Agar $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ sharti bajarilsa, $A^(-1)$ matritsasi $A$ kvadrat matritsasiga teskari deyiladi, Bu yerda $E $ - identifikatsiya matritsasi, uning tartibi $A$ matritsasining tartibiga teng.

Yagona bo'lmagan matritsa - bu determinanti nolga teng bo'lmagan matritsa. Shunga ko'ra, determinanti nolga teng bo'lgan yagona matritsadir.

$A^(-1)$ teskari matritsasi $A$ matritsasi yagona bo'lmagan taqdirdagina mavjud bo'ladi. Agar $A^(-1)$ teskari matritsasi mavjud boʻlsa, u yagona hisoblanadi.

Matritsaning teskarisini topishning bir necha usullari mavjud va biz ulardan ikkitasini ko'rib chiqamiz. Ushbu sahifada ko'pgina oliy matematika kurslarida standart hisoblangan qo'shma matritsa usuli muhokama qilinadi. Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usulidan foydalanishni o'z ichiga olgan teskari matritsani topishning ikkinchi usuli (elementar o'zgartirishlar usuli) ikkinchi qismda muhokama qilinadi.

Qo'shma matritsa usuli

$A_(n\times n)$ matritsasi berilsin. $A^(-1)$ teskari matritsasini topish uchun uchta qadam kerak:

1. $A$ matritsasining determinantini toping va $\Delta A\neq 0$, ya'ni. bu A matritsa yagona emas.
2. $A$ matritsasining har bir elementining $A_(ij)$ algebraik toʻldiruvchilarini tuzing va topilgan algebraikdan $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ matritsasini yozing. to‘ldiradi.
3. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasini hisobga olgan holda teskari matritsani yozing.

$(A^(*))^T$ matritsasi koʻpincha $A$ matritsasiga qoʻshimcha (oʻzaro, ittifoqdosh) deb ataladi.

Agar yechim qo'lda bajarilgan bo'lsa, unda birinchi usul faqat nisbatan kichik tartibli matritsalar uchun yaxshi bo'ladi: ikkinchi (), uchinchi (), to'rtinchi (). Yuqori tartibli matritsaning teskarisini topish uchun boshqa usullar qo'llaniladi. Masalan, ikkinchi qismda muhokama qilinadigan Gauss usuli.

Misol № 1

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 matritsasining teskarisini toping. & -9 & 0 \end(massiv) \o'ng)$.

To'rtinchi ustunning barcha elementlari nolga teng bo'lgani uchun $\Delta A=0$ (ya'ni $A$ matritsasi birlikdir). $\Delta A=0$ ekan, $A$ matritsasiga teskari matritsa yo'q.

Javob: $A^(-1)$ matritsasi mavjud emas.

Misol № 2

$A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiv)\right)$ matritsasining teskarisini toping. Tekshirishni amalga oshiring.

Biz qo'shma matritsa usulidan foydalanamiz. Avval berilgan $A$ matritsasining determinantini topamiz:

$$ \Delta A=\chap| \begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

$\Delta A \neq 0$ bo'lgani uchun teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz yechimni davom ettiramiz. Algebraik to‘ldiruvchilarni topish

\begin(hizalangan) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(hizalangan)

Biz algebraik qo'shimchalar matritsasini tuzamiz: $A^(*)=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(massiv)\right)$.

Olingan matritsani joyiga joylashtiramiz: $(A^(*))^T=\left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\right)$ (the Natijada paydo bo'lgan matritsa ko'pincha $A$ matritsasiga qo'shma yoki bog'langan matritsa deb ataladi. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasidan foydalanib, bizda:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\o'ng) $$

Shunday qilib, teskari matritsa topiladi: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv) )\o'ng) $. Natijaning haqiqatini tekshirish uchun tengliklardan birining haqiqatini tekshirish kifoya: $A^(-1)\cdot A=E$ yoki $A\cdot A^(-1)=E$. $A^(-1)\cdot A=E$ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun biz $A^(-1)$ matritsasini $\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 shaklida emas, balki almashtiramiz. & 5/103 \ end(massiv)\right)$ va shaklida $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(massiv)\o'ng)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( massiv)\o'ng)\cdot\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(massiv)\o'ng) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(massiv) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(massiv)\o'ng) =\left(\begin(massiv) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(massiv) )\o‘ng) =E $$

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(massiv)\oʻng)$.

