Maqolada butun sonlarni qoldiqga bo'lish tushunchasi ko'rib chiqiladi. Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teoremani isbotlab, dividendlar va bo‘luvchilar, to‘liq bo‘lmagan qismlar va qoldiqlar o‘rtasidagi bog‘lanishlarni ko‘rib chiqamiz. Keling, butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish qoidalarini ko'rib chiqaylik, ularni misollar yordamida batafsil ko'rib chiqamiz. Yechim oxirida biz tekshirishni amalga oshiramiz.
Butun sonlarni qoldiqlarga bo'lish haqida umumiy tushuncha
Butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish natural sonlarning qolgan qismiga umumlashtirilgan bo'linish deb hisoblanadi. Bu natural sonlar butun sonlarning tarkibiy qismi bo'lganligi sababli amalga oshiriladi.
Ixtiyoriy sonning qoldig'i bilan bo'linish a butun soni noldan boshqa b soniga bo'linishini aytadi. Agar b = 0 bo'lsa, qoldiq bilan bo'linmang.
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish kabi, a va b butun sonlar, b nol emas, c va d ga bo'linadi. Bunday holda, a va b dividend va bo'linuvchi deb ataladi va d - bo'linishning qolgan qismi, c - butun yoki to'liq bo'lmagan qism.
Agar qoldiq manfiy bo'lmagan butun son deb faraz qilsak, uning qiymati b sonining modulidan katta emas. Buni shunday yozamiz: 0 ≤ d ≤ b. Ushbu tengsizliklar zanjiri 3 yoki undan ortiq sonlarni solishtirishda qo'llaniladi.
Agar c to'liq bo'lmagan qism bo'lsa, d butun a ni b ga bo'lishning qoldig'i bo'lib, uni qisqacha ifodalash mumkin: a: b = c (qoldiq d).
A sonini b ga bo'lishda qolgan nolga teng bo'lishi mumkin, keyin ular a ni b ga to'liq, ya'ni qoldiqsiz bo'linishini aytishadi. Qoldiqsiz bo'lish bo'linishning alohida holati hisoblanadi.
Agar nolni biron bir raqamga bo'lsak, natija nolga teng bo'ladi. Bo'linishning qolgan qismi ham nolga teng bo'ladi. Buni nolni butun songa bo'lish nazariyasidan kuzatish mumkin.
Endi butun sonlarni qoldiqga bo‘lish ma’nosini ko‘rib chiqamiz.
Ma'lumki, musbat butun sonlar natural sonlar bo'lib, qoldiqga bo'linganda natural sonlarni qoldiqga bo'lishdagidek ma'no olinadi.
a manfiy butun sonni b musbat butun songa bo‘lish mantiqan to‘g‘ri keladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Vaziyatni tasavvur qiling-a, bizda b shaxs tomonidan to'lanishi kerak bo'lgan a miqdoridagi narsalar bo'yicha qarzimiz bor. Bunga erishish uchun hamma teng hissa qo'shishi kerak. Har biri uchun qarz miqdorini aniqlash uchun siz xususiy s qiymatiga e'tibor berishingiz kerak. Qolgan d, qarzlarni to'lashdan keyin ob'ektlar soni ma'lum ekanligini ko'rsatadi.
Keling, olma misolini ko'rib chiqaylik. 2 kishidan 7 ta olma qarzi bo'lsa. Har bir kishi 4 ta olmani qaytarishi kerakligini hisoblasak, to‘liq hisob-kitobdan keyin 1 ta olma qoladi. Buni tenglik sifatida yozamiz: (− 7) : 2 = − 4 (t. 1 dan) .
Har qanday a sonini butun songa bo'lish mantiqiy emas, lekin bu variant sifatida mumkin.
Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teorema
Biz aniqladikki, a - dividend, keyin b - bo'luvchi, c - qisman qism va d - qoldiq. Ular bir-biriga bog'langan. Bu bog'lanishni a = b · c + d tengligidan foydalanib ko'rsatamiz. Ular orasidagi bog'lanish qoldiqqa bo'linish teoremasi bilan tavsiflanadi.
Teorema
Har qanday butun sonni faqat butun va nolga teng bo'lmagan b soni orqali shunday ko'rsatish mumkin: a = b · q + r, bu erda q va r ba'zi bir butun sonlardir. Bu erda bizda 0 ≤ r ≤ b mavjud.
a = b · q + r ning mavjudligini isbotlaylik.
Isbot
Agar a va b ikkita son bo'lsa va a b ga qoldiqsiz bo'linadigan bo'lsa, u holda ta'rifdan q soni borligi kelib chiqadi va a = b · q tengligi to'g'ri bo'ladi. U holda tenglikni to'g'ri deb hisoblash mumkin: r = 0 uchun a = b · q + r.
Keyin b · q tengsizlik bilan berilgan q ni olish kerak< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b .
Bizda a - b · q ifodaning qiymati noldan katta va emas kattaroq qiymat b sonidan kelib chiqadiki, r = a - b · q. Biz a soni a = b · q + r shaklida ifodalanishi mumkinligini aniqlaymiz.
Endi a = b q + r uchun ifodalash imkoniyatini ko'rib chiqishimiz kerak salbiy qiymatlar b.
