Algebra kursidan maktab o'quv dasturi Keling, aniqliklarga o'taylik. Ushbu maqolada biz batafsil o'rganamiz maxsus turdagi ratsional ifodalar – ratsional kasrlar, shuningdek, qanday xarakteristikani bir xil ekanligini ko'rib chiqing ratsional kasr konvertatsiyalari sodir bo'ladi.

Darhol ta’kidlaymizki, ratsional kasrlar biz quyida belgilagan ma’nodagi ayrim algebra darsliklarida algebraik kasrlar deb ataladi. Ya'ni, ushbu maqolada biz ratsional va algebraik kasrlarni bir xil ma'noni anglatishini tushunamiz.

Odatdagidek, ta'rif va misollar bilan boshlaylik. Keyinchalik ratsional kasrni yangi maxrajga keltirish va kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish haqida gapiramiz. Shundan so'ng, biz kasrlarni qanday kamaytirishni ko'rib chiqamiz. Nihoyat, ratsional kasrni bir necha kasrlar yig‘indisi sifatida ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Biz barcha ma'lumotlarni misollar va echimlarning batafsil tavsiflari bilan taqdim etamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional kasrlarning ta'rifi va misollari

Ratsional kasrlar 8-sinf algebra darslarida o‘rganiladi. Biz 8-sinf uchun algebra darsligida Yu N. Makarychev va boshqalar tomonidan berilgan ratsional kasr ta'rifidan foydalanamiz.

IN bu ta'rif ratsional kasrning pay va maxrajidagi ko‘phadlar standart ko‘rinishdagi ko‘phad bo‘lishi kerakmi yoki yo‘qmi, aniqlanmagan. Shuning uchun biz ratsional kasrlar uchun yozuvlar standart va nostandart ko'phadlarni o'z ichiga olishi mumkin deb taxmin qilamiz.

Mana bir nechtasi ratsional kasrlarga misollar. Shunday qilib, x/8 va - ratsional kasrlar. Va kasrlar va ratsional kasrning berilgan ta'rifiga mos kelmaydi, chunki ularning birinchisida ayiruvchi ko'phadni o'z ichiga olmaydi, ikkinchisida esa ayiruvchi ham, maxraji ham ko'phad bo'lmagan ifodalarni o'z ichiga oladi.

Ratsional kasrning ayiruvchi va maxrajini aylantirish

Har qanday kasrning soni va maxraji o'z-o'zidan etarli matematik ifodalar, ratsional kasrlar bo'lsa, bular ma'lum bir holatda, monomlar va sonlar; Demak, har qanday ifoda kabi ratsional kasrning soni va maxraji bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ratsional kasrning numeratoridagi ifoda xuddi maxraj kabi bir xil teng ifoda bilan almashtirilishi mumkin.

Ratsional kasrning numeratori va maxrajida bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishingiz mumkin. Masalan, hisoblagichda o'xshash atamalarni guruhlash va kamaytirish mumkin, maxrajda esa bir nechta sonlarning ko'paytmasini uning qiymati bilan almashtirish mumkin. Ratsional kasrning soni va maxraji ko'phad bo'lganligi sababli, ular yordamida ko'phadlarga xos bo'lgan o'zgartirishlarni amalga oshirish mumkin, masalan, standart shaklga keltirish yoki mahsulot ko'rinishida tasvirlash.

Aniqlik uchun keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ratsional kasrni aylantirish shunday qilib, hisoblagichda standart shakldagi ko'phad, maxrajda esa ko'phadlar ko'paytmasi mavjud.

Yechim.

Ratsional kasrlarni yangi maxrajga keltirish asosan ratsional kasrlarni qo'shish va ayirishda qo'llaniladi.

Kasr oldida, shuningdek, uning soni va maxrajidagi belgilarni o'zgartirish

Kasrning asosiy xususiyatidan kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Darhaqiqat, ratsional kasrning soni va maxrajini -1 ga ko'paytirish ularning belgilarini o'zgartirishga teng bo'ladi va natijada berilgan kasrga bir xil teng bo'ladi. Ratsional kasrlar bilan ishlashda bu o'zgartirish juda tez-tez ishlatilishi kerak.

Shunday qilib, agar siz bir vaqtning o'zida kasrning numeratori va maxraji belgilarini o'zgartirsangiz, siz asl kasrga teng kasr olasiz. Bu bayonotga tenglik bilan javob beriladi.

Keling, misol keltiraylik. Ratsional kasrni shaklning hisoblagichi va maxrajining belgilari o'zgargan bir xil teng kasr bilan almashtirish mumkin.

Kasrlar yordamida siz boshqa bir xil o'zgartirishni amalga oshirishingiz mumkin, bunda raqam yoki maxrajning belgisi o'zgaradi. Keling, tegishli qoidani aytaylik. Agar siz kasrning ishorasini hisoblagich yoki maxraj belgisi bilan almashtirsangiz, siz asl qismga teng bo'lgan kasr olasiz. Yozma bayonot tengliklarga mos keladi va .

Bu tenglikni isbotlash qiyin emas. Isbot raqamlarni ko'paytirish xususiyatlariga asoslangan. Ulardan birinchisini isbotlaylik: . Shunga o'xshash o'zgarishlar yordamida tenglik isbotlanadi.

