Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta.

ning hosilasi tabiiy logarifm Bundan tashqari, juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklarning differensialligi funksiyaning bir xil o'sish qismidir. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Bizga ularning o'sishi uchun formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - ba'zi doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. bir nuqtada;
2. bir nuqtada;
3. bir nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Ishladimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki hisoblagichsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni boshqa yozib bo'lmaydi. oddiy shaklda. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Buning o'rniga faqat hozir yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu misol murakkab funktsiya: qachon, uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni o'zgaruvchi bilan to'g'ridan-to'g'ri bajaramiz, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'zlar bilan aytganda, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(shunchaki uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) Ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifodaning qiymatini hisoblash uchun amallarni qanday tartibda bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat tartibini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Jadvalning birinchi formulasini chiqarishda biz bir nuqtada hosila funksiyasini aniqlashdan boshlaymiz. Qaerga olib boraylik x- har qanday haqiqiy raqam, ya'ni x– funktsiyani aniqlash sohasidan istalgan raqam. Funksiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasini quyidagicha yozamiz:

Shuni ta'kidlash kerakki, chegara belgisi ostida nolning noaniqligi nolga bo'linadigan ifoda olinadi, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Shunday qilib, doimiy funktsiyaning hosilasibutun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng.

Quvvat funksiyasining hosilasi.

Quvvat funksiyasining hosilasi formulasi shaklga ega , bu erda ko'rsatkich p- har qanday haqiqiy raqam.

Avval natural ko‘rsatkich, ya’ni for formulasini isbotlaymiz p = 1, 2, 3, …

Biz hosila ta'rifidan foydalanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyuton binomial formulasiga murojaat qilamiz:

Demak,

Bu tabiiy daraja uchun daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotlaydi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi.

Biz hosila formulasini ta'rifga asoslangan holda taqdim etamiz:

Biz noaniqlikka keldik. Uni kengaytirish uchun biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz va . Keyin. Oxirgi o'tishda biz yangi logarifmik asosga o'tish uchun formuladan foydalandik.

Keling, asl chegaraga almashtiramiz:

Agar ikkinchi ajoyib chegarani eslasak, eksponensial funktsiyaning hosilasi formulasiga kelamiz:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi.

Logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasini hamma uchun isbotlaymiz x ta'rif sohasidan va bazaning barcha haqiqiy qiymatlaridan a logarifm lotin ta'rifi bo'yicha bizda:

E'tibor berganingizdek, isbotlash jarayonida logarifm xususiyatlaridan foydalangan holda o'zgartirishlar amalga oshirildi. Tenglik ikkinchi ajoyib chegara tufayli haqiqatdir.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari.

Trigonometrik funktsiyalarning hosilalari uchun formulalarni olish uchun biz ba'zi trigonometriya formulalarini, shuningdek, birinchi ajoyib chegarani esga olishimiz kerak.

Sinus funktsiyasi uchun hosila ta'rifi bilan bizda mavjud .

Sinuslar farqi formulasidan foydalanamiz:

Birinchi ajoyib chegaraga o'tish uchun qoladi:

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi gunoh x Mavjud chunki x.

Kosinus hosilasi formulasi ham xuddi shunday isbotlangan.

Demak, funktsiyaning hosilasi chunki x Mavjud -sin x.

Tasdiqlangan differentsiallash qoidalaridan (kasrning hosilasi) tangens va kotangens uchun hosilalar jadvali formulalarini olamiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari.

Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi formulasi giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangens hosilalari uchun formulalar chiqarish imkonini beradi.

Teskari funktsiyaning hosilasi.

Taqdimot paytida chalkashliklarga yo'l qo'ymaslik uchun differensiallash amalga oshiriladigan funktsiya argumentini pastki qatorda belgilaymiz, ya'ni u funktsiyaning hosilasidir. f(x) tomonidan x.

Endi shakllantiramiz teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasi.

