Dekart-Eyler yechimi

O'zgartirishni amalga oshirib, biz quyidagi ko'rinishdagi tenglamani olamiz (u "to'liqsiz" deb ataladi):

y 4 + py 2 + qy + r = 0 .

Ildizlar y 1 , y 2 , y 3 , y Bunday tenglamaning 4 tasi quyidagi ifodalardan biriga teng:

belgilar kombinatsiyasi quyidagi munosabat qanoatlantiriladigan tarzda tanlanadi:

,

va z 1 , z 2 va z 3 - ildiz kub tenglama

Ferrari yechimi

Asosiy maqola: Ferrari usuli

To'rtinchi darajali tenglamani quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz:

Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E = 0,

Uning yechimini quyidagi ifodalardan topish mumkin:

agar b = 0 bo'lsa, yechish u 4 + a u 2 + g = 0 va almashtirishni amalga oshirish , ildizlarini topamiz: . , (har qanday belgi kvadrat ildiz qiladi), (uchta murakkab ildiz, ulardan biri bajaradi) Ikki ± s bir xil belgiga ega bo'lishi kerak, ± t - mustaqil. Barcha ildizlarni topish uchun imzolangan birikmalar uchun ± s ,± t = +,+ uchun +,− uchun −,+ uchun −,− uchun x ni topish kerak. Qo'sh ildizlar ikki marta, uch ildiz uch marta va to'rtlamchi ildizlar to'rt marta paydo bo'ladi. Ildizlarning tartibi qaysi kub ildiziga bog'liq U tanlangan.

Shuningdek qarang

• 4-darajali tenglamalarning oson echiladigan turlari: Bikvadrat tenglama, to'rtinchi darajali o'zaro tenglama

Adabiyot

• Korn G., Korn T. (1974) Matematika bo'yicha qo'llanma.

Havolalar

• Ferrari qarori

Wikimedia fondi.

2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "to'rtinchi darajali tenglama" nima ekanligini ko'ring: to'rtinchi darajali tenglama - - [L.G. Sumenko. Axborot texnologiyalari bo'yicha inglizcha-ruscha lug'at. M.: TsNIIS davlat korxonasi, 2003.] Mavzular axborot texnologiyalari umumiy EN kvart tenglamasi ...

Texnik tarjimon uchun qo'llanma

To‘rtta ildiz va uchta kritik nuqtali 4-darajali ko‘phadning grafigi. Matematikadagi to'rtinchi darajali tenglama bu shakldagi algebraik tenglamadir: Algebraik tenglamalar uchun to'rtinchi daraja eng yuqori ... ... Vikipediya

Anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 ko‘rinishdagi tenglama, agar uning simmetrik pozitsiyalardagi koeffitsientlari teng bo‘lsa, ya’ni an – k = ak bo‘lsa, k = 0 bo‘lsa, o‘zaro tenglama deyiladi. 1, ..., n. Mundarija 1 To'rtinchi darajali tenglama ... Vikipediya Unda noma'lum atama to'rtinchi darajaga to'g'ri keladi. To'liq lug'at xorijiy so'zlar , rus tilida foydalanishga kirgan. Popov M., 1907. latdan BIQUADRAAT TENGLAMA. bis, ikki marta va kvadrat, kvadrat. Eng katta darajali tenglama......

Arifmetika bilan birga sonlar va raqamlar orqali umumiy miqdorlar haqidagi fan mavjud. Hech qanday aniq, aniq miqdorlarning xususiyatlarini o'rganmasdan, bu fanlarning ikkalasi ham mavhum miqdorlarning xususiyatlarini o'rganadi ... ... Ensiklopedik lug'at F. Brokxaus va I.A. Efron

Aviatsiya muhandislariga yangi samolyot yaratish uchun aerodinamika, kuch muammolari, dvigatellar qurilishi va samolyotlarning parvoz dinamikasi (ya'ni nazariya) sohasida o'rganish imkonini beradigan amaliy bilimlar to'plami. samolyot yoki yaxshilash...... Collier ensiklopediyasi