Misol № 3

$A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \right)$ matritsasi uchun teskari matritsani toping. . Tekshirishni amalga oshiring.

Keling, $A$ matritsasining determinantini hisoblashdan boshlaylik. Demak, $A$ matritsasining determinanti:

$$ \Delta A=\chap| \begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \o'ng| = 18-36+56-12=26. $$

$\Delta A\neq 0$ bo'lgani uchun teskari matritsa mavjud, shuning uchun biz yechimni davom ettiramiz. Berilgan matritsaning har bir elementining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(massiv)\o'ng| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(massiv)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(massiv)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(massiv)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(massiv)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(massiv)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(massiv)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(massiv)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(massiv)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(massiv)\right|=37. \end(tekislangan) $$

Biz algebraik qo'shimchalar matritsasini tuzamiz va uni almashtiramiz:

$$ A^*=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(massiv) \o'ng); \; (A^*)^T=\left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \oʻng) . $$

$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 va 37\end(massiv) \o'ng)= \left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng) $$

Shunday qilib, $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$. Natijaning haqiqatini tekshirish uchun tengliklardan birining haqiqatini tekshirish kifoya: $A^(-1)\cdot A=E$ yoki $A\cdot A^(-1)=E$. $A\cdot A^(-1)=E$ tengligini tekshiramiz. Kasrlar bilan kamroq ishlash uchun $A^(-1)$ matritsasini $\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ shaklida emas, balki almashtiramiz. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$ va $\frac(1)(26) shaklida )\cdot \left( \begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \o'ng)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(massiv)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(massiv) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(massiv) \o'ng) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(massiv) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (massiv) \o'ng) =\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(massiv) \o'ng) =E $$

Tekshirish muvaffaqiyatli o'tdi, $A^(-1)$ teskari matritsasi to'g'ri topildi.

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(massiv) \o'ng)$.

Misol № 4

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 matritsasining teskari matritsasini toping. & 8 & -8 & -3 \end(massiv) \o'ng)$.

To'rtinchi tartibli matritsa uchun algebraik qo'shimchalar yordamida teskari matritsani topish biroz qiyin. Biroq, bunday misollar test hujjatlarida uchraydi.

Matritsaning teskarisini topish uchun birinchi navbatda $A$ matritsasining determinantini hisoblash kerak. Bunday vaziyatda buni qilishning eng yaxshi usuli determinantni qator (ustun) bo'ylab parchalashdir. Biz har qanday satr yoki ustunni tanlaymiz va tanlangan satr yoki ustunning har bir elementining algebraik to'ldiruvchilarini topamiz.

Masalan, birinchi qator uchun biz quyidagilarni olamiz:

$$ A_(11)=\left|\begin(massiv)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(massiv)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(massiv)\o'ng|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(massiv)\o'ng|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(massiv)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(massiv)\right|=-112. $$

$A$ matritsasining determinanti quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(hizalangan) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(tekislangan) $$

Algebraik toʻldiruvchilar matritsasi: $A^*=\left(\begin(massiv)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(massiv)\o'ng)$.

Qo'shimcha matritsa: $(A^*)^T=\left(\begin(massiv) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(massiv)\o'ng)$.

Teskari matritsa:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(massiv) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(massiv) \oʻng)= \left(\begin(massiv) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiv) \o'ng) $$

Agar so'ralsa, tekshirish avvalgi misollardagi kabi amalga oshirilishi mumkin.

Javob: $A^(-1)=\left(\begin(massiv) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(massiv) \o'ng) $.

Ikkinchi bo'limda biz Gauss usuli yoki Gauss-Jordan usulini o'zgartirishlardan foydalanishni o'z ichiga olgan teskari matritsani topishning boshqa usulini ko'rib chiqamiz.

Kvadrat matritsani ko'rib chiqing. Uning determinantini D = det A belgilaymiz. Agar ularning mahsuloti A * B = B * A = E bo'lsa, bir xil tartibdagi A kvadrat uchun B kvadrat (OM) dir, bu erda E - A va B bilan bir xil tartibdagi o'ziga xoslik matritsasi.

A kvadrati, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa, degenerativ bo'lmagan yoki yagona bo'lmagan, D = 0 bo'lsa, degenerativ yoki maxsus deyiladi.

Teorema. A ning teskari bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farq qilishi zarur va yetarli.

(OM) A, A -1 bilan belgilanadi, shuning uchun B = A -1 va formula bilan hisoblanadi

, (1)

bu yerda A i j a i j elementlarning algebraik to‘ldiruvchilari, D = detA.