Masalan, kasrni yoki ifodasi bilan almashtirish mumkin.

Ushbu fikrni yakunlash uchun biz yana ikkita foydali tenglikni taqdim etamiz va . Ya'ni, agar siz faqat sanoqchi yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi. Masalan, Va .

Kasr hadlari belgisini o'zgartirishga imkon beruvchi ko'rib chiqilayotgan o'zgarishlar kasr ratsional ifodalarini o'zgartirishda ko'pincha qo'llaniladi.

Ratsional kasrlarni kamaytirish

Ratsional kasrlarning qisqarishi deb ataladigan ratsional kasrlarning keyingi o'zgarishi kasrning bir xil asosiy xususiyatiga asoslanadi. Bu o'zgartirish tenglikka mos keladi, bu erda a, b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas.

Yuqoridagi tenglikdan ma'lum bo'ladiki, ratsional kasrni kamaytirish uning soni va maxrajidagi umumiy omildan xalos bo'lishni nazarda tutadi.

Misol.

Ratsional kasrni bekor qiling.

Yechim.

Umumiy omil 2 darhol ko'rinadi, keling, u orqali qisqartirishni amalga oshiramiz (yozayotganda, qisqartirish amalga oshiriladigan umumiy omillarni kesib tashlash qulay). Bizda ... bor . x 2 =x x va y 7 =y 3 y 4 (kerak bo'lsa qarang) bo'lgani uchun x y 3 kabi hosil bo'lgan kasrning pay va maxrajining umumiy omili ekanligi aniq. Keling, ushbu omillar bilan kamaytiraylik: . Bu qisqartirishni yakunlaydi.

Yuqorida biz ratsional kasrlarni ketma-ket qisqartirishni amalga oshirdik. Yoki kasrni darhol 2 x y 3 ga qisqartirib, bir bosqichda qisqartirishni amalga oshirish mumkin edi. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

.

Ratsional kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy omilni topish yoki uning yo'qligini tekshirish uchun siz ratsional kasrning soni va maxrajini koeffitsientga kiritishingiz kerak. Agar umumiy omil bo'lmasa, asl ratsional kasrni kamaytirish kerak emas, aks holda qisqartirish amalga oshiriladi.

Ratsional fraksiyalarni kamaytirish jarayonida turli nuanslar paydo bo'lishi mumkin. Asosiy nozikliklar maqolada misollar yordamida algebraik kasrlarni qisqartirish va batafsil muhokama qilinadi.

Ratsional kasrlarni qisqartirish haqidagi suhbatni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, bu transformatsiya bir xil bo'lib, uni amalga oshirishdagi asosiy qiyinchilik ko'phad va maxrajdagi ko'phadlarni faktoring qilishdadir.

Ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Bir nechta kasrlar yig'indisi yoki butun ifoda va kasr yig'indisi sifatida ifodalanishidan iborat bo'lgan ratsional kasrni aylantirish juda o'ziga xos, ammo ba'zi hollarda juda foydali.

Numeratori bir nechta monomiylarning yig'indisini ifodalovchi ko'phadni o'z ichiga olgan ratsional kasrni har doim bir xil maxrajli kasrlar yig'indisi sifatida yozish mumkin, ularning soni tegishli monomlarni o'z ichiga oladi. Masalan, . Bu ko'rinish o'xshash maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi bilan izohlanadi.

Umuman olganda, har qanday ratsional kasrni har xil usullarda kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin. Misol uchun, a/b kasr ikki kasr yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin - ixtiyoriy kasr c/d va a/b va c/d kasrlar orasidagi farqga teng kasr. Bu gap to'g'ri, chunki tenglik amal qiladi . Masalan, ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin turli yo'llar bilan: Keling, asl kasrni butun son ifodasi va kasrning yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik. Numeratorni maxrajga ustun bilan bo'lish orqali biz tenglikni olamiz . Har qanday n butun son uchun n 3 +4 ifodaning qiymati butun sondir. Kasrning qiymati esa, agar uning maxraji 1, -1, 3 yoki -3 bo'lsa, butun son bo'ladi. Bu qiymatlar mos ravishda n=3, n=1, n=5 va n=−1 qiymatlariga mos keladi.

Javob:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Ma'lumotnomalar.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 da 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 13-nashr, rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: kasal. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Maxrajdagi o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish

Proporsiyaning asosiy xossasidan foydalanish

Tanlangan usuldan qat’i nazar, tenglamaning ildizlarini topgach, topilgan haqiqiy qiymatlardan, ya’ni maxrajni $0$ ga aylantirmaydiganlarni tanlash kerak.

1 yo'l. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

1-misol

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Yechim:

1. Tenglamaning o'ng tomonidagi kasrni chap tomonga o'tkazamiz

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Buni to'g'ri bajarish uchun elementlarni tenglamaning boshqa qismiga ko'chirishda ifodalar oldidagi belgi teskari tomonga o'zgarishini unutmang. Bu shuni anglatadiki, agar o'ng tomonda kasr oldida "+" belgisi bo'lsa, chap tomonda uning oldida "-" belgisi bo'ladi, keyin chap tomonda biz farqni olamiz kasrlar.