Eng qadimgi matematik faoliyat sanash edi. Chorvachilik hisobini yuritish va savdoni yuritish uchun hisob zarur edi. Ayrim ibtidoiy qabilalar predmetlar sonini tananing turli qismlari bilan moslashtirib sanagan, asosan... ... Collier ensiklopediyasi

Davr va mintaqa boʻyicha texnologiya tarixi: neolit ​​inqilobi Qadimgi Misr texnologiyalari Fan va texnologiya qadimgi Hindiston Fan va texnologiya qadimgi Xitoy Texnologiyalar Qadimgi Gretsiya Texnologiyalar Qadimgi Rim Islom olami texnologiyalari... ... Vikipediya

Tenglama ikki algebraik ifodaning tengligini ifodalovchi matematik munosabatdir. Agar tenglik unga kiritilgan noma'lumlarning har qanday ruxsat etilgan qiymatlari uchun to'g'ri bo'lsa, u identifikatsiya deb ataladi; masalan, shakl nisbati... ... Collier ensiklopediyasi

Abel Ruffini teoremasida aytilishicha, umumiy quvvat tenglamasi radikallarda yechilmaydi. Mundarija 1 Tafsilotlar... Vikipediya

Umumiy holda, to'rtinchi darajali tenglamani echish uchun tenglamalarni yechish usullari yordamida amalga oshiriladi yuqori darajalar, masalan, Ferrari usuli yoki Horner sxemasidan foydalangan holda. Ammo ba'zi 4-darajali tenglamalar oddiyroq echimga ega.

To'rtinchi darajali tenglamalarning bir nechta maxsus turlari mavjud, ularni yechish usullari quyida o'rganiladi:

• Bikvadrat tenglama $ax^4+bx^2+c=0$;
• $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ koʻrinishdagi oʻzaro tenglamalar;
• $ax^4+b=0$ koʻrinishdagi tenglamalar.

To'rtinchi darajali bikvadrat tenglamalarni yechish

$ax^4+bx^2+c=0$ bikvadrat tenglamalar $x^2$ oʻzgaruvchisini yangisi bilan almashtirib, kvadrat tenglamaga keltiriladi, masalan, $y$. O'zgartirilgandan so'ng, yangi hosil bo'lgan tenglama yechiladi va keyin topilgan o'zgaruvchining qiymati $x^2=y$ tenglamasiga almashtiriladi. Yechim natijasi $x^2=y$ tenglamaning ildizlari bo'ladi.

1-misol

$x(x-1)(x-2)(x-3)=24$ tenglamani yeching:

Polinomdagi qavslarni kengaytiramiz:

$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$

Bu shaklda biz $y=x^2-3x$ ifodasini yangi oʻzgaruvchi sifatida tanlashimiz mumkinligi ayon boʻladi:

$y\cdot (y+2)=24$

Endi $x^2-3x=-4$ va $x^2-3x=-6$ ikkita kvadrat tenglamani yechamiz.

Birinchi tenglamaning ildizlari $x_1(1,2)=4;-1$, ikkinchisining yechimlari yo'q.

4-darajali o'zaro tenglamalarni yechish

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ koʻrinishdagi bu tenglamalar oʻz koeffitsientlari bilan pastki tartibli shartlar uchun yuqori darajali koʻphadlar uchun koeffitsientlarni takrorlaydi. Bunday tenglamani yechish uchun avval uni $x^2$ ga bo'ling:

$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$

$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$

$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$

Keyin $(x+\frac(1)(x))$ ni yangi oʻzgaruvchi bilan almashtiring, soʻngra $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, almashtirishdan keyin biz olamiz quyidagi kvadrat tenglama:

$a(y^2-2)+by+c=0$

Shundan so'ng $x+\frac(1)(x)=y_1$ va $x+\frac(1)(x)=y_2$ tenglamalarining ildizlarini qidiramiz.

Xuddi shunday usul $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ koʻrinishdagi oʻzaro tenglamalarni yechishda qoʻllaniladi.

2-misol

Tenglamani yeching:

$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$

Bu tenglama $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ koʻrinishdagi oʻzaro tenglamadir. Shuning uchun biz butun tenglamani $x^2$ ga bo'lamiz:

$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$

$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$

$x+\frac(2)(x)$ ifodasini almashtiramiz: $3(y^2-4)-2y-9=0$

Bu tenglamaning ildizlarini hisoblab chiqamiz, ular $y_1=3$ va $y_2=-\frac(7)(3)$ ga teng.

