5-ma'ruza. Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema

5. 1. Kuch ishi

Kuch bo'lsin - P nuqtasiga qo'llaniladigan tizimning barcha kuchlarining natijasi va ( dx, dy, dz) – P nuqtaning P 1 P 2 traektoriyasi bo‘ylab elementar harakati (5.1-rasm). Boshlang'ich ish dA kuchlar skalyar mahsulot deyiladi

Elementar ish skalyar miqdordir. Agar kuch va siljish yo'nalishi orasidagi burchak bo'lsa, (5.1) ifoda quyidagicha ifodalanishi mumkin.

bu erda kuchning elementar siljish yo'nalishiga (yoki nuqta tezligi yo'nalishiga) proyeksiyasi.

Elementar ishning belgisi funksiya belgisiga bog'liq. Agar - o'tkir burchak, u holda , agar o'tkir burchak bo'lsa, u holda , agar , u holda.

Nuqtaga ruxsat bering R yoyni tasvirlab, pozitsiyadan pozitsiyaga yakuniy harakatni amalga oshiradi. Keling, yoyni ikkiga ajratamiz n raqam bilan bo'limning uzunligini ko'rsatadigan o'zboshimchalik bilan kichik bo'limlar k orqali. Keyin kuchning elementar ishi k- bo'lim ga teng bo'ladi va butun yo'l - alohida bo'limlarda ish hajmi

Ishning aniq qiymatini bo'limlar soni bo'lishi sharti bilan chegaraga o'tish orqali olamiz n cheksiz ravishda oshadi va har bir qismning uzunligi kamayadi:

.

Bunday chegara yoy bo'ylab birinchi turdagi egri chiziqli integrali deyiladi va quyidagicha yoziladi.

. (5.3)

Integratsiya natijasi to'liq ishdir A kuch F yo'l bo'ylab ko'rib chiqilgan chekli siljish bo'yicha.

5. 1. 1. Gravitatsiya ishi

Mayli m - nuqta massasi, g- tezlashtirish erkin tushish. Keyin

(5.1) va (5.3) formulalar yordamida ishni hisoblash, biz bor

nuqtaning tushish balandligi qayerda.

Nuqta ko'tarilganda, shuning uchun, .

5. 1. 2. Chiziqli elastik kuchning ishi

Moddiy nuqtaga yo'l qo'ying R eksa bo'ylab harakatlanadi Oh(5.3-rasm) u bog'langan prujinaning ta'siri ostida. Agar da , , keyin kamon deformatsiyalanadi va nuqtaning kichik og'ishlari uchun biz unga bahor tomondan elastik kuch qo'llaniladi deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin elastik kuchning siljishdagi ishi x 0 x 1 teng bo'ladi

. (5.5)

Elastik kuchning ishi qattiqlik koeffitsienti mahsulotining yarmiga va bahorning dastlabki va oxirgi cho'zilishi (yoki siqilishi) kvadratlari orasidagi farqga teng.

5. 1. 3. Qattiq jismga taalluqli kuchlarning elementar ishi

Keling, jismning tekislikdagi harakatini ko'rib chiqaylik. Mayli HAQIDA– qattiq jismdagi ixtiyoriy tanlangan nuqta (5.4-rasm). Keling, uni qutb deb ataymiz. Keyin jismning tekislikdagi harakatini eng oddiy: qutb bilan birga translatsiya harakati va tananing qutb atrofida aylanishi yig'indisi sifatida ifodalash mumkin. Keyin nuqtaning sobit koordinata tizimiga nisbatan tezligi ikki tezlikning geometrik yig'indisi sifatida aniqlanadi.

bu yerda - qutb tezligi, qattiq jismning burchak tezligi vektori, Eyler tezligi, ya'ni nuqtaning qutb atrofida aylanish tezligi.

Biz qattiq jismni mexanik tizim sifatida ifodalaymiz N alohida nuqtalar, ular orasidagi o'zaro masofa o'zgarmaydi.

Kuch ta'sirida nuqtaning siljishini hisoblab chiqamiz:

Keyin.

(5.1) ga muvofiq elementar ish quyidagicha yoziladi

Vektorlarning aralash mahsuloti xossalaridan foydalanish , shakldagi oxirgi ifodani qayta yozamiz

Tananing bir nuqtasida qo'llaniladigan tashqi va ichki (5.4-rasm) barcha kuchlarning natijasi bo'lsin, ya'ni.

.

Keyin (a) shunday yoziladi

(3.1 va 3.2) ga asosan asosiy vektor va Asosiy nuqta ichki kuchlar tizimlar nolga teng, biz olamiz

Bu yerga: - asosiy vektor, – nuqtaga nisbatan tashqi kuchlarning asosiy momenti HAQIDA.

Maxsus holatlar

A. Qattiq jismning translatsion harakati. Tananing barcha nuqtalari kattalik va yo'nalish bo'yicha bir xil siljishlarga ega (5.5-rasm, a), keyin (5.6) dan (bu erda) olamiz:

. (5.7)

B. Qattiq jismni atrofida aylantirish sobit o'q . Eksa bo'lsin z qutb orqali o'tadi HAQIDA(5.5b-rasm). Keyin,; (5.6) dan olamiz

. (5.8)

Misol. Bobin massasi m va radius R doimiy kuch bilan boshqariladi F, nuqtada qo'llaniladi A(5.6-rasm). G'altak qo'pol yuzada sirpanmasdan o'ngga aylanadi.

Agar g'altakning markazi masofaga siljigan bo'lsa, barcha tashqi kuchlarning ishini hisoblang, - aylanma ishqalanish koeffitsienti, - ishqalanish kuchi, r - kuch qo'llaniladigan g'altakning yadrosi radiusi.

Yechim. Bobin tekis harakatda harakat qiladi. Rolling sirpanishsiz sodir bo'lganligi sababli, tezlikning oniy markazi lasanning tekislik bilan aloqa qilish nuqtasida joylashgan, ya'ni. nuqtada R(5.6-rasm). S o'qini gorizontal ravishda o'ngga yo'naltiramiz. Harakat yo'nalishiga muvofiq biz olamiz ijobiy yo'nalish aylanish burchagi soat miliga teskari.

Bobinning markazi bo'lsin BILAN ga o'tadi. Bunday holda, bobin burchak ostida aylanadi. Keyin qayerdan

Fikrni qabul qilib R oniy aylanish o'qi uchun (5.8) formuladan foydalanib, elementar ishni hisoblaymiz:

(A)

Bu erda: kuchlarning harakat chiziqlari va mg aylanish o'qini kesish, shuning uchun; yana, qayerda N- normal reaksiyaning kuchi.

Kerakli ishni aniqlash uchun (a) dan 0 dan oraliqda aniq integral olish kerak. SA. olamiz

5. 2. Quvvat maydoni. Quvvat funktsiyasi. Potensial energiya

Faraz qilaylik, nuqta qandaydir fazoda harakatlanyapti va unga kosmosdan nuqtaning shu fazodagi holatiga bog‘liq bo‘lgan, lekin nuqta harakati tezligiga bog‘liq bo‘lmagan kuch ta’sir ko‘rsatadi. Bunday holda, ular bo'sh joy berilganligini aytishadi kuch maydoni, shuningdek, nuqta kuch maydonida harakat qiladi. Moddiy nuqtalar tizimi uchun mos keladigan tushunchalar o'xshashdir.

Ularni qo'llash nuqtalarining holatiga bog'liq kuchlar mexanikada tez-tez uchrab turadi. Masalan, buloq ta'sirida gorizontal chiziq bo'ylab harakatlanadigan moddiy nuqtaga qo'llaniladigan elastik kuch. Eng muhim misol kuch maydoni tabiatda tortishish maydoni mavjud: Quyoshning ma'lum massali sayyoraga ta'siri fazoning har bir nuqtasida qonun bilan belgilanadi. universal tortishish.

Quvvat maydoni deyiladi salohiyat, agar skalyar funktsiya mavjud bo'lsa U, faqat koordinatalarga qarab , , nuqta - nuqta moddiy tizim(ehtimol vaqti-vaqti bilan), shunday

Funktsiya chaqiriladi quvvat funktsiyasi.

Keling, kuch funktsiyasining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

Boshlang'ich ish (5.1) kuch funktsiyasi bilan quyidagicha bog'langan

Shunday qilib, potentsial kuch maydonidagi kuchning elementar ishi teng to'liq differentsial quvvat funktsiyasidan ii.

Nuqtadan hududdagi kuchning umumiy ishi nuqtaga (5.1-rasm)

bular. . (5.10)

Olingan iboralardan shunday xulosa kelib chiqadi

1. har qanday yopiq yo‘l bo‘ylab potentsial kuch maydonida kuchning bajargan ishi nolga teng;

2. potentsial kuch maydonidagi kuchning ishi faqat yakuniy va boshlang'ich pozitsiyasiga bog'liq ball, lekin harakat yo'lining o'zi muhim emas.

Potensial energiya. Potensial energiya P kuch maydonining ko'rib chiqilgan nuqtasida R moddiy nuqta nuqtadan harakat qilganda unga ta’sir etuvchi maydon kuchlarining bajaradigan ishidir R V boshlang'ich nuqtasi 1, ya'ni.

P= yoki P=

Keling, kuch funktsiyasini bog'laymiz U potentsial energiya bilan. Bizda ... bor

Potensial energiyani hisoblash misollari

1. Yagona tortishish maydoni. Mayli m- nuqta massasi; g - tortishishning tezlashishi. Keyin (5.2-rasm)

2. Elastik bahor kuch maydoni. Moddiy nuqta o'q bo'ylab harakatlansin Oh(5.3-rasm) u bog'langan prujinaning ta'siri ostida. Agar bahorda deformatsiya bo'lmasa, (5.5) formula bo'yicha qabul qilamiz

.

5. 3. Kinetik energiya

5. 3. 1. Sistemaning kinetik energiyasi. Koenig teoremasi

Kinetik energiya moddiy nuqta ular nuqta massasining yarmi mahsuloti va uning tezligi kvadrati deb ataladi, ya'ni. . Kinetik energiya musbat skalyar miqdordir. SI tizimida kinetik energiyaning birligi joul hisoblanadi: .

Kinetik energiya mexanik tizim tizimga kiritilgan barcha nuqtalarning kinetik energiyalarining yig'indisi:

(5.11)

Tizim nuqtalarining tezligi (5.1) sobit mos yozuvlar tizimiga nisbatan aniqlanadi.

Keling, koordinatalarning kelib chiqishini tizimning massa markaziga to'g'rilaymiz. Faraz qilaylik, mexanik tizim koordinatalar sistemasi bilan birgalikda qo'zg'almas koordinatalar sistemasiga nisbatan translyatsion harakat qiladi (5.7-rasm). Nuqta - tizimning nuqtasi.

Keyin tezliklarni qo'shish teoremasi asosida nuqtaning mutlaq tezligi Rk. tizim shunday yoziladi vektor yig'indisi portativ va nisbiy tezliklar:

, (A)

bu erda harakatlanuvchi koordinata tizimining kelib chiqish tezligi (o'tkazuvchan tezlik, ya'ni tizimning massa markazining tezligi); - nuqta tezligi Rk harakatlanuvchi koordinatalar tizimiga nisbatan Ohooz (nisbiy tezlik).

(5.11) formulaga (a) ni almashtirib, olamiz

(5.12)

Mana butun tizimning massasi.

Harakatlanuvchi koordinatalar tizimidagi tizimning massa markazining radius vektori (2.1) ga muvofiq aniqlanadi - , qayerda , ya'ni. . Kelib chiqishidan beri HAQIDA sistemaning massa markazi, keyin , keyin, ya'ni. (5.12) ifodadagi ikkinchi yig’indi nolga teng.

Shunday qilib, (5.12) sistemaning kinetik energiyasi shaklga ega

(5.13)

Bu tenglik belgilaydi Koenig teoremasi.

Teorema. Tizimning kinetik energiyasi tizimning massa markazida joylashgan va massasi tizim massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta ega bo'ladigan kinetik energiya va harakatning kinetik energiyasi yig'indisiga teng. massa markaziga nisbatan tizim.

5. 3. 2. Qattiq jismning kinetik energiyasi

Qattiq jism mexanik tizimning alohida holati bo'lib, uzluksiz taqsimlangan massa sifatida qaraladi, keyin tizimning kinetik energiyasini ifodalashga kiritilgan barcha summalar integrallarga kiradi. Shunday qilib, qattiq jism uchun formula (5.11) shaklni oladi

. (5.14)

1. Oldinga harakatlanuvchi qattiq jismning kinetik energiyasi.

Ushbu turdagi harakat bilan tananing barcha nuqtalarining tezliklari bir xil (5.8-rasm). (5.14) formuladagi integral belgisini chiqarib, biz hosil qilamiz

. (5.15)

Translyatsion harakatlanuvchi qattiq jismning kinetik energiyasi tananing massasi mahsulotining yarmiga tengMtezligining kvadratiga ko'ra.

2. Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan qattiq jismning kinetik energiyasi

Tezlik moduli V qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanadigan har qanday nuqtasi ga teng bo'ladi, bu erda qattiq jismning burchak tezligi moduli - nuqtadan aylanish o'qigacha bo'lgan masofa. z(5.9-rasm). Formulani (5.14) almashtirib, olamiz

Bu yerga – qattiq jismning o‘qqa nisbatan inersiya momenti z.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan qattiq jismning kinetik energiyasi tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti va jismning burchak tezligi kvadratining yarmiga teng.

3. Tekis-parallel harakat paytida qattiq jismning kinetik energiyasi

Tekis-parallel harakatda jismning istalgan nuqtasining tezligi dan iborat geometrik yig'indi qutbning tezligi va qutb atrofida aylanayotganda nuqta tezligi. Tana tekislikda tekis harakatlansin Oksi, Keyin

|| . Biz tananing massa markazini qutb sifatida tanlaymiz, keyin (5.13) formulada tezlik nuqta tezligidir. k qutbga (massa markaziga) nisbatan aylanish paytida tanasi va tengdir , masofa qayerda k- oh, ustunga ishora. Keyin (5.13) qayta yoziladi

Shuni hisobga olib – tananing o'qqa nisbatan inersiya momenti z qutb orqali o'tadi BILAN, oxirgi ifoda sifatida qayta yozilishi mumkin

, (5.17)

jismning tekis-parallel harakatida kinetik energiya massa markazi bilan birgalikda harakatlanish harakatining kinetik energiyasi va massa markazidan oʻtuvchi oʻq atrofida aylanish natijasida hosil boʻlgan kinetik energiya yigʻindisidir. tekislikka perpendikulyar harakatlar.

5. 4. Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema

5. 4. 1. Nuqta kinetik energiyasining o zgarishi haqidagi teorema

Keling, ish va tezlikning o'zgarishi o'rtasidagi bog'liqlikni topaylik. Massasi bo'lgan moddiy nuqta bo'lsin m eksa bo'ylab harakatlanadi Oh kuch ta'sirida, masalan, koordinatalar boshida o'rnatilgan siqilgan yoki siqilgan buloq - nuqta HAQIDA(5.10-rasm). Nuqtaning harakat tenglamasi shaklga ega

Bu tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiramiz va buni hisobga olib , olamiz

. (5.19)

Ushbu tenglikning o'ng tomonida biz almashtiramiz Vx ga va ga ko'paytiring dt o'ng va chap tomonlar. Keyin

. (5.20)

Bu shaklda tenglik juda aniq ma'noga ega: nuqta o'zgarganda dx, kuch ishlaydi, buning natijasida miqdor o'zgaradi nuqtaning kinetik energiyasi, nuqtaning harakatini va, xususan, uning tezligi modulini tavsiflovchi. Agar nuqta bir pozitsiyadan ga o'tsa va uning tezligi dan ga o'zgartirilsa, u holda (5.20) integrallashda bizda bo'ladi.

. (5.21)

Shuni hisobga olib , biz nihoyat topamiz

. (5.22)

Har qanday harakat paytida moddiy nuqtaning kinetik energiyasining o'zgarishi xuddi shu harakatdagi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning bajargan ishiga teng.

Oldingi barcha protseduralarni bajarib, biz olamiz

,

bu erda nuqta harakatlanadigan yoy (5.11-rasm).

5. 4. 2. Sistema kinetik energiyasining o zgarishi haqidagi teorema

Massalar sistemasining nuqtalari shunday harakatlansinki, ularning inertial sanoq sistemasidagi radius vektorlari o‘sish sur’atini oladi. Keling, kinetik energiya qanday o'zgarganini topaylik T tizimlari.

(5.11) ga binoan sistemaning kinetik energiyasi

.

Tizimning kinetik energiyasining differensialini hisoblab chiqamiz va hosil bo'lgan ifodani o'zgartiramiz

Bu yerga

Shuni hisobga olgan holda , bu erda a nuqtaning tezlanishi va natijada nuqtaga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlar bo'lsa, oxirgi tenglikni ko'rinishda qayta yozamiz.

Shunday qilib,

. (5.23)

Oxirgi tenglik mexanik tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: sistemaning kinetik energiyasining differensialligi sistemaning barcha kuchlarining elementar ishiga teng.

Maxsus holat . Mutlaq qattiq jism uchun tizimning barcha ichki kuchlari tomonidan bajarilgan ishlarning yig'indisi nolga teng:

.

Demak, qattiq jism uchun kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema (5.23) ko'rinishda yozilishi mumkin.

Har qanday elementar siljish paytida qattiq jismning kinetik energiyasining o'zgarishi jismga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning elementar ishiga teng.

Agar (5.24) ning ikkala tomoni ikkita pozitsiya o'rtasida integrallashgan bo'lsa - boshlang'ich va yakuniy, bunda mos ravishda kinetik energiya va bo'ladi, biz olamiz

. (5.25)

1-misol. Disk massasi m=5 kg va radius nuqtada qo'llaniladigan doimiy kuch bilan harakatga keltiriladi A(5.6-rasm). Disk qo'pol sirtda sirpanmasdan o'ngga aylanadi. Massa markazining tezligini aniqlang BILAN g'altakning masofani harakatga keltirgan momenti, toymasin ishqalanish koeffitsienti, diskning aylanish radiusi

Yechim. Disk tekis harakatda harakat qiladi. Qattiq jism uchun kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremani yozamiz

Diskning kinetik energiyasini hisoblaymiz. Vaqtning dastlabki daqiqalarida disk dam olishda edi, ya'ni. . Diskning oxirgi holatidagi kinetik energiya

Mexanik tizimning kinetik energiyasi uning barcha nuqtalarining kinetik energiyasidan iborat:

Ushbu tenglikning har bir qismini vaqt bo'yicha farqlab, biz olamiz

Dinamikaning asosiy qonunidan foydalanish Kimga tizimning uchinchi nuqtasi m k 2i k= Fj., biz tenglikka erishamiz

F kuch va uning qo'llanilish nuqtasidagi v tezligining skalyar ko'paytmasi deyiladi kuch kuchi va belgilang R:

Ushbu yangi belgidan foydalanib, biz (11.6) quyidagi shaklda ifodalaymiz:

Olingan tenglik kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremaning differentsial shaklini ifodalaydi: mexanik tizimning kinetik energiyasining o'zgarish tezligi sistemaga ta'sir etuvchi barcha sm larning j kuchlari yig'indisiga teng.

Hosilni taqdim etish f(8.5) da kasr shaklida -- va bajaruvchi

keyin o'zgaruvchilarni ajratib, biz quyidagilarni olamiz:

Qayerda dT- kinetik energiya farqi, ya'ni. uning cheksiz kichik vaqt oralig'ida o'zgarishi dr, dr k = k dt - elementar harakat Kimga- tizimning th nuqtalari, ya'ni. vaqt ichida harakat dt.

F kuch va elementar siljishning skalyar mahsuloti dr uning qo'llanish nuqtalari deyiladi asosiy ish kuchlar va ifodalaydi dA:

Xususiyatlar yordamida nuqta mahsuloti kuchning elementar ishi shaklda ham ifodalanishi mumkin

Bu yerga ds = dr - kuch qo'llash nuqtasi traektoriyasining yoy uzunligi, uning elementar siljishi s/g ga mos keladi; A - kuch vektor F va elementar siljish vektori c/r yo'nalishlari orasidagi burchak; F„ F y , F,- kuch vektor F ning dekart o'qlariga proyeksiyalari; dx, dy, dz - elementar siljish vektorining dekart o'qlariga proyeksiyalar s/g.