Matritsalar uchun formula (1) yordamida A -1 ni hisoblash yuqori tartib juda ko'p mehnat talab qiladi, shuning uchun amalda elementar transformatsiyalar (ET) usuli yordamida A -1 ni topish qulay. Har qanday yagona bo'lmagan A ni faqat ustunlar (yoki faqat satrlar) yordamida E birligiga qisqartirish mumkin, agar A matritsasi ustidagi mukammal RaIlar E birligiga bir xil tartibda qo'llanilsa, natija A - bo'ladi. 1. A|E chizig'i orqali ikkalasini yonma-yon yozib, bir vaqtning o'zida A va E da EPni bajarish qulay. Agar siz A -1 ni topishingiz kerak bo'lsa, transformatsiya jarayonida faqat satrlardan yoki faqat ustunlardan foydalanishingiz kerak.

Algebraik qo‘shimchalar yordamida matritsaning teskarisini topish

1-misol. uchun A -1 ni toping.

Yechim. Avval determinant A ni topamiz
Bu (OM) mavjudligini anglatadi va biz uni formuladan foydalanib topishimiz mumkin: , bu yerda A i j (i,j=1,2,3) asl A ning a i j elementlarining algebraik qoʻshimchalari.

a ij elementning algebraik to'ldiruvchisi M ij ning determinanti yoki minoridir. U ustun i va j qatorni kesib tashlash orqali olinadi. Keyin minor (-1) i+j ga ko'paytiriladi, ya'ni. A ij =(-1) i+j M ij

qayerda .

Elementar transformatsiyalar yordamida teskari matritsani topish

2-misol. Elementar o'zgartirishlar usuli yordamida A -1 ni toping: A= .

Yechim. O'ngdagi asl A ga bir xil tartibdagi birlikni tayinlaymiz: . Ustunlarning elementar o'zgarishlaridan foydalanib, biz chap "yarim" ni bitta birlikka qisqartiramiz, shu bilan birga o'ng "yarim" da bir xil o'zgarishlarni amalga oshiramiz.
Buning uchun birinchi va ikkinchi ustunlarni almashtiring: ~. Uchinchi ustunga biz birinchi, ikkinchisiga esa -2 ga ko'paytiriladigan birinchi qo'shamiz: . Birinchi ustundan biz ikkinchisini ikki barobarga chiqaramiz, uchinchidan esa - ikkinchisini 6 ga ko'paytiramiz; . Birinchi va ikkinchi ustunga uchinchi ustunni qo'shamiz: . Oxirgi ustunni -1 ga ko'paytiring: . Vertikal chiziqning o'ng tomonida qabul qilinadi kvadrat stol A -1 ning teskarisi. Shunday qilib,
.

Teskari matritsa matritsa hisoblanadi A−1, berilgan boshlang'ich matritsaga ko'paytirilganda A identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi E:

AA −1 = A −1 A =E.

Teskari matritsa usuli.

Teskari matritsa usuli- bu matritsalarni yechishning eng keng tarqalgan usullaridan biri bo'lib, noma'lumlar soni tenglamalar soniga to'g'ri keladigan hollarda chiziqli algebraik tenglamalar (SLAE) tizimlarini echish uchun ishlatiladi.

Tizim bo'lsin n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

Bunday tizimni matritsali tenglama sifatida yozish mumkin A*X = B,

Qayerda
- tizim matritsasi,

- noma'lumlar ustuni,

- erkin koeffitsientlar ustuni.

Olingan matritsa tenglamasidan X ni chapdagi matritsa tenglamasining ikkala tomonini ga ko'paytirish orqali ifodalaymiz. A-1, natijada:

A -1 * A * X = A -1 * B

Buni bilish A -1 * A = E, Keyin E * X = A -1 * B yoki X = A -1 * B.

Keyingi qadam teskari matritsani aniqlashdir A-1 va bepul shartlar ustuniga ko'paytiriladi B.

Matritsadan matritsaga teskari A faqat qachon mavjud det A≠ 0 . Shularni hisobga olib, teskari matritsa usuli yordamida SLAE ni yechishda birinchi qadam topish kerak det A. Agar det A≠ 0 , u holda tizim faqat bitta yechimga ega, uni teskari matritsa usuli yordamida olish mumkin, lekin agar det A = 0, keyin bunday tizim teskari matritsa usuli hal qilib bo'lmaydi.

