Ostrogradskiy-yashil formula

Bu formula C yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral bilan bu kontur bilan chegaralangan maydon ustidagi qo'sh integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi.

Ta'rif 1. D hududi, agar uni birinchi turdagi cheklangan sonli hududlarga va bundan mustaqil ravishda ikkinchi turdagi sonli hududlarga bo'lish mumkin bo'lsa, uni oddiy mintaqa deyiladi.

Teorema 1. P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar oddiy sohada aniqlansin va ularning qisman hosilalari bilan birga uzluksiz va

Keyin formula o'zini tutadi

Bu erda C - D maydonining yopiq konturi.

Bu Ostrogradskiy-Yashil formula.

Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari

Ta'rif 1. Yopiq kvadrat maydoni D oddiy bog'langan deyiladi, agar har qanday yopiq egri chiziq l D doimiy ravishda nuqtaga deformatsiyalanishi mumkin bo'lsa, bu egri chiziqning barcha nuqtalari D mintaqasiga tegishli bo'ladi ("teshiksiz" mintaqa - D 1) , agar bunday deformatsiyaning iloji bo'lmasa, u holda mintaqa ko'paytmali bog'langan deb ataladi ("teshiklar" bilan - D 2).

Ta’rif 2. Agar AB egri chizig’i bo’yicha egri chiziq integralining qiymati A va B nuqtalarni bog’lovchi egri chiziq turiga bog’liq bo’lmasa, bu egri chiziq integrali integrallash yo’liga bog’liq deyiladi:

Teorema 1. P(x,y) va Q(x,y) uzluksiz funksiyalar, ularning qisman hosilalari bilan birga yopiq oddiy bog’langan D sohada aniqlansin. Keyin quyidagi 4 ta shart ekvivalentdir:

1) yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral

bu erda C D dagi har qanday yopiq tsikl;

2) yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral D mintaqasida integrallash yo'liga bog'liq emas, ya'ni.

3) P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko‘rinishdir to'liq differentsial D sohasida ba'zi F funksiyasi, ya'ni F funktsiyasi mavjud bo'lib, (x,y) D tengligi bajariladi.

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) barcha (x,y) D nuqtalari uchun quyidagi shart bajariladi:

Keling, buni diagramma yordamida isbotlaymiz.

Keling, buni isbotlaylik.

1 berilgan bo'lsin), ya'ni. = 0 2 §1 xususiyati bo'yicha, bu = 0 (1 §1 xususiyat bo'yicha) .

Keling, buni isbotlaylik.

Bu cr.int berilgan. integratsiya yo'liga bog'liq emas, balki faqat yo'lning boshi va oxirini tanlashga bog'liq

Funktsiyani ko'rib chiqing

P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko'rinishi F(x,y) funksiyaning to'liq differentsial ekanligini ko'rsatamiz, ya'ni. , Nima

Keling, shaxsiy o'sishni belgilaylik

x F (x,y)= F(x + x, y) -F (x,y)= = == =

(1-§, BB* Oy 3-xususiyati bo'yicha) = = P (c,y)x (o'rtacha qiymat teoremasi bo'yicha, c -const), bu erda x

(P funksiyaning uzluksizligi tufayli). Biz (5) formulani oldik. Formula (6) ham xuddi shunday olinadi.

Keling, buni isbotlaylik.

Formula berilgan

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Shubhasiz = P (x, y). Keyin

Teorema shartlariga ko'ra (7) va (8) tengliklarning o'ng tomonlari uzluksiz funksiyalar bo'lsa, unda aralash hosilalarning tengligi haqidagi teorema bo'yicha chap tomonlari ham teng bo'ladi, ya'ni. bu

Keling, buni 41 tadan isbotlaylik.

D 1 mintaqasini chegaralovchi D mintaqasidan istalgan yopiq konturni tanlaymiz.

P va Q funktsiyalari Ostrogradskiy-Grin shartlarini qondiradi:

Tenglik (4) tufayli (9) ning chap tomonida integral 0 ga teng, ya'ni tenglikning o'ng tomoni ham tengdir.

Izoh 1. 1-teorema uchta mustaqil teorema shaklida tuzilishi mumkin

Teorema 1*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (.1) shart bajariladi, ya'ni.

Teorema 2*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (3) shart bajariladi:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko’rinish D sohasidagi ba’zi F funksiyaning to’liq differentsialidir.

Teorema 3*. Oddiy bog'langan kvadrat shaklidagi D domeni egri intga ega bo'lishi uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas edi, shuning uchun (4) shart bajariladi:

Izoh 2. 2* teoremada D domenini ko'paytmali bog'lash ham mumkin.

