Hudud formulasi Evklid tekisligidagi raqamlarning ma'lum bir sinfida aniqlangan va 4 shartni qondiradigan haqiqiy qiymatli funktsiya bo'lgan figuraning maydonini aniqlash uchun zarur:

1. Ijobiylik - maydon noldan kam bo'lishi mumkin emas;
2. Normalizatsiya - yon birligi bo'lgan kvadrat 1 maydonga ega;
3. Kongruentlik - mos keladigan raqamlar mavjud teng maydon;
4. Qo'shimchalar - umumiy ichki nuqtalari bo'lmagan 2 ta raqamning birlashma maydoni ushbu raqamlarning maydonlari yig'indisiga teng.

Geometrik figuralar maydoni uchun formulalar.

Geometrik shakl	Formula	Chizma
O'rta nuqtalar orasidagi masofalarni qo'shish natijasi qarama-qarshi tomonlar qavariq to'rtburchakning yarim perimetriga teng bo'ladi.
Doira sektori. Doira sektorining maydoni uning yoyi va uning yarmi radiusining mahsulotiga teng.
Doira segmenti. ASB segmentining maydonini olish uchun AOB uchburchak maydonini AOB sektorining maydonidan ayirish kifoya.	S = 1/2 R(s - AC)
Ellipsning maydoni ellipsning katta va kichik yarim o'qlari uzunliklari va pi sonining ko'paytmasiga teng.
Ellips. Ellipsning maydonini hisoblashning yana bir varianti uning ikkita radiusi orqali amalga oshiriladi.
Uchburchak. Baza va balandlik orqali. Doira maydonining radiusi va diametridan foydalangan holda formulasi.
Kvadrat. Uning tomoni orqali. Kvadratning maydoni uning tomoni uzunligining kvadratiga teng.
Kvadrat. Uning diagonallari orqali. Kvadratning maydoni uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.
Oddiy ko'pburchak. Muntazam ko'pburchakning maydonini aniqlash uchun uni ikkiga bo'lish kerak teng uchburchaklar, u chizilgan doira markazida umumiy cho'qqiga ega bo'ladi.	S= r p = 1/2 r n a

Geometrik figuraning maydoni- bu raqamning o'lchamini ko'rsatadigan geometrik figuraning raqamli xarakteristikasi (sirtning cheklangan qismi yopiq halqa bu raqam). Maydonning kattaligi undagi kvadrat birliklar soni bilan ifodalanadi.

Uchburchak maydoni formulalari

1. Yon va balandlikdagi uchburchakning maydoni uchun formula
   Uchburchakning maydoni uchburchakning bir tomoni uzunligi va bu tomonga chizilgan balandlik uzunligi ko'paytmasining yarmiga teng
   
2. Uch tomon va aylana radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula
   
3. Uch tomon va chizilgan doira radiusiga asoslangan uchburchakning maydoni uchun formula
   Uchburchakning maydoni uchburchakning yarim perimetri bilan chizilgan aylana radiusining mahsulotiga teng.
   
Bu erda S - uchburchakning maydoni,
- uchburchak tomonlarining uzunliklari,
- uchburchakning balandligi,
- tomonlar orasidagi burchak va,
- chizilgan doira radiusi,
R - aylana radiusi,

Kvadrat maydon formulalari

1. Yon uzunlikdagi kvadrat maydoni uchun formula
   Kvadrat maydon uning tomoni uzunligi kvadratiga teng.
2. Diagonal uzunlikdagi kvadrat maydoni uchun formula
   Kvadrat maydon uning diagonali uzunligi kvadratining yarmiga teng.
   

   S=	1	2
   	2

bu erda S - kvadratning maydoni,
- kvadrat tomonining uzunligi,
- kvadrat diagonalining uzunligi.

To'rtburchaklar maydoni formulasi

To'rtburchakning maydoni uning ikki qo'shni tomonining uzunliklari ko'paytmasiga teng

Bu erda S - to'rtburchakning maydoni,
- to'rtburchak tomonlarining uzunliklari.

Paralelogramma maydoni formulalari

1. Yon uzunligi va balandligi asosida parallelogramm maydoni uchun formula
   Parallelogrammning maydoni
2. Ikki tomon va ular orasidagi burchakka asoslangan parallelogramm maydoni uchun formula
   Parallelogrammning maydoni uning tomonlari uzunliklarini ular orasidagi burchak sinusiga ko'paytmasiga teng.
   

   a b sin a

Bu erda S - parallelogrammning maydoni,
- parallelogramm tomonlarining uzunliklari;
- parallelogramm balandligi uzunligi,
- parallelogrammning tomonlari orasidagi burchak.