Funktsiyalarga ruxsat bering y = f(x) Va x = g(y) o'zaro teskari, intervallarda va mos ravishda aniqlanadi. Agar biror nuqtada funktsiyaning nolga teng bo'lmagan chekli hosilasi mavjud bo'lsa f(x), u holda nuqtada teskari funktsiyaning chekli hosilasi mavjud g(y), va . Boshqa postda .

Ushbu qoida har qanday kishi uchun qayta shakllantirilishi mumkin x intervaldan , keyin biz olamiz .

Keling, ushbu formulalarning to'g'riligini tekshiramiz.

Natural logarifm uchun teskari funksiya topilsin (Bu yerga y funktsiyadir va x- argument). Bu tenglamani yechilgandan keyin x, biz olamiz (bu erda x funktsiyadir va y- uning argumenti). Ya'ni, va o'zaro teskari funktsiyalar.

Hosilalar jadvalidan buni ko'ramiz Va .

Teskari funktsiyaning hosilalarini topish formulalari bizni bir xil natijalarga olib kelishiga ishonch hosil qilaylik:

Ko'rib turganingizdek, biz hosilalar jadvalidagi kabi natijalarga erishdik.

Endi biz teskari hosila formulalarini isbotlash uchun bilimga egamiz trigonometrik funktsiyalar.

Arksinusning hosilasidan boshlaylik.

. Keyin, teskari funktsiyaning hosilasi uchun formuladan foydalanib, biz olamiz

Faqat o'zgarishlarni amalga oshirish qoladi.

Arksinus diapazoni interval bo'lgani uchun , Bu (asosiy elementar funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari bo'limiga qarang). Shuning uchun biz buni hisobga olmaymiz.

Demak, . Arksinus hosilasining ta'rif sohasi intervaldir (-1; 1) .

Ark kosinusi uchun hamma narsa xuddi shu tarzda amalga oshiriladi:

Arktangentning hosilasini topamiz.

Teskari funktsiya uchun .

Hosil bo‘lgan ifodani soddalashtirish uchun arktangentni arkkosinus bilan ifodalaylik.

Mayli arctgx = z, Keyin

Demak,

Yoy kotangentining hosilasi xuddi shunday tarzda topiladi:

Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun biz yig'ma jadvalni taqdim etamiz.

Doimiyy = C Quvvat funktsiyasi y = x p (x p) " = p x p - 1	Eksponensial funktsiyay = bolta (a x) " = a x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x (e x) " = e x
Logarifmik funktsiya (log a x) " = 1 x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = log x (ln x) " = 1 x	Trigonometrik funktsiyalar (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x
Teskari trigonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Giperbolik funktsiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosila formulalarining kelib chiqishini isbotlaymiz.

Konstantaning hosilasi

Dalil 1

Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi, yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nol nolga bo'lingan" noaniqlik emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni o'z ichiga olmaydi, lekin aniq nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Shunday qilib, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'ylab nolga teng.

1-misol

Doimiy funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Yechim

Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funksiyada 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga irratsional son 4ning hosilasini beradi. 13 7 22, toʻrtinchisi nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda biz ratsional kasrning hosilasiga egamiz - 8 7.

Javob: hosilalari belgilangan funktsiyalar har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'ylab)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Quvvat funksiyasining hosilasi

Keling, quvvat funksiyasi va uning hosilasi formulasiga o'tamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda ko'rsatkich. p har qanday haqiqiy raqam.

Dalil 2

Ko'rsatkich natural son bo'lganda formulaning isboti: p = 1, 2, 3, …

Biz yana hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆) x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Shunday qilib:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p -. 1 + 0 + 0 = p (p - 1) !

Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik.

Dalil 3

Qachon ish uchun dalil taqdim etish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz logarifmik funktsiyaning hosilasidan farqini tushunishimiz kerak). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va yashirin funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasini yanada chuqurroq tushunish tavsiya etiladi.

Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik: qachon x ijobiy va qachon x salbiy.

Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . y = x p tenglikni e asosiga logarifm qilamiz va logarifmning xossasini qo‘llaymiz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Ushbu bosqichda biz aniq belgilangan funktsiyani oldik. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x - salbiy raqam.