2. Endi e'tibor bering, kasrlar turli xil maxrajlarga ega, ya'ni ayirmani to'ldirish uchun kasrlarni umumiy maxrajga keltirish kerak. Umumiy maxraj asl kasrlarning maxrajlaridagi ko'phadlarning ko'paytmasi bo'ladi: $(2x-1)(x+3)$

Bir xil ifodani olish uchun birinchi kasrning soni va maxrajini $(x+3)$ ko’phadga, ikkinchisini esa $(2x-1)$ ko’phadga ko’paytirish kerak.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Birinchi kasrning numeratorida transformatsiyani bajaramiz - ko'phadlarni ko'paytiramiz. Esda tutaylikki, buning uchun birinchi ko'phadning birinchi hadini ikkinchi ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish, keyin birinchi ko'phadning ikkinchi hadini ikkinchi ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish va natijalarni qo'shish kerak.

\[\left(2x+3\o'ng)\left(x+3\o'ng)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Olingan ifodada o'xshash atamalarni keltiraylik

\[\left(2x+3\o'ng)\left(x+3\o'ng)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Ikkinchi kasrning numeratorida ham xuddi shunday o'zgartirishni amalga oshiramiz - ko'phadlarni ko'paytiramiz

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5=(2x)^2-11x+5$

Keyin tenglama quyidagi shaklni oladi:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Endi kasrlar bir xil maxrajga ega, ya'ni siz ayirishingiz mumkin. Eslatib o'tamiz, bir xil maxrajga ega bo'lgan kasrlarni birinchi kasrning sonidan ayirishda siz ikkinchi kasrning payini ayirish kerak, bunda maxraj bir xil bo'ladi.

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Keling, ifodani numeratorga aylantiramiz. Oldindan “-” belgisi bo'lgan qavslarni ochish uchun qavs ichidagi atamalar oldidagi barcha belgilarni teskarisiga o'zgartirish kerak.

\[(2x)^2+9x+9-\chap((2x)^2-11x+5\o'ng)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\o'ng)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Keyin kasr shaklni oladi

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Kasr $0$ ga teng, agar uning ayiruvchisi 0 boʻlsa. Shuning uchun kasrning payini $0$ ga tenglashtiramiz.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lineer tenglamani yechamiz:

4. Keling, ildizlardan namuna olamiz. Demak, ildizlar topilganda asl kasrlarning maxrajlari $0$ ga aylanayotganligini tekshirish kerak.

Maxrajlar $0$ ga teng bo'lmasligi shartini qo'yaylik

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Bu shuni anglatadiki, $-3$ va $0,5$ dan tashqari barcha oʻzgaruvchan qiymatlar qabul qilinadi.

Biz topgan ildiz maqbul qiymatdir, ya'ni uni tenglamaning ildizi deb hisoblash mumkin. Agar topilgan ildiz haqiqiy qiymat bo'lmasa, unda bunday ildiz begona bo'lar edi va, albatta, javobga kiritilmaydi.

Javob:$-0,2.$

Endi biz maxrajda o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamani yechish algoritmini yaratishimiz mumkin.

Maxrajda o‘zgaruvchi bo‘lgan tenglamani yechish algoritmi

Barcha elementlarni tenglamaning o'ng tomonidan chapga siljiting. Bir xil tenglamani olish uchun o'ng tarafdagi iboralar oldidagi barcha belgilarni qarama-qarshi tomonga o'zgartirish kerak.

Agar chap tomonda biz turli xil maxrajlarga ega bo'lgan ifodani olsak, kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib, ularni umumiy holatga keltiramiz. Shaxsni o'zgartirishdan foydalangan holda transformatsiyalarni bajaring va $0$ ga teng yakuniy kasrni oling.

Numeratorni $0$ ga tenglashtiring va hosil boʻlgan tenglamaning ildizlarini toping.

Keling, ildizlarni namuna qilib olaylik, ya'ni. $0$ maxrajiga ega bo'lmagan o'zgaruvchilarning haqiqiy qiymatlarini toping.

2-usul. Biz mutanosiblikning asosiy xususiyatidan foydalanamiz

Proporsiyaning asosiy xossasi shundaki, proporsiyaning ekstremal hadlari ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng.

2-misol

Biz ushbu vazifani hal qilish uchun ushbu xususiyatdan foydalanamiz

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Proporsiyaning o‘ta va o‘rta hadlari ko‘paytmasini topib, tenglashtiramiz.

$\chap(2x+3\o'ng)\cdot(\ x+3)=\chap(x-5\o'ng)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Olingan tenglamani yechib, asl nusxaning ildizlarini topamiz

2. O'zgaruvchining maqbul qiymatlarini topamiz.

Oldingi yechimdan (1-usul) biz $-3$ va $0,5$ dan tashqari har qanday qiymatlar maqbul ekanligini aniqladik.

Keyin topilgan ildiz haqiqiy qiymat ekanligini aniqlab, biz $-0,2$ ildiz bo'lishini aniqladik.