Romb maydoni uchun formulalar

1. Yon uzunligi va balandligi asosida romb maydoni uchun formula
   Rombning maydoni uning tomoni uzunligi va bu tomonga tushirilgan balandlik uzunligi mahsulotiga teng.
2. Yon uzunligi va burchakka asoslangan romb maydoni uchun formula
   Rombning maydoni uning tomoni uzunligi kvadrati va romb tomonlari orasidagi burchak sinusining ko'paytmasiga teng.
3. Rombning diagonallari uzunligidan kelib chiqqan holda uning maydoni uchun formula
   Rombning maydoni uning diagonallari uzunliklari ko'paytmasining yarmiga teng.
bu erda S - rombning maydoni,
- romb tomonining uzunligi,
- romb balandligining uzunligi,
- rombning yon tomonlari orasidagi burchak;
1, 2 - diagonallarning uzunliklari.

Trapetsiya maydoni formulalari

1. Trapetsiya uchun Heron formulasi

   Bu erda S - trapetsiya maydoni,
   - trapetsiya asoslarining uzunligi;
   - trapetsiya tomonlarining uzunligi;
   

Ko'pburchakning maydoni

Biz bu bilan ko'pburchakning maydoni tushunchasini bog'laymiz geometrik shakl kvadrat kabi. Ko'pburchakning birlik maydoni uchun tomoni birga teng bo'lgan kvadratning maydonini olamiz. Keling, ko'pburchak maydoni tushunchasi uchun ikkita asosiy xususiyatni kiritaylik.

Mulk 1: Teng ko'pburchaklar uchun ularning maydonlari tengdir.

Mulk 2: Har qanday ko'pburchakni bir nechta ko'pburchaklarga bo'lish mumkin. Bunday holda, asl ko'pburchakning maydoni ushbu ko'pburchak bo'lingan barcha ko'pburchaklar maydonlarining yig'indisiga teng.

Kvadrat maydon

Teorema 1

Kvadratning maydoni uning tomoni uzunligining kvadrati sifatida aniqlanadi.

bu yerda $a$ kvadrat tomonining uzunligi.

Isbot.

Buni isbotlash uchun uchta holatni ko'rib chiqishimiz kerak.

Teorema isbotlangan.

To'rtburchakning maydoni

Teorema 2

To'rtburchakning maydoni uning qo'shni tomonlari uzunligining mahsuloti bilan aniqlanadi.

Matematik jihatdan buni quyidagicha yozish mumkin

Isbot.

$AB=b,\ AD=a$ bo'lgan $ABCD$ to'rtburchak berilsin. Uni $APRV$ kvadratiga quramiz, uning yon uzunligi $a+b$ ga teng (3-rasm).

3-rasm.

Bizda mavjud bo'lgan maydonlarning ikkinchi mulki

\ \ \

1-teorema bo'yicha

\ \

Teorema isbotlangan.

Namuna vazifalari

1-misol

Tomonlari $5$ va $3$ boʻlgan toʻrtburchakning maydonini toping.

Kvadratning maydoni - bu kvadratning yon tomonlari bilan chegaralangan tekislikning qismi.

Kvadrat to'rtburchakning maxsus holati bo'lib, uning maydoni uning bir tomonining ikkinchi tomonining ko'paytmasi sifatida topilishi mumkin va kvadratning barcha tomonlari teng bo'lgani uchun uning maydoni uning uzunligi kvadratiga teng bo'ladi. tomoni:

Shuningdek, kvadratning maydoni uning diagonali (d) uzunligining kvadratining yarmiga teng, ya'ni:

Kvadrat atrofida aylananing diametri ushbu kvadratning diagonaliga to'g'ri keladi, keyin uning maydonini aylananing diametri (D) uzunligi orqali topish mumkin:

Doira diametri uning radiusidan 2 baravar katta bo'lgani uchun kvadratning maydonini aylana radiusi orqali ham topish mumkin:

S = (2 * R)²/2 = (4 * R²)/2 = 2 * R².

Kvadrat - bu muntazam to'rtburchak, ya'ni barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak. Kvadratning maydonini uchta usulda topish mumkin:

• Kvadrat tomoni orqali.
• Kvadratning perimetri bo'ylab.
• Kvadratning diagonali orqali.

Keling, kvadratning maydonini topish usullarining har birini ko'rib chiqaylik.

Kvadratning maydonini uning tomoni yordamida hisoblash

Kvadratning tomoni a bo'lsin. Kvadratning barcha tomonlari teng bo'lgani uchun kvadratning har bir tomoni a ga teng bo'ladi. Bunday holda, S kvadratining maydoni quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
S = a * a = a 2. Masalan, kvadratning tomoni 5 bo'lsin, u holda uning maydoni quyidagicha bo'ladi:
S = 5 2 = 25.

