Umumiy differentsiallardagi tenglama tenglamadir. Jami differensiallarda differensial tenglamalar

Differensial shakl tenglamasi deyiladi

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 ,

bu erda chap tomon - ikkita o'zgaruvchining har qanday funktsiyasining to'liq differensialligi.

Ikki o'zgaruvchining noma'lum funktsiyasini belgilaymiz (tenglamalarni yechishda buni topish kerak. to'liq farqlar) orqali F va biz tez orada unga qaytamiz.

Siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan birinchi narsa - tenglamaning o'ng tomonida nol bo'lishi kerak va chap tomonda ikkita shartni bog'laydigan belgi ortiqcha bo'lishi kerak.

Ikkinchidan, bu differensial tenglama jami differensiallardagi tenglama ekanligini tasdiqlovchi ba'zi tenglikni kuzatish kerak. Ushbu tekshirish umumiy differentsiallardagi tenglamalarni echish algoritmining majburiy qismidir (bu darsning ikkinchi xatboshida), shuning uchun funktsiyani topish jarayoni F ancha mehnat talab qiladigan va muhim dastlabki bosqich vaqtni behuda o'tkazmasligimizga ishonch hosil qiling.

Shunday qilib, topilishi kerak bo'lgan noma'lum funktsiya bilan belgilanadi F. Barcha mustaqil o'zgaruvchilar uchun qisman differentsiallar yig'indisi umumiy differentsialni beradi. Shuning uchun, agar tenglama to'liq differentsial tenglama bo'lsa, tenglamaning chap tomoni qisman differentsiallarning yig'indisidir. Keyin ta'rif bo'yicha

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

Ikki o'zgaruvchining funksiyasining umumiy differentsialini hisoblash formulasini eslaylik:

Oxirgi ikkita tenglikni yechib, biz yozishimiz mumkin

Biz birinchi tenglikni "y" o'zgaruvchisiga, ikkinchisini - "x" o'zgaruvchisiga nisbatan ajratamiz:

berilgan differensial tenglamaning chinakam to‘liq differensial tenglama bo‘lishi sharti hisoblanadi.

Differensial tenglamalarni umumiy differentsiallarda yechish algoritmi

1-qadam. Tenglama umumiy differentsial tenglama ekanligiga ishonch hosil qiling. Ifodasi uchun ba'zi funksiyalarning umumiy differensialligi edi F(x, y) zarur va etarli, shuning uchun. Boshqacha qilib aytganda, siz nisbatan qisman hosila olishingiz kerak x ga nisbatan qisman hosila y boshqa a'zo va agar bu hosilalar teng bo'lsa, u holda tenglama to'liq differentsial tenglama bo'ladi.

2-qadam. Funktsiyani tashkil etuvchi qisman differentsial tenglamalar tizimini yozing F:

3-qadam. Tizimning birinchi tenglamasini integrallash - by x (y F:

,
y.

Muqobil variant (agar integralni shu tarzda topish osonroq bo'lsa) tizimning ikkinchi tenglamasini integrallashdir - tomonidan y (x doimiy bo'lib qoladi va integral belgisidan chiqariladi). Shu tarzda funksiya ham tiklanadi F:

,
ning hali noma'lum funksiyasi qayerda X.

4-qadam. 3-bosqich natijasi (topilgan umumiy integral) bilan farqlanadi y(muqobil ravishda - bo'yicha x) va tizimning ikkinchi tenglamasiga tenglashtiring:

va muqobil versiyada - tizimning birinchi tenglamasiga:

Olingan tenglamadan biz aniqlaymiz (muqobil ravishda)

5-qadam. 4-bosqichning natijasi integrallash va topishdir (muqobil ravishda, toping).

6-qadam. 5-bosqich natijasini 3-bosqich natijasiga - qisman integratsiya orqali tiklangan funksiyaga almashtiring. F. Ixtiyoriy doimiy C ko'pincha tenglik belgisidan keyin yoziladi - tenglamaning o'ng tomonida. Shunday qilib olamiz umumiy yechim differensial tenglama to'liq differentsiallarda. Yuqorida aytib o'tilganidek, u shaklga ega F(x, y) = C.

Jami differensiallarda differensial tenglamalar yechimiga misollar

1-misol.

1-qadam. umumiy differentsiallardagi tenglama x ifodaning chap tomonida bitta atama

ga nisbatan qisman hosila y boshqa atama
umumiy differentsiallardagi tenglama .

