Mayli X– argument (mustaqil o‘zgaruvchi); y=y(x)- funksiya.

Ruxsat etilgan argument qiymatini olaylik x=x 0 va funksiyaning qiymatini hisoblang y 0 =y(x 0 ) . Endi o'zboshimchalik bilan o'rnatamiz oshirish argumentning (o'zgarishi) va uni belgilang  X ( X har qanday belgi bo'lishi mumkin).

O'sish argumenti nuqta X 0 +  X. Aytaylik, unda funksiya qiymati ham mavjud y=y(x 0 +  X)(rasmga qarang).

Shunday qilib, argument qiymatining o'zboshimchalik bilan o'zgarishi bilan funktsiyaning o'zgarishi olinadi, bu deyiladi. oshirish Funktsiya qiymatlari:

va o'zboshimchalik bilan emas, balki funksiya va qiymat turiga bog'liq
.

Argument va funktsiyaning o'sishi bo'lishi mumkin final, ya'ni. doimiy sonlar sifatida ifodalanadi, bu holda ular ba'zan chekli farqlar deb ataladi.

Iqtisodiyotda chekli o'sishlar juda tez-tez ko'rib chiqiladi. Masalan, jadvalda ma'lum bir davlatning temir yo'l tarmog'ining uzunligi to'g'risidagi ma'lumotlar ko'rsatilgan. Shubhasiz, tarmoq uzunligining o'sishi oldingi qiymatni keyingi qiymatdan ayirish yo'li bilan hisoblanadi.

Biz temir yo'l tarmog'ining uzunligini funktsiya sifatida ko'rib chiqamiz, uning argumenti vaqt (yillar) bo'ladi.

	31 dekabr holatiga temir yoʻl uzunligi ming km.	O'sish	O'rtacha yillik o'sish

O'z-o'zidan funktsiyaning ortishi (bu holda temir yo'l tarmog'ining uzunligi) funktsiyaning o'zgarishini yaxshi tavsiflamaydi. Bizning misolimizda, bundan 2,5>0,9 tarmoq tezroq o'sdi degan xulosaga kelish mumkin emas 2000-2003 yillarga qaraganda 2004 g., chunki o'sish 2,5 uch yillik davrni nazarda tutadi va 0,9 - bir yil ichida. Shuning uchun funktsiyaning ortishi argumentning birlik o'zgarishiga olib kelishi tabiiydir. Bu erda argumentning o'sishi davrlardir: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Iqtisodiy adabiyotda nima deyiladi, biz olamiz o'rtacha yillik o'sish.

Agar siz argument qiymatlari uchun funktsiya qiymatlarini bittadan farq qiladigan bo'lsangiz, har doim ham mumkin bo'lmagan holda, argument o'zgarishi birligiga o'sishni kamaytirish operatsiyasidan qochishingiz mumkin.

Matematik tahlilda, xususan, differensial hisoblashda argument va funktsiyaning cheksiz kichik (IM) o'sishi hisobga olinadi.

Bir o'zgaruvchili funktsiyani differentsiallash (hosil va differentsial) Funksiyaning hosilasi

Bir nuqtada argument va funktsiyaning o'sishi X 0 solishtirish mumkin bo'lgan cheksiz kichik miqdorlar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin (4-mavzu, BMni taqqoslashga qarang), ya'ni. Xuddi shu tartibdagi BM.

Shunda ularning nisbati chekli chegaraga ega bo'ladi, u funksiyaning t dagi hosilasi sifatida aniqlanadi X 0 .

Funktsiya ortishining nuqtadagi argumentning BM o'sishiga nisbati chegarasi x=x 0 chaqirdi hosila ma'lum bir nuqtada funktsiyalarni bajaradi.