Agar ko'rsatkich p juft son bo‘lsa, u holda x uchun quvvat funksiyasi aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Keyin x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Oxirgi o'tish, agar bo'lsa, tufayli mumkin p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri.

Shunday qilib, biz har qanday haqiqiy p uchun darajali funktsiyaning hosilasi formulasini isbotladik.

2-misol

Berilgan funktsiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Ularning hosilalarini aniqlang.

Yechim

Berilgan funksiyalarning ba’zilarini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Isbot 4

Keling, ta'rifni asos qilib olgan holda hosila formulasini chiqaramiz:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 (z → 0 ni ∆ x → 0 ko'rinishida) yangi o'zgaruvchi yozamiz. Bunday holda, a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun yangi logarifm bazasiga o'tish formulasi ishlatilgan.

Keling, asl chegarani almashtiramiz:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Keling, ikkinchi ajoyib chegarani eslaylik va keyin eksponensial funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

3-misol

Eksponensial funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Ularning hosilalarini topish kerak.

Yechim

Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Dalil 5

Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday ruxsat etilgan qiymatlari. Loyqa ta'rifiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ko'rsatilgan tenglik zanjiridan ko'rinib turibdiki, o'zgarishlar logarifm xususiyatiga asoslangan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri.

4-misol

Logarifmik funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Ularning hosilalarini hisoblash kerak.

Yechim

Olingan formulani qo'llaymiz:

f 1 "(x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 "(x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Isbot 6

Keling, bir oz foydalanaylik trigonometrik formulalar va trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olishning birinchi ajoyib chegarasi.

Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Demak, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x.

Kosinus hosilasi formulasini ham isbotlaymiz:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bular. hosila cos funktsiyalari x bo'ladi - sin x.

Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Hosil bo'limi teskari funktsiyalar arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens hosilalari uchun formulalarni isbotlash bo'yicha keng qamrovli ma'lumot beradi, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari

Dalil 7

Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangensning hosilalari uchun formulalarni differentsiallash qoidasi va ko'rsatkichli funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib olishimiz mumkin:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Quvvat-eksponensial funktsiya daraja funksiyasi shakliga ega bo'lgan funktsiyadir
y = u v,
bunda u asosi va v ko'rsatkichi x o'zgaruvchining ba'zi funksiyalari:
u = u (x); (x).
v = v Bu funksiya ham deyiladi eksponentsial

yoki .
.
E'tibor bering, kuch-eksponensial funktsiya eksponensial shaklda ifodalanishi mumkin: Shuning uchun u ham deyiladi.

murakkab eksponensial funktsiya

Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Logarifmik lotin yordamida hisoblash
(2) ,
Kuch-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi topilsin
bu yerda va o‘zgaruvchining funksiyalari.
.
Buning uchun logarifmning xossasidan foydalanib, (2) tenglamani tuzamiz:
(3) .
X o'zgaruvchisiga nisbatan farqlang: Biz murojaat qilamiz murakkab funktsiyalarni farqlash qoidalari
;
.

va ishlaydi:
.
Biz (3) ni almashtiramiz:
.

Bu yerdan
(1) .
Shunday qilib, biz kuch-eksponensial funktsiyaning hosilasini topdik:
.
Agar ko'rsatkich doimiy bo'lsa, u holda.
.
U holda hosila kompleks quvvat funksiyasining hosilasiga teng bo'ladi:

Agar darajaning asosi doimiy bo'lsa, u holda.

U holda hosila kompleks ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasiga teng bo'ladi:
(2) ,
Qachon va x funksiyalari bo'lsa, u holda daraja-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi kompleks daraja va ko'rsatkichli funktsiyalarning hosilalari yig'indisiga teng bo'ladi.
(4) .

Kompleks ko'rsatkichli funktsiyaga qisqartirish yo'li bilan hosilani hisoblash
.
Endi kuch-eksponensial funksiyaning hosilasini topamiz

.
uni murakkab eksponensial funktsiya sifatida taqdim etish:

Keling, mahsulotni farqlaylik:

Murakkab funktsiyaning hosilasini topish qoidasini qo'llaymiz:
.