2-qadam. F:

3-qadam. tomonidan x (y doimiy bo'lib qoladi va integral belgisidan chiqariladi). Shunday qilib, biz funktsiyani tiklaymiz F:

ning hali noma'lum funksiyasi qayerda y.

4-qadam. y

5-qadam.

6-qadam. F. Ixtiyoriy doimiy C :
.

Bu erda qanday xatolik yuzaga kelishi mumkin? Eng keng tarqalgan xatolar - funksiyalar mahsulotining odatiy integrali uchun o'zgaruvchilardan birining qisman integralini olish va qismlarga yoki almashtiriladigan o'zgaruvchiga integrallashga urinish, shuningdek, ikkita omilning qisman hosilasini hosila sifatida qabul qilishdir. funksiyalar hosilasi va tegishli formuladan foydalanib hosilani toping.

Buni yodda tutish kerak: o'zgaruvchilardan biriga nisbatan qisman integralni hisoblashda, ikkinchisi doimiy bo'lib, integral belgisidan chiqariladi va o'zgaruvchilardan biriga nisbatan qisman hosilani hisoblashda ikkinchisi. ham doimiy bo‘lib, ifoda hosilasi doimiyga ko‘paytirilgan “harakat qiluvchi” o‘zgaruvchining hosilasi sifatida topiladi.

Orasida umumiy differentsiallardagi tenglamalar Eksponensial funktsiyaga ega bo'lgan misollarni topish odatiy hol emas. Bu keyingi misol. Bundan tashqari, uning yechimi muqobil variantni qo'llaganligi bilan ajralib turadi.

2-misol. Differensial tenglamani yeching

1-qadam. Keling, tenglama ekanligiga ishonch hosil qilaylik umumiy differentsiallardagi tenglama . Buning uchun ga nisbatan qisman hosilani topamiz x ifodaning chap tomonida bitta atama

ga nisbatan qisman hosila y boshqa atama
. Bu hosilalar teng, ya'ni tenglama bo'ladi umumiy differentsiallardagi tenglama .

2-qadam. Funktsiyani tashkil etuvchi qisman differensial tenglamalar sistemasini yozamiz F:

3-qadam. Tizimning ikkinchi tenglamasini integrallaymiz - by y (x doimiy bo'lib qoladi va integral belgisidan chiqariladi). Shunday qilib, biz funktsiyani tiklaymiz F:

ning hali noma'lum funksiyasi qayerda X.

4-qadam. 3-bosqich natijasini (topilgan umumiy integral) ga nisbatan farqlaymiz X

va tizimning birinchi tenglamasiga tenglashtiring:

Olingan tenglamadan biz aniqlaymiz:
.

5-qadam. Biz 4-bosqich natijasini birlashtiramiz va topamiz:
.

6-qadam. Biz 5-bosqich natijasini 3-bosqich natijasiga - qisman integratsiya orqali tiklangan funksiyaga almashtiramiz. F. Ixtiyoriy doimiy C teng belgisidan keyin yozing. Shunday qilib, biz umumiy miqdorni olamiz differensial tenglamani umumiy differensiallarda yechish :
.

Quyidagi misolda biz muqobil variantdan asosiy variantga qaytamiz.

3-misol. Differensial tenglamani yeching

1-qadam. Keling, tenglama ekanligiga ishonch hosil qilaylik umumiy differentsiallardagi tenglama . Buning uchun ga nisbatan qisman hosilani topamiz y ifodaning chap tomonida bitta atama

ga nisbatan qisman hosila x boshqa atama
. Bu hosilalar teng, ya'ni tenglama bo'ladi umumiy differentsiallardagi tenglama .

2-qadam. Funktsiyani tashkil etuvchi qisman differensial tenglamalar sistemasini yozamiz F:

3-qadam. Keling, tizimning birinchi tenglamasini integrallaylik - tomonidan x (y doimiy bo'lib qoladi va integral belgisidan chiqariladi). Shunday qilib, biz funktsiyani tiklaymiz F:

ning hali noma'lum funksiyasi qayerda y.

4-qadam. 3-bosqich natijasini (topilgan umumiy integral) ga nisbatan farqlaymiz y

va tizimning ikkinchi tenglamasiga tenglashtiring:

Olingan tenglamadan biz aniqlaymiz:
.