Shunga ko'ra, endi $x+\frac(2)(x)=3$ va $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ ikkita tenglamani yechish kerak. Birinchi tenglamaning yechimi $x_1=1, x_2=2$, ikkinchi tenglamaning ildizlari yo'q.

Demak, dastlabki tenglamaning ildizlari $x_1=1, x_2=2$.

$ax^4+b=0$ koʻrinishdagi tenglamalar

Ushbu turdagi tenglamaning ildizlari qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida topiladi.

To'rtinchi darajali tenglamalar uchun bularning barchasi qo'llaniladi umumiy sxemalar oldingi materialda ko'rib chiqqan yuqori darajadagi tenglamalarni echish. Biroq binomial, bikvadrat va o‘zaro tenglamalarni yechishda bir qancha nuanslar mavjud bo‘lib, ular haqida batafsil to‘xtalib o‘tmoqchimiz.

Shuningdek, maqolada ko'phadni faktorlarga ajratish, radikallarda yechishning sun'iy usuli va to'rtinchi darajali tenglamaning yechimini kub tenglamaga keltirishda qo'llaniladigan Ferrari usulini tahlil qilamiz.

To'rtinchi darajali binomial tenglamaning yechimi

Bu eng oddiy turi to'rtinchi darajali tenglamalar. Tenglama A x 4 + B = 0 shaklida yoziladi.

Ta'rif 1

Ushbu turdagi tenglamalarni echish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

Kvadrat trinomlarning ildizlarini topishgina qoladi.

1-misol

4 x 4 + 1 = 0 to'rtinchi darajali tenglamani yeching.

Yechim

Birinchidan, 4 x 4 + 1 polinomini omillarga ajratamiz:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

Endi kvadrat trinomlarning ildizlarini topamiz.

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2 - i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i

Biz to'rtta murakkab ildiz oldik.

Javob: x = 1 2 ± i va x = - 1 2 ± i.

To'rtinchi darajali takroriy tenglamaning yechimi

Ta'rif 2

To'rtinchi tartibli o'zaro tenglamalar A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

x = 0 bu tenglamaning ildizi emas: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0. Shunday qilib, biz ushbu tenglamaning ikkala tomonini xavfsiz tarzda x 2 ga bo'lishimiz mumkin:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

X + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2 o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz:

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A y 2 + B y + C - 2 A = 0

Shunday qilib, biz to'rtinchi darajali o'zaro tenglamani kvadrat tenglamaga keltiramiz.

2-misol

Hammasini toping murakkab ildizlar tenglamalar 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0.

Yechim

Koeffitsientlarning simmetriyasi biz to'rtinchi darajali o'zaro tenglama bilan ishlayotganimizni aytadi. Keling, ikkala tomonni x 2 ga ajratamiz:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

Keling, guruhlashamiz:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

X + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2 o‘zgaruvchisini almashtiramiz.

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 y 2 - 2 + 2 3 + 2 y + 4 + 6 = 0 2 y 2 + 2 3 + 2 y + 6 = 0

Olingan kvadrat tenglamani yechamiz:

D = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 y 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 y 2 = - 2 3 - 2 - D 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

Keling, almashtirishga qaytaylik: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

Birinchi tenglamani yechamiz:

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 - i 14 4

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - D 2 = - 3 2 - i 1 2

Javob: x = - 2 4 ± i · 14 4 va x = - 3 2 ± i · 1 2.

Bikvadrat tenglamani yechish

To'rtinchi darajali bikvadrat tenglamalar A x 4 + B x 2 + C = 0 ko'rinishga ega. Bunday tenglamani y = x 2 ni qo'yish orqali A y 2 + B y + C = 0 kvadrat tenglamaga keltirishimiz mumkin. Bu standart texnika.

3-misol

2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0 bikvadrat tenglamani yeching.

Yechim

Keling, y = x 2 o'zgaruvchisini almashtiramiz, bu bizga dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga kamaytirish imkonini beradi:

2 y 2 + 5 y - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 y 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 y 2 = - 5 - D 2 2 = - 5 - 7 4 = - 3

Demak, x 2 = 1 2 yoki x 2 = - 3.