Mavzu: 8-sinf algebra fanidan takrorlash

Dars: Algebraik kasrlar

Birinchidan, algebraik kasrlar nima ekanligini eslaylik. Algebraik kasr bu erdagi shaklning ifodasidir - polinomlar,- sanoqchi,- maxraj.

Ular ko'phad bo'lganligi sababli, ko'phadlar bilan mumkin bo'lgan standart amallarni yodda tutish kerak, ya'ni: standart shaklga keltirish, ko'paytiruvchi va son va maxrajni kamaytirish.

Misol № 1

Fraksiyani kamaytiring

Yig'indi kvadrati va kvadratlar ayirmasi uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanamiz.

Sharhlar: Birinchidan, biz qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida kasrni faktorlarga ajratdik, keyin esa kasrning asosiy xususiyatlaridan biridan foydalandik: algebraik kasrning soni ham, maxraji ham bir xil polinomga ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin. 0 ga teng bo'lmagan son Shunday qilib, biz sonni ham, maxrajni ham ko'phadga bo'lganimiz ma'lum bo'ldi, shuning uchun bu ko'phad 0 ga teng emasligini hisobga olish kerak, ya'ni.

Misol № 2

Bu ikki funktsiya o'rtasida qanday bog'liqlik borligi shartdan bizga hali aniq emas. Buning uchun biz ulardan birinchisini faktorizatsiya orqali soddalashtirishimiz kerak.

shu bilan birga, fraksiyani kamaytirish sharti haqida unutmaslik kerak, ya'ni

Barcha qisqartirishlardan keyin biz buni olamiz

yagona farqi bilan .

Keling, ikkita funktsiyaning grafigini tuzamiz.

Biz bu ikki grafik oʻrtasidagi aniq farqni koʻramiz: mohiyatan ular bir xil, lekin birinchi grafikda koordinatali (1;0) nuqtani tanlashimiz kerak, chunki bu aniq nuqta birinchisining ODZ ga kiritilmagan. funktsiyasi.

Shunday qilib, biz kasr nima ekanligini ko'rib chiqdik va ta'rif sohasini (ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni), ya'ni uning qiymatlarini kuzatib borish qanchalik muhimligi haqida bir nechta misollarni hal qildik. olishi mumkin.

Endi yuqorida aytib o'tilganlardan tashqari, algebraik kasrlar bilan qanday amallarni bajarish mumkinligi haqidagi savolga o'tamiz.

Tabiiyki, arifmetik kasrlar kabi algebraik kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish, bir darajaga ko'tarish va shu bilan ratsional algebraik ifodalarni olish mumkin (arifmetik amallar yordamida raqamlardan, o'zgaruvchilardan tashkil topgan ifodalar). tabiiy daraja). Muayyan soddalashtirishlardan so'ng, bunday ifodalar kasrlarga qisqartiriladi, ular uchun boshlang'ich ifodalar ham algebraik kasrlardir.

Algebraik kasrlar bilan bog'liq masalalarni yechishda duch keladigan harakatlar/shartlar ro'yxati:

Ratsional ifodalarni soddalashtiring

Shaxslarni isbotlash

Ratsional tenglamani yechish

Kasrni soddalashtirish/hisoblash

Misol № 3

Eng oddiy ratsional tenglamani yeching

Kasr 0 ga teng bo'ladi, agar ayiruvchi 0 ga teng bo'lsa va maxraj 0 ga teng bo'lmasa. Bizning holatlarimizda maxraj ga teng. Demak, kasrni yechish chiziqli tenglamaga kamayadi

Misol № 4

Tenglamani yeching

Avvalo, kasrni kamaytirishga harakat qilaylik

Shu shart bilan.

Dastlabki tenglamaning chap tomonidagi kasrni soddalashtirganimiz uchun biz yangi qiymatni almashtirib, tenglamani yechishimiz mumkin.

Endi olingan kvadrat tenglamadan mukammal kvadratni ajratib olishga harakat qilaylik

Keling, kvadratlar ayirmasi uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanamiz

Ko'paytma 0 ga teng bo'ladi, agar omillardan kamida bittasi 0 ga teng bo'lsa. Bundan tashqari, boshida bizda shaklda ifoda mavjudligi uchun shart borligini unutmang. Keling, tenglamalar tizimini yozamiz.

=> => Bu bizning shartimizga zid ekanligini ko'ramiz, shuning uchun bizda faqat bitta javob qoldi.

Shunday qilib, yuqorida biz hal qilgan misolda mavjud bo'lgan xususiyatlarni ko'rib chiqaylik:

1. Numeratorni kublar va maxraj farqi bilan darhol kamaytirish tavsiya etiladi, chunki bu holda bu mumkin va tenglamaning keyingi yechimini sezilarli darajada soddalashtiradi, lekin kasrning maxraji 0 ga teng bo'lmasligini yodda tutish kerak. va bu shartni yozing.

2. Kasrni kvadrat tenglamaga tushirib, yechish usullaridan birini esladik. kvadrat tenglamalar- to'liq kvadratni tanlash usuli.