5-qadam. Biz 4-bosqich natijasini birlashtiramiz va topamiz:

4-misol. Differensial tenglamani yeching

2-qadam. Funktsiyani tashkil etuvchi qisman differensial tenglamalar sistemasini yozamiz F:

3-qadam. Keling, tizimning birinchi tenglamasini integrallaylik - tomonidan x (y doimiy bo'lib qoladi va integral belgisidan chiqariladi). Shunday qilib, biz funktsiyani tiklaymiz F:

ning hali noma'lum funksiyasi qayerda y.

4-qadam. 3-bosqich natijasini (topilgan umumiy integral) ga nisbatan farqlaymiz y

va tizimning ikkinchi tenglamasiga tenglashtiring:

Olingan tenglamadan biz aniqlaymiz:
.

5-qadam. Biz 4-bosqich natijasini birlashtiramiz va topamiz:

5-misol. Differensial tenglamani yeching

Standart shaklga ega bo'lgan $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, bunda chap tomoni ba'zi $F funktsiyasining umumiy differentsialidir. \left( x,y\right)$ umumiy differentsial tenglama deyiladi.

Jami differensiallardagi tenglama har doim $dF\left(x,y\right)=0$ shaklida qayta yozilishi mumkin, bunda $F\left(x,y\right)$ funksiya shundayki, $dF\left(x, y\o'ng)=P\left(x,y\o'ng)\cdot dx+Q\left(x,y\o'ng)\cdot dy$.

$dF\left(x,y\right)=0$ tenglamaning ikkala tomonini integrallaylik: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nol o'ng tomonning integrali ixtiyoriy doimiy $C$ ga teng. Shunday qilib, bu tenglamaning yashirin ko'rinishdagi umumiy yechimi $F\left(x,y\right)=C$ bo'ladi.

Berilgan differensial tenglama jami differensiallarda tenglama bo‘lishi uchun $\frac(\qisman P)(\qisman y) =\frac(\qisman Q)(\qisman x) $ sharti zarur va yetarli. qoniqmoq. Agar belgilangan shart bajarilsa, u holda $F\left(x,y\right)$ funktsiyasi mavjud bo'lib, u uchun biz yozishimiz mumkin: $dF=\frac(\qisman F)(\qisman x) \cdot dx+\ frac(\qisman F)(\qisman y) \cdot dy=P\left(x,y\o'ng)\cdot dx+Q\left(x,y\o'ng)\cdot dy$, shundan ikkita munosabatni olamiz. : $\frac(\ qisman F)(\qisman x) =P\chap(x,y\o'ng)$ va $\frac(\qisman F)(\qisman y) =Q\chap(x,y\o'ng) )$.

Biz $\frac(\qisman F)(\qisman x) =P\left(x,y\right)$ $x$ ustidan birinchi munosabatni birlashtiramiz va $F\left(x,y\right)=\int ni olamiz. P\ left(x,y\o'ng)\cdot dx +U\left(y\o'ng)$, bu erda $U\chap(y\o'ng)$ -- ixtiyoriy funktsiya$y$ dan.

Uni shunday tanlaymizki, $\frac(\qisman F)(\qisman y) =Q\left(x,y\right)$ ikkinchi munosabat qanoatlansin. Buning uchun $F\left(x,y\right)$ uchun olingan munosabatni $y$ ga nisbatan farqlaymiz va natijani $Q\left(x,y\right)$ ga tenglashtiramiz. Biz quyidagilarni olamiz: $\frac(\qisman )(\qisman y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left ( x,y\o'ng)$.

Keyingi yechim:

oxirgi tenglikdan $U"\left(y\right)$;
$U"\left(y\right)$ ni birlashtirib, $U\left(y\right)$ toping;
$U\left(y\right)$ $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) tengligiga almashtiring. $ va nihoyat $F\left(x,y\right)$ funksiyasini olamiz.

Biz farqni topamiz:

Biz $U"\left(y\right)$ $y$ ni birlashtiramiz va $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ ni topamiz.

Natijani toping: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Umumiy yechimni $F\left(x,y\right)=C$ ko’rinishda yozamiz, ya’ni:

Muayyan yechim toping $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, bu yerda $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Qisman yechim quyidagi shaklga ega: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Jami differensiallarda differensial tenglamani qanday tanib olish mumkinligini ko'rsatadi. Uni hal qilish usullari keltirilgan. Umumiy differentsiallardagi tenglamani ikki usulda yechish misoli keltirilgan.