Raqamning moduli musbat bo'lib chiqadi, keyin a = b · q 1 + r ni olamiz, bu erda q 1 qiymati qandaydir butun son, r - 0 ≤ r shartiga javob beradigan butun son.< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b .
O'ziga xoslik isboti
Faraz qilaylik, a = b q + r, q va r sharti 0 ≤ r rost bo‘lgan butun sonlardir.< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 Va r 1 ba'zi raqamlar qaerda q 1 ≠ q, 0 ≤ r 1< b .
Tengsizlik chap va o'ng tomondan ayirilsa, u holda biz 0 = b · (q - q 1) + r - r 1 ni olamiz, bu r - r 1 = b · q 1 - q ga teng. Modul ishlatilganligi sababli r - r 1 = b · q 1 - q tengligini olamiz.
Berilgan shart 0 ≤ r ekanligini aytadi< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что q Va q 1- butun, va q ≠ q 1, keyin q 1 - q ≥ 1. Bu erdan biz b · q 1 - q ≥ b ga ega bo'lamiz. Olingan tengsizliklar r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае.
Bundan kelib chiqadiki, a sonini a = b · q + r yozishdan tashqari boshqa usulda ifodalash mumkin emas.
Dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabat
a = b · c + d tengligidan foydalanib, to'liq bo'lmagan bo'linuvchi c bo'lgan b va qolgan d ma'lum bo'lganda, noma'lum dividend a ni topishingiz mumkin.
1-misol
Dividendni aniqlang, agar bo'linganda biz - 21 ni olsak, qisman qism 5, qolgan qismi 12 bo'lsa.
Yechim
Dividend a ni ma'lum bo'luvchi b = - 21, to'liq bo'lmagan qism c = 5 va qolgan d = 12 bilan hisoblash kerak. Biz a = b · c + d tengligiga murojaat qilishimiz kerak, bu erdan biz a = (− 21) · 5 + 12 ni olamiz. Agar harakatlar tartibiga rioya qilsak, biz - 21 ni 5 ga ko'paytiramiz, shundan so'ng biz (− 21) · 5 + 12 = - 105 + 12 = - 93 ni olamiz.
Javob: - 93 .
Bo'luvchi va qisman qism va qoldiq o'rtasidagi bog'liqlik tenglik yordamida ifodalanishi mumkin: b = (a - d) : c , c = (a - d) : b va d = a - b · c . Ularning yordami bilan biz bo'linuvchi, qisman qism va qoldiqni hisoblashimiz mumkin. Bu ma'lum dividend, bo'luvchi va qisman bo'linmali butun a ga b butun sonini bo'lishda doimiy ravishda qoldiqni topishga to'g'ri keladi. d = a - b · c formulasi qo'llaniladi. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.
2-misol
Butun sonni - 19 ni ma'lum to'liq bo'lmagan qism - 7 ga teng butun son 3 ga bo'lishda qoldiqni toping.
Yechim
Bo'linishning qolgan qismini hisoblash uchun d = a - b · c ko'rinishdagi formulani qo'llaymiz. Shartga ko'ra, barcha ma'lumotlar mavjud: a = - 19, b = 3, c = - 7. Bu yerdan biz d = a − b · c = − 19 − 3 · (− 7) = − 19 − (− 21) = − 19 + 21 = 2 (farq − 19 − (− 21) ni olamiz) Bu misol hisoblangan. ayirish qoidasidan foydalanib manfiy butun son.
Javob: 2 .
Barcha musbat sonlar natural sonlardir. Bundan kelib chiqadiki, bo'linish natural sonlarning qolgan qismi bilan bo'linishning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Natural sonlarning qolgan qismiga bo'linish tezligi muhim ahamiyatga ega, chunki unga nafaqat ijobiy sonlarni bo'lish, balki ixtiyoriy butun sonlarni bo'lish qoidalari ham asoslanadi.
Bo'lishning eng qulay usuli - bu ustun, chunki qoldiq bilan to'liq bo'lmagan yoki oddiygina qismni olish osonroq va tezroq. Keling, yechimni batafsil ko'rib chiqaylik.
3-misol
14671 ni 54 ga bo'ling.
Yechim
Ushbu bo'linish ustunda bajarilishi kerak:
Ya'ni, qisman qism 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga teng.
Javob: 14,671: 54 = 271. (qolgan 37)
Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo'lish qoidasi, misollar
Ijobiy sonning qoldig'ini manfiy butun songa bo'lish uchun siz qoidani shakllantirishingiz kerak.
Ta'rif 1
Musbat butun a ni manfiy butun b ga bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi a sonlarning modullarini b ga bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismiga qarama-qarshi sonni beradi. U holda a ni b ga bo'lganda qolgan qoldiqga teng bo'ladi.
Demak, musbat butun sonni manfiy songa bo‘lishning to‘liq bo‘lmagan qismi musbat bo‘lmagan butun son hisoblanadi.
Biz algoritmni olamiz:
- dividend modulini bo'linuvchining moduliga ajratamiz, keyin biz to'liq bo'lmagan qismni olamiz va
- qoldiq;
- Olingan narsaga qarama-qarshi sonni yozamiz.
Keling, musbat butun sonni manfiy songa bo'lish algoritmi misolini ko'rib chiqaylik.
4-misol
Qolgan 17 ni - 5 ga bo'ling.
