Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari

Quvvat funktsiyasi nolga teng indeks bilan, p = 0

Agar y = x p darajali funktsiyaning ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0, u holda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va birga teng doimiydir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...

Tabiiy toq ko'rsatkichi n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2 , 3, .. - butun salbiy emas. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.

n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: –∞< x < ∞

Bir nechta qiymatlar: –∞< y < ∞

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

da –∞< x < 0 выпукла вверх

0 da< x < ∞ выпукла вниз

Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

x = 0 da, y(0) = 0 n = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...

Tabiiy juft darajali n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n darajali funktsiyani ko'rib chiqaylik. Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, . .. - tabiiy. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.

n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: –∞< x < ∞

Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞

Monoton:

x da< 0 монотонно убывает

x > 0 uchun monoton ravishda ortadi

Ekstremallar: minimal, x = 0, y = 0

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0
Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

x = 0 da, y(0) = 0 n = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = -1, -2, -3, ...

Manfiy butun ko‘rsatkichli n = -1, -2, -3, ... bo‘lgan y = x p = x n darajali funksiyani ko‘rib chiqaylik. Agar n = –k qo‘ysak, bu yerda k = 1, 2, 3, ... bo‘ladi. natural son bo'lsa, u quyidagicha ifodalanishi mumkin:

n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.

Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...

Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вверх

x > 0 uchun: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Belgisi: x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...

Quyida juft manfiy darajali n = -2, -4, -6, ... bo'lgan y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y > 0

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно возрастает

x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi

Ekstremal: yo'q

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

Belgisi: y > 0

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi

Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p darajali funksiyani ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m umumiy bo'luvchilarga ega emas.

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning ijobiy va salbiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday kuch funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

p-qiymati manfiy, p< 0

Ratsional ko'rsatkich (toq maxrajli m = 3, 5, 7, ... bilan) noldan kichik bo'lsin: .

Quvvat funksiyalarining grafiklari ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional salbiy ko'rsatkich bilan, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.

Toq son, n = -1, -3, -5, ...

y = x p daraja funksiyasining xossalarini ratsional manfiy ko‘rsatkich bilan keltiramiz, bunda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq tabiiy butun son.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Monotonlik: monoton ravishda pasayish

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вверх

x > 0 uchun: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Juft sanoqchi, n = -2, -4, -6, ...

Ratsional manfiy darajali y = x p daraja funksiyasining xossalari, bunda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son. .

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y > 0

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно возрастает

x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi

Ekstremal: yo'q

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

Belgisi: y > 0

p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1

Quvvat funksiyasi grafigi ratsional ko'rsatkich bilan (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Toq son, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: –∞< x < +∞

Bir nechta qiymatlar: –∞< y < +∞

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Monotonlik: monoton ravishda ortib boradi

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вниз

x > 0 uchun: qavariq yuqoriga

Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0

x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = –1

x = 0 da, y(0) = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1

Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...

Ratsional ko‘rsatkichi 0 bo‘lgan y = x p quvvat funksiyasining xossalari keltirilgan< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: –∞< x < +∞

Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< +∞

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно убывает

x > 0 uchun: monoton ravishda ortadi

Ekstremallar: x = 0, y = 0 da minimal

Qavariqlik: x ≠ 0 da yuqoriga qarab qavariq

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0

Belgisi: x ≠ 0, y > 0 uchun

Manfiy butun sonli darajali funksiyalarning xossalari va grafiklarini eslaylik.

Hatto n uchun:

Misol funksiyasi:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;1). Ushbu turdagi funktsiyalarning o'ziga xosligi ularning paritetidir, grafiklar op-amp o'qiga nisbatan simmetrikdir;

Guruch. 1. Funksiya grafigi

Toq n uchun, :

Misol funksiyasi:

Bunday funksiyalarning barcha grafiklari ikkita qo'zg'almas nuqtadan o'tadi: (1;1), (-1;-1). Bu tipdagi funksiyalarning o'ziga xosligi shundaki, ular boshiga ko'ra grafiklar toq bo'ladi;

Guruch. 2. Funksiya grafigi

Keling, asosiy ta'rifni eslaylik.

Ratsional musbat ko'rsatkichli manfiy bo'lmagan a sonining kuchi son deyiladi.

Daraja ijobiy raqam va ratsional manfiy ko'rsatkichli son deyiladi.

Tenglik uchun:

Masalan: ; - ta'rifiga ko'ra, manfiy ratsional ko'rsatkichli daraja ifodasi mavjud emas; ko'rsatkich butun son bo'lgani uchun mavjud,

Ratsional manfiy ko'rsatkichli quvvat funksiyalarini ko'rib chiqishga o'tamiz.

Masalan:

Ushbu funktsiyaning grafigini tuzish uchun siz jadval yaratishingiz mumkin. Biz buni boshqacha qilamiz: avval maxraj grafigini tuzamiz va o'rganamiz - bu bizga ma'lum (3-rasm).

Guruch. 3. Funksiya grafigi

Maxraj funksiyasining grafigi qo'zg'almas nuqtadan (1;1) o'tadi. Asl funktsiyani chizishda berilgan nuqta qoladi, ildiz ham nolga moyil bo'lsa, funktsiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (4-rasm).

Guruch. 4. Funksiya grafigi

O'rganilayotgan funksiyalar turkumidan yana bir funktsiyani ko'rib chiqamiz.

Bu ta'rifi bo'yicha muhim ahamiyatga ega

Funktsiyaning maxrajdagi grafigini ko'rib chiqamiz: , bu funksiyaning grafigi bizga ma'lum, u o'zining aniqlanish sohasi bo'yicha ortib boradi va (1;1) nuqtadan o'tadi (5-rasm).

Guruch. 5. Funksiya grafigi

Dastlabki funksiya grafigini tuzishda (1;1) nuqta qoladi, ildiz ham nolga intiladi, funksiya cheksizlikka intiladi. Va aksincha, x cheksizlikka intilgani uchun funksiya nolga intiladi (6-rasm).

Guruch. 6. Funksiya grafigi

Ko'rib chiqilgan misollar grafik qanday o'tishini va o'rganilayotgan funktsiyaning xususiyatlari qanday ekanligini tushunishga yordam beradi - manfiy ratsional ko'rsatkichli funktsiya.

Bu turkumga kiruvchi funksiyalarning grafiklari (1;1) nuqtadan o‘tadi, funksiya butun ta’rif sohasi bo‘yicha kamayadi.

Funktsiya doirasi:

Funktsiya yuqoridan cheklanmagan, lekin pastdan cheklangan. Funktsiya eng katta va eng kichik qiymatga ega emas.

Funktsiya uzluksiz va noldan ortiqcha cheksizgacha bo'lgan barcha ijobiy qiymatlarni oladi.

Funktsiya pastga qarab qavariq (15.7-rasm)

A va B nuqtalari egri chiziqda olinadi, ular orqali segment chiziladi, butun egri segment ostidadir, bu holat egri chiziqning ixtiyoriy ikkita nuqtasi uchun qanoatlantiriladi, shuning uchun funktsiya pastga qarab qavariq. Guruch. 7.

Guruch. 7. Funksiyaning qavariqligi

Ushbu oilaning funktsiyalari pastdan nol bilan chegaralanganligini tushunish kerak, lekin eng kichik qiymatga ega emas.

1-misol - intervaldagi funksiyaning maksimal va minimalini toping)