Konturning (aniqrog'i, I rim raqami bilan) lotinning ramziy belgilanishi Nyuton tomonidan kiritilgan. Siz shuningdek, lotin qaysi o'zgaruvchi bilan hisoblanganligini ko'rsatadigan pastki belgidan foydalanishingiz mumkin, masalan, . Hosilalar hisobining asoschisi, nemis matematigi Leybnits tomonidan taklif qilingan yana bir belgi ham keng qo'llaniladi:
. Bo'limda ushbu belgining kelib chiqishi haqida ko'proq bilib olasiz Funksiya differensiali va argument differensiali.

Bu raqam taxminiy hisoblanadi tezlik nuqtadan o‘tuvchi funksiyadagi o‘zgarishlar
.

Keling, o'rnatamiz geometrik ma'no nuqtadagi funktsiyaning hosilasi. Shu maqsadda biz funktsiyani chizamiz y=y(x) va unda o'zgarishni aniqlaydigan nuqtalarni belgilang y(x) orasida

Nuqtadagi funksiya grafigiga tangens M 0
sekantning cheklovchi holatini ko'rib chiqamiz M 0 M sharti bilan; inobatga olgan holda
(nuqta M funktsiya grafigi bo'ylab nuqtaga siljiydi M 0 ).

Keling, ko'rib chiqaylik
. Shubhasiz,
.

Agar nuqta M funktsiya grafigi bo'ylab nuqtaga to'g'ri keladi M 0 , keyin qiymat
ma'lum chegaraga moyil bo'ladi, biz buni belgilaymiz
. Xuddi o'sha payt.

Chegara burchagi  funktsiya grafigiga chizilgan tangensning qiyalik burchagiga to'g'ri keladi. M 0 , shuning uchun hosila
son jihatdan teng tangens qiyalik belgilangan nuqtada.

-

nuqtadagi funksiya hosilasining geometrik ma’nosi.

Shunday qilib, biz tangens va normal tenglamalarni yozishimiz mumkin ( normal - bu qaysidir nuqtada funksiya grafigiga tangensga perpendikulyar to'g'ri chiziq X 0 :

Tangent -.

Oddiy -
.

Ushbu chiziqlar gorizontal yoki vertikal ravishda joylashgan holatlar qiziqish uyg'otadi (3-mavzuga qarang, chiziqning tekislikdagi holatining maxsus holatlari). Keyin,

Agar
;

Agar
.

lotinning ta'rifi deyiladi farqlash funktsiyalari.

 Agar funktsiya nuqtada bo'lsa X 0 cheklangan hosilasi bor, keyin u deyiladi farqlanishi mumkin ayni paytda. Muayyan oraliqning barcha nuqtalarida differentsiallanuvchi funksiya shu oraliqda differentsiallanuvchi deyiladi.

 Teorema . Agar funktsiya y=y(x) farqlanadigan, shu jumladan. X 0 , keyin bu nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Shunday qilib, davomiylik– funksiyaning differentsiallanishi uchun zarur (lekin yetarli emas) shart.

1. argument o‘sishi va funksiya o‘sishi.

Funktsiya berilgan bo'lsin. Keling, ikkita argument qiymatini olaylik: boshlang'ich va o'zgartirilgan, bu odatda belgilanadi
, Qayerda - birinchi qiymatdan ikkinchisiga o'tishda argumentning o'zgarishi miqdori deyiladi argument ortishi.

Argument qiymatlari va muayyan funktsiya qiymatlariga mos keladi: boshlang'ich va o'zgardi
, kattaligi , bu orqali argument qiymat bo'yicha o'zgarganda funktsiyaning qiymati o'zgaradi, deyiladi funktsiyaning o'sishi.

2. funksiyaning nuqtadagi chegarasi tushunchasi.

Raqam funksiyaning chegarasi deyiladi
moyillik bilan , agar biron bir raqam uchun
shunday raqam bor
bu hammaning oldida
, tengsizlikni qondirish
, tengsizlik qanoatlantiriladi
.

Ikkinchi ta'rif: Agar biron bir raqam uchun nuqtaning qo'shnisi mavjud bo'lsa, bu raqam funktsiyaning chegarasi deb ataladi, chunki u har qanday raqam uchun bu qo'shnilar uchun . Belgilangan
.

3. nuqtadagi cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funktsiya nuqtada - chegarasi berilgan nuqtaga moyil bo'lganda, nolga teng bo'lgan funktsiya. Nuqtadagi cheksiz katta funksiya berilgan nuqtaga intilganda chegarasi cheksizlikka teng bo‘lgan funksiyadir.

4. chegaralar va ulardan kelib chiqadigan oqibatlar haqidagi asosiy teoremalar (isbotsiz).

natija: doimiy omil chegara belgisidan tashqari olinishi mumkin:

Agar ketma-ketliklar va yaqinlashadi va ketma-ketlikning chegarasi nolga teng bo'ladi, u holda

natija: doimiy omil chegara belgisidan tashqarida olinishi mumkin.

11. funksiyalar uchun cheklovlar mavjud bo'lsa
Va
va funksiyaning chegarasi nolga teng,

u holda funktsiyalar chegaralarining nisbatiga teng bo'lgan ularning nisbati chegarasi ham mavjud va:

.

12. agar
, Bu
, buning aksi ham to'g'ri.

13. Oraliq ketma-ketlikning chegarasi haqidagi teorema. Agar ketma-ketliklar
yaqinlashish va
Va
Bu

5. funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

a soni cheksizlikdagi funktsiyaning chegarasi deb ataladi (cheksizlikka moyil bo'lgan x uchun), agar cheksizlikka moyil bo'lgan har qanday ketma-ketlik uchun
raqamga moyil bo'lgan qiymatlar ketma-ketligiga mos keladi A.

6. chegaralar raqamlar ketma-ketligi.

Raqam A agar mavjud bo'lsa, sonlar ketma-ketligining chegarasi deyiladi ijobiy raqam bo'ladi natural son N, hamma uchun shunday n> N tengsizlik mavjud
.

Ramziy jihatdan bu quyidagicha ta'riflanadi:
adolatli.

Haqiqat shundaki, raqam A ketma-ketlikning chegarasi bo'lib, quyidagi tarzda belgilanadi:

.

7. "e" raqami. tabiiy logarifmlar.

Raqam "e" raqamlar ketma-ketligi chegarasini ifodalaydi, n- a'zosi
, ya'ni.

.

Tabiiy logarifm - asosli logarifm e. natural logarifmlar belgilanadi
sababini ko'rsatmasdan.

Raqam
o'nlik logarifmdan naturalga va orqaga o'tish imkonini beradi.

dan o'tish moduli deb ataladi tabiiy logarifmlar kasrga.

8. ajoyib chegaralar
,

.

Birinchi ajoyib chegara:

shunday da

oraliq ketma-ketlik chegarasi teoremasi bo'yicha

Ikkinchi ajoyib chegara:

.

Cheklov mavjudligini isbotlash uchun
lemmadan foydalaning: har qanday uchun haqiqiy raqam
Va
tengsizlik haqiqatdir
(2) (da
yoki
tengsizlik tenglikka aylanadi.)

Ketma-ket (1) quyidagicha yozilishi mumkin:

.

Endi umumiy atama bilan yordamchi ketma-ketlikni ko'rib chiqing
Uning kamayishi va quyida chegaralanganligiga ishonch hosil qilaylik:
Agar
, keyin ketma-ketlik kamayadi. Agar
, keyin ketma-ketlik quyida chegaralanadi. Keling, buni ko'rsatamiz:

tenglik tufayli (2)

ya'ni
yoki
. Ya'ni, ketma-ketlik pasaymoqda va ketma-ketlik quyida chegaralanganligi sababli. Agar ketma-ketlik kamayib borayotgan va pastdan chegaralangan bo'lsa, unda uning chegarasi bor. Keyin

chegarasi va ketma-ketligi bor (1), chunki

Va
.

Bu chegarani L. Eyler deb atadi .

9. bir tomonlama chegaralar, funksiyaning uzilishi.

Agar har qanday ketma-ketlik uchun quyidagi amal bajarilsa, A soni chap chegara hisoblanadi: .

A soni to'g'ri chegara, agar quyidagi ketma-ketlik uchun amal qilsa: .

Agar nuqtada A funksiyani aniqlash sohasiga yoki uning chegarasiga mansub bo‘lsa, funksiyaning uzluksizlik sharti buziladi, keyin nuqta A nuqta moyil bo'lsa, uzilish nuqtasi yoki uzilish deb ataladi

12. cheksiz kamayish hadlari yig'indisi geometrik progressiya. Geometrik progressiya - keyingi va oldingi hadlar orasidagi nisbat o'zgarishsiz qoladigan ketma-ketlik, bu nisbat progressiyaning maxraji deb ataladi. Birinchisining yig'indisi n geometrik progressiyaning a'zolari formula bilan ifodalanadi
Ushbu formuladan kamayuvchi geometrik progressiya uchun foydalanish qulay - uning maxrajining mutlaq qiymati noldan kichik bo'lgan progressiya. - birinchi a'zo; - progressiyaning maxraji; - ketma-ketlikning olingan a'zosining raqami. Cheksiz kamayib boruvchi progressiya yig'indisi deb, son cheksiz ko'payganda, kamayuvchi progressiyaning birinchi hadlari yig'indisi cheksiz yaqinlashadigan songa aytiladi.
Bu. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning hadlari yig'indisi ga teng .

Ta'rif 1

Agar ba'zi bir domendagi ikkita mustaqil o'zgaruvchining qiymatlarining har bir $(x,y)$ jufti uchun ma'lum bir $z$ qiymati bog'langan bo'lsa, $z$ ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x,y) $. Belgilash: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ funksiyaga nisbatan funksiyaning umumiy (jami) va qisman o‘sishlari tushunchalarini ko‘rib chiqamiz.

$z=f(x,y)$ funksiya ikkita mustaqil oʻzgaruvchidan $(x,y)$ berilgan boʻlsin.

Eslatma 1

$(x,y)$ oʻzgaruvchilar mustaqil boʻlgani uchun ulardan biri oʻzgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy boʻlib qoladi.

$y$ o'zgaruvchining qiymatini o'zgarmagan holda $x$ o'zgaruvchisiga $\Delta x$ ortishini beraylik.

Shunda $z=f(x,y)$ funksiyasi oʻsishni oladi, u $z=f(x,y)$ funksiyaning $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman oʻsishi deb ataladi. Belgilanishi:

Xuddi shunday, biz $y$ oʻzgaruvchisiga $\Delta y$ ortishini beramiz, shu bilan birga $x$ oʻzgaruvchisining qiymatini oʻzgarmagan holda qoʻyamiz.

Shunda $z=f(x,y)$ funksiyasi oʻsishni oladi, u $y$ oʻzgaruvchisiga nisbatan $z=f(x,y)$ funksiyaning qisman oʻsishi deb ataladi. Belgilanishi:

Agar $x$ argumentiga $\Delta x$ ortishi va $y$ argumentiga $\Delta y$ qoʻshimchasi berilsa, biz shunday boʻlamiz. to'liq o'sish berilgan funksiya$z=f(x,y)$. Belgilanishi:

Shunday qilib, bizda:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyani $x$ ga qisman oshirish;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyani $y$ ga qisman oshirish;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy oshib borishi.

1-misol

Yechim:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $x$ dan qisman o'sishi;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $y$ ga nisbatan qisman oshishi.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

2-misol

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ uchun $(1;2)$ nuqtada $z=xy$ funksiyasining qisman va umumiy oʻsishini hisoblang.

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyasini $y$ ga qisman oshirish;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

Demak,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Eslatma 2

Berilgan $z=f(x,y)$ funktsiyaning umumiy o'sishi uning $\Delta _(x) z$ va $\Delta _(y) z$ qisman o'sishlari yig'indisiga teng emas. Matematik belgilar: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

3-misol

Funktsiya uchun bayonot bayonotini tekshiring

Yechim:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (1-misolda olingan)

Berilgan $z=f(x,y)$ funksiyaning qisman oʻsishlar yigʻindisi topilsin

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Ta'rif 2

Agar biron bir domendagi uchta mustaqil o'zgaruvchining har bir uchlik $(x,y,z)$ qiymati uchun ma'lum bir $w$ qiymati bog'langan bo'lsa, $w$ uchta o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x, bu hududda y,z)$.

Belgilash: $w=f(x,y,z)$.

Ta'rif 3

Agar ma'lum bir mintaqadagi mustaqil o'zgaruvchilar qiymatlarining har bir $(x,y,z,...,t)$ to'plami uchun ma'lum bir $w$ qiymati bog'langan bo'lsa, u holda $w$ funktsiya deyiladi. bu sohada $(x,y, z,...,t)$ oʻzgaruvchilari.

Belgilash: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyasi uchun, xuddi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi kabi, har bir o'zgaruvchi uchun qisman o'sishlar aniqlanadi:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,...) funksiyaning qisman o'sishi. ,t )$ tomonidan $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w funksiyasining qisman o'sishi. =f (x,y,z,...,t)$ $t$.

4-misol

Qisman va umumiy o'sish funksiyalarini yozing

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $y$ dan qisman oshishi;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $z$ dan qisman oshishi;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funktsiyaning umumiy o'sishi.

5-misol

$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\ uchun $(1;2;1)$ nuqtada $w=xyz$ funksiyasining qisman va umumiy oʻsishini hisoblang. \, \Delta z=0,1$.

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasini $y$ ga qisman oshirish;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $z$ dan qisman o'sishi;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

Demak,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

BILAN geometrik nuqta Ko'rish nuqtai nazaridan $z=f(x,y)$ funktsiyaning umumiy o'sishi (ta'rifi bo'yicha $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) $M(x,y)$ nuqtadan $M_(1) nuqtaga (x+\Delta x,y+) oʻtishda $z =f(x,y)$ funksiya grafigi ilovasining oʻsishiga teng. \Delta y)$ (1-rasm).

1-rasm.

Ta'rif 1

Agar ba'zi bir domendagi ikkita mustaqil o'zgaruvchining qiymatlarining har bir $(x,y)$ jufti uchun ma'lum bir $z$ qiymati bog'langan bo'lsa, $z$ ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x,y) $. Belgilash: $z=f(x,y)$.

$z=f(x,y)$ funksiyaga nisbatan funksiyaning umumiy (jami) va qisman o‘sishlari tushunchalarini ko‘rib chiqamiz.

$z=f(x,y)$ funksiya ikkita mustaqil oʻzgaruvchidan $(x,y)$ berilgan boʻlsin.

Eslatma 1

$(x,y)$ oʻzgaruvchilar mustaqil boʻlgani uchun ulardan biri oʻzgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy boʻlib qoladi.

$y$ o'zgaruvchining qiymatini o'zgarmagan holda $x$ o'zgaruvchisiga $\Delta x$ ortishini beraylik.

Shunda $z=f(x,y)$ funksiyasi oʻsishni oladi, u $z=f(x,y)$ funksiyaning $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman oʻsishi deb ataladi. Belgilanishi:

Xuddi shunday, biz $y$ oʻzgaruvchisiga $\Delta y$ ortishini beramiz, shu bilan birga $x$ oʻzgaruvchisining qiymatini oʻzgarmagan holda qoʻyamiz.

Shunda $z=f(x,y)$ funksiyasi oʻsishni oladi, u $y$ oʻzgaruvchisiga nisbatan $z=f(x,y)$ funksiyaning qisman oʻsishi deb ataladi. Belgilanishi:

Agar $x$ argumentiga $\Delta x$, $y$ argumentiga $\Delta y$ ortishi berilsa, $z=f(x,y)$ funksiyaning toʻliq oʻsishiga erishiladi. olinadi. Belgilanishi:

Shunday qilib, bizda:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyani $x$ ga qisman oshirish;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyani $y$ ga qisman oshirish;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy oshib borishi.

1-misol

Yechim:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $x$ dan qisman o'sishi;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $y$ ga nisbatan qisman oshishi.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

2-misol

$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ uchun $(1;2)$ nuqtada $z=xy$ funksiyasining qisman va umumiy oʻsishini hisoblang.

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $z=f(x,y)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyasini $y$ ga qisman oshirish;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

Demak,

\[\Delta _(x) z=(1+0,1)\cdot 2=2,2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0,1)=2,1 \] \[\Delta z= (1+0,1)\cdot (2+0,1)=1,1\cdot 2,1=2,31.\]

Eslatma 2

Berilgan $z=f(x,y)$ funktsiyaning umumiy o'sishi uning $\Delta _(x) z$ va $\Delta _(y) z$ qisman o'sishlari yig'indisiga teng emas. Matematik belgilar: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

3-misol

Funktsiya uchun bayonot bayonotini tekshiring

Yechim:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (1-misolda olingan)

Berilgan $z=f(x,y)$ funksiyaning qisman oʻsishlar yigʻindisi topilsin

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Ta'rif 2

Agar biron bir domendagi uchta mustaqil o'zgaruvchining har bir uchlik $(x,y,z)$ qiymati uchun ma'lum bir $w$ qiymati bog'langan bo'lsa, $w$ uchta o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x, bu hududda y,z)$.

Belgilash: $w=f(x,y,z)$.

Ta'rif 3

Agar ma'lum bir mintaqadagi mustaqil o'zgaruvchilar qiymatlarining har bir $(x,y,z,...,t)$ to'plami uchun ma'lum bir $w$ qiymati bog'langan bo'lsa, u holda $w$ funktsiya deyiladi. bu sohada $(x,y, z,...,t)$ oʻzgaruvchilari.

Belgilash: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Uch yoki undan ortiq o'zgaruvchining funktsiyasi uchun, xuddi ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi kabi, har bir o'zgaruvchi uchun qisman o'sishlar aniqlanadi:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,...) funksiyaning qisman o'sishi. ,t )$ tomonidan $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w funksiyasining qisman o'sishi. =f (x,y,z,...,t)$ $t$.

4-misol

Qisman va umumiy o'sish funksiyalarini yozing

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $y$ dan qisman oshishi;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $z$ dan qisman oshishi;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funktsiyaning umumiy o'sishi.

5-misol

$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\ uchun $(1;2;1)$ nuqtada $w=xyz$ funksiyasining qisman va umumiy oʻsishini hisoblang. \, \Delta z=0,1$.

Yechim:

Qisman o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $x$ dan qisman oshishi.

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasini $y$ ga qisman oshirish;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyasining $z$ dan qisman o'sishi;

Umumiy o'sish ta'rifi bo'yicha biz quyidagilarni topamiz:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - $w=f(x,y,z)$ funksiyaning umumiy o'sishi.

Demak,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0,1)\cdot (1+0,1) =1,1\cdot 2,1\cdot 1,1=2,541.\]

Geometrik nuqtai nazardan $z=f(x,y)$ funktsiyaning umumiy o'sishi (ta'rifi bo'yicha $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $) $M(x,y)$ nuqtadan $M_(1) nuqtaga (x+\Delta x,y+) oʻtishda $z=f(x,y)$ grafik funksiyasi qoʻllanilishining oʻsishiga teng. \Delta y)$ (1-rasm).

1-rasm.