Yechim
Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo‘lish algoritmini qo‘llaylik. 17 ni - 5 modulga bo'lish kerak. Bundan biz qisman qism 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng ekanligini olamiz.
Biz kerakli sonni 17 ni - 5 = - 3 ga, qoldiq 2 ga bo'lish orqali olamiz.
Javob: 17: (− 5) = − 3 (qolgan 2).
5-misol
Siz 45 ni - 15 ga bo'lishingiz kerak.
Yechim
Raqamlarni modulga bo'lish kerak. 45 raqamini 15 ga bo'ling, biz qoldiqsiz 3 qismini olamiz. Bu 45 soni 15 ga qoldiqsiz bo'linishini bildiradi. Javob - 3, chunki bo'linish modul bo'yicha amalga oshirildi.
45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3
Javob: 45: (− 15) = − 3 .
Qoldiq bilan bo'lish qoidasini shakllantirish quyidagicha.
Ta'rif 2
a manfiy butun sonni musbat b ga bo'lishda to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun berilgan sonning teskarisini qo'llash va undan 1 ni ayirish kerak, so'ngra qolgan d quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: d = a - b · c.
Qoidaga asoslanib, biz bo'lishda biz manfiy bo'lmagan butun sonni olamiz degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yechimning to'g'riligini ta'minlash uchun a ni b ga qoldiq bilan bo'lish algoritmidan foydalaning:
- dividend va bo'luvchining modullarini toping;
- modulni ajratish;
- teskarisini yozing berilgan raqam va 1 ni ayirish;
- qolgan d = a - b · c uchun formuladan foydalaning.
Keling, ushbu algoritm qo'llaniladigan yechim misolini ko'rib chiqaylik.
6-misol
17 ga 5 ga bo'linishning qisman qismi va qolgan qismini toping.
Yechim
Berilgan raqamlarni modulga ajratamiz. Biz bo'lishda qism 3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng ekanligini topamiz. Biz 3 ga ega bo'lganimiz uchun buning aksi 3 ga teng. 1 ni ayirish kerak.
− 3 − 1 = − 4 .
Istalgan qiymat - 4 ga teng.
Qolgan miqdorni hisoblash uchun a = − 17, b = 5, c = − 4, keyin d = a − b c = − 17 − 5 (− 4) = − 17 − (− 20) = − 17 + 20 = bo‘lishi kerak. 3 .
Bu shuni anglatadiki, bo'linishning to'liq bo'lmagan qismi - 4, qoldiq 3 ga teng.
Javob:(− 17) : 5 = − 4 (qolgan 3).
7-misol
Salbiy butun sonni - 1404 ni musbat 26 ga bo'ling.
Yechim
Ustun va modul bo'yicha bo'linish kerak.
Biz raqamlar modullarining qoldiqsiz bo'linishini oldik. Bu shuni anglatadiki, bo'linish qoldiqsiz bajariladi va kerakli ko'rsatkich = - 54.
Javob: (− 1 404) : 26 = − 54 .
Manfiy butun sonlar uchun qoldiq bilan bo'lish qoidasi, misollar
Butun sonlar qoldig'iga bo'lish qoidasini shakllantirish kerak manfiy raqamlar.
Ta'rif 3
Manfiy butun a ni manfiy butun son b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun modulli hisob-kitoblarni bajarish kerak, keyin 1 qo'shiladi, keyin d = a - b · c formulasi yordamida hisob-kitoblarni amalga oshirishimiz mumkin.
Bundan kelib chiqadiki, manfiy butun sonlarni bo'lishning to'liq bo'lmagan qismi musbat son bo'ladi.
Keling, shakllantiraylik bu qoida algoritm shaklida:
- dividend va bo'luvchining modullarini toping;
- to'liq bo'lmagan qismni olish uchun dividend modulini bo'linuvchi modulga bo'ling.
- qoldiq;
- to'liq bo'lmagan qismga 1 qo'shish;
- d = a - b · c formulasi asosida qoldiqni hisoblash.
Keling, misol yordamida ushbu algoritmni ko'rib chiqaylik.
8-misol
- 17 ga - 5 ga bo'linganda qisman qism va qoldiqni toping.
Yechim
Yechimning to'g'riligini ta'minlash uchun biz qoldiq bilan bo'lish algoritmini qo'llaymiz. Birinchidan, raqamlarni modulga bo'ling. Bundan biz to'liq bo'lmagan qism = 3, qolgan qismi esa 2 ekanligini bilib olamiz. Qoidaga ko'ra, siz to'liq bo'lmagan qismni va 1 ni qo'shishingiz kerak. Biz 3 + 1 = 4 ni olamiz. Bu erdan biz berilgan sonlarni bo'lishning qisman qismi 4 ga teng ekanligini tushunamiz.
Qolgan miqdorni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz. Shartga ko'ra, a = - 17, b = - 5, c = 4, formuladan foydalanib, biz d = a - b c = - 17 - (- 5) 4 = - 17 - (- 20) = ni olamiz. − 17 + 20 = 3. Kerakli javob, ya'ni qoldiq 3 ga, qisman qism esa 4 ga teng.
Javob:(− 17) : (− 5) = 4 (qolgan 3).