(11.9) yozuvni hisobga olgan holda, tenglik (11.8) quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

bular. sistemaning kinetik energiyasining differensialligi yig'indisiga teng asosiy ish tizimga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar. Bu tenglik, (11.7) kabi, kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremaning differentsial shaklini ifodalaydi, lekin (11.7) dan hosilalarni emas, balki cheksiz kichik o'sishlar - differentsiallarni qo'llashi bilan farq qiladi.

Tenglikning muddat bo'yicha integratsiyasini amalga oshirib (11.12), biz olamiz

Bu erda integratsiya chegaralari sifatida quyidagilar qo'llaniladi: 7 0 - vaqtning momentidagi tizimning kinetik energiyasi? 0 ; 7) - vaqt momentidagi tizimning kinetik energiyasi tx.

Aniq integrallar vaqt davri yoki A(F):

Eslatma 1. Ishni hisoblash uchun ba'zan traektoriyaning yoy bo'lmagan parametrlarini qo'llash qulayroqdir. Xonim), va muvofiqlashtirish M(x(t), y(/), z(f)). Bunday holda, boshlang'ich ish uchun (11.11) vakillikni olish tabiiydir va chiziqli integrali shaklida mavjud:

Cheklangan siljishdagi ishning (11.14) yozuvini hisobga olgan holda, tenglik (11.13) shaklni oladi.

va mexanik sistemaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teoremaning yakuniy shaklini ifodalaydi.

Teorema 3. Mexanik tizimning boshlang'ich holatidan oxirgi holatga o'tgandagi kinetik energiyasining o'zgarishi, bu harakat paytida tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar ishining yig'indisiga teng.

Izoh 2. Tenglikning o'ng tomoni (11.16) ishni hisobga oladi bor kuchimiz bilan, tizimga ta'sir qiluvchi, ham tashqi, ham ichki. Shunga qaramay, barcha ichki kuchlar tomonidan bajarilgan umumiy ish nolga teng bo'lgan mexanik tizimlar mavjud. Egolar shunday deb ataladi o'zgarmas tizimlar, bunda o'zaro ta'sir qiluvchi moddiy nuqtalar orasidagi masofalar o'zgarmaydi. Masalan, tizim qattiq moddalar, ishqalanishsiz menteşalar yoki moslashuvchan cho'zilmaydigan iplar bilan bog'langan. Bunday tizimlar uchun tenglikda (11.16) faqat tashqi kuchlarning ishini hisobga olish kifoya, ya'ni. (11.16) teorema quyidagi shaklni oladi:

Tizimning barcha nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng bo'lgan T skalyar miqdor tizimning kinetik energiyasi deyiladi.

Kinetik energiya - bu tizimning translatsiya va aylanish harakatining xarakteristikasi. Uning o'zgarishiga tashqi kuchlar ta'siri ta'sir qiladi va u skalyar bo'lgani uchun u tizim qismlarining harakat yo'nalishiga bog'liq emas.

Har xil harakat holatlari uchun kinetik energiyani topamiz:

1.Oldinga harakat

Tizimning barcha nuqtalarining tezliklari massa markazining tezligiga teng. Keyin

Tarjima harakati paytida tizimning kinetik energiyasi tizim massasi va massa markazi tezligi kvadratining yarmiga teng.

2. Aylanma harakat (77-rasm)

Tananing istalgan nuqtasining tezligi: . Keyin

yoki (15.3.1) formuladan foydalangan holda:

Aylanish vaqtida jismning kinetik energiyasi tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti va uning burchak tezligi kvadratining yarmiga teng.

3. Tekis-parallel harakat

Berilgan harakat uchun kinetik energiya translatsiya va aylanish harakatlarining energiyasidan iborat

Harakatning umumiy holati oxirgisiga o'xshash kinetik energiyani hisoblash uchun formulani beradi.

Biz 14-bobning 3-bandida ish va quvvat ta'rifini qildik. Bu erda mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarning ishi va kuchini hisoblash misollarini ko'rib chiqamiz.

1.Gravitatsiya kuchlarining ishi. , jismning k nuqtasining boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalarining koordinatalari bo'lsin. Ushbu og'irlik zarrasiga ta'sir qiluvchi tortishish kuchi tomonidan bajarilgan ish bo'ladi . Keyin to'liq ish:

Bu erda P - moddiy nuqtalar tizimining og'irligi, C og'irlik markazining vertikal siljishi.

2. Aylanuvchi jismga qo'llaniladigan kuchlarning ishi.

(14.3.1) munosabatga ko'ra biz yozishimiz mumkin, lekin 74-rasmga muvofiq ds cheksiz kichikligi tufayli ko'rinishda ifodalanishi mumkin. - tananing cheksiz kichik burilish burchagi. Keyin

Kattalik moment deb ataladi.

Formulani (19.1.6) quyidagicha qayta yozamiz

Elementar ish momentning elementar aylanish ko'paytmasiga teng.

Yakuniy burchak bo'ylab aylanayotganda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Agar moment doimiy bo'lsa, u holda

va biz (14.3.5) munosabatdan quvvatni aniqlaymiz.

moment vaqtlarining mahsuloti sifatida burchak tezligi jismlar.

Bir nuqta uchun isbotlangan kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema (§ 14.4) tizimning istalgan nuqtasi uchun amal qiladi.

Tizimning barcha nuqtalari uchun bunday tenglamalarni tuzib, ularni hadlar bo'yicha qo'shish orqali biz quyidagilarga erishamiz:

yoki (19.1.1) ga muvofiq:

sistemaning kinetik energiyasi haqidagi teoremaning differentsial shakldagi ifodasidir.

Integratsiyalash (19.2.2) biz quyidagilarni olamiz:

Oxirgi shaklda kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema: ba'zi bir yakuniy siljish paytida tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi tizimga qo'llaniladigan barcha tashqi va ichki kuchlarning ushbu siljishi bo'yicha bajarilgan ishlarning yig'indisiga teng.

Biz ichki kuchlar ham bundan mustasno emasligini ta'kidlaymiz. O'zgarmas tizim uchun barcha ichki kuchlar tomonidan bajarilgan ishlarning yig'indisi nolga teng va

Agar tizimga qo'yilgan cheklovlar vaqt o'tishi bilan o'zgarmasa, u holda tashqi va ichki kuchlarni faol va reaktsiya cheklovlariga bo'lish mumkin va endi (19.2.2) tenglama yozilishi mumkin:

Dinamikada "ideal" mexanik tizim tushunchasi kiritilgan. Bu ulanishlar mavjudligi kinetik energiyaning o'zgarishiga ta'sir qilmaydigan tizimdir, ya'ni

Vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan va elementar siljishdagi ish yig'indisi nolga teng bo'lgan bunday bog'lanishlar ideal deb ataladi va (19.2.5) tenglama yoziladi:

Berilgan M holatdagi moddiy nuqtaning potentsial energiyasi nuqtani M holatidan nolga ko‘chirishda maydon kuchlari hosil qiladigan ishga teng bo‘lgan P skalyar miqdordir.

P = A (oy) (19.3.1)

Potensial energiya M nuqtaning holatiga, ya'ni uning koordinatalariga bog'liq

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Bu yerda kuch maydoni fazoviy hajmning bir qismi ekanligini tushuntirib beraylik, uning har bir nuqtasida zarrachaning holatiga, ya’ni x koordinatalariga qarab ma’lum kattalik va yo‘nalishdagi kuch ta’sir qiladi. y, z. Masalan, Yerning tortishish maydoni.

Differensiali ishga teng bo'lgan koordinatalarning U funksiyasi deyiladi quvvat funktsiyasi. Kuch funktsiyasi mavjud bo'lgan kuch maydoni deyiladi potentsial kuch maydoni, va bu sohada harakat qiluvchi kuchlar potentsial kuchlar.

Ikki kuch funksiyasi P(x,y,z) va U(x,y,z) uchun nol nuqtalari mos tushsin.

(14.3.5) formuladan foydalanib, biz olamiz, ya'ni. dA = dU(x,y,z) va

Bu erda U - M nuqtadagi kuch funktsiyasining qiymati. Demak

P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Quvvat maydonining istalgan nuqtasidagi potentsial energiya bu nuqtadagi kuch funksiyasining qarama-qarshi belgisi bilan olingan qiymatiga teng.

Ya'ni, kuch maydonining xususiyatlarini ko'rib chiqishda, kuch funktsiyasi o'rniga, biz potentsial energiyani ko'rib chiqishimiz mumkin va, xususan, (19.3.3) tenglama quyidagicha qayta yoziladi.

Potensial kuch tomonidan bajarilgan ish boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalarda harakatlanuvchi nuqtaning potentsial energiya qiymatlari o'rtasidagi farqga teng.

Xususan, tortishish ishi:

Tizimga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar potentsial bo'lsin. U holda sistemaning har bir k nuqtasi uchun ish teng bo'ladi

Keyin barcha tashqi va ichki kuchlar uchun bo'ladi

butun tizimning potentsial energiyasi qayerda.

Bu summalarni kinetik energiya ifodasiga almashtiramiz (19.2.3):

yoki nihoyat:

Potensial kuchlar ta'sirida harakatlanayotganda, tizimning har bir pozitsiyasida kinetik va potentsial energiyasining yig'indisi doimiy bo'lib qoladi. Bu mexanik energiyaning saqlanish qonunidir.

1 kg og'irlikdagi yuk x = 0,1sinl0t qonuniga ko'ra erkin tebranadi. Bahorning qattiqlik koeffitsienti c = 100 N / m. X = 0,05 m da yukning umumiy mexanik energiyasini aniqlang, agar x = 0 da potensial energiya nolga teng bo'lsa. . (0,5)

Massasi m = 4 kg bo'lgan yuk pastga tushib, radiusi R = 0,4 m bo'lgan silindrni ipning aylanish o'qiga nisbatan aylanishiga olib keladi. Yukning tezligi v = 2m/s bo'lgan vaqt momentidagi jismlar tizimining kinetik energiyasini aniqlang. . (10,5)

Agar tizimning har qanday nuqtasini massa bilan ko'rib chiqsak , tezlikka ega , keyin bu nuqta uchun bo'ladi

,

qayerda va - nuqtaga ta'sir etuvchi tashqi va ichki kuchlarning elementar ishi. Tizimning har bir nuqtasi uchun bunday tenglamalarni tuzib, ularni hadlar bo'yicha qo'shib, biz hosil bo'lamiz

,

. (2)

Tenglik sistemaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi.

Olingan ifoda ko'rib chiqilayotgan harakat sodir bo'lgan elementar vaqt davri bilan bog'liq bo'lsa, biz teoremaning differentsial shakli uchun ikkinchi formulani olishimiz mumkin: mexanik tizimning kinetik energiyasining vaqt hosilasi yig'indisiga teng. barcha tashqi () va ichki () kuchlarning kuchlari, ya'ni.

Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremaning differentsial shakllarini tuzish uchun foydalanish mumkin differensial tenglamalar harakatlar, lekin bu juda kamdan-kam hollarda amalga oshiriladi, chunki qulayroq usullar mavjud.

Tenglikning ikkala tomonini (2) tizimning kinetik energiyasi teng bo'lgan ba'zi bir boshlang'ich pozitsiyasidan kinetik energiya qiymati teng bo'ladigan holatga harakatiga mos keladigan chegaralar ichida birlashtirgan holda. , ega bo'ladi

Olingan tenglama kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremani yakuniy shaklda ifodalaydi: ba'zi bir harakat paytida tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi tizimga qo'llaniladigan barcha tashqi va ichki kuchlarning ushbu harakatiga bajarilgan ishlarning yig'indisiga teng.

Avvalgi teoremalardan farqli o'laroq, ichki kuchlar tenglamalardan chiqarib tashlanmaydi. Aslida, agar va nuqtalar va tizim o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari bo'lsa (51-rasmga qarang), u holda . Lekin ayni paytda nuqta , tomon harakatlanishi mumkin va nuqta - tomon. Har bir kuch tomonidan bajarilgan ish keyin ijobiy bo'ladi va ishning yig'indisi nolga teng bo'lmaydi. Orqaga qaytish hodisasini misol qilib keltirish mumkin. Bu erda ham snaryadga, ham aylanuvchi qismlarga ta'sir qiluvchi ichki kuchlar (bosim kuchlari) ijobiy ish qiladi. Nolga teng bo'lmagan bu ishlarning yig'indisi tizimning kinetik energiyasini tortishish boshidagi qiymatdan oxiridagi qiymatga o'zgartiradi.

Yana bir misol: buloq bilan bog'langan ikkita nuqta. Nuqtalar orasidagi masofa o'zgarganda, nuqtalarga qo'llaniladigan elastik kuchlar ishlaydi. Ammo agar tizim mutlaqo qattiq jismlardan iborat bo'lsa va ular orasidagi bog'lanishlar o'zgarmas, elastik bo'lmagan, ideal bo'lsa, u holda ichki kuchlarning ishi nolga teng bo'ladi va ular e'tiborga olinmaydi va dizayn diagrammasida umuman ko'rsatilmaydi.

Keling, ikkita muhim maxsus holatni ko'rib chiqaylik.

1) O'zgarmas tizim. O'zgarmas tizim harakatlanayotganda ichki kuchlarni qo'llash nuqtalari orasidagi masofalar o'zgarmaydigan tizimni chaqiramiz. Xususan, bunday tizim mutlaqo qattiq tana yoki cho'zilmaydigan ipdir.

51-rasm

O'zgarmas tizimning ikkita nuqtasi (51-rasm), bir-biriga kuchlar bilan ta'sir qiluvchi va () tezliklarga ega bo'lsin va moment. Keyin ma'lum vaqt oralig'ida dt bu nuqtalar elementar harakatlar qiladi va , vektorlar bo'ylab yo'naltirilgan va. Ammo segment o'zgarmas bo'lgani uchun, mashhur kinematik teoremaga ko'ra, vektorlarning proyeksiyasi va , va shuning uchun ham joy almashishlar, ham segmentning yo'nalishi bir-biriga teng bo'ladi, ya'ni. . Shunda kuchlarning elementar ishi kattalik bo'yicha teng bo'ladi va ishoraga qarama-qarshi bo'ladi va jami nolga teng bo'ladi. Bu natija tizimning har qanday harakati uchun barcha ichki kuchlar uchun amal qiladi.

Bundan biz shunday xulosaga kelamiz o'zgarmas tizim uchun barcha ichki kuchlar tomonidan bajarilgan ishlarning yig'indisi nolga teng va tenglamalar shaklni oladi

2) Ideal ulanishlarga ega tizim. Keling, vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan ulanishlar qo'yilgan tizimni ko'rib chiqaylik. Keling, tizimning nuqtalariga ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlarni ajratamiz faol Va ulanish reaktsiyalari. Keyin

,

elementar ish qayerda harakat qiladi k- tashqi va ichki faol kuchlar tizimining th nuqtasi, a - tashqi va ichki bog'lanishlar bilan bir nuqtaga yuklangan reaktsiyalarning elementar ishi.