Ikkisi o'rtasidagi aloqa Int. D maydonida va egri chiziqli. Int. L mintaqasi uchun Ostrogradskiy-Yashil formula o'rnatiladi.

OXY tekisligida D maydoni chegarasi belgilansin. To'g'ri parallel kordonlar bilan kesishgan egri chiziq. O'qlar 2 nuqtadan ko'p bo'lmagan, ya'ni D hududi to'g'ri.

T1.Agar f. P(x,y), Q(x,y) hosilalari bilan birga uzluksiz,

Keyin D hududi adolatli shakllarga ega. (f.Ostr.-Gr.)

L - D mintaqasining chegarasi va L egri chizig'i bo'ylab integratsiya Dovo yo'nalishida amalga oshiriladi.

T2.Agar = (2), u holda subintegrator. P*dx+Q*dy yavl ifodasi. To'liq differentsial U=U(x,y) funksiyalari.

P*dx+Q*dy =U(x.y)

(2) shartni qanoatlantiradi, f yordamida topish mumkin.

Eslatma 1 O'zgaruvchan integralni chalkashtirmaslik uchun. Yuqori so'zboshi bilan X - uning belgilanishi. Yana bir xat.

o'rinbosari 2 nuqta (0.0) odatda boshlang'ich nuqtasi sifatida qabul qilinadi (x0,Y0)

Egri chiziqli intning mustaqilligi sharti. Yo'l integrasidan 2-tur.

A (X1, Y1), B (X2, Y2) bo'lsin. Mahsulotga ruxsat bering. D maydonining nuqtalari. A va B nuqtalari turli chiziqlar bilan bog'lanishi mumkin. Ularning har biri uchun cr. Int. o'z qiymatiga ega bo'ladi, agar barcha egri chiziqlar bo'ylab qiymat bir xil bo'lsa, u holda integral int. yo'l turiga bog'liq emas, bu holda boshlang'ichni qayd etish kifoya. A nuqta (X1, Y1) va oxirgi nuqta B (X2, Y2).

T. Cr uchun. Int.

int yo'liga bog'liq emas. Mushukdagi D maydoni. F. P(X,Y), Q(X,Y) ularning hosilalari bilan birga uzluksiz va domenning har bir nuqtasida = Doc.

Kr. Int. 2-tur integratsiya yo'liga bog'liq emas

o'rinbosari = bu erdan biz buni olamiz

Pov. Int. 1-tur. Uning St. va hisoblash.

Nuqtalarga ruxsat bering S S PL. S bo'shliq oxyz def. Uzluksiz f. f(x,y.z) .

Keling, povni buzamiz. S ni n qismga Si, PL. HAR QISM delta Si ga ega va har bir Si qismida diametri Di i=1..m, (xi, yi, zi) dan ixtiyoriy Mi nuqtasini tanlang va yig'indini tuzing. Yig'indi f uchun integral deb ataladi. f(x,y.z) integralda S sirt ustida. Miqdorning chegarasi bor, u deyiladi. 1-turdagi integral bo'yicha f dan. f(x,y.z) S sirt ustida va = bilan belgilanadi

Sirtning xossalari Int.

2) 3) S=s1+s2, Keyin 4) f1<=f2 , т о 5) 6) 7) Ф. f непрерывна на поверхности S , то на этой поверхности сущ. Точка M(x0,y0,z0) S, такая, что .

1-turdagi pov intni hisoblash S sirtning oksid tekisligiga proyeksiyasi bo'lgan D mintaqasi bo'yicha 2-intni hisoblashgacha kamaytiring, agar s sirtga Ur z=z(x,y) berilgan bo'lsa, vint ga teng bo'ladi.

Agar S y=y(x, z) ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u holda...

Pov int 2-tur

Ikki tomonlama yuza berilgan bo'lsin, bunday sirtni chegaralarini kesib o'tmasdan aylanib o'tgandan so'ng, unga nisbatan normalning yo'nalishi o'zgarmaydi; Bir tomonlama pov: Mobius chizig'i. Ko'rib chiqilayotgan ikki tomonlama S sirtning oxyz fazodagi nuqtasida f bilan aniqlansin. F(x,y,z). Sirtning tanlangan tomonini Si i=1..m qismlarga ajratamiz va ularni tekislikning shnuriga proyeksiya qilamiz. Bunday holda, agar povning yuqori tomoni tanlangan bo'lsa, pl povni "+" belgisi bilan olamiz (agar normal oz bilan o'tkir burchak hosil qilsa, povning pastki tomoni bo'lsa, "-" belgisi bilan tanlang. tanlangan (OBTITUDE ANGLE)). Keling, int yig'indisini tuzamiz Bu erda - pl pov Si - qismlari bilan agar u mavjud bo'lsa va sirtni qismlarga bo'lish usuliga va ulardagi nuqtalarni tanlashga bog'liq bo'lmasa, f dan 2-turdagi int deb ataladi. f(x,y,z) s sirtda va quyidagicha belgilanadi: Ta'rifga ko'ra, integral = integral yig'indisining chegarasi bo'ladi. Xuddi shunday, int ni pov s bilan aniqlang

, u holda 2-turdagi int sirtining umumiy shakli int bunda P, Q, R ikki tomonlama sirt s nuqtalarida aniqlangan uzluksiz funksiyalardir. Agar S yopiq sirt bo'lsa, tashqi tomon bo'ylab int bilan ham ichki tomon bo'ylab belgilanadi. ds. Bu yerda ds pov S maydonining elementi va cos, cos cos masalan cos n ga normallashtiriladi. O'z navbatida tanlangan tomon.

Bu formulalar figura ustidagi integralni ma'lum bir figuraning chegarasidagi ba'zi integral bilan bog'laydi.

Funktsiyalar sohada uzluksiz bo'lsin DÌ Oksi va uning chegarasida G; mintaqa D- ulangan; G- bo'lak-bo'lak silliq egri. Keyin haqiqat Green formulasi:

bu erda chap tomonda birinchi turdagi egri chiziqli integral, o'ngda qo'sh integral; sxema G soat miliga teskari yo'nalishda ketadi.

Mayli T– bo‘lak-bo‘lak silliq chegaralangan ikki tomonlama sirt G. Funktsiyalar bo'lsa P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) va ularning birinchi tartibli qisman hosilalari sirt nuqtalarida uzluksizdir T va chegaralar G, keyin sodir bo'ladi Stokes formulasi:

(2.23)

chap tomonda ikkinchi turdagi egri chiziqli integral; o'ng tomonda - sirtning u tomoni bo'ylab olingan ikkinchi turdagi sirt integrali T, egri chiziqni kesib o'tishda chap tomonda qoladi G.

Agar ulangan mintaqa bo'lsa VÌ Oxyz parcha-parcha silliq, yopiq sirt bilan cheklangan T, va funktsiyalari P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) va ularning birinchi tartibli qisman hosilalari dan nuqtalarda uzluksizdir V Va T, keyin sodir bo'ladi Ostrogradskiy-Gauss formulasi:

(2.24)

chap tomonda - sirtning tashqi tomonida ikkinchi turdagi sirt integrali T; o'ngda - maydon bo'yicha uch karra integral V.

1-misol. Kuch tomonidan bajarilgan ishni hisoblang uning doirani qo'llash nuqtasini kesib o'tganda G: , o'qdan boshlab ho'kiz, soat yo'nalishi bo'yicha (2.18-rasm).

Yechim. Ish ga teng . Keling, Grin formulasini (2.22) qo'llaymiz, integraldan oldin o'ngga "-" belgisini qo'yamiz (chunki sxema soat yo'nalishi bo'yicha harakatlanadi) va shuni hisobga olamiz. P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x+y. Bizda ... bor:
,
Qayerda S D- aylana maydoni D: ga teng. Natijada: – kuchning zarur ishi.

2-misol. Integralni hisoblang , Agar G samolyotda aylana bor z=2, soat miliga teskari yo'nalishda aylanish.

Yechim. Stokes formulasidan (2.23) foydalanib, aylana bo'ylab asl integralni sirt integraliga keltiramiz. T:
T:

Demak, shuni hisobga olsak, bizda:

Oxirgi integral aylana ustidagi qo'sh integraldir DÌ Oksi, uning ustiga aylana proyeksiya qilingan T; D: . Keling, qutb koordinatalariga o'tamiz: x=r cosj, y=r sinj, jÎ, r O. Natijada:
.

3-misol. Oqim toping P T piramidalar V: (2.19-rasm) sirtga tashqi normal yo'nalishda.

Yechim. Oqim shunday . Ostrogradskiy-Gauss formulasini (2.24) qo'llagan holda, biz rasm bo'yicha uch karrali integralni hisoblash muammosini kamaytiramiz. V- piramida:

4-misol. Oqim toping P vektor maydoni butun sirt orqali T piramidalar V: ; (2.20-rasm), sirtga tashqi normal yo'nalishda.

Yechim. Keling, Ostrogradskiy-Gauss formulasini qo'llaymiz (2.24), bu erda V- piramidaning hajmi. Keling, oqimni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash yechimi bilan taqqoslaylik ( – piramidaning yuzlari).

,
yuzlarning tekislikka proyeksiyalanishidan beri Oksi nol maydonga ega (2.21-rasm),