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish
Raqamlarni qoldiqga bo'lgandan so'ng, siz tekshirishni amalga oshirishingiz kerak. Ushbu tekshirish 2 bosqichni o'z ichiga oladi. Birinchidan, qolgan d ning manfiy emasligi tekshiriladi, 0 ≤ d sharti bajariladi.< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.
Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
9-misol
Bo'linish amalga oshirildi - 521 ga - 12. Bo'lim 44 ga, qolgan qismi 7 ga teng. Tekshirishni amalga oshiring.
Yechim
Qolgan musbat son bo'lgani uchun uning qiymati bo'linuvchining modulidan kichik. Bo'luvchi - 12, ya'ni uning moduli 12 ga teng. Siz keyingi nazorat nuqtasiga o'tishingiz mumkin.
Shartga ko'ra, a = - 521, b = - 12, c = 44, d = 7. Bu yerdan b · c + d ni hisoblaymiz, bu erda b · c + d = - 12 · 44 + 7 = - 528 + 7 = - 521. Bundan kelib chiqadiki, tenglik haqiqatdir. Tekshiruvdan oʻtdi.
10-misol
Bo'linish tekshiruvini bajaring (- 17): 5 = - 3 (qolgan - 2). Tenglik haqiqatmi?
Yechim
Birinchi bosqichning mohiyati shundaki, butun sonlarning qoldiq bilan bo'linishini tekshirish kerak. Bundan ko'rinib turibdiki, harakat noto'g'ri bajarilgan, chunki - 2 ga teng qoldiq berilgan. Qolganlari manfiy raqam emas.
Bizda ikkinchi shart bajarilgan, ammo bu ish uchun etarli emas.
Javob: Yo'q.
11-misol
19 soni - 3 ga bo'lingan. Qisman qism 7 ga, qolgan qismi esa 1 ga teng. Ushbu hisob to'g'ri bajarilganligini tekshiring.
Yechim
1 ga teng qoldiq berilgan. U ijobiy. Qiymat ajratuvchi moduldan kamroq, ya'ni birinchi bosqich tugallanmoqda. Keling, ikkinchi bosqichga o'tamiz.
b · c + d ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Shartga ko'ra, bizda b = − 3, c = 7, d = 1 bor, ya'ni son qiymatlarni almashtirib, biz b · c + d = - 3 · 7 + 1 = - 21 + 1 = - 20 ni olamiz. Bundan kelib chiqadiki, a = b · c + d tenglik bajarilmaydi, chunki shart a = - 19 ni beradi.
Bundan kelib chiqadiki, bo'linish xato bilan qilingan.
Javob: Yo'q.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik:
15:5=3
Ushbu misolda natural son Biz 15 ga bo'ldik butunlay 3 ga, qoldiqsiz.
Ba'zan natural sonni to'liq bo'lib bo'lmaydi. Masalan, muammoni ko'rib chiqing:
Shkafda 16 ta o'yinchoq bor edi. Guruhda beshta bola bor edi. Har bir bola bir xil miqdordagi o'yinchoqlarni oldi. Har bir bolada nechta o'yinchoq bor?
Yechim:
Ustun yordamida 16 raqamini 5 ga bo'ling va biz quyidagilarni olamiz:
16 ni 5 ga bo'lish mumkin emasligini bilamiz. 5 ga bo'linadigan eng yaqin kichik son 15 qoldiq 1 ga teng. 15 raqamini 5⋅3 deb yozishimiz mumkin. Natijada (16 - dividend, 5 - bo'luvchi, 3 - to'liq bo'lmagan qism, 1 - qoldiq). Qabul qilingan formula qoldiq bilan bo'linish amalga oshirilishi mumkin yechimni tekshirish.
a=
b⋅
c+
d
a - bo'linadigan,
b - ajratuvchi,
c - to'liq bo'lmagan qism,
d - qoldiq.
Javob: har bir bola 3 ta o'yinchoq oladi va bitta o'yinchoq qoladi.
Bo'linishning qolgan qismi
Qolgan har doim bo'luvchidan kichik bo'lishi kerak.
Agar bo'linish paytida qoldiq nolga teng bo'lsa, bu dividend bo'linganligini anglatadi butunlay yoki bo'luvchida qoldiqsiz.
Agar bo'linish paytida qoldiq bo'luvchidan katta bo'lsa, bu topilgan son eng katta emasligini anglatadi. Dividendni bo'luvchi kattaroq raqam, qolgan qismi esa bo'luvchidan kamroq bo'ladi.
"Qaldiq bilan bo'lish" mavzusi bo'yicha savollar:
Qolgan bo'luvchidan katta bo'lishi mumkinmi?
Javob: yo'q.
Qolgan bo'luvchiga teng bo'lishi mumkinmi?
Javob: yo'q.
To'liq bo'lmagan qism, bo'luvchi va qoldiq yordamida dividendni qanday topish mumkin?
Javob: qisman qism, bo'luvchi va qoldiq qiymatlarini formulaga almashtiramiz va dividendni topamiz. Formula:
a=b⋅c+d
1-misol:
Qoldiqqa bo'linishni bajaring va tekshiring: a) 258:7 b) 1873:8
Yechim:
a) ustunga bo'lish: 
258 - dividendlar,
7 - ajratuvchi,
36 - to'liq bo'lmagan qism,
6 - qolgan. Qolgan bo'luvchi 6 dan kichik<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) ustunga bo'lish: 
1873 yil - bo'linadigan,
8 - bo'luvchi,
234 - to'liq bo'lmagan qism,
1 - qoldiq. Qolgan bo'luvchi 1 dan kichik<8.
Keling, uni formulaga almashtiramiz va misolni to'g'ri hal qilganimizni tekshiramiz:
8⋅234+1=1872+1=1873
2-misol:
Natural sonlarni bo'lishda qanday qoldiqlar olinadi: a) 3 b)8?
Javob:
a) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 3 dan kichik. Bizning holatimizda qolgan 0, 1 yoki 2 bo'lishi mumkin.
b) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 8 dan kichik. Bizning holatimizda qoldiq 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 yoki 7 bo'lishi mumkin.
3-misol:
Natural sonlarni bo’lishda eng katta qoldiq qancha olinadi: a) 9 b) 15?
Javob:
a) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 9 dan kichik. Lekin biz eng katta qoldiqni ko'rsatishimiz kerak. Ya'ni, bo'luvchiga eng yaqin raqam. Bu 8 raqami.
b) Qoldiq bo'luvchidan kichik, shuning uchun 15 dan kichik. Lekin biz eng katta qoldiqni ko'rsatishimiz kerak. Ya'ni, bo'luvchiga eng yaqin raqam. Bu raqam 14 ta.
4-misol:
Dividendni toping: a) a:6=3(dam.4) b) c:24=4(dam.11)
Yechim:
a) formuladan foydalanib yeching:
a=b⋅c+d
(a - dividend, b - bo'luvchi, c - qisman qism, d - qoldiq.)
a:6=3(dam.4)
(a – dividend, 6 – bo‘luvchi, 3 – qisman qism, 4 – qoldiq.) Keling, raqamlarni formulaga almashtiramiz:
a=6⋅3+4=22
Javob: a=22
b) formuladan foydalanib yeching:
a=b⋅c+d
(a - dividend, b - bo'luvchi, c - qisman qism, d - qoldiq.)
s:24=4(dam.11)
(c – dividend, 24 – bo‘luvchi, 4 – qisman qism, 11 – qoldiq.) Keling, raqamlarni formulaga almashtiramiz:
s=24⋅4+11=107
Javob: c=107
Vazifa:
Tel 4 m. 13 sm bo'laklarga bo'lish kerak. Bunday qismlar nechta bo'ladi?
Yechim:
Avval siz metrlarni santimetrga aylantirishingiz kerak.
4m.=400sm.
Biz ustunga bo'linishimiz mumkin yoki ongimizda biz quyidagilarni olamiz:
400:13=30(qolgan 10)
Keling, tekshiramiz:
13⋅30+10=390+10=400
Javob: Siz 30 dona olasiz va 10 sm sim qoladi.
Ushbu maqolada biz ko'rib chiqamiz butun sonlarni qoldiq bilan bo'lish. Butun sonlarni qoldiqga bo‘lishning umumiy tamoyilidan boshlaylik, butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teoremani tuzamiz va isbotlaymiz, dividend, bo‘luvchi, to‘liq bo‘lmagan qism va qoldiq o‘rtasidagi bog‘lanishlarni kuzatamiz. Keyinchalik, biz butun sonlarni qoldiqga bo'lish qoidalarini ko'rsatamiz va misollarni echishda ushbu qoidalarni qo'llashni ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng biz butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirishni o'rganamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish haqida umumiy tushuncha
Butun sonlarni qoldiq bilan bo‘lish natural sonlar qoldig‘iga bo‘linishni umumlashtirish sifatida ko‘rib chiqamiz. Bu natural sonlarning butun sonlarning tarkibiy qismi ekanligi bilan bog'liq.
Keling, tavsifda ishlatiladigan atamalar va belgilar bilan boshlaylik.
Natural sonlarni qoldiq bilan bo'lish bilan o'xshashlik bilan ikkita butun a va b (b nolga teng emas) qoldiqlari bilan bo'linish natijasi ikkita c va d butun sonlar deb faraz qilamiz. a va b raqamlari chaqiriladi bo'linadigan Va ajratuvchi Shunga ko'ra, d soni - qolgan a ni b ga bo'lishdan va butun c chaqiriladi to'liq bo'lmagan shaxsiy(yoki shunchaki xususiy, agar qolgan nolga teng bo'lsa).
Keling, qoldiq manfiy bo'lmagan butun son bo'lib, uning qiymati b dan oshmaydi, ya'ni (biz uch yoki undan ortiq butun sonlarni solishtirish haqida gapirganda shunga o'xshash tengsizlik zanjirlariga duch keldik) deb faraz qilishga rozi bo'laylik.
Agar c soni to'liq bo'lmagan bo'lak bo'lsa va d soni a butun sonni b butun soniga bo'lishdan qolgan qoldiq bo'lsa, u holda bu faktni qisqacha a:b=c (qolgan d) ko'rinishdagi tenglik sifatida yozamiz.