Tarkib

Kirish

Jami differensiallardagi birinchi tartibli differensial tenglama quyidagi shakldagi tenglama hisoblanadi:
(1) ,
Bu erda tenglamaning chap tomoni ba'zi U funksiyasining to'liq differentsialidir (x, y) x, y o'zgaruvchilardan:
.
Xuddi o'sha payt.

Agar shunday U funksiya topilsa (x, y), u holda tenglama quyidagi shaklni oladi:
dU (x, y) = 0.
Uning umumiy integrali:
U (x, y) = C,
bu erda C doimiydir.

Agar birinchi tartibli differensial tenglama uning hosilasi bilan yozilsa:
,
keyin uni shaklga keltirish oson (1) . Buning uchun tenglamani dx ga ko'paytiring.
(1) .

Keyin. Natijada biz differentsiallar bilan ifodalangan tenglamani olamiz:

Differensial tenglamaning umumiy differentsiallardagi xossasi (1) Tenglama uchun
(2) .

jami differensiallarda tenglama bo'lgan bo'lsa, bu munosabat uchun zarur va etarli:

Isbot Bundan tashqari, isbotlashda ishlatiladigan barcha funktsiyalar aniqlangan va x va y o'zgaruvchilar qiymatlarining ba'zi diapazonlarida mos keladigan hosilalarga ega deb taxmin qilamiz. X nuqta

0 , y 0.
ham shu hududga tegishli. (1) (2) shartning zarurligini isbotlaylik. (x, y):
.
Tenglamaning chap tomoni bo'lsin
;
.
baʼzi funksiya U ning differentsialidir
;
.
Keyin (2) Ikkinchi hosila farqlanish tartibiga bog'liq bo'lmagani uchun

Bundan kelib chiqadi..
Majburiy holat (2) :
(2) .
isbotlangan. (x, y)(2) shartning yetarliligini isbotlaylik.
.
Shart qanoatlansin (x, y) Bunday U funksiyani topish mumkinligini ko'rsatamiz
(3) ;
(4) .
uning differensialligi: (3) Bu shunday U funksiyasi mavjudligini bildiradi 0 , bu tenglamalarni qanoatlantiradi:
;
;
(5) .
Keling, bunday funktsiyani topamiz. Keling, tenglamani integrallaylik (2) :

.
x dan x tomonidan (4) bo'lsa, ijro etiladi
.
y dan y ustidan integrallash 0 sizga:
;
;
.
O'rniga qo'ying (5) :
(6) .
Shunday qilib, biz differentsiali funksiyani topdik
.
Etarliligi isbotlangan.

Formulada (6) , U (x 0 , y 0) doimiy - funksiyaning qiymati U (x, y) x nuqtada Bundan tashqari, isbotlashda ishlatiladigan barcha funktsiyalar aniqlangan va x va y o'zgaruvchilar qiymatlarining ba'zi diapazonlarida mos keladigan hosilalarga ega deb taxmin qilamiz..

Unga har qanday qiymat berilishi mumkin.

Jami differensiallarda differensial tenglamani qanday aniqlash mumkin
(1) .
Differensial tenglamani ko'rib chiqing: (2) :
(2) .
Ushbu tenglama umumiy differentsialda yoki yo'qligini aniqlash uchun siz shartni tekshirishingiz kerak

Agar u bajarilsa, bu tenglama umumiy differentsiallarda bo'ladi. Agar yo'q bo'lsa, bu to'liq differentsial tenglama emas.

Misol
.

Tenglama jami differentsialda ekanligini tekshiring:
, .
Bu yerga

.
X doimiyni hisobga olgan holda y ga nisbatan farqlaymiz:

.
Keling, farq qilaylik
,
Chunki: Bu berilgan tenglama

- to'liq differentsiallarda.

Jami differensiallarda differensial tenglamalarni yechish usullari

Ketma-ket differentsial chiqarish usuli Ko'pchilik oddiy usul
tenglamani umumiy differentsiallarda yechish differensialni ketma-ket tanlash usulidir. Buning uchun biz differentsial shaklda yozilgan differentsial formulalardan foydalanamiz: du ± dv = d;
(u ± v) v du + u dv = d;
;
.
(uv)

Bu formulalarda u va v o'zgaruvchilarning har qanday birikmasidan tuzilgan ixtiyoriy ifodalardir.

