Mening sirim Harakat miqdori moddiy nuqta vektor kattalik deb ataladi mV, nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng. Vektor mV
harakatlanuvchi nuqtaga qo'llaniladi. Tizimning harakatlanish miqdori vektor kattalik deb ataladi Q , ga teng geometrik yig'indi
(asosiy vektor) tizimning barcha nuqtalarining harakat miqdorlari: vektor kattalik deb ataladi Vektor
erkin vektor hisoblanadi. SI birliklar tizimida impuls moduli kg m/s yoki N s bilan o'lchanadi. vektor kattalik deb ataladi Qoida tariqasida, tizimning barcha nuqtalarining tezligi har xil (masalan, 6.21-rasmda ko'rsatilgan dumaloq g'ildirak nuqtalarining tezligini taqsimlash) va shuning uchun tenglikning o'ng tomonidagi vektorlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi. (17.2) qiyin. Miqdori yordamida formula topamiz
hisoblash ancha oson. Tenglikdan (16.4) shundan kelib chiqadiki
Ikkala tomonning vaqt hosilasini olib, biz olamiz
Demak, tenglikni hisobga olgan holda (17.2), biz buni topamiz
ya’ni sistemaning impulsi butun sistemaning massasi va uning massa markazi tezligining mahsulotiga teng. E'tibor bering, vektor Q, vektor kattalik deb ataladi statikadagi kuchlarning asosiy vektori kabi, u butun mexanik tizim harakatining qandaydir umumlashtirilgan vektor xarakteristikasidir. Tizim harakatining umumiy holatida uning impulsi sistema harakatining massa markazi bilan birga tarjima qismining xarakteristikasi sifatida qaralishi mumkin. Agar tizim (tana) harakatlanayotganda, massa markazi harakatsiz bo'lsa, u holda tizimning harakat miqdori nolga teng bo'ladi. Bu, masalan, jismning atrofida aylanadigan impuls sobit o'q
uning massa markazidan o'tadi. Misol. Mexanik tizimning harakat miqdorini aniqlang (17.1-rasm, A), yukdan iborat A massa t A - 2 kg, bir hil blok IN og'irligi 1 kg va g'ildiraklar A D m D - 4 yukdan iborat kg. Yuk tezlikda harakat qiladi V A - og'irligi 1 kg va g'ildiraklar 2 m/s, g'ildirak
sirg'anmasdan rulonlarda, ip cho'zilmaydi va vaznsizdir. Yechim. Jismlar sistemasining harakat miqdori yukdan iborat Tana oldinga siljiydi va Q A =m A V A (raqamli Q A (raqamli= 4 kg m / s, vektor yo'nalishi yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi V A). 2 kg, bir hil blok Bloklash majburiyat oladi aylanish harakati uning massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida; shuning uchun, QB- og'irligi 1 kg va g'ildiraklar 0. G'ildirak
tekislikni parallel qiladi harakat; uning oniy tezlik markazi nuqtada TO , shuning uchun uning massa markazining tezligi (nuqta E) ga teng V E = V A /2= 1 m/s. G'ildirak harakati miqdori 4 kg m/s; vektor Q D gorizontal ravishda chapga yo'naltirilgan.
Vektorlarni tasvirlash orqali (raqamli Va Q D rasmda. 17.1, b, harakat miqdorini toping vektor kattalik deb ataladi(a) formulasiga muvofiq tizimlar. Miqdorlarning yo'nalishlari va raqamli qiymatlarini hisobga olgan holda biz olamiz Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, vektor yo'nalishi vektor kattalik deb ataladi shaklda ko'rsatilgan. 17.1, b.
Shuni hisobga olib a -dV/dt, dinamikaning asosiy qonunining (13.4) tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin
(17.4) tenglama nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir lahzasida nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchga teng. (Aslida, bu Nyuton tomonidan berilgan dinamikaning asosiy qonunining yana bir formulasi.) Agar nuqtada bir nechta kuchlar harakat qilsa, tenglikning o'ng tomonida (17.4) qo'llaniladigan kuchlarning natijasi bo'ladi. moddiy nuqtaga.
Tenglikning ikkala tomoni ko'paytirilsa dt, keyin olamiz
Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi vektor miqdori elementar vaqt ichida tanaga kuch ta'sirini tavsiflaydi. dt bu qiymat belgilanadi dS va qo'ng'iroq qiling elementar kuch impulsi, ya'ni
Puls S kuch F cheklangan vaqt davri uchun /, - / 0 mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisining chegarasi sifatida aniqlanadi, ya'ni.
Maxsus holatda, agar kuch bo'lsa F kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lsa, u holda S = F (t| -/ 0) va S- F(t l -/ 0). Umumiy holda, kuch impulsining kattaligini uning koordinata o'qlariga proektsiyalari bo'yicha hisoblash mumkin:
Endi tenglikning ikkala tomonini (17.5) bilan integratsiyalash T= const, olamiz
(17.9) tenglama nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani chekli (integral) ko'rinishda ifodalaydi: nuqta impulsining ma'lum bir vaqt oralig'ida o'zgarishi, xuddi shu vaqt oralig'ida nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning impulsiga (yoki unga qo'llaniladigan barcha kuchlarning natijaviy impulsiga) teng.
Masalalarni yechishda ushbu teorema tenglamalaridan koordinata o‘qlariga proyeksiyalarda foydalaning
Endi ko'rib chiqaylik mexanik tizim dan iborat n moddiy nuqtalar. Keyin har bir nuqta uchun impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani (17.4) ko'rinishda qo'llashimiz mumkin, bunda tashqi va ichki kuchlar:
Ushbu tengliklarni jamlab, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olsak, biz hosil bo'lamiz.
Chunki ichki kuchlarning tabiatiga ko'ra HF k=0 va impuls ta'rifi bo'yicha ^fn k V/ c = vektor kattalik deb ataladi, keyin biz nihoyat topamiz
(17.11) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir momentida sistema impulsining vaqt hosilasi barchaning geometrik yig‘indisiga teng. tashqi kuchlar, tizimda harakat qilish.
Tenglikni (17.11) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz
Ikkala tomonni (17.11) ga ko'paytirish dt va integratsiya, biz olamiz
qaerda 0, Q 0 - mos ravishda vaqt momentlarida tizimning harakat miqdori va / 0.
(17.13) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistemaning impulsining istalgan vaqtdagi o'zgarishi bir vaqtning o'zida tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning impulslari yig'indisiga teng.
Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda biz olamiz
Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim natijalarni olish mumkin, ular ifodalanadi. sistema impulsining saqlanish qonuni.
- 1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), u holda (17.11) tenglamadan bu holda shunday xulosa chiqadi vektor kattalik deb ataladi= const, ya'ni tizimning impuls vektori kattalik va yo'nalishda doimiy bo'ladi.
- 2. Agar sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar ularning istalgan o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa (masalan, I e kx = 0), u holda (17.12) tenglamalardan bu holda shunday bo'ladi Q x = const, ya'ni tizim impulsining bu o'qga proyeksiyasi o'zgarishsiz qoladi.
E'tibor bering, tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema tenglamasida tizimning ichki kuchlari ishtirok etmaydi. Bu kuchlar, garchi ular tizimning alohida nuqtalarining impulslariga ta'sir qilsalar ham, butun tizimning impulsini o'zgartira olmaydilar. Ushbu holatni hisobga olgan holda, muammolarni hal qilishda, ko'rib chiqilayotgan tizimni shunday tanlash tavsiya etiladi noma'lum kuchlar(barchasi yoki bir qismi) ichki holga keltiriladi.
Impulsning saqlanish qonunini tizimning bir qismining tezligini o'zgartirib, uning boshqa qismining tezligini aniqlash kerak bo'lgan hollarda qo'llash qulay.
Muammo 17.1. TO aravacha tortish t x- 12 kg silliq harakatlanadi gorizontal tekislik, nuqtada yukdan iborat silindrsimon ilgak yordamida vaznsiz novda biriktiriladi AD uzunligi /= 0,6 m yuk bilan og'irligi 1 kg va g'ildiraklar A t 2 - oxirida 6 kg (17.2-rasm). Vaqt / 0 = 0, aravaning tezligi qachon Va () - 0,5 m/s, novda AD o'q atrofida aylana boshlaydi A, tekislikka perpendikulyar chizma, f = (tg/6) (3^2 - 1) rad (/-sekundlarda) qonuniga ko'ra. Belgilang: u=f.
§ 17.3. Massalar markazining harakati haqidagi teorema
Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema massalar markazining harakati to'g'risidagi teorema deb ataladigan boshqa shaklda ifodalanishi mumkin.
(17.11) tenglamaga tenglikni qo'yish Q =MV C, olamiz
Agar massa M tizim doimiy, biz olamiz
Qayerda va bilan - tizimning massa markazining tezlashishi.
(17.15) tenglama sistemaning massa markazining harakati haqidagi teoremani ifodalaydi: sistema massasi va uning massa markazi tezlanishi ko'paytmasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
Tenglikni (17.15) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz
Qayerda x c, y c, z c - tizimning massa markazining koordinatalari.
Bu tenglamalar differensial tenglamalar o'qdagi proyeksiyalarda massa markazining harakati Dekart tizimi koordinatalar
Keling, olingan natijalarni muhokama qilaylik. Avval eslaylikki, tizimning massa markazi geometrik nuqta, ba'zan tananing geometrik chegaralaridan tashqarida joylashgan. Mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar (tashqi va ichki) tizimning barcha moddiy nuqtalariga qo'llaniladi. (17.15) tenglamalar tizimning massa markazining harakatini uning alohida nuqtalarining harakatini aniqlamasdan aniqlash imkonini beradi. Moddiy nuqta uchun massalar markazining harakati haqidagi teorema tenglamalarini (17.15) va Nyutonning ikkinchi qonunining (13.5) tenglamalarini taqqoslab, shunday xulosaga kelamiz: mexanik tizimning massa markazi massasi butun sistemaning massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta kabi harakat qiladi va xuddi shu nuqtaga tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar qo'llaniladi. Shunday qilib, berilgan jismni moddiy nuqta sifatida ko'rib, biz oladigan yechimlar ushbu jismning massa markazining harakat qonunini aniqlaydi.
Xususan, agar jism translatsion harakat qilsa, u holda tananing barcha nuqtalari va uning massa markazining kinematik xususiyatlari bir xil bo'ladi. Shunung uchun translyatsion harakatlanuvchi jismni har doim massasi butun tananing massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta sifatida ko'rib chiqish mumkin.
(17.15) dan ko'rinib turibdiki, tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi ichki kuchlar tizimning massa markazining harakatiga ta'sir qilmaydi. Ichki kuchlar tashqi kuchlar ularning ta'siri ostida o'zgargan hollarda massa markazining harakatiga ta'sir qilishi mumkin. Bunga misollar quyida keltiriladi.
Massalar markazining harakati haqidagi teoremadan sistema massalar markazi harakatining saqlanish qonunini ifodalovchi quyidagi muhim natijalarni olish mumkin.
1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), keyin (17.15) tenglamadan kelib chiqadi:
bu haqda nima deyish mumkin a c = 0 yoki V c = const, ya'ni bu tizimning massa markazi
kattalik va yo'nalish bo'yicha doimiy tezlik bilan harakat qiladi (boshqacha aytganda, bir xil va to'g'ri chiziqli). Maxsus holatda, agar dastlab massa markazi tinch holatda bo'lsa ( Vc=0), keyin u tinch holatda qoladi; qayerda
trek Bilasizki, uning kosmosdagi pozitsiyasi o'zgarmaydi, ya'ni. r c = const.
2. Agar sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo'lsa, ularning qandaydir o'qqa (masalan, o'qga) proyeksiyalari yig'indisi. X) nolga teng (?F e kx= 0), u holda (17.16) tenglamadan bu holda shunday bo'ladi x s=0 yoki V Cx =x c = const, ya'ni tizimning massa markazining tezligining ushbu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Maxsus holatda, agar dastlabki daqiqada bo'lsa Vax= 0 bo'lsa, har qanday keyingi vaqtda bu qiymat bir xil bo'lib qoladi va bundan koordinata kelib chiqadi x s tizimning massa markazi o'zgarmaydi, ya'ni. x c - const.
Keling, massalar markazining harakat qonunini ko'rsatadigan misollarni ko'rib chiqaylik.
Misollar. 1. Ta'kidlanganidek, massa markazining harakati faqat tashqi kuchlarga bog'liq bo'lgan ichki kuchlar massa markazining holatini o'zgartira olmaydi; Ammo tizimning ichki kuchlari tashqi ta'sirlarni keltirib chiqarishi mumkin. Shunday qilib, odamning gorizontal yuzada harakati uning oyoq kiyimlari tagligi va yo'l yuzasi o'rtasidagi ishqalanish kuchlari ta'siri ostida sodir bo'ladi. Mushaklarining kuchi (ichki kuchlari) bilan odam oyoqlari bilan yo'l sirtini itarib yuboradi, shuning uchun yo'l bilan aloqa qilish joylarida ishqalanish kuchi (odam uchun tashqi) paydo bo'ladi, uning yo'nalishi bo'yicha. harakat.
- 2. Mashina xuddi shunday harakat qiladi. Uning dvigatelidagi ichki bosim kuchlari g'ildiraklarni aylanishga majbur qiladi, lekin ikkinchisi yo'l bilan tortishish xususiyatiga ega bo'lganligi sababli, natijada paydo bo'lgan ishqalanish kuchlari avtomobilni oldinga "itaradi" (natijada g'ildiraklar aylanmaydi, lekin tekislikka parallel ravishda harakat qiladi). . Agar yo'l mutlaqo silliq bo'lsa, u holda avtomobilning massa markazi statsionar bo'ladi (nolda boshlang'ich tezligi) va g'ildiraklar, ishqalanish bo'lmasa, siljiydi, ya'ni aylanish harakatini amalga oshiradi.
- 3. Parvona, parvona yoki eshkaklar yordamida harakatlanish havoning (yoki suvning) ma'lum bir massasini rad etish tufayli sodir bo'ladi. Agar biz tashlangan massa va harakatlanuvchi jismni bitta tizim deb hisoblasak, ular orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar sifatida bu tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi. Biroq, bu tizimning har bir qismi, masalan, qayiq oldinga siljiydi va eshkaklar orqaga tashlagan suv.
- 4. Havosiz kosmosda, raketa harakatlanayotganda, "tashlangan massa" "siz bilan birga olib ketilishi" kerak: reaktiv dvigatel raketaga to'ldirilgan yoqilg'ining yonish mahsulotlarini orqaga tashlab, raketaga harakatni beradi.
- 5. Parashyut bilan tushayotganda odam-parashyut tizimining massa markazining harakatini boshqarishingiz mumkin. Agar odam mushaklarning harakatlari bilan parashyut chiziqlarini toraytirsa, shunda uning soyabon shakli yoki havo oqimining hujum burchagi o'zgaradi, bu havo oqimining tashqi ta'sirining o'zgarishiga olib keladi va shu bilan harakatga ta'sir qiladi. butun tizimning.
Muammo 17.2. IN Muammo 17.1 (17.2-rasmga qarang) aniqlang: 1) trolleybus harakati qonuni X (= /)(/), agar vaqtning dastlabki momentida ma'lum bo'lsa t 0 = O sistema tinch holatda edi va koordinatasi x 10 = 0; 2) normal reaksiyaning umumiy qiymatining vaqt bo'yicha o'zgarishi qonuni N (N = N" + N") gorizontal tekislik, ya'ni. N=f 2 (t).
Yechim. Bu erda 17.1-masaladagi kabi biz arava va yukdan iborat tizimni ko'rib chiqamiz D, unga qo'llaniladigan tashqi kuchlar ta'sirida o'zboshimchalik bilan holatda (17.2-rasmga qarang). Koordinata o'qlari Ohoo uni x o'qi gorizontal bo'ladigan tarzda chizing va o'qi da nuqtadan o'tdi A 0, ya'ni nuqtaning joylashuvi yukdan iborat bir vaqtning o'zida t-t 0 - 0.
1. Trolleybusning harakat qonunini aniqlash. X, = /,(0 ni aniqlash uchun sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teoremadan foydalanamiz. Uning x o'qiga proyeksiyada harakatining differensial tenglamasini tuzamiz:
Barcha tashqi kuchlar vertikal bo'lgani uchun T,F e kx = 0, va shuning uchun
Ushbu tenglamani integrallash orqali biz buni topamiz Mx s = B, ya'ni sistemaning massa markazining tezligining x o'qiga proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Vaqtning dastlabki daqiqasidan boshlab
Integratsiya tenglamasi. Mx s= 0, biz olamiz
ya'ni koordinata x s sistemaning massa markazi doimiy.
Keling, ifodani yozamiz Mx s tizimning o'zboshimchalik bilan pozitsiyasi uchun (17.2-rasmga qarang), buni hisobga olgan holda x A - x { , x D - x 2 Va x 2 - x ( - I gunoh f. Bu holda tizimning massa markazining koordinatasini aniqlaydigan (16.5) formulaga muvofiq Mx s - t ( x ( + t 2 x 2".
vaqtning ixtiyoriy nuqtasi uchun
vaqt momenti uchun / () = 0, X (= 0 va
Tenglikka (b) muvofiq, koordinata x s butun tizimning massa markazi o'zgarishsiz qoladi, ya'ni xD^,) = xc(t). Demak, (c) va (d) ifodalarni tenglashtirib, biz x koordinataning vaqtga bog'liqligini olamiz.
Javob: X - 0,2 m, bu erda t- soniyalarda.
2. Reaksiyaning ta’rifi N. Aniqlash uchun N=f 2 (t) vertikal o‘qqa proyeksiyada sistemaning massa markazining harakatining differensial tenglamasini tuzamiz. da(17.2-rasmga qarang):
Demak, belgilovchi N=N+N", olamiz
Ordinatani aniqlaydigan formula bo'yicha y s tizimning massa markazi, Mu s = t (y x + t 2 y 2, bu yerda y, = C1 da,2 da= y D = UA ~ 1 cos F" olamiz
Ushbu tenglikni o'z vaqtida ikki marta farqlash (buni hisobga olgan holda C1 da Va da A miqdorlar doimiy va shuning uchun ularning hosilalari nolga teng), biz topamiz
Ushbu ifodani (e) tenglamaga qo'yib, biz kerakli bog'liqlikni aniqlaymiz N dan t.
Javob: N- 176,4 + 1,13,
Bu erda f = (i/6)(3/ -1), t- soniyalarda, N- Nyutonlarda.
Muammo 17.3. Elektr dvigatelining og'irligi t x poydevorning gorizontal yuzasiga murvatlar bilan biriktirilgan (17.3-rasm). Dvigatel milining bir uchida l uzunlikdagi vaznsiz sterjen aylanish o'qiga to'g'ri burchak ostida o'rnatiladi va sterjenning ikkinchi uchiga nuqta og'irligi o'rnatiladi. yukdan iborat A t 2. Mil burchak tezligida bir xilda aylanadi c. Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini toping. Yechim. Dvigatel va nuqta og'irligidan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqing A, har qanday holatda. Keling, tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarni tasvirlaymiz: tortishish R x, R 2, poydevorning vertikal kuch ko'rinishidagi reaktsiyasi N va gorizontal kuch R. X o'qini gorizontal ravishda chizamiz.
Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini aniqlash uchun (va u son jihatdan reaktsiyaga teng bo'ladi). R va vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan R ), gorizontal x o'qiga proyeksiyada sistema impulsining o'zgarishi bo'yicha teorema tenglamasini tuzamiz:
Ko'rib chiqilayotgan tizim uchun o'zboshimchalik holatida, dvigatel tanasining impulsi nolga teng ekanligini hisobga olib, biz olamiz Qx = - t 2 U A soc. Shuni hisobga olgan holda V A = a z /, f = co/ (dvigatelning aylanishi bir xil), biz olamiz Q x - - m 2 co/cos co/. Farqlash Qx vaqt ichida va tenglikni (a) almashtirib, topamiz R- m 2 ko 2 /sin ko/.
E'tibor bering, aynan shunday kuchlar majburlanadi (14.3-bandga qarang);
Mustaqil ishlash uchun mashqlar
- 1. Nuqta va mexanik sistemaning impulsi nima deyiladi?
- 2. Aylana bo‘ylab bir tekis harakatlanuvchi nuqtaning impulsi qanday o‘zgaradi?
- 3. Kuch impulsi nima bilan tavsiflanadi?
- 4. Tizimning ichki kuchlari uning impulsiga ta'sir qiladimi? Uning massa markazining harakati haqida?
- 5. Unga taalluqli juft kuchlar sistemaning massalar markazining harakatiga qanday ta'sir qiladi?
- 6. Tizimning massa markazi qanday sharoitda tinch holatda bo'ladi? bir tekis va to'g'ri chiziqda harakat qiladi?
7. Suv oqimi bo'lmagan statsionar qayiqda kattalar orqa tomonida, bola esa qayiqning kamonida o'tiradi. Agar ular o'rnini almashtirsa, qayiq qaysi yo'nalishda harakatlanadi?
Qaysi holatda qayiqning harakat moduli katta bo'ladi: 1) agar bola kattalarning orqa tomoniga o'tsa; 2) agar kattalar bolaga qayiqning burnida harakat qilsa? Ushbu harakatlar paytida "qayiq va ikki kishi" tizimining massa markazining siljishi qanday bo'ladi?
Teoremada muhokama qilingan tizim har qanday jismlardan tashkil topgan har qanday mexanik tizim bo'lishi mumkin.
Teoremaning bayoni
Mexanik tizimning harakat (impuls) miqdori tizimga kiritilgan barcha jismlarning harakat (impuls) miqdorlarining yig'indisiga teng miqdordir. Sistema jismlariga tasir etuvchi tashqi kuchlar impulsi sistema jismlariga tasir etuvchi barcha tashqi kuchlar impulslarining yigindisidir.
( kg m/s)
Tizimning impuls momentining o'zgarishi haqidagi teorema
Tizim impulsining ma'lum vaqt oralig'ida o'zgarishi, xuddi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning impulsiga teng.
Tizim impulsining saqlanish qonuni
Agar sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda sistemaning harakat miqdori (impulsi) doimiy kattalikdir.
,
sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:
Olingan tenglikning ikkala tomonini ba'zi va o'rtasidagi o'zboshimchalik bilan olingan vaqt oralig'ida birlashtirgan holda, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini integral shaklda olamiz:
Impulsning saqlanish qonuni (Impulsning saqlanish qonuni) sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lsa, sistemaning barcha jismlari impulslarining vektor yig'indisi doimiy qiymat ekanligini bildiradi.
(impuls momenti m 2 kg s -1)
Burchak impulsining markazga nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema
impuls vaqtiga nisbatan hosila ( kinetik moment) har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.
dk 0 /dt = M 0 (F ) .
O'qga nisbatan burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema
har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .
Moddiy nuqtani ko'rib chiqing M A m , kuch ta'siri ostida harakat qilish F (3.1-rasm). Burchak momentum vektorini yozamiz va tuzamiz (kinetik impuls) M Markazga nisbatan 0 moddiy nuqta O :
Keling, burchak momentumining ifodasini farqlaylik (kinetik moment k 0) vaqt bo'yicha:
Chunki dr /dt = V , Bu vektor mahsuloti V ⊗ m ⋅ V (kollinear vektorlar V Va m ⋅ V ) nolga teng. Xuddi o'sha payt d (m ⋅ V) /dt = F moddiy nuqtaning impulsi haqidagi teoremaga muvofiq. Shuning uchun biz buni olamiz
dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)
Qayerda r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-kuch momenti F sobit markazga nisbatan O . Vektor k 0 ⊥ tekislik ( r , m ⊗V ) va vektor M 0 (F ) ⊥ samolyot ( r ,F ), biz nihoyat qildik
dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)
Tenglama (3.4) markazga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (burchak impulsining) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.
Tenglikni (3.4) Dekart koordinatalari o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz
dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)
Tenglik (3.5) o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (kinetik momentum) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.
(3.4) va (3.5) teoremalardan kelib chiqadigan oqibatlarni ko'rib chiqamiz.
Xulosa 1. Kuch bo'lganda vaziyatni ko'rib chiqing F nuqtaning butun harakati davomida statsionar markazdan o'tadi O (markaziy kuch holati), ya'ni. Qachon M 0 (F ) = 0. U holda (3.4) teoremadan shunday chiqadi k 0 = const ,
bular. markaziy kuch bo'lsa, bu kuchning markaziga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi (3.2-rasm).
3.2-rasm
Shartdan k 0 = const shundan kelib chiqadiki, harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi tekis egri chiziq bo'lib, uning tekisligi bu kuchning markazidan o'tadi.
Xulosa 2. Mayli M z (F ) = 0, ya'ni. kuch o'qni kesib o'tadi z yoki unga parallel. Bunday holda, (3.5) tenglamalarning uchinchi qismidan ko'rinib turibdiki, k z = const ,
bular. agar nuqtaga har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan ta'sir qiluvchi kuch momenti har doim nolga teng bo'lsa, u holda bu o'qga nisbatan nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) doimiy bo'lib qoladi.
Impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani isbotlash
Tizim massalari va tezlanishlari bo'lgan moddiy nuqtalardan iborat bo'lsin. Biz tizim jismlariga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni ikki turga ajratamiz:
Tashqi kuchlar - bu ko'rib chiqilayotgan tizimga kirmagan jismlardan ta'sir qiluvchi kuchlar. Raqamli moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning natijasi i belgilaylik
Ichki kuchlar - bu tizim jismlarining o'zi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladigan kuchlar. Raqam bilan nuqtada qanday kuch i raqam bilan nuqta haqiqiydir k, biz , va ta'sir kuchini belgilaymiz i ustidagi nuqta k nuqta -. Shubhasiz, qachon, keyin
Kiritilgan belgidan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan har bir moddiy nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonunini shaklda yozamiz
Shuni hisobga olib 
Nyutonning ikkinchi qonunining barcha tenglamalarini jamlab, biz quyidagilarni olamiz:
Ifoda tizimda harakat qiluvchi barcha ichki kuchlarning yig'indisini ifodalaydi. Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, bu yig'indida har bir kuch shunday kuchga to'g'ri keladiki, shuning uchun u ushlab turadi. 
Butun yig'indi shunday juftliklardan iborat bo'lgani uchun yig'indining o'zi nolga teng. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin
Tizimning impulsi uchun yozuvdan foydalanib, biz olamiz
Tashqi kuchlar impulsining o'zgarishini hisobga olgan holda 
, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:
Shunday qilib, olingan oxirgi tenglamalarning har biri shuni ta'kidlashga imkon beradi: tizim impulsining o'zgarishi faqat tashqi kuchlarning ta'siri natijasida sodir bo'ladi va ichki kuchlar bu qiymatga hech qanday ta'sir ko'rsata olmaydi.
Olingan tenglikning ikkala tomonini baʼzi va lar oʻrtasidagi ixtiyoriy qabul qilingan vaqt oraligʻida integrallab, tizim impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremaning integral koʻrinishida ifodasini olamiz:
bu erda va vaqt momentlaridagi tizimning harakat miqdorining qiymatlari va mos ravishda va ma'lum vaqt oralig'idagi tashqi kuchlarning impulsi. Yuqorida aytilganlarga va kiritilgan belgilarga muvofiq,
dan iborat n moddiy nuqtalar. Keling, ushbu tizimdan ma'lum bir nuqtani tanlaylik M j massa bilan m j. Ma'lumki, bu nuqtada tashqi va ichki kuchlar harakat qiladi.
Keling, buni nuqtaga qo'yaylik M j barcha ichki kuchlarning natijasidir F j i va barcha tashqi kuchlarning natijasi F j e(2.2-rasm). Tanlangan material nuqtasi uchun M j(ga nisbatan bepul nuqta) impulsning oʻzgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda yozamiz (2.3):
Mexanik tizimning barcha nuqtalari uchun o'xshash tenglamalarni yozamiz (j=1,2,3,…,n).
2.2-rasm
Keling, hammasini bo'lak-bo'lak qo'shamiz n tenglamalar:
∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)
d∑(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i. (2.10)
Bu yerga ∑m j ×V j =Q– mexanik tizimning harakat miqdori;
∑F j e = R e- mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektori;
∑F j i = R i =0– tizimning ichki kuchlarining asosiy vektori (ichki kuchlar xususiyatiga ko‘ra u nolga teng).
Nihoyat, mexanik tizim uchun biz qo'lga kiritamiz
dQ/dt = R e. (2.11)
(2.11) ifoda mexanik sistemaning differensial ko’rinishdagi impuls momentining o’zgarishi haqidagi teoremadir (vektorli ifodada): mexanik tizim impuls vektorining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektoriga teng..
(2.11) vektor tengligini Dekart koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, mexanik sistema impulsining koordinatali (skalyar) ifodadagi o'zgarishi haqidagi teorema uchun ifodalarni olamiz:
dQ x /dt = R x e;
dQ y /dt = R y e;
dQ z /dt = R z e, (2.12)
bular. mexanik tizim impulsining istalgan o'qqa proyeksiyasining vaqt hosilasi ushbu mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining ushbu o'qga proyeksiyasiga teng..
Tenglikning ikkala tomonini (2.12) ga ko'paytirish dt, biz teoremani boshqa differentsial shaklda olamiz:
dQ = R e ×dt = dS e, (2.13)
bular. mexanik tizimning differentsial impulsi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining elementar impulsiga (elementar impulslar yig'indisiga) teng..
Tenglikni (2.13) 0 dan o'zgargan vaqt ichida integrallash t, biz mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani yakuniy (integral) shaklda (vektor ifodasida) olamiz:
Q - Q 0 = S e,
bular. Cheklangan vaqt oralig'ida mexanik tizim impulsining o'zgarishi, xuddi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining umumiy impulsiga (jami impulslar yig'indisiga) teng..
(2.14) vektor tengligini Dekart koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, proyeksiyalarda (skalar ifodada) teorema uchun ifodalarni olamiz:
bular. mexanik tizim impulsining har qanday o'qqa chekli vaqt oralig'idagi proyeksiyasining o'zgarishi barcha tashqi kuchlarning asosiy vektorining umumiy impulsining (umumiy impulslar yig'indisi) bir xil o'qiga proyeksiyasiga tengdir. xuddi shu vaqt ichida mexanik tizimga ta'sir qiladi.
Ko'rib chiqilgan (2.11) - (2.15) teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
- Agar R e = ∑F j e = 0, Bu Q = konst– bizda mexanik tizimning impuls vektorining saqlanish qonuni mavjud: agar asosiy vektor bo'lsa R e mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar nolga teng bo'lsa, bu tizimning impuls vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi va uning boshlang'ich qiymatiga teng bo'ladi. Q 0, ya'ni. Q = Q 0.
- Agar R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), Bu Q x = konst- bizda mexanik tizimning impuls o'qiga proyeksiyasining saqlanish qonuni mavjud: agar mexanik tizimga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning asosiy vektorining istalgan o'qqa proyeksiyasi nolga teng bo'lsa, u holda bir xil o'qga proyeksiyasi nolga teng bo'lsa. bu tizimning impuls vektori doimiy qiymat bo'ladi va impulsning bu eksa boshlang'ich vektoriga proyeksiyaga teng bo'ladi, ya'ni. Q x = Q 0x.
Impulsning o'zgarishi teoremasining differensial shakli moddiy tizim mexanikada muhim va qiziqarli ilovalarga ega davomiylik. (2.11) dan Eyler teoremasini olishimiz mumkin.
Sistemaning impulsi vektor kattalik sifatida (4.12) va (4.13) formulalar bilan aniqlanadi.
Teorema. Tizim impulsining vaqtga nisbatan hosilasi unga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
Dekart o'qlarining proyeksiyalarida skalyar tenglamalarni olamiz.
Vektor yozishingiz mumkin
(4.28)
va skalyar tenglamalar
Qaysi tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: ma'lum vaqt oralig'ida tizim impulsining o'zgarishi xuddi shu vaqt oralig'idagi impulslar yig'indisiga teng. Muammolarni yechishda (4.27) tenglamalar ko'proq qo'llaniladi
Impulsning saqlanish qonuni
Burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema
Nuqtaning burchak impulsining markazga nisbatan oʻzgarishi haqidagi teorema: nuqtaning qoʻzgʻalmas markazga nisbatan burchak momentumining vaqt hosilasi shu markazga nisbatan nuqtaga taʼsir etuvchi kuchning vektor momentiga teng.
yoki 
(4.30)
(4.23) va (4.30) ni solishtirib, vektorlarning momentlari va vektorlari bilan bir xil bog'liqlik bilan bog'langanligini ko'ramiz (4.1-rasm). Agar tenglikni O markazidan o'tuvchi o'qga proyeksiya qilsak, hosil bo'ladi
(4.31)
Bu tenglik nuqtaning o'qqa nisbatan burchak momentum teoremasini ifodalaydi.
|
(4.32)
Agar (4.32) ifodani O markazdan o’tuvchi o’qqa proyeksiya qilsak, burchak impulsining o’qqa nisbatan o’zgarishi haqidagi teoremani xarakterlovchi tenglikka erishamiz.
(4.33)
(4.10) ni (4.33) tenglikka almashtirib, aylanuvchi qattiq jismning (g'ildiraklar, o'qlar, vallar, rotorlar va boshqalar) differensial tenglamasini uchta ko'rinishda yozishimiz mumkin.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Shunday qilib, texnologiyada juda keng tarqalgan qattiq jismning harakatini, qo’zg’almas o’q atrofida aylanishini o’rganishda kinetik momentning o’zgarishi haqidagi teoremadan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Tizimning burchak momentumining saqlanish qonuni
1. (4.32) ifodada bo'lsin.
Keyin (4.32) tenglamadan shunday xulosa kelib chiqadi, ya'ni. agar ma'lum markazga nisbatan tizimga taalluqli barcha tashqi kuchlarning momentlari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning ushbu markazga nisbatan kinetik momenti son va yo'nalish bo'yicha doimiy bo'ladi.
2. Agar , keyin . Shunday qilib, agar sistemaga ma'lum o'qga nisbatan ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar momentlarining yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning bu o'qqa nisbatan kinetik momenti doimiy qiymat bo'ladi.
Bu natijalar burchak momentumining saqlanish qonunini ifodalaydi.
Aylanadigan qattiq jismda (4.34) tenglikdan kelib chiqadiki, agar , u holda . Bu erdan biz quyidagi xulosalarga kelamiz:
Agar tizim o'zgarmas bo'lsa (mutlaqo qattiq), keyin, shuning uchun va qattiq jism doimiy burchak tezligi bilan sobit o'q atrofida aylanadi.