E'tibor bering, a butun sonni b butun songa bo'lganda, qolgan nolga teng bo'lishi mumkin. Bunda a ni b ga bo'linadi deymiz izsiz(yoki butunlay). Shunday qilib, butun sonlarni qoldiqsiz bo'lish butun sonlarni qoldiq bilan bo'lishning alohida holatidir.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, nolni qandaydir butun songa bo'lishda biz doimo qoldiqsiz bo'linish bilan shug'ullanamiz, chunki bu holda bo'linish nolga teng bo'ladi (nolni butun songa bo'lish nazariyasiga qarang), qolgan esa. ham nolga teng bo'ladi.
Biz terminologiya va belgi haqida qaror qabul qildik, endi butun sonlarni qoldiqga bo'lish ma'nosini tushunamiz.
manfiy butun a sonni musbat butun b ga bo'lish ham ma'no berishi mumkin. Buning uchun manfiy butun sonni qarz deb hisoblang. Keling, bu vaziyatni tasavvur qilaylik. Ob'ektlarni tashkil etuvchi qarzni teng hissa qo'shish orqali b kishi to'lashi kerak. Bu holda to'liq bo'lmagan qism c ning mutlaq qiymati bu odamlarning har birining qarz miqdorini aniqlaydi, qolgan d esa qarz to'langandan keyin qancha element qolishini ko'rsatadi. Keling, misol keltiraylik. Aytaylik, 2 kishining 7 ta olma qarzi bor. Agar ularning har birida 4 ta olma qarzi bor deb hisoblasak, qarzni to‘lagandan keyin 1 ta olma qoladi. Bu holat tenglikka mos keladi (−7):2=−4 (qolgan 1).
Biz ixtiyoriy butun a ni manfiy butun songa bo'lish uchun hech qanday ma'no qo'shmaymiz, lekin biz uning mavjud bo'lish huquqini saqlab qolamiz.
Butun sonlarning qoldiqga bo‘linuvchanligi haqidagi teorema
Natural sonlarni qoldiqga bo'lish haqida gapirganimizda, dividend a, bo'luvchi b, qisman bo'lak c va qolgan d a=b·c+d tengligi bilan bog'liqligini aniqladik. a, b, c va d butun sonlari bir xil munosabatga ega. Ushbu ulanish quyidagi tarzda tasdiqlangan qoldiq bilan bo'linish teoremasi.
Teorema.
Har qanday butun a butun son va nolga teng bo'lmagan b soni orqali a=b·q+r ko'rinishida yagona tarzda ifodalanishi mumkin, bunda q va r ba'zi butun sonlar va .
Isbot.
Birinchidan, a=b·q+r ni ifodalash imkoniyatini isbotlaymiz.
Agar a va b butun sonlar shunday bo'lsa, a b ga bo'linadigan bo'lsa, u holda ta'rifga ko'ra a=b·q bo'ladigan butun q son mavjud. Bunda r=0 da a=b·q+r tenglik bajariladi.
Endi biz b musbat butun son deb faraz qilamiz. b·q ko'paytmasi a sonidan oshmasligi va b·(q+1) ko'paytmasi allaqachon a dan katta bo'lishi uchun q butun sonini tanlaymiz. Ya'ni, q ni shunday olamizki, tengsizliklar b q Salbiy b uchun a=b·q+r ni ifodalash imkoniyatini isbotlash qoladi. Bu holda b sonining moduli musbat son bo'lganligi sababli, q 1 qandaydir butun son, r esa shartlarni qondiradigan butun son bo'lgan tasvir mavjud. Keyin q=−q 1 ni olib, manfiy b uchun kerakli a=b·q+r tasvirni olamiz. Keling, noyoblikning isbotiga o'tamiz. Faraz qilaylik, a=b·q+r, q va r butun sonlar va tasviridan tashqari yana a=b·q 1 +r 1 tasviri mavjud bo‘lsin, bunda q 1 va r 1 ba’zi bir butun sonlar va q 1 ≠ q va . Birinchi tenglikning chap va o‘ng tomonlaridan mos ravishda ikkinchi tenglikning chap va o‘ng tomonlarini ayirib, r− tengligiga ekvivalent bo‘lgan 0=b·(q−q 1)+r−r 1 ni hosil qilamiz. r 1 =b·(q 1 -q) . Keyin shaklning tengligi Shartlardan shunday xulosa qilishimiz mumkin. q va q 1 butun sonlar va q≠q 1 bo‘lgani uchun, shunday xulosaga kelamiz: a=b·c+d tengligi, agar bo'linuvchi b, qisman c qism va d qoldig'i ma'lum bo'lsa, a noma'lum dividendni topishga imkon beradi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Misol. Agar −21 butun songa bo‘linganda to‘liq bo‘lmagan qism 5 ga, qolgan 12 ga teng bo‘lsa, dividendning qiymati qanday bo‘ladi? Yechim. Bo'luvchi b=−21, qisman qism c=5 va qolgan d=12 ma'lum bo'lganda dividend a ni hisoblashimiz kerak. a=b·c+d tengligiga qaytsak, a=(−21)·5+12 ni olamiz. Kuzatib, avval −21 va 5 butun sonlarni ishorasi har xil bo‘lgan butun sonlarni ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra ko‘paytiramiz, so‘ngra har xil ishorali butun sonlarni qo‘shishni bajaramiz: (−21)·5+12=−105+12=−93 . Javob: −93
.