1-misol
.

Tenglamani yeching:
Ilgari biz bu tenglama umumiy differentsialda ekanligini aniqladik. Keling, uni o'zgartiramiz: .
(P1)
;
;
;
;

.
O'rniga qo'ying Ilgari biz bu tenglama umumiy differentsialda ekanligini aniqladik. Keling, uni o'zgartiramiz::
;
.

Differensialni ketma-ket ajratib, tenglamani yechamiz.

Ketma-ket integratsiya usuli (x, y) Bu usulda biz U funksiyasini qidiramiz
(3) ;
(4) .

, tenglamalarni qanoatlantirish: (3) Keling, tenglamani integrallaymiz
.
y doimiyni hisobga olgan holda x da: Mana ph(y) (4) :
.
- y ning aniqlanishi kerak bo'lgan ixtiyoriy funktsiyasi. Bu integratsiyaning doimiysi. Tenglamaga almashtiring
.
Bu yerdan: Mana ph Integratsiyalashda biz ph ni topamiz (x, y).

va shuning uchun U

2-misol
.

Tenglamani umumiy differentsiallarda yeching:
, .
Ilgari biz bu tenglama umumiy differentsialda ekanligini aniqladik. Keling, quyidagi belgini kiritamiz: (x, y) U funktsiyasi qidirilmoqda
.
, differensiali tenglamaning chap tomoni:
(3) ;
(4) .
Keyin: (3) Keling, tenglamani integrallaymiz
Keling, tenglamani integrallaylik
.
(P2)

.
y ga qarab farqlang: (4) :
;
.
Keling, almashtiramiz
.
y ga qarab farqlang: Keling, tenglamani integrallaylik:

.
Keling, integratsiya qilaylik:
U Tenglamaning umumiy integrali:.
(x, y) = const

Biz ikkita doimiyni bittaga birlashtiramiz.

Egri chiziq bo'ylab integratsiyalash usuli
Munosabat bilan aniqlangan U funksiyasi: dU = p,
(x, y) dx + q(x, y) dy (x 0 , y 0) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq bo‘ylab ushbu tenglamani integrallash orqali topish mumkin (x, y):
(7) .
Va
(8) ,
beri (x 0 , y 0) u holda integral faqat boshlang'ichning koordinatalariga bog'liq (x, y) va yakuniy (7) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq bo‘ylab ushbu tenglamani integrallash orqali topish mumkin (8) nuqtalar va egri shakliga bog'liq emas. Kimdan
(9) .
topamiz: 0 Bu erda x 0 va y (x 0 , y 0)- doimiy. Shuning uchun U

U ning bunday ta'rifiga misol dalilda olingan:
(6) .
Bu yerda integrasiya dastlab nuqtadan y o'qiga parallel bo'lgan segment bo'ylab amalga oshiriladi (x 0 , y 0 ) nuqtaga (x 0 , y). (x 0 , y) nuqtaga (x, y) .

Keyin nuqtadan x o'qiga parallel bo'lgan segment bo'ylab integratsiya amalga oshiriladi (x 0 , y 0 ) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq bo‘ylab ushbu tenglamani integrallash orqali topish mumkin (x, y) Umuman olganda, egri chiziqni birlashtiruvchi nuqtalar tenglamasini ifodalash kerak
parametrik shaklda: x 1 = s(t 1) ;;
parametrik shaklda: y 1 = s(t 1) 1 = r(t 1);
0 = s(t 0) 0 = r(t 0) x = s 0 = r(t 0);
(t) 1 ; 0 y = r

va t ustidan integrallash (x 0 , y 0 ) nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq bo‘ylab ushbu tenglamani integrallash orqali topish mumkin (x, y) dan t
parametrik shaklda: t ga. 1 = s(t 1) Integratsiyani amalga oshirishning eng oson yo'li segmentlarni ulash nuqtalari orqali amalga oshiriladi;
. 0 = 0 Ushbu holatda: 1 ;
1 = x 0 + (x - x 0) t 1 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 t ;.
t = 0 dx 1 .
1 = (x - x 0) dt 1;

dy
1 = (y - y 0) dt 1

O'zgartirishdan so'ng biz t ning integralini olamiz

uchun

Bu usul

, ammo bu juda og'ir hisob-kitoblarga olib keladi. Foydalanilgan adabiyotlar: V.V. Stepanov, Differensial tenglamalar kursi, "LKI", 2015 yil.