Biz siz bilan birgamiz bu dars algebraik kasr nima ekanligini, bunday kasrlarni yechishda pay va maxraj bilan qanday amallarni bajarish kerakligini, bu tipdagi kasrlar bilan umuman qanday amallarni bajarish mumkinligini esladi va bir qancha oddiy masalalarni yechdi.

Ma'lumotnomalar

1. Bashmakov M.I. Algebra 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra 8. 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.
3. Nikolskiy S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra 8-sinf. Umumiy ta'lim muassasalari uchun darslik. - M.: Ta'lim, 2006 yil.

1. Hammasi boshlang'ich matematika ().
2. Maktab yordamchisi ().
3. Testmath.com.ua internet portali ().

Uy vazifasi

Ushbu maqolada biz bu haqda batafsil to'xtalamiz algebraik kasrlarni kamaytirish. Birinchidan, keling, "algebraik kasrni kamaytirish" atamasi nimani anglatishini aniqlaymiz va algebraik kasr har doim kamaytirilishi mumkinmi yoki yo'qligini aniqlaymiz. Quyida biz ushbu transformatsiyani amalga oshirishga imkon beruvchi qoidani taqdim etamiz. Nihoyat, biz jarayonning barcha nozik tomonlarini tushunishga imkon beradigan tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Algebraik kasrni kamaytirish nimani anglatadi?

O'qish paytida biz ularning qisqarishi haqida gaplashdik. uning soni va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish deb atadik. Masalan, 30/54 oddiy kasrni 6 ga qisqartirish mumkin (ya'ni uning numeratori va maxraji 6 ga bo'linadi), bu bizni 5/9 kasrga olib keladi.

Algebraik kasrni kamaytirish orqali biz shunga o'xshash harakatni nazarda tutamiz. Algebraik kasrni kamaytiring- bu uning soni va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish demakdir. Ammo oddiy kasrning ayiruvchisi va maxrajining umumiy omili faqat son bo'lishi mumkin bo'lsa, algebraik kasrning soni va maxrajining umumiy omili ko'phad, xususan, monom yoki son bo'lishi mumkin.

Masalan, algebraik kasrni 3 raqamiga kamaytirib, kasrni berish mumkin . Bundan tashqari, x o'zgaruvchiga qisqarishni amalga oshirish mumkin, natijada ifoda hosil bo'ladi . Asl algebraik kasr monomial 3 x, shuningdek, x+2 y, 3 x +6 y, x 2 +2 x y yoki 3 x 2 +6 x y ko'phadlarning har qandayi bilan kamaytirilishi mumkin.

Algebraik kasrni kamaytirishning yakuniy maqsadi ko'proq kasr olishdir oddiy turi, eng yaxshisi - qaytarilmas kasr.

Har qanday algebraik kasrni qisqartirish mumkinmi?

Biz buni bilamiz oddiy kasrlar ga bo'linadi. Qaytarib bo'lmaydigan kasrlar soni va maxrajida bittadan boshqa umumiy ko'rsatkichlarga ega emas, shuning uchun ularni qisqartirish mumkin emas.

Algebraik kasrlar hisob va maxrajda umumiy omillarga ega bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Umumiy omillar mavjud bo'lsa, algebraik kasrni kamaytirish mumkin. Agar umumiy omillar bo'lmasa, algebraik kasrni kamaytirish orqali soddalashtirish mumkin emas.

Umuman olganda, ko'ra ko'rinish algebraik kasr, uni kamaytirish mumkinligini aniqlash juda qiyin. Albatta, ba'zi hollarda sanoqchi va maxrajning umumiy omillari aniq. Masalan, algebraik kasrning payi va maxraji umumiy koeffitsienti 3 ga ega ekanligi yaqqol ko’rinib turibdi. Bundan tashqari, algebraik kasrni x ga, y ga yoki to'g'ridan-to'g'ri x·y ga kamaytirish mumkinligini payqash oson. Ammo ko'pincha algebraik kasrning hisoblagichi va maxrajining umumiy omili darhol ko'rinmaydi va ko'pincha u oddiygina mavjud emas. Masalan, kasrni x−1 ga kamaytirish mumkin, lekin bu umumiy omil belgida aniq ko'rinmaydi. Va algebraik kasr kamaytirish mumkin emas, chunki uning soni va maxraji umumiy omillarga ega emas.

Umuman olganda, algebraik kasrning qaytarilishi masalasi juda qiyin. Ba’zan esa bu kasrni avval kamaytirish mumkinmi yoki yo‘qligini aniqlashdan ko‘ra, algebraik kasr bilan asl ko‘rinishida ishlash orqali masalani yechish osonroq. Ammo hali ham shunday o'zgarishlar mavjudki, ular ba'zi hollarda nisbatan oz kuch sarflab, agar mavjud bo'lsa, pay va maxrajning umumiy omillarini topishga yoki asl algebraik kasrni qisqartirib bo'lmaydi degan xulosaga kelishga imkon beradi. Ushbu ma'lumot keyingi paragrafda oshkor qilinadi.

Algebraik kasrlarni kamaytirish qoidasi

Oldingi paragraflardagi ma'lumotlar sizni tabiiy ravishda quyidagilarni idrok etishga imkon beradi algebraik kasrlarni kamaytirish qoidasi, bu ikki bosqichdan iborat:

• birinchidan, asl kasrning ayiruvchi va maxrajining umumiy omillari topiladi;
• agar mavjud bo'lsa, unda bu omillar tomonidan pasayish amalga oshiriladi.