Birinchi tenglik bizga x = ± 1 2 ildizni olish imkonini beradi. Ikkinchi tenglikning haqiqiy ildizlari yo'q, lekin u x = ± i · 3 murakkab konjugat ildizlariga ega.

Javob: x = ± 1 2 va x = ± i · 3.

4-misol

16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0 bikvadrat tenglamaning barcha kompleks ildizlarini toping.

Yechim

Dastlabki bikvadrat tenglamani kvadratik tenglamaga kamaytirish uchun y = x 2 almashtirish usulidan foydalanamiz:

16 y 2 + 145 y + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 y 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 y 2 = - 145 - D 2 · 1 - 145 - 143 32 = - 9

Shuning uchun o'zgaruvchining o'zgarishi tufayli x 2 = - 1 16 yoki x 2 = - 9.

Javob: x 1, 2 = ± 1 4 · i, x 3, 4 = ± 3 · i.

Ratsional ildizli kvart tenglamalarni yechish

To'rtinchi darajali tenglamaning ratsional ildizlarini topish algoritmi "Yuqori darajali tenglamalarni echish" materialida keltirilgan.

To'rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usuli yordamida yechish

X 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 ko'rinishdagi to'rtlamchi tenglamalar odatda Ferrari usuli yordamida echilishi mumkin. Buning uchun siz y 0 ni topishingiz kerak. Bu y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 kub tenglamaning har qanday ildizidir. Shundan so'ng ikkita kvadrat tenglamani yechish kerak x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0, uning radikal ifodasi mukammal kvadratdir.

Hisob-kitoblar paytida olingan ildizlar to'rtinchi darajali dastlabki tenglamaning ildizlari bo'ladi.

5-misol

x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechim

Bizda A = 3, B = 3, C = - 1, D = - 6. Ushbu tenglamani yechish uchun Ferrari usulini qo'llaymiz.

Keling, kub tenglamani tuzamiz va yechamiz:
y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

Kub tenglamaning ildizlaridan biri y 0 = 1 bo'ladi, chunki 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0.

Keling, ikkita kvadrat tenglamani yozamiz:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 yoki x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 yoki x 2 + x - 2 = 0

Birinchi tenglamaning ildizlari x = - 1 ± i · 2, ikkinchisining ildizlari x = 1 va x = - 2 bo'ladi.

Javob: x 1, 2 = - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun veb-saytimizning youtube kanaliga o'ting.

Birinchidan, kuchlarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta uchraydi, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar - bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asosi sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki ko'rsatkich.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bu misolni hatto boshingizda ham hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qarorni qanday rasmiylashtirishni ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Bunday tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, ikki) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi qarorimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak bir xil tenglamaning o'ng va chapda asoslari bormi. Agar sabablar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo‘lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:

Keling, oddiy narsadan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama olinadi.
x=4 – 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin: 3 va 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Birinchidan, to'qqiztasini o'ng tomonga siljiting, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=32 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x = (3 2) x+8

Biz 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 ni olamiz

3 3x = 3 2x+16 Endi chap va o'ng tomonlarda asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq bo'ldi, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani olamiz
3x - 2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Avvalo, biz tayanchlarga qaraymiz, ikkita va to'rtinchi bazalar. Va biz ular bir xil bo'lishi kerak. Biz to'rtlikni (a n) m = a nm formulasidan foydalanib o'zgartiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizni bezovta qiladi, ular bilan nima qilish kerak? Agar siz diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda bizda 2 2 marta takrorlanganligini ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2 marta qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

Tasavvur qilaylik 4=2 2:

2 2x = 2 2 asoslar bir xil, biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtiramiz.
2x = 2 eng oddiy tenglamadir. Uni 2 ga bo'ling va biz olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x – 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bizning asoslarimiz bir xil, uchga teng, bu misolda siz birinchi uchtasi ikkinchisiga (faqat x) nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligini ko'rishingiz mumkin. Bunday holda, siz hal qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Raqamni eng kichik daraja bilan almashtiramiz:

Keyin 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Tenglamadagi barcha x kuchlarni t bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t+27 = 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali yechish orqali biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

O'zgaruvchiga qaytish x.

t 1 ni oling:
t 1 = 9 = 3 x

Shuning uchun,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 = 2; x 2 = 1.

Veb-saytda siz o'zingizni qiziqtirgan savollaringizni QAROR QILIShga yordam berish bo'limida berishingiz mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Kardano kub tenglamalarni yechish usulini e'lon qilganidan ko'p o'tmay, uning shogirdlari va izdoshlari to'rtinchi darajali umumiy tenglamani kub tenglamaga qisqartirish yo'llarini topdilar. Keling, L. Ferrariga tegishli bo'lgan eng oddiy usulni taqdim etamiz.

Usulni taqdim etishda siz quyidagi elementar lemmadan foydalanishingiz kerak bo'ladi.

Lemma. Qilish uchun kvadratik trinomial chiziqli binomning kvadrati edi, uning diskriminanti nolga teng bo'lishi zarur va etarli.

Isbot. Zaruriyat. Mayli. Keyin etarlilik. Unda ruxsat bering

Taqdim etilgan usulning g'oyasi tenglamaning chap tomonini ikkita kvadratning farqi sifatida ko'rsatishdir. Keyin uni ikkinchi darajali ikkita omilga ajratish mumkin va tenglamaning echimi ikkitaning echimiga olib keladi. kvadrat tenglamalar. Maqsadga erishish uchun chap tomonni quyidagi shaklda ifodalaymiz:

Bu yerda y yordamchi noma’lum bo‘lib, u kvadrat qavs ichidagi ifoda chiziqli binomialning kvadrati bo‘lib chiqishi uchun tanlanishi kerak. Lemmaga ko'ra, buning uchun shartni qondirish zarur va etarli

Bu shart y ga nisbatan uchinchi darajali tenglamadir. Qavslar ochilgandan so'ng, u shaklga o'tkaziladi

Bu tenglamaning ildizlaridan biri bo'lsin. Shunda shart qondiriladi, shuning uchun u o'zini tutadi

ba'zi uchun k va I. Dastlabki tenglama shaklni oladi

Komillarning har birini nolga tenglashtirib, biz asl tenglamaning to'rtta ildizini topamiz.

Keling, yana bir izoh beraylik. Birinchi omilning ildizlari bo'lsin va ikkinchisining ildizlari bo'lsin. Keyin, bu tengliklarni qo'shib, biz buni olamiz

Shunday qilib, biz yordamchi kubik tenglamaning ildizi uchun to'rtinchi darajali dastlabki tenglamaning ildizlari bo'yicha ifodani oldik.

Misol. Tenglamani yeching. Yuqorida ko'rsatilgan usul bo'yicha biz chap tomonni o'zgartiramiz:

Endi qo'yaylik. Shakllanishdan keyin biz tenglamani olamiz

Bu tenglamaning ildizlaridan biri raqam ekanligini ko'rish oson. Uni asl tenglamaning o'zgartirilgan chap tomoniga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Omillarni nolga tenglashtirib, biz olamiz

To'rtinchi darajadan yuqori tenglamalarga kelsak, nisbatan ma'lum bir shakldagi tenglamalarning ba'zi sinflari ma'lum edi. algebraik yechimlar radikallarda, ya'ni arifmetik amallar natijalari va ildizni ajratib olish harakati shaklida. Biroq, yechimni ta'minlashga urinishlar umumiy tenglamalar beshinchi va undan yuqori darajalar, nihoyat, 19-asr boshlariga qadar muvaffaqiyatsiz bo'ldi. Ruffini va Abel to'rtinchi darajadan yuqori bo'lgan umumiy tenglamalar uchun bunday turdagi yechimning mumkin emasligini isbotlamadi. Nihoyat, 1830 yilda ajoyib frantsuz matematigi E. Galua zarur va etarli sharoitlar Radikallarda eruvchanligi uchun (juda qiyin tekshiriladi). berilgan tenglama. Shu bilan birga, Galua o'z davri uchun yangi bo'lgan almashtirish guruhlari nazariyasini yaratdi va ishlatdi.