Ushbu mavzuda biz funktsiyani to'liq differensialidan qayta qurish usulini ko'rib chiqamiz va yechimi to'liq tahlil qilingan masalalarga misollar keltiramiz.

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 ko'rinishdagi differentsial tenglamalar (DE) chap tomonlardagi ba'zi funktsiyalarning to'liq differentsiallarini o'z ichiga olishi mumkin. U holda biz differensial tenglamaning umumiy integralini topishimiz mumkin, agar funksiyani birinchi navbatda uning umumiy differentsialidan qayta tuzsak.

1-misol

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 tenglamasini ko'rib chiqaylik. Chap tomonda ma'lum bir funktsiyaning differensialligi mavjud

U(x, y) = 0

. Buning uchun ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x sharti bajarilishi kerak.
U (x, y) = 0 funktsiyaning to'liq differentsiali d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y ko'rinishga ega. ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x shartini hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Olingan tenglamalar tizimidan birinchi tenglamani o'zgartirib, biz quyidagilarni olishimiz mumkin:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + ph (y)

Oldin olingan sistemaning ikkinchi tenglamasidan ph (y) funksiyani topishimiz mumkin:

∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + ph y " (y) = Q (x, y) ⇒ ph (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Shunday qilib biz kerakli funksiya U (x, y) = 0 ni topdik.

2-misol

Hisob-kitoblarga asoslanib, biz dastlabki differentsial tenglamaning chap tomoni qandaydir U (x, y) = 0 funktsiyaning to'liq differentsialidir, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Biz bu funktsiyani topishimiz kerak.

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y U (x, y) = 0 funktsiyaning to'liq differensiali bo'lgani uchun, u holda

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Sistemaning birinchi tenglamasini x ga nisbatan integrallaymiz:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + ph (y) = x 3 3 - x y 2 + ph (y)

Endi olingan natijani y ga nisbatan farqlaymiz:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + ph (y) ∂ y = - 2 x y + ph y " (y)

Tizimning ikkinchi tenglamasini o'zgartirib, biz quyidagilarga erishamiz: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Bu shuni anglatadiki
- 2 x y + ph y " (y) = - 2 x y ph y " (y) = 0 ⇒ ph (y) = ∫ 0 d x = C

bu yerda C ixtiyoriy doimiydir.

Biz olamiz: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + ph (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Dastlabki tenglamaning umumiy integrali x 3 3 - x y 2 + C = 0 ga teng.

Keling, ma'lum to'liq differentsial yordamida funktsiyani topishning boshqa usulini ko'rib chiqaylik. Bu o'zgarmas nuqtadan (x 0, y 0) o'zgaruvchan koordinatali nuqtaga (x, y) egri chiziqli integraldan foydalanishni o'z ichiga oladi:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Bunday hollarda integralning qiymati hech qanday tarzda integrallash yo'liga bog'liq emas. Integratsiya yo'li sifatida bog'lanishlari koordinata o'qlariga parallel joylashgan siniq chiziqni olishimiz mumkin.

3-misol

(y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + ph (y)

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x sharti bajarilganligini tekshiramiz:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ma’lum bo‘lishicha, differensial tenglamaning chap tomoni qandaydir funksiya U (x, y) = 0 to‘liq differentsial bilan ifodalanadi. Ushbu funktsiyani topish uchun hisoblash kerak chiziqli integrali nuqtadan (1 ; 1) dx (x, y). Integratsiya yo'li sifatida kesmalari to'g'ri chiziq bo'ylab o'tadigan siniq chiziqni olaylik y = 1(1, 1) nuqtadan (x, 1) va keyin (x, 1) nuqtadan (x, y) gacha:

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Biz x y - x y 2 + C = 0 ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini oldik.

4-misol

y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 differensial tenglamaning umumiy yechimini aniqlang.

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + ph (y)

∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x sharti bajarilganligini tekshirib ko’ramiz.

∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x bo'lgani uchun shart bajarilmaydi. Demak, differensial tenglamaning chap tomoni funksiyaning to‘liq differensiali emas. Bu ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan differentsial tenglama va uni hal qilish uchun boshqa echimlar mos keladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ta'rif 8.4. Shaklning differensial tenglamasi

Qayerda
umumiy differensial tenglama deyiladi.