E'lon qilingan qoidaning ko'rsatilgan bosqichlari aniqlanishi kerak.

Umumiylarni topishning eng qulay usuli bu ko‘phadlarni asl algebraik kasrning pay va maxrajidagi koeffitsientlarga ajratishdir. Bunda sanoqchi va maxrajning umumiy omillari darhol ko'zga tashlanadi yoki umumiy omillar yo'qligi ayon bo'ladi.

Agar umumiy omillar bo'lmasa, algebraik kasr kamaytirilmaydi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Agar umumiy omillar topilsa, ikkinchi bosqichda ular kamayadi. Natijada oddiyroq shaklning yangi qismi hosil bo'ladi.

Algebraik kasrlarni kamaytirish qoidasi tenglik bilan ifodalanadigan algebraik kasrning asosiy xossasiga asoslanadi, bunda a, b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas. Birinchi bosqichda asl algebraik kasr umumiy koeffitsient c ko'rinadigan shaklga keltiriladi, ikkinchi bosqichda esa qisqartirish - kasrga o'tish amalga oshiriladi.

Keling, misollar yordamida echishga o'tamiz ushbu qoidadan. Ularda biz algebraik kasrning numeratori va maxrajini omillarga ajratish va keyinchalik kamaytirishda yuzaga keladigan barcha mumkin bo'lgan nuanslarni tahlil qilamiz.

Oddiy misollar

Birinchidan, numeratori va maxraji bir xil bo'lgan algebraik kasrlarni kamaytirish haqida gapirishimiz kerak. Bunday kasrlar unga kiritilgan o'zgaruvchilarning butun ODZ bo'yicha bittaga teng, masalan,
va hokazo.

Endi oddiy kasrlarni qanday kamaytirishni eslash zarar qilmaydi - axir, ular algebraik kasrlarning alohida holatidir. Oddiy kasrning numeratori va maxrajidagi natural sonlar, undan keyin umumiy omillar bekor qilinadi (agar mavjud bo'lsa). Masalan, . Bir xil tub omillarning mahsuloti kuchlar shaklida yozilishi va qisqartirilganda ishlatilishi mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: , bu yerda pay va maxrajni umumiy koeffitsient 2 2 3 ga ajratdik. Yoki aniqroq bo'lishi uchun ko'paytirish va bo'lish xususiyatlariga asoslanib, yechim shaklda taqdim etiladi.

Mutlaqo shunga o'xshash printsiplar algebraik kasrlarni kamaytirish uchun qo'llaniladi, ularning soni va maxrajida butun sonli koeffitsientli monomlar mavjud.

Misol.

Algebraik kasrni bekor qiling .

Yechim.

Siz asl algebraik kasrning hisoblagichi va maxrajini tub omillar va o'zgaruvchilar mahsuloti sifatida ifodalashingiz va keyin qisqartirishni amalga oshirishingiz mumkin:

Ammo yechimni darajali ifoda shaklida yozish oqilonaroqdir:

Javob:

.

Numerator va maxrajda kasr sonli koeffitsientlarga ega bo'lgan algebraik kasrlarni kamaytirishga kelsak, siz ikkita narsani qilishingiz mumkin: yoki bu kasr koeffitsientlarini alohida-alohida bo'ling yoki birinchi navbatda pay va maxrajni ma'lum bir miqdorga ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ling. natural son. Biz maqolada algebraik kasrni yangi maxrajga olib keladigan so'nggi transformatsiya haqida gapirdik, u algebraik kasrning asosiy xususiyati tufayli amalga oshirilishi mumkin; Keling, buni bir misol bilan tushunaylik.

Misol.

Kasrni qisqartirishni bajaring.

Yechim.

Kasrni quyidagicha kamaytirishingiz mumkin: .

Yoki birinchi navbatda pay va maxrajni ushbu koeffitsientlarning maxrajlariga, ya'ni LCM(5, 10)=10 ga ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlaridan qutulish mumkin. Bu holatda bizda bor .

Javob:

.

Biz algebraik kasrlarga o'tishimiz mumkin umumiy ko'rinish, bunda sanoq va maxrajda sonlar ham, monomlar ham, koʻphadlar ham boʻlishi mumkin.

Bunday kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy omilni topish yoki uning yo'qligini tekshirish uchun algebraik kasrning payini va maxrajini koeffitsientga kiritish kerak.

Misol.

Ratsional kasrni kamaytiring .

Yechim.

Buning uchun son va maxrajdagi ko‘phadlarni ko‘paytiring. Keling, uni qavs ichidan chiqarishdan boshlaylik: . Shubhasiz, qavs ichidagi iboralar yordamida o'zgartirilishi mumkin

Ushbu maqola algebraik kasrlarni konvertatsiya qilish mavzusini davom ettiradi: algebraik kasrlarni kamaytirish kabi harakatni ko'rib chiqing. Keling, atamaning o'ziga aniqlik kiritamiz, qisqartirish qoidasini tuzamiz va amaliy misollarni tahlil qilamiz.