Dividend, boʻluvchi, qisman qism va qoldiq oʻrtasidagi bogʻlanishlar ham b=(a−d):c, c=(a−d):b va d=a−b·c koʻrinishdagi tengliklar bilan ifodalanadi. Bu tengliklar mos ravishda bo'linuvchi, qisman qism va qoldiqni hisoblash imkonini beradi. Dividend, bo'luvchi va qisman qism ma'lum bo'lganda, a butun sonni b butun songa bo'lishda d=a−b·c formulasidan foydalanib, ko'pincha qolganni topishga to'g'ri keladi. Boshqa savollarga yo'l qo'ymaslik uchun, qolganlarni hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Misol. Agar qisman qism −7 ga teng ekanligini bilsangiz, −19 butun sonni 3 ga bo‘lishda qoldiqni toping. Yechim. Bo'linishning qolgan qismini hisoblash uchun d=a−b·c ko'rinishdagi formuladan foydalanamiz. Shartdan biz barcha kerakli ma'lumotlarga egamiz a=−19, b=3, c=−7. Biz d=a−b·c=−19−3·(−7)= −19−(−21)=−19+21=2 ni olamiz (farqni −19−(−21) qoidasi yordamida hisoblab chiqdik. manfiy butun sonni ayirish). Javob: Biz bir necha marta ta'kidlaganimizdek, musbat butun sonlar natural sonlardir. Shuning uchun, musbat butun sonlar qoldig'iga bo'linish natural sonlarning qolgan qismiga bo'lishning barcha qoidalariga muvofiq amalga oshiriladi. Natural sonlarning qolgan qismi bilan bo‘linishni osonlik bilan bajara olish juda muhim, chunki aynan shu narsa nafaqat musbat sonlarni bo‘lish, balki ixtiyoriy butun sonlar qoldig‘iga bo‘lishning barcha qoidalarining asosi hamdir. Bizning fikrimizcha, ustun bo'linishini bajarish eng qulaydir, bu usul sizga to'liq bo'lmagan qismni (yoki oddiygina qismni) va qoldiqni olish imkonini beradi. Musbat butun sonlar qoldig‘iga bo‘lish misolini ko‘rib chiqamiz. Misol. Qolgan 14,671 ni 54 ga bo'ling. Yechim. Keling, ushbu musbat sonlarni ustunga ajratamiz: Qisman qism 271 ga, qolgan qismi esa 37 ga teng bo'ldi. Javob: 14 671:54=271 (qolgan. 37) . Keling, musbat butun sonning qoldig'ini manfiy butun songa bo'lish imkonini beruvchi qoidani tuzamiz. Musbat butun a ni manfiy butun b songa bo'lishning qisman qismi a ni b moduliga bo'lishning qisman qismiga qarama-qarshi bo'lib, a ni b ga bo'lishning qolgan qismi bo'lishning qolgan qismiga teng. Ushbu qoidadan kelib chiqadiki, musbat butun sonni manfiy butun songa bo'lishning qisman qismi musbat bo'lmagan butun sondir. Belgilangan qoidani qoldiq bilan musbat sonni manfiy butunga bo'lish algoritmiga aylantiramiz: Musbat butun sonni manfiy songa bo‘lish algoritmidan foydalanishga misol keltiramiz. Misol. 17 musbat sonning qolgan qismini manfiy butun son -5 ga bo'ling. Yechim. Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo‘lish algoritmidan foydalanamiz. Bo'lish orqali 3 ning qarama-qarshi soni -3. Shunday qilib, 17 ni -5 ga bo'lishning talab qilinadigan qisman qismi -3 ga, qolgan qismi esa 2 ga teng. Javob: 17 :(−5)=−3 (qolgan 2). Misol. Ajratish 45 ga -15. Yechim. Dividend va bo'luvchining modullari mos ravishda 45 va 15 ni tashkil qiladi. 45 soni 15 ga qoldiqsiz bo'linadi va qism 3 ga teng. Demak, musbat butun son 45 −15 manfiy butun songa qoldiqsiz bo‘linadi va qism 3 ga qarama-qarshi bo‘lgan songa, ya’ni −3 ga teng bo‘ladi. Darhaqiqat, har xil belgilarga ega bo'lgan butun sonlarni bo'lish qoidasiga ko'ra, bizda . Javob: 45:(−15)=−3
.