Kvadratning perimetri yordamida uning maydonini hisoblash

Kvadratning perimetri P bo'lsin. Perimetr barcha tomonlarning yig'indisi, keyin P = a + a + a + a = 4 * a. S = a 2 bo'lgani uchun (oldin yozilgan formula bo'yicha), u holda perimetrdan a ni ifodalash mumkin:
a = P / 4. Keyin S = P 2 / 16. Masalan, kvadratning perimetri 20 ga teng ekanligi ma'lum, u holda uning maydonini topishingiz mumkin: S = 20 2 / 16 = 400 / 16 = 25.

Kvadratning diagonali yordamida uning maydonini hisoblash

Kvadratning diagonali uni ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi. To'g'ri uchburchaklardan birini ko'rib chiqing. Uning oyoqlari a va a (kvadratning ikki tomoni), gipotenuzasi esa kvadratning diagonaliga (d) teng. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz gipotenuzani hisoblaymiz:
d 2 = a 2 + a 2;
d 2 = 2 * a 2;
d = a * √2.
Bunday holda, kvadratning maydoni quyidagicha yoziladi: S = d 2 / 2. Masalan, kvadratning diagonali berilgan: d = √18, kvadratning maydoni: S = (√18) 2/2 = 18/2 = 9 bo'ladi.
Bu formulalarning barchasi kvadrat maydonini hisoblash uchun qulaydir.

Kvadrat barcha burchaklari va tomonlari bir-biriga teng bo'lgan muntazam to'rtburchakdir.

Ko'pincha bu raqam sifatida qabul qilinadi maxsus holat yoki . Kvadratning diagonallari bir-biriga teng va diagonal orqali kvadratning maydoni uchun formulada ishlatiladi.
Maydonni hisoblash uchun diagonallar yordamida kvadrat maydoni formulasini ko'rib chiqing:

Ya'ni, kvadratning maydoni diagonal uzunligining ikkiga bo'lingan kvadratiga teng. Shaklning tomonlari teng ekanligini hisobga olsak, diagonal uzunligini maydon formulasidan hisoblashingiz mumkin to'g'ri uchburchak yoki Pifagor teoremasi bilan.

Keling, diagonal yordamida kvadratning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. Diagonali d = 3 sm bo'lgan kvadrat berilgan bo'lsin, uning maydonini hisoblash kerak:

Diagonallar yordamida kvadrat maydonini hisoblashning ushbu misolidan foydalanib, biz 4,5 natijaga erishdik .

Kvadratning yonma-yon maydoni

Muntazam to'rtburchakning maydonini uning yonida ham topishingiz mumkin. Kvadrat maydonining formulasi juda oddiy:

Kvadratning maydonini hisoblashning oldingi misolida biz qiymatni diametri bo'yicha hisoblaganimiz sababli, endi tomonning uzunligini topishga harakat qilaylik:
Qiymatni ifodaga almashtiramiz:
Kvadratning yon uzunligi 2,1 sm bo'ladi.

Siz doira ichiga chizilgan kvadrat maydoni uchun formuladan juda oddiy foydalanishingiz mumkin.

Cheklangan doiraning diametri kvadratning diametriga teng bo'ladi. Kvadrat oddiy romb hisoblanganligi sababli, siz rombning maydonini hisoblash uchun formuladan foydalanishingiz mumkin. Uning diagonallari ko'paytmasining yarmiga teng. Kvadratning diagonallari teng, shuning uchun formula quyidagicha ko'rinadi:
Keling, aylana ichiga chizilgan kvadratning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.

Doira ichiga yozilgan kvadrat berilgan. Doira diagonali d = 6 sm. Kvadratning maydonini toping.
Biz aylana diagonali kvadratning diagonaliga teng ekanligini eslaymiz. Biz qiymatni kvadratning maydonini diagonallari orqali hisoblash formulasiga almashtiramiz:

Kvadratning maydoni 18

Kvadratning perimetri bo'ylab maydoni

Ba'zi masalalarda shartlar kvadratning perimetrini beradi va uning maydonini hisoblashni talab qiladi. Perimetr bo'ylab kvadratning maydoni uchun formula perimetrning qiymatidan kelib chiqadi. Perimetr- shaklning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisi. Chunki kvadrat 4 teng tomonlar, u holda u teng bo'ladi, bu erdan biz odatdagi formula bo'yicha kvadratning maydonini topamiz: .
Keling, perimetr bo'ylab kvadratning maydonini hisoblash misolini ko'rib chiqaylik.