Algebraik kasrni kamaytirishning ma'nosi

Oddiy kasrlar haqidagi materiallarda biz uning qisqarishini ko'rib chiqdik. Biz kasrni kamaytirishni uning soni va maxrajini umumiy ko'paytmaga bo'lish deb aniqladik.

Algebraik kasrni kamaytirish ham xuddi shunday operatsiya.

Ta'rif 1

Algebraik kasrni kamaytirish uning soni va maxrajining umumiy ko'paytmaga bo'linishidir. Bunda oddiy kasrni qisqartirishdan farqli ravishda (umumiy maxraj faqat son bo'lishi mumkin), algebraik kasrning pay va maxrajining umumiy omili ko'phad, xususan, monom yoki son bo'lishi mumkin.

Masalan, 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 algebraik kasrni 3 raqamiga qisqartirish mumkin, natijada: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y. 2018-03-22 Biz bir xil kasrni x o'zgaruvchisi bilan kamaytirishimiz mumkin va bu bizga 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 ifodasini beradi. Berilgan kasrni monomial bilan kamaytirish ham mumkin 3 x yoki har qanday polinom x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y yoki 3 x 2 + 6 x y.

Yakuniy maqsad algebraik kasrning kamayishi oddiy shakldagi kasr, eng yaxshi holatda qaytarilmas kasrdir.

Barcha algebraik kasrlar qisqarishga tobemi?

Yana oddiy kasrlar bo'yicha materiallardan biz qaytariladigan va qaytarilmaydigan kasrlar borligini bilamiz. Qaytarib bo'lmaydigan kasrlar - 1 dan boshqa umumiy hisob va maxraj ko'rsatkichlariga ega bo'lmagan kasrlar.

Bu algebraik kasrlar bilan bir xil: ular hisoblagich va maxrajda umumiy omillarga ega bo'lishi mumkin yoki ular bo'lmasligi mumkin. Umumiy omillarning mavjudligi asl fraktsiyani kamaytirish orqali soddalashtirishga imkon beradi. Umumiy omillar bo'lmasa, kamaytirish usuli yordamida berilgan kasrni optimallashtirish mumkin emas.

Umuman olganda, kasr turini hisobga olgan holda, uni qisqartirish mumkinligini tushunish juda qiyin. Albatta, ba'zi hollarda hisoblagich va maxraj o'rtasida umumiy omil mavjudligi aniq. Masalan, 3 x 2 3 y algebraik kasrda umumiy omil 3 soni ekanligi aniq.

- x · y 5 · x · y · z 3 kasrda biz uni x, yoki y yoki x · y ga kamaytirish mumkinligini ham darhol tushunamiz. Va shunga qaramay, ko'pincha algebraik kasrlarga misollar mavjud, bunda hisoblagich va maxrajning umumiy omilini ko'rish unchalik oson bo'lmagan va hatto ko'pincha u yo'q.

Masalan, x 3 - 1 x 2 - 1 kasrni x - 1 ga qisqartirishimiz mumkin, shu bilan birga ko'rsatilgan umumiy omil yozuvda mavjud emas. Lekin x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 kasrni qisqartirib bo'lmaydi, chunki hisob va maxraj umumiy ko'rsatkichga ega emas.

Shunday qilib, algebraik kasrning kamaytiruvchanligini aniqlash masalasi unchalik oddiy emas va ko'pincha uning qaytarilishi yoki yo'qligini aniqlashga urinishdan ko'ra, berilgan shaklning bir qismi bilan ishlash osonroq. Bunda shunday o'zgarishlar sodir bo'ladiki, ayrim hollarda ayiruvchi va maxrajning umumiy koeffitsientini aniqlash yoki kasrning qaytarilmasligi to'g'risida xulosa chiqarish imkonini beradi. Biz ushbu masalani maqolaning keyingi xatboshida batafsil ko'rib chiqamiz.

Algebraik kasrlarni kamaytirish qoidasi

Algebraik kasrlarni kamaytirish qoidasi ikkita ketma-ket harakatdan iborat:

• ayiruvchi va maxrajning umumiy omillarini topish;
• agar topilgan bo'lsa, kasrni kamaytirish harakati bevosita amalga oshiriladi.

Umumiy maxrajlarni topishning eng qulay usuli berilgan algebraik kasrning pay va maxrajida mavjud bo‘lgan ko‘phadlarni koeffitsientga kiritishdir. Bu sizga umumiy omillarning mavjudligi yoki yo'qligini darhol aniq ko'rish imkonini beradi.

Algebraik kasrni kamaytirish harakatining o‘zi algebraik kasrning aniqlanmagan tenglik bilan ifodalangan asosiy xususiyatiga asoslanadi, bunda a, b, c ba’zi ko‘phadlar, b va c esa nolga teng emas. Birinchi qadam kasrni a · c b · c ko'rinishga keltirish bo'lib, unda biz umumiy c omilni darhol sezamiz. Ikkinchi bosqich - qisqartirishni amalga oshirish, ya'ni. a b shaklining bir qismiga o'tish.