Salbiy butun sonni qoldiq bilan musbat songa bo'lish qoidasining formulasini keltiramiz. a manfiy butun sonni b musbat songa bo'lishdan to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun siz asl sonlarning modullarini bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismga qarama-qarshi sonni olishingiz va undan bittani ayirishingiz kerak, shundan so'ng qolgan d hisoblab chiqiladi. d=a−b·c formulasi yordamida. Qoldiq bilan bo'lishning ushbu qoidasidan kelib chiqadiki, manfiy butun sonni musbat songa bo'lishning qisman qismi manfiy butun sondir. Belgilangan qoidadan manfiy butun a ni qoldiq bilan musbat butun b ga bo'lish algoritmi kelib chiqadi: Keling, qoldiq bilan yozma bo'linish algoritmini ishlatadigan misolning echimini tahlil qilaylik. Misol. −17 manfiy butun sonni musbat 5 ga bo‘lishda qisman qism va qoldiqni toping. Yechim. Dividend moduli −17 ga teng 17, bo‘luvchi 5 moduli esa 5 ga teng. Bo'lish orqali 17 dan 5 gacha, biz qisman qism 3 va qolgan 2 ni olamiz. 3 ning teskarisi -3. −3 dan bittani ayirish: −3−1=−4. Demak, talab qilinadigan qisman qism −4 ga teng. Qolganini hisoblash qoladi. Bizning misolimizda a=−17 , b=5 , c=−4 , keyin d=a−b·c=−17−5·(−4)= −17−(−20)=−17+20=3 . Shunday qilib, −17 manfiy butun sonni 5 musbat songa bo‘lishning qisman qismi −4 ga, qolgan qismi esa 3 ga teng. Javob: (−17):5=−4 (qolgan 3) . Misol. −1,404 manfiy butun sonni musbat butun son 26 ga bo‘ling. Yechim. Dividend moduli 1 404, bo'luvchi moduli 26 ga teng. Ustun yordamida 1404 ni 26 ga bo'ling: Dividend moduli bo'linuvchi modulga qoldiqsiz bo'linganligi sababli, asl butun sonlar qoldiqsiz bo'linadi va kerakli qism 54 ga qarama-qarshi bo'lgan songa teng, ya'ni -54. Javob: (−1 404):26=−54
.
Keling, manfiy butun sonlar qoldig'iga bo'lish qoidasini tuzamiz. a manfiy butun sonni manfiy butun son b ga bo'lishdan to'liq bo'lmagan c qismini olish uchun siz asl sonlarning modullarini bo'lishdan to'liq bo'lmagan qismni hisoblashingiz va unga bitta qo'shishingiz kerak, shundan so'ng d formulasi bo'yicha qolgan d hisoblab chiqiladi. =a−b·c. Bu qoidadan kelib chiqadiki, manfiy butun sonlarni bo'lishning qisman qismi musbat sondir. Berilgan qoidani manfiy butun sonlarni bo‘lish algoritmi ko‘rinishida qayta yozamiz: Misol yechishda manfiy butun sonlarni bo‘lish algoritmidan foydalanishni ko‘rib chiqamiz. Misol. −17 manfiy butun sonni −5 manfiy butun songa bo‘lishda qisman qism va qoldiqni toping. Yechim. Qoldiq bilan mos bo'linish algoritmidan foydalanamiz. Dividend moduli 17 ga, bo'luvchi moduli 5 ga teng. Bo'lim 17 dan 5 ga qisman qism 3, qolgan qismi esa 2 ni beradi. 3-tugallanmagan qismga bitta qo'shamiz: 3+1=4. Shuning uchun -17 ni -5 ga bo'lishning talab qilinadigan qisman qismi 4 ga teng. Qolganini hisoblash qoladi. Bu misolda a=−17 , b=−5 , c=4 , keyin d=a−b·c=−17−(−5)·4= −17−(−20)=−17+20=3 . Demak, −17 manfiy butun sonni −5 manfiy butun songa bo‘lishning qisman qismi 4 ga, qolgan qismi esa 3 ga teng. Javob: (−17):(−5)=4 (qolgan 3) . Butun sonlarni qoldiqga bo'lgach, natijani tekshirish foydali bo'ladi. Tekshirish ikki bosqichda amalga oshiriladi. Birinchi bosqichda qolgan d ning manfiy bo'lmagan son ekanligi tekshiriladi va shart ham tekshiriladi. Agar tekshirishning birinchi bosqichining barcha shartlari bajarilgan bo'lsa, unda siz tekshirishning ikkinchi bosqichiga o'tishingiz mumkin, aks holda qoldiq bilan bo'lishda biror joyda xatolik yuz bergan deb da'vo qilish mumkin. Ikkinchi bosqichda a=b·c+d tengligining haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu tenglik to'g'ri bo'lsa, unda qoldiq bilan bo'linish to'g'ri bajarilgan, aks holda biror joyda xatolik yuz bergan. Butun sonlarni qoldiqga bo‘lish natijasi tekshiriladigan misollar yechimlarini ko‘rib chiqamiz. Misol. -521 sonini -12 ga bo'lishda qisman qism 44 ga, qolgan qismi esa 7 ga teng bo'lsa, natijani tekshiring. Yechim. b=−3, c=7, d=1 uchun −2. Bizda ... bor b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20. Shunday qilib, a=b·c+d tengligi noto'g'ri (bizning misolimizda a=−19). Shuning uchun qoldiq bilan bo'lish noto'g'ri amalga oshirildi.
, va sonlar modulining xossalari tufayli tenglik 
.
. Olingan tengsizliklardan va bundan kelib chiqadiki, shaklning tengligi bizning taxminimiz ostida mumkin emas. Shuning uchun a sonining a=b·q+r dan boshqa ko‘rinishi yo‘q.Dividend, bo'luvchi, qisman qism va qoldiq o'rtasidagi munosabatlar
Musbat butun sonlar qoldig‘iga bo‘linish, misollar
Qolgan musbat sonni manfiy butun songa bo'lish qoidasi, misollar
Manfiy butun sonni musbat songa bo‘lish, misollar
Manfiy butun sonlar uchun qoldiq bilan bo'lish qoidasi, misollar
Butun sonlarni qoldiqga bo'lish natijasini tekshirish