Ko'rib turganimizdek, tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi bog'larning ishi va faol kuchlari va reaktsiyalariga bog'liq. Shu bilan birga, bunday "ideal" mexanik tizimlar kontseptsiyasini kiritish mumkin, bunda ulanishlar mavjudligi uning harakati paytida tizimning kinetik energiyasining o'zgarishiga ta'sir qilmaydi. Bunday ulanishlar uchun quyidagi shart aniq bajarilishi kerak:

Agar vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan ulanishlar uchun tizimning elementar siljishi paytida barcha reaktsiyalar bajargan ishlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, bunday ulanishlar deyiladi. ideal. Vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydigan faqat ideal aloqalar o'rnatilgan mexanik tizim uchun biz aniq bo'ladi

Shunday qilib, ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi, uning har qanday harakati davomida vaqt o'tishi bilan o'zgarmas, bu harakatdagi tizimga tashqi va ichki qo'llaniladigan ishlarning yig'indisiga teng. faol kuchlar.

Mexanik tizim deyiladi konservativ(uning energiyasi go'yo saqlanib qolgan va o'zgarmaydi), agar u uchun energiya integrali mavjud bo'lsa

yoki (3)

Bu bor mexanik energiyaning saqlanish qonuni: tizim potentsial maydonda harakat qilganda uning mexanik energiyasi (potentsial va kinetik yig'indisi) doimo o'zgarmas va doimiy bo'lib qoladi.

Mexanik tizim konservativ bo'ladi, agar unga ta'sir qiluvchi kuchlar potentsial bo'lsa, masalan, tortishish, elastik kuchlar. Konservativ mexanik tizimlarda energiya integralidan harakatning differentsial tenglamalarining to'g'riligini tekshirish uchun foydalanish mumkin. Agar sistema konservativ bo'lsa va (3) shart bajarilmasa, harakat tenglamalarini tuzishda xatolikka yo'l qo'yilgan.

Energiya integralidan hosilani hisoblamasdan, tenglamalarning to'g'riligini boshqa yo'l bilan tekshirish mumkin. Buning uchun, keyin raqamli integratsiya harakat tenglamalari, ikkita uchun umumiy mexanik energiya qiymatini hisoblang turli daqiqalar vaqt, masalan, boshlanish va tugatish. Agar qiymatlardagi farq hisoblash xatolari bilan taqqoslanadigan bo'lsa, bu ishlatilgan tenglamalarning to'g'riligini ko'rsatadi.

Oldingi barcha teoremalar ichki kuchlarni harakat tenglamalaridan chiqarib tashlashga imkon berdi, lekin barchasi tashqi kuchlar, shu jumladan, ilgari noma'lum reaktsiyalar tashqi aloqalar, tenglamalarda saqlanib qoldi. Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremaning amaliy ahamiyati shundaki, ideal bog'lanishlar vaqt o'tishi bilan o'zgarmasa, u harakat tenglamalaridan chiqarib tashlashga imkon beradi. Hammasi ulanishlarning ilgari noma'lum reaktsiyalari.

Mexanik tizimning kinetik energiyasi uning barcha moddiy nuqtalarining kinetik energiyalarining yig'indisidir:

Keling, kinetik energiya ifodasidan farqni hisoblaymiz va bir nechta oddiy transformatsiyalarni bajaramiz:

Oraliq qiymatlarni qoldirib, elementar ishni belgilash uchun ilgari kiritilgan belgidan foydalanib, biz yozamiz:

Demak, mexanik tizimning kinetik energiyasining differensialligi tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlarning elementar ishlari yig'indisiga teng. Kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremaning mazmuni shunday.

E'tibor bering, tizimning ichki kuchlari tomonidan bajarilgan ishlarning yig'indisi umumiy holatda nolga teng emas. U faqat ba'zi maxsus holatlarda yo'qoladi: tizim mutlaqo qattiq jism bo'lsa; deformatsiyalanmaydigan elementlarning yordami bilan o'zaro ta'sir qiluvchi mutlaqo qattiq jismlar tizimi (ideal menteşeler, mutlaqo qattiq novdalar, cho'zilmaydigan iplar va boshqalar). Shu sababli, kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema yagonadir umumiy teoremalar dinamika, bu ichki kuchlarning ta'sirini hisobga oladi.

Kinetik energiyaning o'zgarishi yuqorida aytilgandek cheksiz kichik vaqt oralig'ida emas, balki ma'lum bir chekli vaqt oralig'ida o'zgarishi bilan qiziqishi mumkin. Keyin integratsiyadan foydalanib, biz quyidagilarni olishimiz mumkin:

Bu erda - kinetik energiyaning qiymatlari, mos ravishda, vaqt momentlari - ko'rib chiqilgan vaqt uchun tashqi va ichki kuchlarning umumiy ishining yig'indisi.

Olingan tenglik kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremani yakuniy (integral) shaklda ifodalaydi, uni quyidagicha shakllantirish mumkin: mexanik tizimning bir pozitsiyadan ikkinchisiga o'tish paytida kinetik energiyaning o'zgarishi yig'indisiga teng. barcha tashqi va ichki kuchlarning umumiy ishi.