Agar tizim o'zgaruvchan bo'lsa, u holda . O'sish bilan (keyin tizimning alohida elementlari aylanish o'qidan uzoqlashadi), burchak tezligi pasayadi, chunki , kamaytirilganda esa ortadi, shunday qilib, o'zgaruvchan tizimda ichki kuchlar yordamida burchak tezligini o'zgartirish mumkin.
Ikkinchi vazifa D2 sinov ishi sistemaning burchak impulsining o'qqa nisbatan o'zgarishi haqidagi teoremaga bag'ishlangan.
Muammo D2
Bir jinsli gorizontal platforma (radiusi R bo‘lgan aylana yoki tomonlari R va 2R bo‘lgan to‘rtburchak, bu yerda R = 1,2 m) kg massali, platformaning C massa markazidan bir nuqtada joylashgan vertikal o‘q z atrofida burchak tezligida aylanadi. masofa OC = b (Fig. E2.0 - D2.9, jadval D2); Barcha to'rtburchaklar platformalar uchun o'lchamlar rasmda ko'rsatilgan. D2.0a (yuqori ko'rinish).
Vaqt momentida, massasi kg bo'lgan D yuki qonun bo'yicha platforma trubkasi bo'ylab (ichki kuchlar ta'sirida) harakatlana boshlaydi, bu erda s metrlarda, t - soniyalarda ifodalanadi. Shu bilan birga, M momentli kuchlar juftligi (nyutonometrlarda ko'rsatilgan; M da)< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Aniqlang, milning massasini e'tiborsiz qoldirib, qaramlik ya'ni. platformaning burchak tezligi vaqt funktsiyasi sifatida.
Barcha rasmlarda D yuki s > 0 bo'lgan holatda ko'rsatilgan (s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Yo'nalishlar. D2 masala – sistemaning burchak impulsining o‘zgarishi haqidagi teoremani qo‘llash. Teoremani platforma va yukdan tashkil topgan tizimga qo'llashda tizimning z o'qiga nisbatan burchak momenti platforma va yuk momentlarining yig'indisi sifatida aniqlanadi. Shuni hisobga olish kerakki, yukning mutlaq tezligi nisbiy va portativ tezliklarning yig'indisi, ya'ni. . Shuning uchun, bu yukning harakat miqdori 
. Keyin Varignon teoremasidan (statika) foydalanishingiz mumkin, unga ko'ra; bu momentlar kuchlar momentlari bilan bir xil tarzda hisoblanadi. Yechim D2 misolida batafsilroq tushuntirilgan.
Muammoni hal qilishda yordamchi chizmada platformaning yuqoridan (z oxiridan) ko'rinishini rasmda ko'rsatilganidek tasvirlash foydalidir. D2.0, a – D2.9, a.
Massasi m bo‘lgan plastinkaning Cz o‘qiga nisbatan perpendikulyar bo‘lgan va uning massa markazidan o‘tuvchi inersiya momenti quyidagilarga teng: yon tomonlari va to‘rtburchaklar shaklidagi plastinka uchun.
;
R radiusli dumaloq plastinka uchun
| Vaziyat raqami | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10 t 0,4 -0,5 t -0,6 t 0,8 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Misol D2. Bir hil gorizontal platforma (tomonlari 2 l va l bo'lgan to'rtburchaklar) massaga ega bo'lib, vertikal milga mahkam bog'langan va u bilan o'q atrofida aylanadi. z burchak tezligi bilan (E2a-rasm ). Vaqt o'tishi bilan milga qarama-qarshi yo'naltirilgan M momenti ta'sir qila boshlaydi ; bir vaqtning o'zida yuk og'irligi 1 kg va g'ildiraklar xandaqda joylashgan massa AB nuqtada BILAN, s = CD = qonuniga muvofiq (ichki kuchlar ta'sirida) truba bo'ylab harakatlana boshlaydi F(t).
Berilgan: m 1 = 16 kg, t 2= 10 kg, l= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - metrda, t - soniyalarda), M= kt, Qayerda k=6 Nm/s. Ta'rif bering: - o'zgarish qonuni burchak tezligi platformalar.
Yechim. Platforma va yukdan iborat mexanik tizimni ko'rib chiqing D. w ni aniqlash uchun sistemaning burchak impulsining o'qga nisbatan o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llaymiz. z:
(1)
Tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarni tasvirlaymiz: reaksiyaning tortishish kuchi va moment M. Kuchlar va z o'qiga parallel bo'lgani uchun va reaktsiyalar bu o'qni kesib o'tganligi sababli, ularning z o'qiga nisbatan momentlari tengdir. nol. Keyin, hozircha hisoblash ijobiy yo'nalish(ya'ni, soat sohasi farqli o'laroq), biz olamiz 
va (1) tenglama bu shaklni oladi.
Kuch ta'sirida moddiy nuqta harakatining differensial tenglamasi F quyidagi vektor shaklida ifodalanishi mumkin:
Nuqtaning massasidan boshlab m doimiy sifatida qabul qilinadi, keyin hosila belgisi ostida kiritilishi mumkin. Keyin
Formula (1) nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: nuqta impulsining vaqtiga nisbatan birinchi hosilasi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchga teng.
Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda (1) quyidagicha ifodalanishi mumkin
Ikkala tomon (1) ga ko'paytirilsa dt, keyin biz xuddi shu teoremaning boshqa shaklini - differensial shakldagi impuls teoremasini olamiz:
bular. nuqta impulsining differensialligi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning elementar impulsiga teng.
(2) ning ikkala qismini koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz
(2) ning ikkala qismini noldan t gacha integrallash (1-rasm), biz bor
nuqtaning ayni paytda tezligi qayerda t; - tezlik da t = 0;
S- vaqt o'tishi bilan kuchning impulsi t.
(3) ko'rinishdagi ifoda ko'pincha chekli (yoki integral) ko'rinishdagi impuls teoremasi deb ataladi: har qanday vaqt oralig'ida nuqta impulsining o'zgarishi xuddi shu vaqt oralig'idagi kuch impulsiga teng.
Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda bu teorema quyidagi ko'rinishda ifodalanishi mumkin:
Moddiy nuqta uchun har qanday shakldagi impulsning o'zgarishi haqidagi teorema nuqta harakatining differensial tenglamalaridan mohiyatan farq qilmaydi.
Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema
Tizimning harakat miqdori vektor miqdori deb ataladi vektor kattalik deb ataladi, tizimning barcha nuqtalarining harakat miqdorlarining geometrik yig'indisiga (asosiy vektor) teng.
dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing n moddiy nuqtalar. Keling, ushbu sistema uchun harakatning differensial tenglamalarini tuzamiz va ularni hadlar bo'yicha qo'shamiz. Keyin biz olamiz:
Ichki kuchlarning xususiyati tufayli oxirgi yig'indi nolga teng. Bundan tashqari,
Nihoyat biz topamiz:
(4) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: sistemaning impuls momentining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
Teoremaning boshqa ifodasini topamiz. Vaqtga ruxsat bering t= 0 - tizimning harakat miqdori Q 0, va ayni paytda t 1 tenglashadi Q 1. Keyin, (4) tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz dt va integratsiyalashgan holda biz quyidagilarni olamiz:
Yoki qayerda:
(S- kuch impulsi)
chunki o'ngdagi integrallar tashqi kuchlarning impulslarini beradi,
(5) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistema impulsining ma'lum bir vaqt oralig'idagi o'zgarishi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning impulslari yig'indisiga teng.
Koordinata o'qlari bo'yicha proektsiyalarda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
Impulsning saqlanish qonuni
Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim xulosalarni olish mumkin:
1. Tizimga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsin:
Keyin (4) tenglamadan bu holda shunday xulosa chiqadi Q = konst.
Shunday qilib, agar tizimga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizim momentumining vektori kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi.
2. 01Tizimga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo‘lsinki, ularning qandaydir o‘qqa proyeksiyalari yig‘indisi (masalan, Ox) nolga teng bo‘lsin:
U holda (4`) tenglamalardan bu holda shunday xulosa chiqadi Q = konst.
Shunday qilib, agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning istalgan o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning bu o'qga harakat miqdorining proyeksiyasi doimiy qiymatdir.
Bu natijalar ifodalanadi sistema impulsining saqlanish qonuni. Ulardan kelib chiqadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.
Keling, ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik:
· Rulonning qaytishi haqidagi hodisa. Agar miltiq va o'qni bitta tizim deb hisoblasak, u holda otish paytida kukun gazlarining bosimi ichki kuch bo'ladi. Bu kuch tizimning umumiy momentumini o'zgartira olmaydi. Ammo o'qga ta'sir qiluvchi kukun gazlari unga oldinga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatni berganligi sababli, ular miltiqqa bir vaqtning o'zida qarama-qarshi yo'nalishda bir xil miqdordagi harakatni berishi kerak. Bu miltiqning orqaga qarab harakatlanishiga olib keladi, ya'ni. qaytish deb ataladigan narsa. Xuddi shunday hodisa qurolni otishda (orqaga qaytish) sodir bo'ladi.
· Parvona (parvona) ishlashi. Pervanel pervanelning o'qi bo'ylab ma'lum bir havo massasiga (yoki suvga) harakat qiladi va bu massani orqaga tashlaydi. Agar biz tashlangan massani va samolyotni (yoki kemani) bitta tizim deb hisoblasak, pervanel va atrof-muhit o'rtasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar sifatida ushbu tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi. Shunday qilib, havo (suv) massasi orqaga tashlanganda, samolyot (yoki kema) tegishli oldinga tezlikni oladi, shunda ko'rib chiqilayotgan tizimning umumiy harakati nolga teng bo'lib qoladi, chunki harakat boshlanishidan oldin u nolga teng edi. .
Shunga o'xshash ta'sir eshkaklar yoki eshkak eshish g'ildiraklarining harakati bilan erishiladi.
· R e c t i v e Raketada (raketada) yonilg'i yonishining gazsimon mahsulotlari raketaning dumidagi teshikdan (reaktiv dvigatelning nozulidan) yuqori tezlikda chiqariladi. Bu holda ta'sir qiluvchi bosim kuchlari ichki kuchlar bo'ladi va ular raketa-chang gazlar tizimining umumiy momentumini o'zgartira olmaydi. Ammo qochib ketgan gazlar orqaga yo'naltirilgan ma'lum miqdordagi harakatga ega bo'lganligi sababli, raketa mos keladigan oldinga tezlikni oladi.
O'q haqidagi momentlar teoremasi.
Materialning massa nuqtasini ko'rib chiqing m, kuch ta'siri ostida harakat qilish F. Buning uchun vektorlar momentlari orasidagi bog'lanishni topamiz nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng. Vektor Va F ba'zi sobit Z o'qiga nisbatan.
m z (F) = xF - yF (7)
Xuddi shunday qiymat uchun m(mV), tashqariga chiqarilsa m qavslardan tashqarida bo'ladi
m z (mV) = m (xV - yV)(7`)
Bu tenglikning har ikki tomonidan vaqtga nisbatan hosilalarni olib, topamiz
Olingan ifodaning o'ng tomonida birinchi qavs 0 ga teng, chunki dx/dt=V va du/dt = V, (7) formula bo'yicha ikkinchi qavs teng
mz(F), chunki dinamikaning asosiy qonuniga ko'ra:
Nihoyat bizda (8)
Olingan tenglama o'qga nisbatan momentlar teoremasini ifodalaydi: har qanday o'qqa nisbatan nuqta momentum momentining vaqt hosilasi momentga teng harakat qiluvchi kuch taxminan bir xil eksa. Xuddi shunday teorema har qanday O markaziga nisbatan momentlar uchun amal qiladi.
