• 1. Algebraik markazga nisbatan burchak momenti. Algebraik HAQIDA-- (+) yoki (-) belgisi bilan olingan va impuls modulining ko'paytmasiga teng skalyar miqdor m masofaga h(perpendikulyar) bu markazdan vektor yo'naltirilgan chiziqqa m:
• 2. Markazga nisbatan impulsning vektor momenti.

Vektor burchak momentum moddiy nuqta ba'zi markazga nisbatan HAQIDA -- vektor bu markazda qo'llaniladi va vektorlar tekisligiga perpendikulyar yo'naltiriladi m Va nuqta harakati soat sohasi farqli ravishda ko'rinadigan yo'nalishda. Ushbu ta'rif vektor tengligini qondiradi

Momentum ba'zi bir o'qqa nisbatan moddiy nuqta z(+) yoki (-) belgisi bilan olingan va modul ko‘paytmasiga teng skalyar miqdor proyeksiya vektori bu o'qga perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi impuls h, o'qning tekislik bilan kesishgan nuqtasidan ko'rsatilgan proyeksiya yo'naltirilgan chiziqqa tushiriladi:

Mexanik tizimning markaz va o'qqa nisbatan kinetik momenti

1. Markazga nisbatan impuls.

Kinetik moment yoki ba'zilariga nisbatan mexanik tizimning harakat miqdorlarining asosiy momenti markaz chaqirdi geometrik yig'indi sistemaning barcha moddiy nuqtalarining bir xil markazga nisbatan impuls momentlari.

2. O‘qga nisbatan kinetik moment.

Mexanik tizimning ma'lum o'qqa nisbatan harakat miqdorlarining kinetik momenti yoki bosh momenti tizimning barcha moddiy nuqtalarining bir xil o'qqa nisbatan harakat miqdori momentlarining algebraik yig'indisidir.

3. Kinetik moment qattiq, atrofida aylanish sobit o'q z burchak tezligi bilan.

Moddiy nuqtaning burchak impulsining markaz va o'qqa nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema

1. Markaz haqidagi momentlar teoremasi.

Hosil vaqt ichida moddiy nuqtaning ba'zi qo'zg'almas markazga nisbatan momentum momenti bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng

2. O`q haqidagi momentlar teoremasi.

Hosil vaqt ichida ma'lum bir o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning momentum momenti bir xil o'qga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng bo'ladi.

Mexanik tizimning burchak impulsining markaz va o'qqa nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema

Markaz haqidagi momentlar teoremasi.

Hosil vaqt ichida mexanik tizimning kinetik momentidan ba'zi bir qo'zg'almas markazga nisbatan barcha momentlarning geometrik yig'indisiga teng. tashqi kuchlar, tizimda harakat qiluvchi, bir xil markazga nisbatan;

Natija. Agar asosiy nuqta ba'zi markazga nisbatan tashqi kuchlar nolga teng bo'lsa, u holda tizimning bu markazga nisbatan burchak momenti o'zgarmaydi (burchak impulsining saqlanish qonuni).

2. O’q haqidagi momentlar teoremasi.

Hosil mexanik tizimning kinetik momentidan ba'zi bir qo'zg'almas o'qqa nisbatan vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning ushbu o'qga nisbatan momentlari yig'indisiga teng.

Natija. Agar ma'lum o'qqa nisbatan tashqi kuchlarning asosiy momenti nolga teng bo'lsa, u holda bu o'qga nisbatan tizimning kinetik momenti o'zgarmaydi.

Masalan, = 0, keyin L z = const.

Kuchlarning ishi va kuchi

Kuch ishi-- kuch ta'sirining skalyar o'lchovi.

1. Kuchning elementar ishi.

Boshlang'ich kuch bajargan ish ga teng cheksiz kichik skalyar miqdordir skalyar mahsulot kuch vektorini kuch qo'llash nuqtasining cheksiz kichik siljishi vektoriga: ; - radius vektor ortishi kuch qo'llash nuqtasi, godografi bu nuqtaning traektoriyasidir. Elementar harakat bilan traektoriya bo'ylab nuqtalar to'g'ri keladi ularning kichik o'lchamlari tufayli. Shunung uchun

agar u holda dA > 0; agar, keyin dA = 0; agar , Bu dA< 0.

2. Analitik ifoda boshlang'ich ish.

Keling, vektorlarni tasavvur qilaylik Va d Dekart koordinata o'qlariga proyeksiyalari orqali:

, . Biz olamiz (4.40)

3. Yakuniy siljishda kuchning bajargan ishi integral yig‘indiga teng asosiy ish bu harakatda

Agar kuch doimiy bo'lsa va uni qo'llash nuqtasi chiziqli harakat qilsa,

4. Gravitatsiya ishi. Biz formuladan foydalanamiz: Fx = Fy = 0; Fz = -G = -mg;

Qayerda h- kuch qo'llash nuqtasini vertikal ravishda pastga (balandlikka) siljitish.

Og'irlikni qo'llash nuqtasini yuqoriga ko'chirishda A 12 = -mgh(nuqta M 1 -- pastga, M 2 - tepada).

Shunday qilib, . Og'irlik kuchi bilan bajariladigan ish traektoriya shakliga bog'liq emas. Yopiq yo'l bo'ylab harakatlanayotganda ( M 2 ta o'yin M 1 ) ish nolga teng.

5. Prujinaning elastik kuchining ishi.

Bahor faqat o'z o'qi bo'ylab cho'ziladi X:

F y = F z = HAQIDA, F x = = -sx;

bahor deformatsiyasining kattaligi qayerda.

Quvvatni qo'llash nuqtasi pastki holatdan yuqori holatga o'tganda, kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi mos keladi, keyin

Shuning uchun elastik kuchning ishi

Yakuniy siljish bo'yicha kuchlarning ishi; Agar = const, u holda

oxirgi burilish burchagi qayerda; , Qayerda p -- tananing o'q atrofida aylanishlari soni.

Moddiy nuqta va mexanik tizimning kinetik energiyasi. Koenig teoremasi

Kinetik energiya- mexanik harakatning skalyar o'lchovi.

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi - nuqta massasi va uning tezligi kvadratining yarmiga teng skalyar musbat miqdor,

Mexanik tizimning kinetik energiyasi - Ushbu tizimning barcha moddiy nuqtalarining kinetik energiyalarining arifmetik yig'indisi:

dan tashkil topgan tizimning kinetik energiyasi n o'zaro bog'langan jismlar teng arifmetik yig'indi Ushbu tizimning barcha jismlarining kinetik energiyalari:

Koenig teoremasi

Mexanik tizimning kinetik energiyasi umuman olganda, uning harakati yig'indiga teng kinetik energiya Massa markaziga nisbatan harakat qilganda tizimning massa markazi va kinetik energiyasi bilan birgalikda harakatlanishi:

Qayerda Vkc -- tezlik k- th tizimning massa markaziga nisbatan nuqtalari.

Har xil harakatlardagi qattiq jismning kinetik energiyasi

Oldinga harakat.

Jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanishi . ,Qaerda -- jismning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti.

3. Tekis-parallel harakat. , inersiya momenti qayerda tekis shakl massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan.

Bir tekis harakatlanayotganda jismning kinetik energiyasi jismning massa markazi tezligi bilan translatsiya harakatining kinetik energiyasidan iborat. va kinetik energiya aylanish harakati massa markazidan o'tuvchi o'q atrofida, ;

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Differensial shakldagi teorema.

Differensial moddiy nuqtaning kinetik energiyasidan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning elementar ishiga teng,

Integral (cheklangan) shakldagi teorema.

O'zgartirish ma'lum bir siljishdagi moddiy nuqtaning kinetik energiyasi bir xil siljishdagi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning ishiga teng.

Mexanik tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Differensial shakldagi teorema.

Differensial mexanik tizimning kinetik energiyasidan tashqi va elementar ishlarning yig'indisiga teng ichki kuchlar, tizimda harakat qilish.

Integral (cheklangan) shakldagi teorema.

O'zgartirish ma'lum bir siljishdagi mexanik tizimning kinetik energiyasi bir xil siljishda tizimga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlar ishining yig'indisiga teng. ; Qattiq jismlar tizimi uchun = 0 (ichki kuchlar xususiyatiga ko'ra). Keyin

Moddiy nuqta va mexanik tizimning mexanik energiyasining saqlanish qonuni

Agar material uchun nuqta yoki mexanik tizim Agar faqat konservativ kuchlar harakat qilsa, nuqta yoki tizimning istalgan pozitsiyasida kinetik va potentsial energiyalar yig'indisi doimiy bo'lib qoladi.

Moddiy nuqta uchun

Mexanik tizim uchun T+ P= const

Qayerda T+ P -- tizimning umumiy mexanik energiyasi.

Qattiq tananing dinamikasi

Qattiq jism harakatining differensial tenglamalari

Bu tenglamalarni mexanik tizim dinamikasining umumiy teoremalaridan olish mumkin.

1. Jismning translatsiya harakati tenglamalari - mexanik tizim massalar markazining harakati haqidagi teoremadan Dekart koordinatalari o'qlari bo'yicha proyeksiyalarda

2. Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanishi tenglamasi - mexanik tizimning kinetik momentining o'qga nisbatan o'zgarishi haqidagi teoremadan, masalan, o'qga nisbatan.

Kinetik momentdan boshlab L z o'qga nisbatan qattiq tana, keyin bo'lsa

Chunki yoki, tenglama yoki shaklida yozilishi mumkin, tenglamani yozish shakli muayyan masalada aniqlanishi kerak bo'lgan narsaga bog'liq.

Tekis-parallelning differensial tenglamalari qattiq jismning harakatlari tenglamalar to'plamidir progressiv tekis figuraning massa markazi bilan birga harakati va aylanish massa markazidan o'tadigan o'qga nisbatan harakat:

Fizik mayatnik

Fizik mayatnik tananing massa markazidan o'tmaydigan va tortishish kuchi ta'sirida harakatlanadigan gorizontal o'q atrofida aylanadigan qattiq jismdir.

Differensial aylanish tenglamasi

Kichik tebranishlar bo'lsa.

Keyin qayerda

Ushbu bir jinsli tenglamaning yechimi.

ruxsat bering t=0 Keyin

-- garmonik tebranishlar tenglamasi.

Mayatnikning tebranish davri

Berilgan uzunlik fizik mayatnik - tebranish davri matematik mayatnik uzunligi davriga teng fizik mayatnikning tebranishlari.

Impuls momentining yo'nalishi va kattaligi kuch momentini baholashda bo'lgani kabi aniq aniqlanadi (1.2.2-bo'lim).

Shu bilan birga biz aniqlaymiz ( asosiy) burchak momenti Qanaqasiga vektor yig'indisi ko'rib chiqilayotgan tizim nuqtalarining harakatlari sonining momentlari. Uning ikkinchi nomi ham bor - kinetik moment :

Ikki funktsiyaning hosilasini farqlash qoidalaridan foydalangan holda (3.40) ifodaning vaqt hosilasi topilsin, shuningdek, yig'indining hosilasi hosilalar yig'indisiga teng (ya'ni, yig'indining belgisi ko'chirilishi mumkin) differensiallashda koeffitsient sifatida):

.

Keling, aniq kinematik tenglikni hisobga olamiz: . Keyin: . Biz (3.26) formulalardan o'rtacha tenglamadan foydalanamiz. , va shuningdek, bu vektor mahsuloti ikkita kollinear vektor ( va ) nolga teng bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

Ichki kuchlar xossasini (3.36) 2-chi hadga qo'llagan holda, mexanik tizimning asosiy impuls momentining o'zgarishi haqidagi teoremaning ifodasini olamiz:

.

(3.42)

Kinetik momentning vaqt hosilasi sistemada ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar momentlari yig'indisiga teng.

Ushbu formula ko'pincha qisqacha deyiladi: moment teoremasi .

Shuni ta'kidlash kerakki, momentlar teoremasi ma'lum bir qo'zg'almas markaz O ga nisbatan qo'zg'almas sanoq sistemasida tuzilgan. Agar qattiq jism mexanik tizim sifatida qaralsa, u holda aylanish o'qi bo'yicha O markazni tanlash qulaydir. tananing.

Moment teoremasining muhim xususiyatini ta'kidlash kerak (biz uni hosilasiz keltiramiz). Momentlar teoremasi translyatsion harakatlanuvchi mos yozuvlar tizimida ham to'g'ri bo'ladi, agar tananing (mexanik tizim) massa markazi (C nuqtasi) uning markazi sifatida tanlangan bo'lsa:

Bu holda teoremani shakllantirish amalda bir xil bo'lib qoladi.

Xulosa 1

(3.42) ifodaning o'ng tomoni nolga teng bo'lsin =0, - sistema izolyatsiya qilingan. U holda (3.42) tenglamadan kelib chiqadiki.

Izolyatsiya qilingan mexanik tizim uchun tizimning kinetik momentining vektori vaqt o'tishi bilan yo'nalishda ham, kattalikda ham o'zgarmaydi.

Xulosa 2

Agar (3.44) ifodalardan birortasining o'ng tomoni nolga teng bo'lsa, masalan, Oz o'qi uchun: =0 (qisman ajratilgan tizim), u holda (3.44) tenglamalardan quyidagicha: =const.

Binobarin, agar har qanday o'qqa nisbatan tashqi kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng bo'lsa, tizimning bu o'q bo'ylab eksenel kinetik momenti vaqt o'tishi bilan o'zgarmaydi.

Yuqoridagi xulosalarda berilgan formulalar iboralardir ajratilgan sistemalarda burchak impulsining saqlanish qonuni .

Qattiq jismning momentumi

Keling, ko'rib chiqaylik maxsus holat– qattiq jismning Oz o'qi atrofida aylanishi (3.4-rasm).

3.4-rasm

Aylanish o'qidan masofaga ajratilgan jismdagi nuqta h k, Oksi ga parallel tekislikda tezlikda aylanadi. Eksenel momentning ta'rifiga muvofiq, biz proyeksiyani almashtirib, (1.19) ifodadan foydalanamiz F Nuqtaning harakat miqdori bilan bu tekislikdagi XY kuch . Keling, tananing eksenel kinetik momentini baholaylik:

Pifagor teoremasiga ko'ra , shuning uchun (3.46) quyidagicha yozilishi mumkin:

(3.47)

Keyin (3.45) ifoda quyidagi shaklni oladi:

(3.48)

Qattiq jismga nisbatan (3.48) qisman ajratilgan sistema (Nulosa 2) uchun burchak impulsining saqlanish qonunidan foydalansak, ni olamiz. Bunday holda siz ikkita variantni ko'rib chiqishingiz mumkin:

O'Z-O'ZI NAZORAT UCHUN SAVOLLAR

1. Aylanayotgan qattiq jismning burchak momenti qanday aniqlanadi?

2. Eksenel inersiya momenti eksenel kinetik momentdan qanday farq qiladi?

3. Qattiq jismning aylanish tezligi tashqi kuchlar bo'lmaganda vaqt o'tishi bilan qanday o'zgaradi?

Qattiq jismning eksenel inersiya momenti

Keyinchalik ko'rib turganimizdek, jismning eksenel inersiya momenti tananing aylanish harakati uchun uning aylanish paytidagi massasi bilan bir xil ahamiyatga ega. oldinga harakat. Bulardan biri eng muhim xususiyatlar tanasi, uning aylanish jarayonida tananing inertsiyasini belgilaydi. Ta'rifdan (3.45) ko'rinib turibdiki, bu musbat skalyar miqdor bo'lib, u tizim nuqtalarining massalariga bog'liq, lekin ko'proq nuqtalarning aylanish o'qidan masofasiga bog'liq.

Oddiy shakllardagi uzluksiz bir hil jismlar uchun, massa markazining (3.8) o'rnini baholashda bo'lgani kabi, eksenel inersiya momentining qiymati, o'rniga elementar hajmning massasidan foydalanib, integratsiya usuli bilan hisoblanadi. diskret massa dm=rdV:

(3.49)

Malumot uchun biz ba'zi oddiy jismlar uchun inersiya momentlarining qiymatlarini keltiramiz:

m va uzunligi l uning o'rtasidan tayoqqa perpendikulyar o'tadigan o'qga nisbatan (3.5-rasm).

3.5-rasm

Massali yupqa bir jinsli tayoqning inersiya momenti m va uzunligi l uning uchi orqali tayoqqa perpendikulyar o'tadigan o'qga nisbatan (3.6-rasm).

3.6-rasm

Yupqa bir jinsli massali halqaning inersiya momenti m va radius R uning markazidan halqa tekisligiga perpendikulyar o'tadigan o'qga nisbatan (3.7-rasm).

3.7-rasm

Massali yupqa bir jinsli diskning inersiya momenti m va radius R uning markazidan disk tekisligiga perpendikulyar o'tadigan o'qga nisbatan (3.7-rasm).

3.8-rasm

· Ixtiyoriy shakldagi jismning inersiya momenti.

Ixtiyoriy shakldagi jismlar uchun inersiya momenti quyidagi shaklda yoziladi:

Qayerda ρ - deb atalmish aylanish radiusi tanasi yoki massasi bo'lgan ma'lum bir an'anaviy halqaning radiusi m, uning eksenel inersiya momenti berilgan jismning inersiya momentiga teng.

Gyuygens-Shtayner teoremasi

3.9-rasm

Keling, ikkita parallel koordinata tizimini tana bilan bog'laymiz. Boshi massa markazida joylashgan birinchi Cx"y"z markaziy, ikkinchi Oxyz esa Cx" o'qida CO = masofada joylashgan markazi O bo'lgan Oxyz deb ataladi. d(3.9-rasm). Ushbu tizimlardagi tana nuqtalarining koordinatalari o'rtasida aloqa o'rnatish oson:

(3.47) formulaga muvofiq jismning Oz o'qiga nisbatan inersiya momenti:

Bu erda o'ng tomonning 2 va 3 yig'indilarining barcha shartlari uchun 2 omillar doimiydir d Va d tegishli summalardan olinadi. Uchinchi muddatdagi massalar yig'indisi tana massasi. Ikkinchi yig'indi, (3.7) ga muvofiq, C massa markazining Cx" () o'qi bo'yicha koordinatasini aniqlaydi va tenglik aniq: . 1-had, ta'rifga ko'ra, moment ekanligini hisobga olgan holda. tananing markaziy o'qiga nisbatan inertsiyasi Cz" (yoki Z C ) , biz Gyuygens-Shtayner teoremasining formulasini olamiz:

(3.50)

Jismning ma'lum bir o'qqa nisbatan inersiya momenti tananing parallel markaziy o'qga nisbatan inersiya momenti yig'indisiga va tananing massasining ushbu o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga ko'paytmasiga teng.

O'Z-O'ZI NAZORAT UCHUN SAVOLLAR

1. ning formulalarini keltiring eksenel momentlar novda, halqa, diskning inertsiyasi.

2. Dumaloq qattiq silindrning markaziy o‘qiga nisbatan aylanish radiusini toping.

Nuqtaning kinetik momenti va mexanik tizim

Guruch. 3.14

Moddiy nuqta va mexanik tizim harakatining dinamik xususiyatlaridan biri kinetik moment yoki burchak momentidir.

Moddiy nuqta uchun kinetik moment har qanday markazga nisbatan O ga nuqtaning shu markazga nisbatan burchak momenti deyiladi (3.14-rasm),

Moddiy nuqtaning o'qga nisbatan kinetik momenti bu o'qdagi har qanday markazga nisbatan nuqta kinetik momentining ushbu o'qiga proyeksiyasidir:

Mexanik tizimning O markazga nisbatan kinetik momenti tizimning barcha nuqtalarining bir xil markazga nisbatan kinetik momentlarining geometrik yig‘indisidir (3.15-rasm):

(3.20)

Kinetik moment nuqtaga qo'llaniladi HAQIDA, unga nisbatan hisoblangan.

Agar (3.20) ni Dekart koordinata sistemasi o‘qlariga proyeksiya qilsak, kinetik momentning shu o‘qlarga proyeksiyalarini yoki koordinata o‘qlariga nisbatan kinetik momentlarni olamiz:

Jismning o'zgarmas aylanish o'qiga nisbatan kinetik momentini aniqlaymiz z(3.16-rasm).

Formulalarga (3.21) ko'ra, biz bor

Ammo jism w burchak tezligi bilan aylansa, tezlik va nuqtaning harakat miqdori segmentga perpendikulyar dk va aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikda yotadi Oz, shuning uchun,

Guruch. 3.15

Guruch. 3.16

Butun tana uchun:

Qayerda J z– aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti.

Binobarin, qattiq jismning aylanish o'qiga nisbatan burchak impulsi tananing berilgan o'qqa nisbatan inersiya momenti va jismning burchak tezligining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

2. Burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema
mexanik tizim

Statsionar markazga nisbatan tizimning kinetik momenti O(3.15-rasm)

Keling, bu tenglikning chap va o'ng tomondan vaqtga nisbatan hosilasini olaylik:

(3.22)

Buni hisobga olsak keyin (3.22) ifoda shaklni oladi

Yoki shuni hisobga olsak

– tashqi kuchlarning markazga nisbatan momentlari yig‘indisi O, biz nihoyat bor:

(3.23)

Tenglik (3.23) burchak momentining o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi.

Burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema. Mexanik tizimning qo'zg'almas markazga nisbatan kinetik momentining vaqt hosilasi tizimning bir xil markazga nisbatan tashqi kuchlarining bosh momentiga teng.

Tenglikni (3.23) Dekart koordinatalarining qo'zg'almas o'qlariga proyeksiya qilib, biz ushbu o'qlarga proyeksiyalarda teoremaning ko'rinishini olamiz:

(3.23) dan kelib chiqadiki, agar har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan tashqi kuchlarning asosiy momenti nolga teng bo'lsa, bu markazga nisbatan kinetik moment doimiy bo'lib qoladi, ya'ni. Agar

(3.24)

Agar tizimning har qanday qo'zg'almas o'qqa nisbatan tashqi kuchlarining momentlari yig'indisi nolga teng bo'lsa, kinetik momentning mos keladigan proyeksiyasi doimiy bo'lib qoladi,

(3.25)

(3.24) va (3.25) gaplar sistemaning burchak momentumining saqlanish qonunini ifodalaydi.

Kinetik momentni hisoblashda nuqtani nuqta sifatida tanlab, tizimning kinetik momentining o‘zgarishi haqida teorema olamiz. A, tezlik bilan inertial sanoq sistemasiga nisbatan harakatlanuvchi

Tizimning nuqtaga nisbatan kinetik momenti A(3.17-rasm)

Guruch. 3.17

chunki Bu

Shuni hisobga olib tizimning massa markazining tezligi qayerda, biz olamiz

Burchak momentining vaqt hosilasini hisoblaymiz

Olingan ifodada:

Ikkinchi va uchinchi shartlarni birlashtirish va buni hisobga olish

nihoyat olamiz

Agar nuqta tizimning massa markaziga to'g'ri kelsa C, Bu va teorema shaklni oladi

bular. u sobit nuqta bilan bir xil shaklga ega HAQIDA.

3. Qattiq jism aylanishning differensial tenglamasi
sobit o'q atrofida

Qattiq jism sobit o'q atrofida aylansin Az(3.18-rasm) tashqi kuchlar tizimining ta'siri ostida
Aylanish o'qiga proyeksiyada sistemaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema tenglamasini yozamiz:

Guruch. 3.18

Qattiq jismning sobit o'q atrofida aylanishi uchun:

Qayerda J z– aylanish o‘qiga nisbatan doimiy inersiya momenti; w – burchak tezligi.

Buni hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

Agar j jismning burilish burchagini kiritsak, u holda tenglikni hisobga olgan holda bizda ... bor

(3.26)

(3.26) ifodasi differensial tenglama qattiq jismning sobit o'q atrofida aylanishi.

4. Sistemaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema
massa markaziga nisbatan nisbiy harakatda

Mexanik tizimni o'rganish uchun biz qattiq koordinatalar tizimini tanlaymiz ho'kiz 1 y 1 z 1 va harakatlanuvchi Cxyz massa markazida kelib chiqishi bilan C, oldinga siljish (3.19-rasm).

Vektorli uchburchakdan:

Guruch. 3.19

Vaqt bo'yicha bu tenglikni farqlab, biz erishamiz

yoki

nuqtaning mutlaq tezligi qayerda Mk, - massa markazining mutlaq tezligi BILAN,
- nuqtaning nisbiy tezligi Mk, chunki

Bir nuqta atrofida momentum HAQIDA

va qiymatlarini almashtirsak, olamiz

Ushbu ifodada: - tizimning massasi; ;

– koordinatalar tizimidagi nisbiy harakat uchun massa markaziga nisbatan tizimning kinetik momenti Sxyz.

Kinetik moment shaklni oladi

Nuqtaga nisbatan burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema HAQIDA o'xshaydi

Keling, va qiymatlarini almashtiramiz olamiz

Keling, buni hisobga olgan holda ushbu ifodani o'zgartiraylik

yoki

Bu formula massa markazi bilan translatsiyali harakatlanuvchi koordinatalar tizimiga nisbatan sistemaning nisbiy harakati uchun massa markaziga nisbatan sistemaning burchak momentumining o zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi. U xuddi massa markazi sobit nuqtaga o'xshab tuzilgan.

Birinchidan, keling, bitta moddiy nuqtani ko'rib chiqaylik. M moddiy nuqtaning massasi, tezligi va harakat miqdori bo'lsin.

Atrofdagi fazoda O nuqtani tanlaymiz va vektor momentini statikada kuch momenti hisoblangan xuddi shu qoidalarga muvofiq shu nuqtaga nisbatan quramiz. Biz vektor miqdorini olamiz

O markazga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momenti deyiladi (31-rasm).

Boshi markazda bo'lgan dekart O ni quramiz to'rtburchaklar tizimi Oxyzni koordinatalaydi va ko vektorini shu o‘qlarga proyeksiyalaydi. Uning bu o'qlarga proyeksiyalari, daqiqalarga teng mos keladigan koordinata o'qlariga nisbatan vektorlar koordinata o'qlariga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumi deyiladi:

Keling, N ta moddiy nuqtadan iborat mexanik tizimga ega bo'laylik. Bunday holda, burchak momentumni tizimning har bir nuqtasi uchun aniqlash mumkin:

Tizimga kiritilgan barcha moddiy nuqtalarning burchak momentumining geometrik yig'indisi tizimning bosh burchak momenti yoki kinetik momenti deyiladi.

Dinamik:
Moddiy nuqtaning dinamikasi
§ 28. Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema. Moddiy nuqtaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

Yechimlar bilan bog'liq muammolar

28.1 Temir yo'l poezdi yo'lning gorizontal va to'g'ri uchastkasi bo'ylab harakatlanadi. Tormozlashda poezd og'irligining 0,1 ga teng qarshilik kuchi rivojlanadi. Tormozlanish vaqtida poyezdning tezligi 20 m/s. Tormozlash vaqti va tormoz masofasini toping.
YECHIMA

28.2 Og'ir jism gorizont bilan a=30° burchak hosil qilib, qo'pol qiya tekislik bo'ylab pastga tushadi. boshlang'ich tezligi. Agar ishqalanish koeffitsienti f=0,2 bo'lsa, jism uzunligi l=39,2 m bo'lgan yo'lni T qancha vaqt bosib o'tishini aniqlang.
YECHIMA

28.3 Massasi 4*10^5 kg poezd 15 m/s tezlikda i=tg a=0,006 (bu yerda a - ko‘tarilish burchagi) ko‘tarilish joyiga kiradi. Poezd harakatlanayotganda ishqalanish koeffitsienti (umumiy qarshilik koeffitsienti) 0,005 ga teng. Poezd ko'tarilishga kirgandan 50 s o'tgach, uning tezligi 12,5 m / s gacha pasayadi. Teplovozning tortish kuchini toping.
YECHIMA

28.4 M og'irlik cho'zilmaydigan ip MOAning uchiga biriktirilgan, uning bir qismi OA vertikal trubadan o'tkaziladi; og'irlik trubaning o'qi atrofida radiusi MC=R bo'lgan doira bo'ylab 120 rpm ni tashkil qiladi. Sekin-asta OA ipini trubaga torting, ipning tashqi qismini OM1 uzunligiga qisqartiring, bunda og'irlik R/2 radiusli doirani tasvirlaydi. Ushbu aylana bo'ylab og'irlik daqiqada nechta aylanishni amalga oshiradi?
YECHIMA

28.5 Yuklangan poezdning massasini aniqlash uchun teplovozlar va avtomobillar orasiga dinamometr o'rnatildi. Dinamometrning 2 daqiqada o'rtacha ko'rsatkichi 10^6 N bo'lib chiqdi. Shu vaqt ichida poezd 16 m / s tezlikni oshirdi (avval poezd bir joyda turdi). Agar ishqalanish koeffitsienti f=0,02 bo'lsa, tarkibning massasini toping.
YECHIMA

28.6 Tormozli avtomobil g'ildiraklarining yo'lda ishqalanish koeffitsienti f qanday bo'lishi kerak, agar haydash tezligi v=20 m/s bo'lsa, u tormoz boshlanganidan keyin 6 s o'tgach to'xtasa?
YECHIMA

28.7 Massasi 20 g boʻlgan oʻq miltiq trubkasidan v=650 m/s tezlikda uchib chiqib, t=0,00095 s vaqt ichida oʻq ichidan oʻtadi. Agar kanalning kesma maydoni s = 150 mm ^ 2 bo'lsa, o'qni chiqaradigan gazlarning o'rtacha bosimini aniqlang.
YECHIMA

28.8 M nuqta qo'zg'almas markaz atrofida shu markaz tomon tortish kuchi ta'sirida harakat qiladi. Agar unga eng yaqin joydagi nuqtaning tezligi v1=30 sm/s, r2 esa r1 dan besh marta katta bo‘lsa, traektoriyaning markazdan eng uzoqdagi nuqtasidagi v2 tezlikni toping.
YECHIMA

28.9 Snaryad boshlang'ich holatidan O ga o'tgan vaqt davomida unga ta'sir etuvchi barcha kuchlarning natijaviy impulsini toping. eng yuqori lavozim M. Berilgan: v0=500 m/s; a0=60°; v1=200 m/s; raketaning massasi 100 kg.
YECHIMA

28.10 Ikkita M1 va M2 asteroidlari bir xil ellipsni tasvirlaydi, ularning S markazida Quyosh joylashgan. Ularning orasidagi masofa shunchalik kichikki, ellipsning M1M2 yoyi to'g'ri chiziq segmenti deb hisoblanishi mumkin. Ma'lumki, M1M2 yoyi o'rtasi P perigeliyda bo'lganda uning uzunligi a ga teng bo'lgan. Asteroidlar teng sektoral tezliklarda harakat qiladi deb faraz qilib, M1M2 yoyining o'rtasi A afelionidan o'tganda uzunligini aniqlang, agar u bo'lsa. SP = R1 va SA =R2 ekanligi ma'lum.
YECHIMA

28.11 Og'irligi 40 kg bo'lgan o'g'il bola massasi 20 kg bo'lgan sport chanasining yuguruvchilari ustida turadi va har soniyada 20 N*s impuls bilan itaradi. Agar ishqalanish koeffitsienti f=0,01 bo'lsa, chananing 15 s ichida erishgan tezligini toping.
YECHIMA

28.12 Nuqta majburiyat oladi bir tekis harakat aylana bo'ylab v=0,2 m/s tezlikda, yasash to'liq burilish vaqt ichida T=4 s. Agar nuqtaning massasi m=5 kg bo‘lsa, bir yarim sikl davomida nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarning S impulsini toping. F kuchning o'rtacha qiymatini aniqlang.
YECHIMA

28.13 l1 va l2 (l1>l2) uzunlikdagi iplarga osilgan ikkita matematik mayatnik bir xil amplitudada tebranadi. Ikkala mayatnik bir vaqtning o'zida o'zlarining haddan tashqari og'ish joylaridan bir xil yo'nalishda harakatlana boshladilar. Mayatniklar ma'lum vaqtdan keyin bir vaqtning o'zida muvozanat holatiga qaytishi uchun l1 va l2 uzunliklari bajarilishi kerak bo'lgan shartni toping. Eng qisqa vaqt oralig'ini T aniqlang.
YECHIMA

28.14 Uzilmaydigan ipga bog'langan m massali to'p silliq bo'ylab siljiydi. gorizontal tekislik; dan ipning ikkinchi uchi tortiladi doimiy tezlik a samolyotda qilingan teshikka. To'pning harakatini va ipning T tarangligini aniqlang, agar dastlabki momentda ip to'g'ri chiziqda joylashganligi ma'lum bo'lsa, shar bilan teshik orasidagi masofa R ga teng va ipning proyeksiyasi. ipning yo'nalishiga perpendikulyar bo'lgan to'pning boshlang'ich tezligi v0 ga teng.
YECHIMA

28.15 Quyidagi ma’lumotlarni hisobga olgan holda Quyoshning M massasini aniqlang: Yer radiusi R=6,37*106 m, o'rtacha zichlik 5,5 t/m3, yarim katta o'q Yer orbitasi a=1,49*10^11 m, Yerning Quyosh atrofida aylanish vaqti T=365,25 kun. Kuch universal tortishish 1 m masofada 1 kg ga teng ikkita massa o'rtasida biz gR2 / m H ga teng deb hisoblaymiz, bu erda m - Yerning massasi; Kepler qonunlaridan kelib chiqadiki, Yerning Quyosh tomonidan tortishish kuchi 4p2a3m/(T2r2) ga teng, bu erda r - Yerning Quyoshdan masofasi.
YECHIMA

28.16 Massasi m bo'lgan nuqta, F markaziy kuchning ta'siri ostida, lemniskat r2=a cos 2ph ni tavsiflaydi, bu erda a - doimiy qiymat, r - nuqtaning kuch markazidan masofasi; boshlang‘ich momentda r=r0 nuqta tezligi v0 ga teng va nuqtani kuch markazi bilan tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq bilan a burchak hosil qiladi. F kuchning faqat r masofasiga bog'liqligini bilib, uning kattaligini aniqlang. Binet formulasi bo'yicha F =-(mc2/r2)(d2(1/r)/dph2+1/r), bu erda c nuqtaning qo'sh sektor tezligi.
YECHIMA

28.17 Massasi m bo'lgan M nuqta, qo'zg'almas O markaz yaqinida shu markazdan chiqadigan F kuch ta'sirida va faqat MO=r masofaga bog'liq holda harakatlanadi. Nuqta tezligi v=a/r, bu yerda a doimiy qiymat ekanligini bilib, F kuchning kattaligini va nuqtaning traektoriyasini toping.
YECHIMA

28.18 Massasi 1 kg bo'lgan nuqtaning markaziy tortishish kuchi ta'sirida, nuqtaning tortishish markazidan masofasining kubiga teskari proportsional bo'lgan harakatini quyidagi ma'lumotlarni hisobga olgan holda aniqlang: 1 m masofada. , kuch 1 N. Dastlabki momentda nuqtaning og‘irlik markazidan masofasi 2 m, tezligi v0=0,5 m/s va undan chizilgan to‘g‘ri chiziq yo‘nalishi bilan 45° burchak hosil qiladi. nuqtaga markazga.
YECHIMA

28.19 Massasi 1 kg boʻlgan M zarracha qoʻzgʻalmas markaz O ga masofaning beshinchi darajasiga teskari proporsional kuch taʼsirida tortiladi. Bu kuch 1 m masofada 8 N ga teng, dastlabki momentda zarracha OM0 = 2 m masofada joylashgan va OM0 ga perpendikulyar va 0,5 m / s ga teng. Zarrachaning traektoriyasini aniqlang.
YECHIMA

28.20 Massasi 0,2 kg boʻlgan, tortishish kuchi taʼsirida Nyutonning tortishish qonuniga koʻra statsionar markazga oʻtuvchi nuqta 50 soniya davomida yarim oʻqlari 0,1 m va 0,08 m boʻlgan toʻliq ellipsni tasvirlaydi. Eng kattasini aniqlang va eng kichik qiymat bu harakat paytida F jozibador kuch.
YECHIMA

28.21 Har bir tebranishi bir soniya davom etadigan matematik mayatnik soniya mayatnik deb ataladi va vaqtni hisoblash uchun ishlatiladi. Ogʻirlik taʼsirida tezlanishni 981 sm/s2 deb faraz qilgan holda, bu mayatnikning uzunligi l ni toping. Oyda tortishish tezlashishi Yerdagidan 6 marta kam bo'lgan bu mayatnik soat nechada namoyon bo'ladi? Ikkinchi oy mayatnikining uzunligi qancha l1 bo'lishi kerak?
YECHIMA

28.22 Yerning qaysidir nuqtasida soniya mayatnik vaqtni to'g'ri hisoblaydi. Boshqa joyga ko'chirilganda, u kuniga T soniya orqada qoladi. Sekundi mayatnikning yangi holatida tortishish tezlanishini aniqlang.