishonchli. Burchakni tekshirish uchun transportyor bilan ham o'lchash mumkin. Monitor qoplamasiga zarar yetkazmang =)

Javob:

Javobda buni unutmang uchburchakning burchagi haqida so'radi(va vektorlar orasidagi burchak haqida emas), aniq javobni ko'rsatishni unutmang: va burchakning taxminiy qiymati: kalkulyator yordamida topiladi.

Jarayondan zavqlanganlar burchaklarni hisoblashlari va kanonik tenglikning to'g'riligiga ishonch hosil qilishlari mumkin

17-misol

Uchburchak fazoda uning uchlari koordinatalari bilan berilgan. va tomonlari orasidagi burchakni toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida

Kichik yakuniy bo'lim proektsiyalarga bag'ishlangan bo'lib, unda skalyar mahsulot ham "ishtirok" qilinadi:

Vektorning vektorga proyeksiyasi. Koordinata o'qlariga vektor proyeksiyasi.
Vektor yo'nalishi kosinuslari

Vektorlarni ko'rib chiqing va:

Biz vektorni vektorga proyeksiya qilamiz, buning uchun vektorning boshi va oxirini o'tkazib yuboramiz perpendikulyarlar vektor uchun (yashil nuqtali chiziqlar). Tasavvur qiling-a, yorug'lik nurlari vektorga perpendikulyar ravishda tushmoqda. Keyin segment (qizil chiziq) vektorning "soyasi" bo'ladi. Bunda vektorning vektorga proyeksiyasi segmentning UZUNLIGI dir. Ya'ni, PROKEKSIYON - SON.

Bu NUMBER quyidagicha belgilanadi: , "katta vektor" vektorni bildiradi QAYSI loyiha, "kichik pastki chiziq vektori" vektorni bildiradi USTIDA prognoz qilingan.

Kirishning o'zi shunday o'qiydi: "a" vektorining "be" vektoriga proyeksiyasi.

Agar "be" vektori "juda qisqa" bo'lsa nima bo'ladi? Biz "be" vektorini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq chizamiz. Va "a" vektori allaqachon proyeksiya qilinadi "bo'l" vektorining yo'nalishiga, oddiygina - "be" vektorini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqda. Xuddi shu narsa, agar "a" vektori o'ttizinchi shohlikda bir chetga surilgan bo'lsa, sodir bo'ladi - u baribir "be" vektorini o'z ichiga olgan chiziqqa osongina proyeksiyalanadi.

Agar burchak vektorlar orasida achchiq(rasmdagi kabi), keyin

Agar vektorlar ortogonal, keyin (proyeksiya - o'lchamlari nolga teng deb qabul qilingan nuqta).

Agar burchak vektorlar orasida to'mtoq(rasmda vektorning o'qini aqliy ravishda o'zgartiring), keyin (bir xil uzunlikdagi, lekin minus belgisi bilan olingan).

Ushbu vektorlarni bir nuqtadan chetga surib qo'ying:

Shubhasiz, vektor harakatlanayotganda uning proyeksiyasi o'zgarmaydi

Ikki vektor orasidagi burchak, :

Ikki vektor orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti musbat; agar vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi manfiy boʻladi. Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng.

Mashq qilish. vektorlar orasidagi burchakni toping

Yechim. Istalgan burchakning kosinusu

16. To'g'ri chiziqlar, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash

Chiziq va tekislik orasidagi burchak bu chiziqni kesishgan va unga perpendikulyar bo'lmagan chiziq va uning bu tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchakdir.

Chiziq va tekislik orasidagi burchakni aniqlash chiziq va tekislik orasidagi burchak ikki kesishuvchi chiziq orasidagi burchak: chiziqning o'zi va uning tekislikka proyeksiyasi degan xulosaga kelishimizga imkon beradi. Demak, chiziq va tekislik orasidagi burchak o'tkir burchakdir.

Perpendikulyar chiziq bilan tekislik orasidagi burchak teng, parallel chiziq bilan tekislik orasidagi burchak esa yo umuman aniqlanmagan yoki ga teng deb hisoblanadi.

§ 69. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikda bo'lgani kabi hal qilinadi (§ 32). Chiziqlar orasidagi burchakni ph bilan belgilang l 1 va l 2 , va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchak a va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar

ps 90° (206.6-rasm), keyin ph = 180° - ps. Ko'rinib turibdiki, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formula bo'yicha (1) § 20 bizda mavjud

shuning uchun,

Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin

Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi

Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.

17. Parallel chiziqlar, Parallel to'g'rilar haqida teoremalar

Ta'rif. Tekislikdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ularda umumiy fikrlar bo'lmasa.

Uch o'lchamdagi ikkita chiziq deyiladi parallel agar ular bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa.

Ikki vektor orasidagi burchak.

Nuqta mahsulotining ta'rifidan:

Ikki vektorning ortogonallik sharti:

Ikki vektor uchun kollinearlik sharti:

5 - ta'rifidan kelib chiqadi. Darhaqiqat, vektor mahsulotining raqam bilan ta'rifidan kelib chiqadi. Shuning uchun vektor tenglik qoidasiga asoslanib, , , , deb yozamiz . Lekin vektorni songa ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan vektor vektorga kollineardir.

Vektordan vektorga proyeksiya:

4-misol. Berilgan ballar , , , .

Skayar hosilani toping.

Yechim. vektorlarning koordinatalari bilan berilgan skalyar ko‘paytmasining formulasi orqali topamiz. Shu darajada

, ,

5-misol Berilgan ballar , , , .

Proyeksiyani toping.

Yechim. Shu darajada

, ,

Proyeksiya formulasiga asoslanib, biz bor

6-misol Berilgan ballar , , , .

va vektorlari orasidagi burchakni toping.

Yechim. E'tibor bering, vektorlar

, ,

Ularning koordinatalari proportsional bo'lmagani uchun kolinear emas:

Bu vektorlar ham perpendikulyar emas, chunki ularning nuqta mahsuloti .

Keling, topamiz,

In'ektsiya formuladan toping:

7-misol Qaysi vektorlar uchun ekanligini aniqlang va kollinear.

Yechim. Kollinearlik holatida vektorlarning mos keladigan koordinatalari va mutanosib bo'lishi kerak, ya'ni:

Bu yerdan va .

8-misol. Vektorning qaysi qiymatida aniqlang va perpendikulyar.

Yechim. Vektor va agar ularning nuqta mahsuloti nolga teng bo'lsa perpendikulyar. Ushbu shartdan biz quyidagilarni olamiz: . Anavi, .

9-misol. Toping , agar , , .

Yechim. Skayar mahsulotning xossalari tufayli bizda quyidagilar mavjud:

10-misol. va vektorlari orasidagi burchakni toping, bu erda va - birlik vektorlari va vektorlari orasidagi burchak va 120o ga teng.

Yechim. Bizda ... bor: , ,

Nihoyat bizda: .

5 B. vektor mahsuloti.

Ta'rif 21.vektor san'ati vektordan vektorga vektor deb ataladi yoki quyidagi uchta shart bilan aniqlanadi:

1) Vektorning moduli , bu erda vektorlar orasidagi burchak va , ya'ni. .

Bundan kelib chiqadiki, modul vektor mahsuloti son jihatdan vektorlarga va yon tomonlarga qurilgan parallelogrammning maydoniga teng.

2) vektor vektorlarning har biriga perpendikulyar va ( ; ), ya'ni. vektorlar ustida qurilgan parallelogramm tekisligiga perpendikulyar.

3) Vektor shunday yo'naltirilganki, agar uning oxiridan qaralsa, vektordan vektorga eng qisqa burilish soat miliga teskari bo'ladi ( , , vektorlari o'ng uchlikni hosil qiladi).

Vektorlar orasidagi burchaklarni qanday hisoblash mumkin?

Geometriyani o'rganishda vektorlar mavzusida ko'plab savollar tug'iladi. Talaba vektorlar orasidagi burchaklarni topish zarur bo'lganda alohida qiyinchiliklarga duch keladi.

Asosiy shartlar

Vektorlar orasidagi burchaklarni ko'rib chiqishdan oldin vektorning ta'rifi va vektorlar orasidagi burchak tushunchasi bilan tanishish kerak.

Vektor - yo'nalishi bo'lgan segment, ya'ni uning boshlanishi va oxiri aniqlangan segment.

Tekislikdagi ikkita vektor orasidagi burchakka ega umumiy boshlanish, burchaklarning eng kichigi deyiladi, uning miqdori bo'yicha vektorlardan birini atrofida harakatlantirish uchun talab qilinadi. umumiy nuqta, ularning yo'nalishlari mos kelguncha.

Yechim formulasi

Vektor nima ekanligini va uning burchagi qanday aniqlanishini tushunganingizdan so'ng, vektorlar orasidagi burchakni hisoblashingiz mumkin. Buning uchun yechim formulasi juda oddiy va uni qo'llash natijasi burchak kosinusining qiymati bo'ladi. Ta'rifga ko'ra, u vektorlarning skalyar ko'paytmasi va ularning uzunliklari ko'paytmasining qismiga teng.

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ko'paytiruvchi vektorlarning tegishli koordinatalarining bir-biriga ko'paytirilgan yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Vektorning uzunligi yoki uning moduli quyidagicha hisoblanadi Kvadrat ildiz uning koordinatalari kvadratlari yig'indisidan.

Burchakning kosinus qiymatini olgandan so'ng, siz burchakning o'zi qiymatini kalkulyator yordamida yoki yordamida hisoblashingiz mumkin. trigonometrik jadval.

Misol

Vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblashni aniqlaganingizdan so'ng, tegishli muammoni hal qilish oddiy va tushunarli bo'ladi. Misol tariqasida burchak kattaligini topishning oddiy masalasini ko'rib chiqing.

Avvalo, echish uchun zarur bo'lgan vektorlar uzunligi va ularning skalyar mahsulotini hisoblash qulayroq bo'ladi. Yuqoridagi tavsifdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlarni formulaga almashtirib, kerakli burchakning kosinus qiymatini hisoblaymiz:

Bu raqam beshta umumiy kosinus qiymatlaridan biri emas, shuning uchun burchak qiymatini olish uchun siz kalkulyator yoki Bradis trigonometrik jadvalidan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Ammo vektorlar orasidagi burchakni olishdan oldin, ortiqcha salbiy belgidan xalos bo'lish uchun formulani soddalashtirish mumkin:

Yakuniy javob aniqlikni saqlab qolish uchun ushbu shaklda qoldirilishi mumkin yoki burchakning qiymatini darajalarda hisoblashingiz mumkin. Bradis jadvaliga ko'ra, uning qiymati taxminan 116 daraja va 70 daqiqa bo'ladi va kalkulyator 116,57 daraja qiymatini ko'rsatadi.

n o'lchovli fazoda burchakni hisoblash

Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorni ko'rib chiqayotganda, agar ular bir tekislikda yotmasa, biz qaysi burchak haqida gapirayotganimizni tushunish ancha qiyin. Idrokni soddalashtirish uchun siz ular orasidagi eng kichik burchakni tashkil etuvchi ikkita kesishuvchi segmentni chizishingiz mumkin va u kerakli bo'ladi. Vektorda uchinchi koordinata mavjudligiga qaramay, vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblash jarayoni o'zgarmaydi. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va modullarini, ularning bo'linmasining arkkosinini hisoblang va bu masalaga javob bo'ladi.

Geometriyada muammolar ko'pincha uch o'lchamdan ortiq bo'lgan bo'shliqlar bilan yuzaga keladi. Ammo ular uchun javobni topish algoritmi o'xshash ko'rinadi.

0 va 180 daraja orasidagi farq

Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash uchun mo'ljallangan masalaga javob yozishda keng tarqalgan xatolardan biri bu vektorlar parallel ekanligini yozish qarori, ya'ni kerakli burchak 0 yoki 180 daraja bo'lib chiqdi. Bu javob noto'g'ri.

Yechim natijasida 0 graduslik burchak qiymatini olgandan so'ng, to'g'ri javob vektorlarni ko'proq yo'nalishli deb belgilash bo'ladi, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'ladi. 180 gradusni olishda vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'ladi.

Maxsus vektorlar

Vektorlar orasidagi burchaklarni topib, yuqorida tavsiflangan birgalikda va qarama-qarshi yo'naltirilganlardan tashqari, maxsus turlardan birini topish mumkin.

Bir tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlar koplanar deyiladi.
Uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan vektorlar teng deyiladi.
Yo‘nalishidan qat’iy nazar bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi.
Agar vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa, ya'ni uning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri kelsa, u nol, bitta bo'lsa, bitta deyiladi.

Vektorlar orasidagi burchakni qanday topish mumkin?

Iltimos yordam bering! Men formulani bilaman, lekin tushunolmayapman
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandr Titov

Ularning koordinatalari bilan berilgan vektorlar orasidagi burchak standart algoritmga muvofiq topiladi. Avval a va b vektorlarning skalyar ko'paytmasini topish kerak: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Bu erda biz ushbu vektorlarning koordinatalarini almashtiramiz va quyidagilarni hisobga olamiz:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Keyinchalik, vektorlarning har birining uzunligini aniqlaymiz. Vektorning uzunligi yoki moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizidir:
|a| = ildiz (x1^2 + y1^2 + z1^2) = ildiz (8^2 + 10^2 + 4^2) = ildiz (64 + 100 + 16) = 180 ning ildizi = 6 ta ildiz 5
|b| = kvadrat ildiz (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadrat ildiz (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadrat ildiz (25 + 400 + 100) ) = 525 tadan kvadrat ildiz = 21 tadan 5 ta ildiz.
Biz bu uzunliklarni ko'paytiramiz. Biz 105 tadan 30 ta ildiz olamiz.
Va nihoyat, vektorlarning skalyar mahsulotini ushbu vektorlarning uzunliklari ko'paytmasiga ajratamiz. Biz -200 / (105 dan 30 ta ildiz) yoki olamiz
- (105 ning 4 ta ildizi) / 63. Bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusu. Va burchakning o'zi bu raqamning yoy kosinusiga teng
f \u003d arccos (105 ning -4 ta ildizi) / 63.
Agar men to'g'ri hisoblagan bo'lsam.

Vektorlarning koordinatalaridan vektorlar orasidagi burchakning sinusini qanday hisoblash mumkin

Mixail Tkachev

Biz bu vektorlarni ko'paytiramiz. Ularning nuqta mahsuloti bu vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari mahsulotiga teng.
Burchak bizga noma'lum, lekin koordinatalari ma'lum.
Keling, buni matematik tarzda shunday yozamiz.
a(x1;y1) va b(x2;y2) vektorlari berilgan bo‘lsin.
Keyin

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Biz bahslashamiz.
vektorlarning a*b-skalyar ko‘paytmasi bu vektorlar koordinatalarining tegishli koordinatalari ko‘paytmalari yig‘indisiga teng, ya’ni x1*x2+y1*y2 ga teng.

|a|*|b|-vektor uzunliklarining mahsuloti √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) ga teng.

Demak, vektorlar orasidagi burchakning kosinusu:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Burchakning kosinusini bilib, uning sinusini hisoblashimiz mumkin. Keling, buni qanday qilishni muhokama qilaylik:

Agar burchakning kosinasi musbat bo'lsa, bu burchak 1 yoki 4 chorakda yotadi, shuning uchun uning sinusi ijobiy yoki manfiy bo'ladi. Ammo vektorlar orasidagi burchak 180 darajadan kichik yoki unga teng bo'lganligi sababli, uning sinusi ijobiydir. Kosinus manfiy bo'lsa, biz ham xuddi shunday bahslashamiz.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Bo'ldi)))) buni tushunishga omad)))

Dmitriy Levishchev

To'g'ridan-to'g'ri sinus qilish mumkin emasligi haqiqat emas.
Formulaga qo'shimcha ravishda:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Bu ham bor:
||=|a|*|b|*sin A
Ya'ni, skalyar mahsulot o'rniga siz vektor mahsulotining modulini olishingiz mumkin.

Matematik atamalarni bilish va tushunish algebra va geometriya kursining ko'plab muammolarini hal qilishda yordam beradi. Matematik xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan formulalarga bir xil darajada muhim rol beriladi.

Vektorlar orasidagi burchak - terminologiyani tushuntirish

Vektorlar orasidagi burchak ta'rifini shakllantirish uchun "vektor" atamasi nimani anglatishini aniqlash kerak. Bu kontseptsiya to'g'ri chiziqning boshlanishi, uzunligi va yo'nalishi bo'lgan kesimini tavsiflaydi. Agar sizning oldingizda bir xil nuqtadan kelib chiqqan ikkita yo'naltirilgan segment bo'lsa, ular burchak hosil qiladi.

Bu. "vektorlar orasidagi burchak" atamasi chiziqning ikkinchi yo'nalishli segmentining pozitsiyasini / yo'nalishini olishi uchun bitta yo'nalishli segmentni (boshlang'ich nuqtaga nisbatan) aylantirish kerak bo'lgan eng kichik burchakning daraja o'lchovini belgilaydi. Ushbu bayonot bir nuqtadan chiqadigan vektorlarga taalluqlidir.

Bir nuqtadan boshlangan to'g'ri chiziqning ikkita yo'naltirilgan kesimi orasidagi burchakning daraja o'lchovi 0 dan segmentga o'ralgan. º 180 gacha º. Bu qiymat ∠(ā,ū) - yo'naltirilgan ā va ū segmentlari orasidagi burchak sifatida belgilanadi.

Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash

To'g'ri chiziqning bir juft yo'naltirilgan qismlari hosil qilgan burchakning daraja o'lchovini hisoblash quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:

cosph = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ ph = arccos (cosph).

∠ph - berilgan ō va ā vektorlari orasidagi kerakli burchak,

(ō,ā) - chiziqning yo'naltirilgan qismlari skayarlarining ko'paytmasi,

|o|·|a| berilgan yo'naltirilgan segmentlar uzunliklarining ko'paytmasi.

To'g'ri chiziqning yo'naltirilgan kesimlarining skalyar ko'paytmasining ta'rifi

Ushbu formuladan qanday foydalanish va taqdim etilgan nisbatning hisoblagichi va maxrajining qiymatini qanday aniqlash mumkin?

Berilgan vektorlar joylashgan koordinatalar tizimiga (kartezian yoki uch o'lchovli fazo) qarab, har bir yo'naltirilgan segment quyidagi parametrlarga ega:

ō = { o x , o y ), ā = ( a x, a y ) yoki

ō = { o x , o y , o z ), ā = ( a x, a y , a z ).

Shuning uchun, hisoblagichning qiymatini - yo'naltirilgan segmentlar skayarini topish uchun quyidagi amallarni bajarish kerak:

(ō,ā) = ō * ā = o x * a x+ o y *a y , agar ko'rib chiqilayotgan vektorlar tekislikda yotsa

(ō,ā) = ō * ā = o x * a x+ o y *a y + o z* a z to'g'ri chiziqning yo'naltirilgan segmentlari fazoda joylashgan bo'lsa.

Vektor uzunliklarini aniqlash

Yo'naltirilgan segmentning uzunligi quyidagi iboralar yordamida hisoblanadi:

|ō| = √ o x 2 + o y 2 yoki |ō| = √ o x 2 + o y 2 + o z2

|a| = √ x2 + a y 2 yoki |a| = √ a x 2 + a y 2 + a z2

Bu. n o'lchovli o'lchovning umumiy holatida yo'naltirilgan segmentlar orasidagi burchakning daraja o'lchovini aniqlash uchun ifoda ō = ( o x , o y , … o n ) va ā = ( a x, a y , … a n) quyidagicha ko'rinadi:

ph = arccos(cosph) = arccos(( o x * a x+ o y *a y + … + o n* a n ) / (√ o x 2 + o y 2 + … + o n 2 * √ a x 2 + a y 2 + … + a n 2)).