Oddiy misollar

Ba'zi aniqliklarga qaramay, keling, aniqlik kiritaylik maxsus holat algebraik kasrning soni va maxraji teng bo'lganda. Shunga o'xshash kasrlar ushbu kasrning o'zgaruvchilari butun ODZ bo'yicha bir xil tarzda 1 ga teng:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y;

Oddiy kasrlar algebraik kasrlarning alohida holati bo'lganligi sababli, ularning qanday kamaytirilishini eslaylik. Numerator va maxrajda yozilgan natural sonlar tub omillarga ajratiladi, keyin umumiy omillar bekor qilinadi (agar mavjud bo'lsa).

Masalan, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Oddiy bir xil omillarning mahsulotini darajalar sifatida yozish mumkin va kasrni kamaytirish jarayonida bir xil asoslar bilan kuchlarni bo'lish xususiyatidan foydalaning. Keyin yuqoridagi yechim quyidagicha bo'ladi:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(hisoblagich va maxraj umumiy omilga bo'linadi 2 2 3). Yoki aniqlik uchun, ko'paytirish va bo'lish xususiyatlariga asoslanib, biz yechimni quyidagi shaklda beramiz:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogiya bo'yicha, algebraik kasrlarni qisqartirish amalga oshiriladi, bunda pay va maxrajda butun sonli koeffitsientli monomlar mavjud.

1-misol

Algebraik kasr berilgan - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Uni kamaytirish kerak.

Yechim

Berilgan kasrning ayiruvchisi va maxrajini oddiy ko‘paytmalar va o‘zgaruvchilar ko‘paytmasi sifatida yozib, so‘ngra kamaytirishni amalga oshirish mumkin:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Biroq, yechimni vakolatli ifoda sifatida yozish yanada oqilona yo'l bo'ladi:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6.

Javob:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji kasr sonli koeffitsientlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, keyingi ta'sir qilishning ikkita mumkin bo'lgan usuli mavjud: yoki bu kasr koeffitsientlarini alohida bo'ling yoki birinchi navbatda pay va maxrajni qandaydir natural songa ko'paytirish orqali kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ling. Oxirgi transformatsiya algebraik kasrning asosiy xususiyati tufayli amalga oshiriladi (bu haqda siz "Algebraik kasrni yangi maxrajga kamaytirish" maqolasida o'qishingiz mumkin).

2-misol

Berilgan kasr 2 5 x 0, 3 x 3 ga teng. Uni kamaytirish kerak.

Yechim

Fraksiyani quyidagi tarzda kamaytirish mumkin:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Keling, muammoni boshqacha hal qilishga harakat qilaylik, birinchi navbatda kasr koeffitsientlaridan xalos bo'ling - pay va maxrajni ushbu koeffitsientlarning maxrajlarining eng kichik umumiy ko'paytmasiga ko'paytiring, ya'ni. LCM bo'yicha (5, 10) = 10. Keyin biz olamiz:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Javob: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Biz umumiy algebraik kasrlarni kamaytirsak, ularning soni va maxraji monomial yoki polinom bo'lishi mumkin, umumiy omil har doim ham darhol ko'rinmaydigan muammo paydo bo'lishi mumkin. Yoki bundan tashqari, u oddiygina mavjud emas. Keyin umumiy koeffitsientni aniqlash yoki uning yo'qligi faktini qayd etish uchun algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji faktorlarga ajratiladi.

3-misol

Ratsional kasr 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 berilgan. Uni kamaytirish kerak.

Yechim

Numerator va maxrajdagi ko'phadlarni ko'paytiraylik. Keling, uni qavslar ichidan chiqaramiz:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Qavslar ichidagi ifodani qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida aylantirish mumkinligini ko'ramiz:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Ko'rinib turibdiki, kasrni umumiy ko'rsatkich bilan kamaytirish mumkin b 2 (a + 7). Keling, qisqartirishni qilaylik:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Keling, tenglik zanjiri sifatida tushuntirishsiz qisqa yechim yozamiz:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Javob: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Bu shunday bo'ladiki, umumiy omillar sonli koeffitsientlar bilan yashiringan. Keyin, kasrlarni qisqartirishda, qavs ichidan sonli omillarni hisoblagich va maxrajning yuqori darajalariga qo'yish maqbuldir.

4-misol

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 algebraik kasr berilgan. Iloji bo'lsa, uni kamaytirish kerak.

Yechim

Bir qarashda hisoblagich va maxraj mavjud emas umumiy maxraj. Biroq, keling, berilgan kasrni aylantirishga harakat qilaylik. Numeratordagi x koeffitsientini chiqaramiz:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Endi siz qavs ichidagi ifoda bilan x 2 y tufayli maxrajdagi ifoda oʻrtasida qandaydir oʻxshashlikni koʻrishingiz mumkin. . Keling, ushbu polinomlarning yuqori darajalarining raqamli koeffitsientlarini chiqaramiz:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Endi umumiy omil ko'rinadi, biz kamaytirishni amalga oshiramiz:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Javob: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x.

Shuni ta'kidlash kerakki, ratsional kasrlarni qisqartirish mahorati ko'phadlarni ko'paytirish qobiliyatiga bog'liq.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing