Ir ratsional son cheksiz davriy bo'lmagan kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Irratsional sonlar to'plami $I$ bilan belgilanadi va quyidagilarga teng: $I=R / Q$ .

Masalan. Irratsional sonlar:

Irratsional sonlar ustida amallar

Irratsional sonlar to'plamida to'rtta asosiy arifmetik amalni kiritish mumkin: qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish; lekin sanab o'tilgan amallarning hech biri uchun irratsional sonlar to'plami yopiq bo'lish xususiyatiga ega emas. Masalan, ikkita irratsional sonning yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.

Masalan. $0.1010010001 \ldots$ va $0.0101101110 \ldots$ ikkita irratsional sonning yigʻindisini topamiz. Bu raqamlarning birinchisi mos ravishda bir nol, ikkita nol, uchta nol va boshqalar bilan ajratilgan birliklar ketma-ketligi bilan hosil bo'ladi, ikkinchisi - nollar ketma-ketligi bilan, ularning orasiga bitta, ikkita bir, uchta birlik, va boshqalar:

$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Shunday qilib, berilgan ikkita irratsional sonning yig'indisi $\frac(1)(9)$ soni bo'lib, bu ratsionaldir.

Misol

Mashq qilish.$\sqrt(3)$ soni irratsional ekanligini isbotlang.

Isbot. Qarama-qarshilik bilan isbotlash usulidan foydalanamiz. Faraz qilaylik, $\sqrt(3)$ ratsional son, ya'ni uni $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ kasr shaklida ifodalash mumkin, bu erda $m$ va $n$ natural sonlarni ko‘paytirish.

Keling, tenglikning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz va olamiz

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Chap oʻq 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

3$\cdot n^(2)$ soni 3 ga bo'linadi. Demak, $m^(2)$ va demak, $m$ 3 ga bo'linadi. $m=3 \cdot k$ deb faraz qilsak, tenglik $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ sifatida yozish mumkin

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Chapga oʻq 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Chap oʻq n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Oxirgi tenglikdan kelib chiqadiki, $n^(2)$ va $n$ 3 ga boʻlinadi, shuning uchun $\frac(m)(n)$ kasri 3 ga kamayishi mumkin. Ammo taxminga koʻra, $ kasr. \frac(m)( n)$ kamaytirilmaydi. Olingan qarama-qarshilik $\sqrt(3)$ sonini $\frac(m)(n)$ kasr sifatida ifodalash mumkin emasligini va shuning uchun irratsional ekanligini isbotlaydi.

Q.E.D.

Biz avvalroq $1\frac25$ $\sqrt2$ ga yaqin ekanligini ko'rsatdik. Agar u $\sqrt2$ ga to'liq teng bo'lsa, . Keyin nisbat $\frac(1\frac25)(1)$ bo'lib, kasrning yuqori va pastki qismini 5 ga ko'paytirish orqali $\frac75$ butun son nisbatiga aylantirilishi mumkin va kerakli qiymat bo'ladi.

Ammo, afsuski, $1\frac25$ $\sqrt2$ ning aniq qiymati emas. Aniqroq javob, $1\frac(41)(100)$, bizga $\frac(141)(100)$ munosabatini beradi. Biz $\sqrt2$ ni $1\frac(207)(500)$ ga tenglashtirganda yanada yuqori aniqlikka erishamiz. Bunday holda, butun sonlardagi nisbat $\frac(707)(500)$ ga teng bo'ladi. Lekin $1\frac(207)(500)$ 2 ning kvadrat ildizining aniq qiymati emas. Yunon matematiklari $\sqrt2$ ning aniq qiymatini hisoblash uchun koʻp vaqt va kuch sarfladilar, lekin hech qachon muvaffaqiyatga erisha olmadilar. Ular $\frac(\sqrt2)(1)$ nisbatini butun sonlar nisbati sifatida ifodalay olmadilar.

Nihoyat, buyuk yunon matematigi Evklid hisob-kitoblarning aniqligi qanchalik oshmasin, $\sqrt2$ ning aniq qiymatini olish mumkin emasligini isbotladi. Kvadrati bo‘lganda 2 ga chiqadigan kasr yo‘q. Ular birinchi bo‘lib Pifagor bu xulosaga kelgan, deyishadi, lekin bu tushunarsiz fakt Olim shu qadar hayratga tushdiki, u o‘ziga qasam ichib, shogirdlaridan bu kashfiyotni sir saqlashga qasamyod qildi. Biroq, bu ma'lumot haqiqat bo'lmasligi mumkin.

Ammo agar $\frac(\sqrt2)(1)$ sonini butun sonlar nisbati sifatida ifodalab boʻlmasa, unda $\sqrt2$ ni oʻz ichiga olgan raqam boʻlmaydi, masalan $\frac(\sqrt2)(2)$ yoki $\frac (4)(\sqrt2)$ ni ham butun sonlar nisbati sifatida ifodalab bo'lmaydi, chunki bunday kasrlarning barchasini $\frac(\sqrt2)(1)$ ga qandaydir songa ko'paytirish mumkin. Shunday qilib, $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Yoki $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$ boʻlib, uni $\frac(4) olish uchun yuqori va pastni $\sqrt2$ ga koʻpaytirish orqali aylantirish mumkin. (\sqrt2)$. (Biz $\sqrt2$ soni qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni $\sqrt2$ ga ko'paytirsak, 2 ga ega bo'lishini yodda tutishimiz kerak.)

$\sqrt2$ sonini butun sonlar nisbati sifatida ifodalash mumkin emasligi sababli, u deyiladi irratsional son. Boshqa tomondan, butun sonlar nisbati sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan barcha raqamlar chaqiriladi oqilona.

Barcha musbat va manfiy butun va kasr sonlar ratsionaldir.

Ma'lum bo'lishicha, ko'pchilik kvadrat ildizlar irratsional sonlardir. Ratsional kvadrat ildizlar faqat qatordagi raqamlar mavjud kvadrat raqamlar. Bu raqamlar mukammal kvadratlar deb ham ataladi. Ratsional sonlar ham bu mukammal kvadratlardan tuzilgan kasrlardir. Masalan, $\sqrt(1\frac79)$ ratsional son, chunki $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ yoki $1\frac13$ (4 - ildiz). 16 ning kvadrat ildizi, 3 esa 9 ning kvadrat ildizi).

Qadimgi matematiklar birlik uzunligi segmenti haqida allaqachon bilishgan: ular, masalan, diagonali va kvadratning yon tomonining o'zaro mos kelmasligini bilishgan, bu raqamning irratsionalligiga tengdir.

Mantiqiy emas:

Mantiqsizlikni isbotlash misollari

2 ning ildizi

Buning teskarisini faraz qilaylik: u ratsional, ya’ni kamaytirilmaydigan kasr ko‘rinishida ifodalanadi, bu yerda va butun sonlardir. Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

Bundan kelib chiqadiki, hatto juft va . Hammasi bo'lgan joyda bo'lsin. Keyin

Shuning uchun juftlik juft va ni bildiradi. Biz va juft ekanligini topdik, bu esa kasrning qaytarilmasligiga ziddir. Bu dastlabki taxmin noto'g'ri ekanligini anglatadi va - irratsional son.

3 raqamining ikkilik logarifmi

Buning aksini faraz qilaylik: u ratsional, ya'ni kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlardir. dan beri va ijobiy bo'lishi uchun tanlanishi mumkin. Keyin

Ammo juft va g'alati. Biz qarama-qarshilikni olamiz.

e

Hikoya

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yillar - miloddan avvalgi 690-yillar) 2 va 61 kabi baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini aniq ifodalab boʻlmasligini aniqlaganida soʻzsiz qabul qilingan. .