Yo'naltirilgan segmentlar orasidagi burchakni hisoblash misoli

Shartga ko'ra ī = (3; 4; 0) va ū = (4; 4; 2) vektorlari berilgan. Nima bu daraja o'lchovi bu segmentlar hosil qilgan burchak?

ī va ū vektorlarining skalyarini belgilang. Buning uchun:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Keyin segmentlarning uzunligini hisoblang:

|i| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9 (3).

Kosinuslar (Bradis) qiymatlari jadvalidan foydalanib, kerakli burchakning qiymatini aniqlang:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Vektorlarning skalyar mahsuloti (bundan keyin qo'shma korxona matnida). Aziz do'stlar! Matematika imtihoniga vektorlarni yechish uchun bir qator masalalar kiradi. Biz allaqachon ba'zi muammolarni ko'rib chiqdik. Siz ularni "Vektorlar" toifasida ko'rishingiz mumkin. Umuman olganda, vektorlar nazariyasi oddiy, asosiysi uni izchil o'rganishdir. Vektorlar bilan hisob-kitoblar va operatsiyalar maktab kursi Matematika oddiy, formulalar murakkab emas. Ichiga qarash . Ushbu maqolada vektorlarning qo'shma korxonasi bo'yicha vazifalarni tahlil qilamiz (imtihonga kiritilgan). Endi nazariyaga "cho'milish":

H Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxiri koordinatalaridan ayirish kerakuning boshlanishining tegishli koordinatalari

Va yana:

*Vektor uzunligi (modul) quyidagicha aniqlanadi:

Bu formulalarni yod olish kerak!!!

Vektorlar orasidagi burchakni ko'rsatamiz:

0 dan 180 0 gacha o'zgarishi mumkinligi aniq(yoki 0 dan Pi gacha radianlarda).

Skayar ko'paytmaning belgisi haqida ba'zi xulosalar chiqarishimiz mumkin. Vektorlarning uzunliklari ijobiy, aniq. Demak, skalar mahsulotning belgisi vektorlar orasidagi burchakning kosinus qiymatiga bog'liq.

Mumkin holatlar:

1. Agar vektorlar orasidagi burchak keskin (0 0 dan 90 0 gacha) bo'lsa, u holda burchakning kosinusu ijobiy qiymatga ega bo'ladi.

2. Agar vektorlar orasidagi burchak o'tmas bo'lsa (90 0 dan 180 0 gacha), u holda burchakning kosinasi manfiy qiymatga ega bo'ladi.

*Nol gradusda, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'lganda, kosinus birga teng bo'ladi va shunga mos ravishda natija ijobiy bo'ladi.

180 o da, ya'ni vektorlar qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lsa, kosinus minus birga teng,va natija salbiy bo'ladi.

Endi MUHIM NOKTA!

90 o da, ya'ni vektorlar bir-biriga perpendikulyar bo'lganda, kosinus nolga teng, shuning uchun qo'shma korxona nolga teng. Bu fakt (natija, xulosa) biz gaplashayotgan ko'plab muammolarni hal qilishda qo'llaniladi nisbiy pozitsiya vektorlar, shu jumladan matematika bo'yicha ochiq topshiriqlar bankiga kiritilgan vazifalar.

Biz bayonotni shakllantiramiz: agar berilgan vektorlar perpendikulyar to'g'rilarda yotgan bo'lsa, skalyar mahsulot nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, SP vektorlari uchun formulalar:

Agar vektorlarning koordinatalari yoki ularning boshlanishi va oxiri nuqtalarining koordinatalari ma'lum bo'lsa, biz har doim vektorlar orasidagi burchakni topishimiz mumkin:

Vazifalarni ko'rib chiqing:

27724 a va b vektorlarning ichki mahsulotini toping.

Ikki formuladan biri yordamida vektorlarning skalyar mahsulotini topishimiz mumkin:

Vektorlar orasidagi burchak noma'lum, lekin biz vektorlarning koordinatalarini osongina topamiz va keyin birinchi formuladan foydalanamiz. Ikkala vektorning boshlanishi koordinata koordinatasiga to'g'ri kelganligi sababli, bu vektorlarning koordinatalari ularning uchlari koordinatalariga teng, ya'ni