E'tibor bering, bunday tenglamaning chap tomoni qandaydir funktsiyaning to'liq differentsialidir
.

Umuman olganda (8.4) tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin

(8.5) tenglama o'rniga biz tenglamani ko'rib chiqishimiz mumkin

yechimi (8.4) tenglamaning bosh integrali. Shunday qilib, (8.4) tenglamani yechish uchun funksiyani topish kerak
. (8.4) tenglamaning ta'rifiga muvofiq, bizda mavjud

(8.6)

Funktsiya
ushbu shartlardan birini (8.6) qanoatlantiradigan funksiyani qidiramiz:

Qayerda - ga bog'liq bo'lmagan ixtiyoriy funktsiya .

Funktsiya
ifodaning ikkinchi sharti (8.6) bajariladigan tarzda aniqlanadi

(8.7)

(8.7) ifodadan funksiya aniqlanadi
. Uni uchun ifodasiga almashtirish
va asl tenglamaning bosh integralini oling.

Muammo 8.3. Tenglamani integrallash

Bu yerga
.

Shuning uchun bu tenglama jami differensiallardagi differensial tenglamalar turiga kiradi. Funktsiya
shaklda qidiramiz

Boshqa tomondan,

Ba'zi hollarda vaziyat
bajarilmasligi mumkin.

Keyin bunday tenglamalar umumiy holatda faqat funktsiya bo'lgan integrallashtiruvchi omil deb ataladigan omilga ko'paytirish orqali ko'rib chiqilayotgan turga keltiriladi. yoki .

Agar ba'zi bir tenglama faqat bog'liq bo'lgan integrallashtiruvchi omilga ega bo'lsa , keyin formula bilan aniqlanadi

munosabat qayerda faqat funksiya bo'lishi kerak .

Xuddi shunday, integratsiya omili faqat bog'liq , formula bilan aniqlanadi

munosabat qayerda
faqat funksiya bo'lishi kerak .

Berilgan munosabatlarda, birinchi holda, o'zgaruvchining yo'qligi , ikkinchisida esa - o'zgaruvchi , berilgan tenglama uchun integrallashtiruvchi omil mavjudligining belgisidir.

Muammo 8.4. Ushbu tenglamani umumiy differentsiallardagi tenglamaga keltiring.

Munosabatni ko'rib chiqing:

8.2-mavzu. Chiziqli differensial tenglamalar

Ta'rif 8.5. Differensial tenglama
kerakli funktsiyaga nisbatan chiziqli bo'lsa, chiziqli deyiladi , uning hosilasi va kerakli funksiyaning hosilasi va uning hosilasini o'z ichiga olmaydi.

Chiziqli differentsial tenglamaning umumiy shakli quyidagi munosabat bilan ifodalanadi:

(8.8)

Agar (8.8) ga nisbatan o'ng tomon
, unda bunday tenglama chiziqli bir jinsli deb ataladi. O'ng tomonda bo'lganda
, unda bunday tenglama chiziqli bir hil bo'lmagan deb ataladi.

(8.8) tenglamani kvadratlarda integrallash mumkinligini ko'rsatamiz.

Birinchi bosqichda biz chiziqli bir hil tenglamani ko'rib chiqamiz.

Bunday tenglama ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglamadir. Haqiqatan ham,

;

Oxirgi munosabat chiziqlining umumiy yechimini aniqlaydi bir jinsli tenglama.

Chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimini topish uchun doimiyning hosilasini o'zgartirish usuli qo'llaniladi. Usulning g'oyasi shundaki, chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi mos keladigan bir hil tenglamaning yechimi bilan bir xil shaklda, lekin ixtiyoriy doimiydir. ba'zi funksiyalar bilan almashtiriladi
belgilanishi kerak. Shunday qilib, bizda:

(8.9)

(8.8) munosabatga mos iboralarni qo`yish
Va
, olamiz

Oxirgi ifodani (8.9) munosabatga qo'yib, chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy integralini olamiz.

Shunday qilib, chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi ikkita kvadratura bilan aniqlanadi: chiziqli bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi va chiziqli bir jinsli bo'lmagan tenglamaning alohida yechimi.

Muammo 8.5. Tenglamani integrallash