Teskari matritsani yechish.

uchun harakatlar ketma-ketligi teskari matritsali yechimlar:

1. Biz matritsaning determinantini olamiz A. Agar determinant noldan katta bo'lsa, matritsaning teskarisini yanada yechamiz, agar u nolga teng bo'lsa, bu erda teskari matritsani topa olmaymiz;
2. Transpoze qilingan matritsani topish AT.
3. Biz algebraik to'ldiruvchilarni qidiramiz, shundan so'ng matritsaning barcha elementlarini ularning algebraik to'ldiruvchisi bilan almashtiramiz.
4. Biz teskari matritsani algebraik qo'shimchalardan yig'amiz: natijada olingan matritsaning barcha elementlarini dastlab berilgan matritsaning determinantiga ajratamiz. Yakuniy matritsa asl matritsaga nisbatan talab qilinadigan teskari matritsa bo'ladi.

Algoritm ostida teskari matritsali yechimlar mohiyatan yuqoridagi bilan bir xil, farq faqat bir necha bosqichda bo'ladi: birinchi navbatda algebraik to'ldiruvchilarni aniqlaymiz, keyin esa ittifoq matritsasini hisoblaymiz. C.

1. Berilgan matritsa kvadrat ekanligini aniqlang. Agar javob salbiy bo'lsa, u uchun teskari matritsa bo'lishi mumkin emasligi aniq bo'ladi.
2. Berilgan matritsa kvadrat ekanligini aniqlang. Agar javob salbiy bo'lsa, u uchun teskari matritsa bo'lishi mumkin emasligi aniq bo'ladi.
3. Biz algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz.
4. Biz birlashma (o'zaro, qo'shma) matritsani tuzamiz C.
5. Biz teskari matritsani algebraik qo'shimchalardan tuzamiz: qo'shilgan matritsaning barcha elementlari C boshlang'ich matritsaning determinantiga bo'linadi. Yakuniy matritsa berilganga nisbatan talab qilinadigan teskari matritsa bo'ladi.
6. Bajarilgan ishni tekshiramiz: boshlang'ich va natijaviy matritsalarni ko'paytiramiz, natijada identifikatsiya matritsasi bo'lishi kerak.

Bu eng yaxshi biriktirilgan matritsa yordamida amalga oshiriladi.

Teorema: Agar biz o'ng tomondagi kvadrat matritsaga bir xil tartibli matritsani belgilab, satrlar bo'ylab elementar o'zgartirishlardan foydalanib, chapdagi boshlang'ich matritsani bir xillik matritsasiga aylantirsak, u holda o'ng tomonda olingan matritsa bo'ladi. boshlang'ichga teskari bo'ling.

Teskari matritsani topishga misol.

Mashq qilish. Matritsa uchun qo‘shma matritsa usuli yordamida teskarisini toping.

Yechim. Berilgan matritsaga qo'shing A o'ngda 2-tartibli identifikatsiya matritsasi:

1-qatordan 2-chi qatorni ayiramiz:

Ikkinchi qatordan birinchi 2 tasini ayiramiz:

n-tartibli kvadrat matritsa bo'lsin

A -1 matritsasi deyiladi teskari matritsa A matritsaga nisbatan, agar A*A -1 = E bo'lsa, bu erda E - n-tartibning o'ziga xos matritsasi.

Identifikatsiya matritsasi- shunday kvadrat matritsa, unda asosiy diagonal bo'ylab yuqori chap burchakdan pastki o'ng burchakka o'tadigan barcha elementlar bir, qolganlari esa nolga teng, masalan:

Teskari matritsa mavjud bo'lishi mumkin faqat uchun kvadrat matritsalar bular. satrlar va ustunlar soni mos keladigan matritsalar uchun.

Teskari matritsaning mavjudligi sharti uchun teorema

Matritsa teskari matritsaga ega bo'lishi uchun uning degenerativ bo'lmasligi zarur va etarli.

A = (A1, A2,...A n) matritsasi deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar ustun vektorlari chiziqli mustaqil bo'lsa. Matritsaning chiziqli mustaqil ustun vektorlari soni matritsaning darajasi deb ataladi. Shuning uchun biz teskari matritsa mavjud bo'lishi uchun matritsaning darajasi uning o'lchamiga teng bo'lishi zarur va etarli ekanligini aytishimiz mumkin, ya'ni. r = n.

Teskari matritsani topish algoritmi

1. Gauss usuli yordamida tenglamalar sistemasini yechish jadvaliga A matritsasini yozing va unga E matritsasini o‘ng tomondan (tenglamalarning o‘ng tomonlari o‘rniga) belgilang.
2. Jordan transformatsiyalaridan foydalanib, A matritsasini birlik ustunlaridan iborat matritsaga keltiring; bu holda, bir vaqtning o'zida E matritsasini o'zgartirish kerak.
3. Agar kerak bo'lsa, oxirgi jadvalning satrlarini (tenglamalarini) shunday o'zgartiringki, dastlabki jadvalning A matritsasi ostida siz E identifikatsiya matritsasini olasiz.
4. Dastlabki jadvalning E matritsasi ostidagi oxirgi jadvalda joylashgan A -1 teskari matritsasini yozing.

1-misol

A matritsa uchun A -1 teskari matritsani toping

Yechish: A matritsasini yozamiz va E matritsasini o‘ngga belgilaymiz, Jordan o‘zgarishlaridan foydalanib, A matritsani E matritsaga keltiramiz. Hisoblashlar 31.1-jadvalda keltirilgan.

Keling, hisob-kitoblarning to'g'riligini ko'paytirish orqali tekshiramiz original matritsa A va teskari matritsa A -1.

Matritsani ko'paytirish natijasida identifikatsiya matritsasi olingan. Shuning uchun hisob-kitoblar to'g'ri amalga oshirildi.

Javob:

Matritsali tenglamalarni yechish

Matritsali tenglamalar quyidagicha ko'rinishi mumkin:

AX = B, HA = B, AXB = C,

Bu erda A, B, C - belgilangan matritsalar, X - kerakli matritsa.

Matritsali tenglamalar tenglamani teskari matritsalarga ko‘paytirish yo‘li bilan yechiladi.

Masalan, tenglamadan matritsani topish uchun ushbu tenglamani chap tomonga ko'paytirish kerak.

Shuning uchun tenglamaning yechimini topish uchun teskari matritsani topish va uni tenglamaning o'ng tomonidagi matritsaga ko'paytirish kerak.

Boshqa tenglamalar ham xuddi shunday yechiladi.

2-misol

AX = B tenglamani yeching, agar

Yechim: Teskari matritsa teng bo'lgani uchun (1-misolga qarang)

Iqtisodiy tahlilda matritsa usuli

Boshqalar bilan bir qatorda ular ham qo'llaniladi matritsa usullari. Bu usullar chiziqli va vektor-matritsali algebraga asoslangan. Bunday usullar murakkab va ko'p o'lchovli iqtisodiy hodisalarni tahlil qilish maqsadlarida qo'llaniladi. Ko'pincha bu usullar kerak bo'lganda qo'llaniladi qiyosiy baholash tashkilotlar va ularning tarkibiy bo'linmalarining faoliyati.

Matritsali tahlil usullarini qo'llash jarayonida bir necha bosqichlarni ajratib ko'rsatish mumkin.

Birinchi bosqichda tizimi shakllantirilmoqda iqtisodiy ko'rsatkichlar va uning asosida manba ma'lumotlar matritsasi tuziladi, bu tizim raqamlari uning alohida qatorlarida ko'rsatilgan jadvaldir. (i = 1,2,.....,n), va vertikal ustunlarda - ko'rsatkichlar soni (j = 1,2,....,m).

Ikkinchi bosqichda Har bir vertikal ustun uchun mavjud indikator qiymatlarining eng kattasi aniqlanadi, u bitta sifatida olinadi.

Shundan so'ng, ushbu ustunda aks ettirilgan barcha summalar bo'linadi eng yuqori qiymat va standartlashtirilgan koeffitsientlar matritsasi tuziladi.

Uchinchi bosqichda Matritsaning barcha komponentlari kvadrat shaklida. Agar ular turli xil ahamiyatga ega bo'lsa, unda har bir matritsa ko'rsatkichiga ma'lum bir og'irlik koeffitsienti beriladi k. Ikkinchisining qiymati ekspert xulosasi bilan belgilanadi.

Oxirgisida, to'rtinchi bosqich reyting qiymatlari topildi Rj ortishi yoki kamayishi tartibiga ko‘ra guruhlanadi.

Belgilangan matritsa usullari, masalan, qachon qo'llanilishi kerak qiyosiy tahlil turli investitsiya loyihalari, shuningdek, tashkilotlarning boshqa iqtisodiy ko'rsatkichlarini baholashda.

Matritsalar bilan amallar haqida suhbatni davom ettiramiz. Ya'ni, ushbu ma'ruzani o'rganish davomida siz teskari matritsani qanday topishni o'rganasiz. O'rganing. Matematika qiyin bo'lsa ham.

Teskari matritsa nima? Bu erda biz teskari raqamlar bilan taqqoslashimiz mumkin: masalan, optimistik raqam 5 va uning teskari raqamini ko'rib chiqing. Bu sonlarning ko'paytmasi bittaga teng: . Matritsalar bilan hamma narsa o'xshash! Matritsa va uning teskari matritsasining mahsuloti - ga teng. identifikatsiya matritsasi, bu raqamli birlikning matritsa analogidir. Biroq, birinchi navbatda, birinchi navbatda, muhim amaliy masalani hal qilaylik, ya'ni bu juda teskari matritsani qanday topishni o'rganamiz.

Teskari matritsani topish uchun nimani bilishingiz va nima qila olishingiz kerak? Siz qaror qabul qila olishingiz kerak saralash. Bu nima ekanligini tushunishingiz kerak matritsa va ular bilan ba'zi harakatlarni bajara olish.

Teskari matritsani topishning ikkita asosiy usuli mavjud:
foydalanish orqali algebraik qo'shimchalar Va elementar transformatsiyalardan foydalanish.

Bugun biz birinchi, sodda usulni o'rganamiz.

Keling, eng dahshatli va tushunarsizidan boshlaylik. Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat matritsa. Teskari matritsani quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Matritsaning determinanti qayerda, matritsaning mos elementlarining algebraik to'ldiruvchilarining ko'chirilgan matritsasi.

Teskari matritsa tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud, matritsalar “ikkidan ikki”, “uchdan uch” va hokazo.

Belgilar: Siz allaqachon sezganingizdek, teskari matritsa yuqori chiziq bilan belgilanadi

Keling, eng oddiy holatdan boshlaylik - ikki-ikki matritsa. Ko'pincha, albatta, "uchdan uch" talab qilinadi, lekin shunga qaramay, men o'zlashtirish uchun oddiyroq vazifani o'rganishni tavsiya qilaman. umumiy tamoyil yechimlar.

Misol:

Matritsaning teskarisini toping

Keling, qaror qilaylik. Harakatlar ketma-ketligini nuqtama-nuqtaga ajratish qulay.

1) Avval matritsaning determinantini topamiz.

Agar ushbu harakatni tushunishingiz yaxshi bo'lmasa, materialni o'qing Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Muhim! Agar matritsaning determinanti teng bo'lsa NO- teskari matritsa MAVJUD YO'Q.

Ko'rib chiqilayotgan misolda, ma'lum bo'lishicha, hamma narsa tartibda ekanligini anglatadi.

2) Voyaga etmaganlar matritsasini toping.

Muammoni hal qilish uchun voyaga etmagan bola nima ekanligini bilish shart emas, ammo maqolani o'qish tavsiya etiladi. Determinantni qanday hisoblash mumkin.

Voyaga etmaganlar matritsasi matritsa bilan bir xil o'lchamlarga ega, ya'ni bu holda.
Faqat to'rtta raqamni topib, yulduzlar o'rniga qo'yish kerak.

Keling, matritsamizga qaytaylik
Keling, avval yuqori chap elementni ko'rib chiqaylik:

Uni qanday topish mumkin kichik?
Va bu shunday amalga oshiriladi: ushbu element joylashgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan raqam ushbu elementning kichik qismi, biz voyaga etmaganlar matritsasida yozamiz:

Quyidagi matritsa elementini ko'rib chiqing:

Ushbu element paydo bo'lgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan narsa bu elementning kichik qismi bo'lib, biz matritsamizda yozamiz:

Xuddi shunday, biz ikkinchi qatorning elementlarini ko'rib chiqamiz va ularning kichiklarini topamiz:


Tayyor.

Bu oddiy. Voyaga etmaganlar matritsasida sizga kerak BELGILARI O'ZGARTIRISh ikkita raqam:

Bu men aylantirgan raqamlar!

– matritsaning mos elementlarining algebraik qo‘shimchalari matritsasi.

Va shunchaki...

4) Algebraik qo‘shimchalarning ko‘chirilgan matritsasini toping.

– matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

5) Javob.

Keling, formulamizni eslaylik
Hammasi topildi!

Shunday qilib, teskari matritsa:

Javobni shunday qoldirgan ma'qul. KERAK EMAS matritsaning har bir elementini 2 ga bo'ling, chunki natija kasr sonlardir. Ushbu nuance xuddi shu maqolada batafsilroq muhokama qilinadi. Matritsalar bilan amallar.

Yechimni qanday tekshirish mumkin?

Matritsani ko'paytirishni bajarishingiz kerak yoki

Imtihon:

Yuqorida aytib o'tilgan qabul qilingan identifikatsiya matritsasi bo'yicha birlari bo'lgan matritsadir asosiy diagonali va boshqa joylarda nollar.

Shunday qilib, teskari matritsa to'g'ri topildi.

Agar siz harakatni amalga oshirsangiz, natijada identifikatsiya matritsasi ham bo'ladi. Bu matritsalarni ko'paytirish kommutativ bo'lgan bir nechta holatlardan biridir, batafsil ma'lumotni maqolada topishingiz mumkin. Matritsalar ustida amallarning xossalari. Matritsali ifodalar. Shuni ham yodda tutingki, tekshirish paytida doimiy (kasr) oldinga keltiriladi va eng oxirida - matritsani ko'paytirishdan keyin qayta ishlanadi. Bu standart texnika.

Keling, amaliyotda keng tarqalgan holatga o'tamiz - uch-uch matritsa:

Misol:

Matritsaning teskarisini toping

Algoritm "ikkidan ikkiga" ishi bilan mutlaqo bir xil.

Teskari matritsani quyidagi formula yordamida topamiz: , bu yerda matritsaning mos elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarining ko‘chirilgan matritsasi.

1) Matritsaning aniqlovchisini toping.

Bu erda determinant ochiladi birinchi qatorda.

Bundan tashqari, buni unutmang, demak, hamma narsa yaxshi - teskari matritsa mavjud.

2) Voyaga etmaganlar matritsasini toping.

Voyaga etmaganlar matritsasi "uchdan uch" o'lchamiga ega , va biz to'qqizta raqamni topishimiz kerak.

Men bir nechta voyaga etmagan bolalarni batafsil ko'rib chiqaman:

Quyidagi matritsa elementini ko'rib chiqing:

Ushbu element joylashgan qator va ustunni aqliy ravishda kesib tashlang:

Qolgan to'rtta raqamni "ikkidan ikkiga" determinantga yozamiz.

Bu ikki-ikki determinant va bu elementning kichik qismidir. Buni hisoblash kerak:


Mana, voyaga yetmaganlar topildi, biz buni voyaga etmaganlar matritsasiga yozamiz:

Siz taxmin qilganingizdek, siz to'qqizta ikkitadan ikkita aniqlovchini hisoblashingiz kerak. Jarayon, albatta, zerikarli, ammo ish eng og'ir emas, bundan ham battar bo'lishi mumkin.

Xo'sh, birlashtirish uchun - rasmlarda boshqa kichikni toping:

Qolgan voyaga etmaganlarni o'zingiz hisoblashga harakat qiling.

Yakuniy natija:
– matritsaning mos elementlarining minorlari matritsasi.

Voyaga etmaganlarning barchasi salbiy bo'lib chiqishi shunchaki baxtsiz hodisadir.

3) Algebraik qo‘shimchalar matritsasini toping.

Voyaga etmaganlar matritsasida bu zarur BELGILARI O'ZGARTIRISh qat'iy quyidagi elementlar uchun:

Ushbu holatda:

Biz "to'rtdan to'rtga" matritsa uchun teskari matritsani topishni ko'rib chiqmaymiz, chunki bunday vazifani faqat sadist o'qituvchi berishi mumkin (talaba uchun bitta "to'rtdan to'rt" determinantni va 16 ta "uchdan uch" determinantni hisoblashi mumkin. ). Mening amaliyotimda faqat bitta bunday holat va mijoz bor edi sinov ishi Mening azobim uchun juda qimmat to'ladim =).

Bir qator darslik va qo'llanmalarda siz teskari matritsani topish uchun biroz boshqacha yondashuvni topishingiz mumkin, ammo men yuqorida ko'rsatilgan yechim algoritmidan foydalanishni tavsiya qilaman. Nega? Chunki hisoblar va belgilarda chalkashib ketish ehtimoli ancha past.