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda pifagoriyalik Metapontlik Gipasga (miloddan avvalgi 500-yillar) tegishli boʻlib, bu dalilni pentagramma tomonlarining uzunliklarini oʻrganish orqali topgan. Pifagorchilar davrida, har qanday segmentga butun son marta kiradigan etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan. Biroq, Gipasus uzunlikning yagona birligi yo'qligini ta'kidladi, chunki uning mavjudligini taxmin qilish qarama-qarshilikka olib keladi. U ko'rsatdiki, agar teng yon tomonning gipotenuzasi to'g'ri uchburchak birlik segmentlarining butun sonini o'z ichiga oladi, keyin bu raqam ham juft, ham toq bo'lishi kerak. Dalil shunday ko'rinardi:

• Gipotenuzaning uzunligini teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligiga nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin. a:b, Qayerda a Va b eng kichiki sifatida tanlanadi.
• Pifagor teoremasiga ko'ra: a² = 2 b².
• Chunki a- hatto, a juft bo'lishi kerak (chunki toq sonning kvadrati toq bo'lar edi).
• Chunki a:b qaytarilmas b g'alati bo'lishi kerak.
• Chunki a hatto, belgilaymiz a = 2y.
• Keyin a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², shuning uchun b- hatto, keyin b hatto.
• Biroq, bu isbotlangan b g'alati. Qarama-qarshilik.

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(so'zlab bo'lmaydi), lekin afsonalarga ko'ra, ular Hippasusga hurmat ko'rsatmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkin degan ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratgani uchun" uloqtirilgan. Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasiga qarshi chiqdi jiddiy muammo, raqamlari va butun nazariyasi asosidagi taxminni yo'q qilish geometrik jismlar birlashgan va ajralmas.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Irratsional sonning ta’rifi

Irratsional sonlar - o'nli yozuvda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni ifodalovchi raqamlar.

Masalan, natural sonlarning kvadrat ildizini olish orqali olingan sonlar irratsionaldir va natural sonlarning kvadratlari emas. Lekin hamma irratsional sonlar kvadrat ildiz olish yo‘li bilan olinmaydi, chunki bo‘lish natijasida olingan pi soni ham irratsionaldir va natural sonning kvadrat ildizini ajratib olishga urinib, uni olish dargumon.

Irratsional sonlarning xossalari

Cheksiz o'nli kasr sifatida yozilgan raqamlardan farqli o'laroq, faqat irratsional sonlar davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlar sifatida yoziladi.
Ikki manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.
Irratsional sonlar Dedekind bo'limlarini ratsional sonlar to'plamida, quyi sinfda bo'lmagan holda belgilaydi. katta raqam, va yuqori qismida kam emas.
Har qanday haqiqiy transsendental son irratsionaldir.
Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendentaldir.
Chiziqdagi irratsional sonlar to'plami zich joylashgan va uning istalgan ikkita soni orasida irratsional son bo'lishi aniq.
Irratsional sonlar to'plami cheksiz, hisoblab bo'lmaydigan va 2-toifali to'plamdir.
Ratsional sonlar ustida har qanday arifmetik amalni bajarishda, 0 ga bo'lishdan tashqari, natijada ratsional son bo'ladi.
Ratsional sonni irratsional songa qo'shganda, natija har doim irratsional son bo'ladi.
Irratsional sonlarni qo'shganda biz ratsional songa ega bo'lishimiz mumkin.
Irratsional sonlar to'plami juft emas.

Raqamlar irratsional emas

Ba'zida raqam irratsionalmi degan savolga javob berish juda qiyin, ayniqsa raqam shaklga ega bo'lgan hollarda kasr yoki raqamli ifoda, ildiz yoki logarifm sifatida.

Shuning uchun, qaysi raqamlar mantiqiy emasligini bilish ortiqcha bo'lmaydi. Agar biz irratsional sonlarning ta'rifiga amal qilsak, ratsional sonlar irratsional bo'lishi mumkin emasligini allaqachon bilamiz.

Irratsional sonlar:

Birinchidan, barcha natural sonlar;
Ikkinchidan, butun sonlar;
Uchinchidan, oddiy kasrlar;
To'rtinchidan, turli xil aralash raqamlar;
Beshinchidan, bular cheksiz davriy kasrlardir.

Yuqorida aytilganlarning barchasiga qo'shimcha ravishda, +, -, , : kabi arifmetik amallarning belgilari bilan bajariladigan ratsional sonlarning har qanday birikmasi irratsional son bo'lishi mumkin emas, chunki bu holda ikkita ratsional sonning natijasi ham bo'ladi. ratsional son.

Keling, qaysi raqamlar irratsional ekanligini ko'rib chiqaylik:

Ushbu sirli matematik hodisa muxlislari Pi haqida tobora ko'proq ma'lumot izlayotgan, uning sirini ochishga harakat qiladigan fan-klub mavjudligi haqida bilasizmi? Kasrdan keyin ma'lum miqdordagi Pi raqamlarini yoddan biladigan har qanday shaxs ushbu klubga a'zo bo'lishi mumkin;

Bilasizmi, Germaniyada YuNESKO himoyasi ostida Kastadel Monte saroyi mavjud bo'lib, uning nisbati tufayli siz Pi ni hisoblashingiz mumkin. Qirol Fridrix II butun saroyni shu raqamga bag'ishlagan.

Ma’lum bo‘lishicha, ular qurilish vaqtida Pi raqamidan foydalanishga uringan Bobil minorasi. Ammo, afsuski, bu loyihaning qulashiga olib keldi, chunki o'sha paytda Pi qiymatining aniq hisob-kitobi etarlicha o'rganilmagan.

Xonanda Kate Bush o'zining yangi diskida "Pi" deb nomlangan qo'shiqni yozdi, unda mashhur 3, 141 ... seriyasining bir yuz yigirma to'rtta raqami eshitildi.

Va p

Shunday qilib, irratsional sonlar to'plami farqdir I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \teskari chiziq \mathbb (Q) ) haqiqiy va ratsional sonlar to‘plami.

Irratsional sonlar, aniqrog'i, birlik uzunlikdagi segment bilan taqqoslanmaydigan segmentlar mavjudligi qadimgi matematiklarga allaqachon ma'lum bo'lgan: ular, masalan, kvadratning diagonali va tomonining nomutanosibligini bilishgan, bu esa kvadratning irratsionalligiga ekvivalentdir. raqam 2 (\displaystyle (\sqrt (2))).

Xususiyatlari

• Ikki musbat irratsional sonlar yig‘indisi ratsional son bo‘lishi mumkin.
• Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind bo‘limlarini belgilaydi, ular quyi sinfda eng katta songa ega bo‘lmagan va yuqori sinfda eng kichik raqamga ega bo‘lmaydi.
• Irratsional sonlar to'plami raqamlar chizig'ining hamma joyida zich joylashgan: har qanday ikkita aniq son o'rtasida irratsional son mavjud.
• Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar to‘plamidagi tartib bilan izomorf. [ ]

Algebraik va transsendental sonlar

Har bir irratsional son algebraik yoki transsendentaldir. Ko'pchilik algebraik raqamlar hisoblanuvchi to‘plamdir. Haqiqiy sonlar to'plami sanoqsiz bo'lgani uchun, irratsional sonlar to'plami ham sanab bo'lmaydi.

Irratsional sonlar to'plami ikkinchi toifadagi to'plamdir.

Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

Hikoya

Antik davr

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (taxminan miloddan avvalgi 750-690 yillar) 2 va 61 kabi baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini aniq ifodalab boʻlmasligini aniqlaganida, bilvosita qabul qilingan [ ] .

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi isboti, aniqrog'i, o'lchovsiz segmentlarning mavjudligi odatda Metapontum Pifagor Gipasiga (taxminan miloddan avvalgi 470 yil) tegishli. Pifagorchilar davrida, har qanday segmentda butun sonni o'z ichiga olgan etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan. ] .

Hippasus tomonidan qaysi raqam mantiqiy emasligi isbotlanganligi haqida aniq ma'lumotlar yo'q. Afsonaga ko'ra, u buni pentagramning tomonlar uzunligini o'rganish orqali topdi. Shuning uchun, bu oltin nisbat edi, deb taxmin qilish o'rinli, chunki bu oddiy beshburchakda diagonalning yon tomonga nisbati.

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(so'zlab bo'lmaydi), lekin afsonalarga ko'ra, ular Hippasusga hurmat ko'rsatmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkin degan ta'limotni inkor etuvchi koinot elementini yaratgani uchun" uloqtirilgan. Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug'dirdi, bu raqamlar va geometrik jismlar bir va ajralmas ekanligi haqidagi asosiy taxminni yo'q qildi.

Keyinchalik Knidlik Evdoks (miloddan avvalgi 410 yoki 408 yillar - miloddan avvalgi 355 yoki 347 yillar) ham ratsional, ham irratsional munosabatlarni hisobga oladigan nisbatlar nazariyasini ishlab chiqdi. Bu irratsional sonlarning asosiy mohiyatini tushunish uchun asos bo'lib xizmat qildi. Miqdor raqam sifatida emas, balki chiziq segmentlari, burchaklar, maydonlar, hajmlar, vaqt oraliqlari kabi ob'ektlarning belgilanishi - doimiy ravishda o'zgarishi mumkin bo'lgan ob'ektlar (so'zning zamonaviy ma'nosida) sifatida qarala boshlandi. Kattalik raqamlarga qarama-qarshi qo'yilgan, ular faqat bir raqamdan ikkinchisiga, masalan, 4 dan 5 gacha, "sakrash" orqali o'zgarishi mumkin. Raqamlar eng kichik bo'linmas miqdordan iborat, miqdorlar esa cheksiz ravishda kamaytirilishi mumkin.

Hech qanday miqdoriy qiymat kattalik bilan bog'liq bo'lmaganligi sababli, Evdoks kasrni ikki miqdorning nisbati sifatida va mutanosiblikni ikki kasrning tengligi sifatida belgilashda mutanosib va ​​nomutanosib miqdorlarni qamrab oldi. Tenglamalardan miqdoriy qiymatlarni (raqamlarni) olib tashlash orqali u irratsional miqdorni raqam deb atash tuzog'idan qochdi. Evdoks nazariyasi yunon matematiklariga geometriyada aql bovar qilmaydigan yutuqlarga erishishga imkon berdi va ularga tengsiz kattaliklar bilan ishlash uchun zarur mantiqiy asos yaratdi. Evklid elementlarining o'ninchi kitobi irratsional miqdorlarni tasniflashga bag'ishlangan.

O'rta yosh

O'rta asrlar nol, kabi tushunchalarning qabul qilinishi bilan belgilandi manfiy raqamlar, butun sonlar va kasrlar, avval hind, keyin esa xitoy matematiklari tomonidan. Keyinchalik manfiy sonlarni algebraik ob'ektlar deb hisoblagan arab matematiklari ham qo'shildi. teng huquqlar Bilan ijobiy raqamlar), bu hozirda algebra deb ataladigan fanni rivojlantirishga imkon berdi.

Arab matematiklari qadimgi yunoncha "son" va "kattalik" tushunchalarini haqiqiy raqamlarning yagona, umumiyroq g'oyasiga birlashtirgan. Ular Evklidning munosabatlar haqidagi g'oyalarini tanqid qildilar, undan farqli o'laroq, ular ixtiyoriy miqdorlar munosabatlari nazariyasini ishlab chiqdilar va son tushunchasini munosabatlarga kengaytirdilar; doimiy miqdorlar. Fors matematigi Al Maxani (taxminan milodiy 800-yil) Evklidning “10 element” kitobiga sharhida kvadratik irratsional sonlar (shakl raqamlari) va umumiyroq kubik irratsional sonlarni oʻrganib, tasniflagan. U ratsional va irratsional miqdorlarni aniqlab, ularni irratsional sonlar deb atagan. U bu ob'ektlar bilan oson ishladi, lekin ular haqida alohida ob'ektlar sifatida gapirdi, masalan:

Evklidning kattaliklar birinchi navbatda chiziq boʻlaklari degan tushunchasidan farqli oʻlaroq, Al Maxani butun son va kasrlarni ratsional miqdorlar, kvadrat va kub ildizlarni esa irratsional miqdor deb hisoblagan. Shuningdek, u irratsional sonlar to'plamiga arifmetik yondashuvni kiritdi, chunki u quyidagi miqdorlarning irratsionalligini ko'rsatdi:

Misrlik matematik Abu Komil (taxminan milodiy 850 - milodiy 930 y.) birinchi boʻlib irratsional sonlarni yechim sifatida tan olishni maqbul deb hisoblagan. kvadrat tenglamalar yoki tenglamalardagi koeffitsientlar - asosan kvadrat yoki kubik ildizlar, shuningdek, to'rtinchi darajali ildizlar shaklida. 10-asrda Iroq matematigi Al Hoshimiy irratsional va ratsional sonlar boʻyicha koʻpaytma, boʻlim va boshqa matematik oʻzgarishlar natijalarining irratsionalligining umumiy dalillarini (vizual geometrik namoyishlar oʻrniga) ishlab chiqdi. Al Xazin (milodiy 900 - milodiy 971) ratsional va irratsional miqdorga quyidagi ta'rifni beradi:

Bu g‘oyalarning ko‘pchiligi keyinchalik 12-asrda arab matnlari lotin tiliga tarjima qilingandan keyin yevropalik matematiklar tomonidan qabul qilingan. Mag‘riblik arab matematigi, islomiy meros qonunlari bo‘yicha ixtisoslashgan Al Hassar XII asrda kasrlar uchun zamonaviy ramziy matematik yozuvni kiritib, hisob va maxrajni gorizontal chiziqqa bo‘ldi. Xuddi shu belgi 13-asrda Fibonachchi asarlarida paydo bo'lgan. XIV-XVI asrlarda. Sangamagramalik Madxava va Kerala astronomiya va matematika maktabi vakillari ba'zi bir irratsional sonlarga, masalan, p ga yaqinlashuvchi cheksiz qatorlarni o'rganib chiqdilar, shuningdek, ba'zilarining irratsionalligini ko'rsatdilar. trigonometrik funktsiyalar. Jestadeva bu natijalarni Yuktibhaza kitobida taqdim etdi. (bir vaqtning o'zida transsendental sonlarning mavjudligini isbotlash), shu bilan Evklidning irratsional sonlarni tasniflash bo'yicha ishini qayta ko'rib chiqish. Bu mavzudagi asarlar 1872 yilda nashr etilgan

Irratsional sonlar bilan chambarchas bog'liq bo'lgan davomli kasrlar (davomli kasr berilgan raqam, cheksizdir, agar son irratsional bo'lsa), birinchi marta 1613 yilda Kataldi tomonidan o'rganilgan, so'ngra Eyler ishida yana e'tiborga tushgan va yilda XIX boshi asr - Lagrange asarlarida. Dirixlet davomli kasrlar nazariyasining rivojlanishiga ham katta hissa qo'shdi. 1761 yilda Lambert buni ko'rsatish uchun davomli kasrlardan foydalangan p (\displaystyle \pi) ratsional son emas, shuningdek, bu e x (\displaystyle e^(x)) Va tg ⁡ x (\displaystyle \operator nomi (tg) x) nolga teng bo'lmagan har qanday ratsional uchun irratsionaldir x (\displaystyle x). Lambertning isbotini to'liq emas deb atash mumkin bo'lsa-da, u odatda juda qattiq deb hisoblanadi, ayniqsa yozilgan vaqtni hisobga olgan holda. 1794 yilda Legendre Bessel-Klifford funktsiyasini kiritgandan so'ng, buni ko'rsatdi. p 2 (\displaystyle \pi ^(2)) mantiqsiz, irratsionallik qayerdan keladi? p (\displaystyle \pi) arzimas tarzda ergashadi (kvadrat ratsional son ratsional sonni beradi).

Transsendental raqamlarning mavjudligi Liouville tomonidan 1844-1851 yillarda isbotlangan. Keyinchalik, Georg Kantor (1873) ularning mavjudligini boshqa usul yordamida ko'rsatdi va haqiqiy qatorning har qanday oralig'ida cheksiz miqdordagi transsendental sonlar borligini ta'kidladi. Charlz Ermit 1873 yilda buni isbotladi e transsendental va 1882 yilda Ferdinand Lindemann bu natijaga asoslanib, transsendensiyani ko'rsatdi. p (\displaystyle \pi) Adabiyot