Logarifmik lotin yordamida hisoblaymiz. Keling, asl funktsiyani logarifm qilamiz:
(A1.1) .

Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
;
.
Mahsulot hosilasi formulasidan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Biz farqlaymiz (A1.1):
.
Chunki
,
Bu
.

Darajali funksiyaning hosilasi formulasini hosil qilish (x dan a darajasiga). X ning ildizlaridan hosilalar ko'rib chiqiladi. Quvvat funksiyasining hosilasi formulasi yuqori tartib. Hosilalarni hisoblash misollari.

Tarkib

Shuningdek qarang: Quvvat funksiyasi va ildizlar, formulalar va grafik
Quvvat funksiyasi grafiklari

Asosiy formulalar

X ning a ning kuchiga hosilasi x ning minusning kuchiga teng:
(1) .

x ning n- ildizining m-darajali hosilasi:
(2) .

Quvvat funksiyasining hosilasi formulasini hosil qilish

X > 0 holi

Keling, ko'rib chiqaylik quvvat funktsiyasi a ko'rsatkichli x o'zgaruvchidan:
(3) .
Bu erda a - ixtiyoriy haqiqiy son. Keling, birinchi navbatda ishni ko'rib chiqaylik.

(3) funktsiyaning hosilasini topish uchun biz daraja funksiyasining xossalaridan foydalanamiz va uni quyidagi shaklga aylantiramiz:
.

Endi hosilani quyidagi yordamida topamiz:
;
.
Bu yerga .

Formula (1) isbotlangan.

X ning n darajali ildizining m gradusli hosilasi formulasini hosil qilish

Endi quyidagi shaklning ildizi bo'lgan funktsiyani ko'rib chiqing:
(4) .

Hosilni topish uchun ildizni quvvat funksiyasiga aylantiramiz:
.
Formula (3) bilan solishtirsak, buni ko'ramiz
.
Keyin
.

Formuladan (1) foydalanib, hosilani topamiz:
(1) ;
;
(2) .

Amalda (2) formulani yodlashning hojati yo'q. Avval ildizlarni quvvat funktsiyalariga aylantirish, so'ngra (1) formuladan foydalanib ularning hosilalarini topish ancha qulayroqdir (sahifa oxiridagi misollarga qarang).

X = 0 holi

Agar , u holda quvvat funksiyasi x = o'zgaruvchining qiymati uchun aniqlanadi 0 . 0 (3) funksiyaning x = da hosilasi topilsin
.

. 0 :
.
Buning uchun biz hosila ta'rifidan foydalanamiz:

X = ni almashtiramiz
.
Bunday holda, hosila deganda biz o'ng chegarani tushunamiz.
Shunday qilib, biz topdik:
Shunday qilib, biz topdik:
Bundan ko'rinib turibdiki, , uchun.
(1) .
, da. 0 .

Bu natija (1) formuladan ham olinadi:< 0

Demak, (1) formula x = uchun ham amal qiladi
(3) .
X holat Funktsiyani (3) yana ko'rib chiqing: a doimiysining ma'lum qiymatlari uchun u ham aniqlanadi
,
salbiy qiymatlar

o'zgaruvchan x. 3 Ya'ni, a ratsional son bo'lsin. Keyin uni kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalash mumkin: 1 Bu erda m va n umumiy bo'luvchiga ega bo'lmagan butun sonlardir.
.
Agar n g'alati bo'lsa, u holda quvvat funktsiyasi x o'zgaruvchining salbiy qiymatlari uchun ham aniqlanadi.

Masalan, n = bo'lganda va m = doimiy a uchun u aniqlanadi. Buning uchun x ni quyidagi shaklda tasavvur qiling:
.
Keyin,
.
Konstantani hosila belgisidan tashqariga qo'yib, murakkab funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash orqali hosila topamiz:

.
Bu yerga . Lekin
.
O'shandan beri
.
Keyin
.
Ya'ni (1) formulalar uchun ham amal qiladi:
(1) .

Yuqori tartibli hosilalar

Endi quvvat funksiyasining yuqori tartibli hosilalarini topamiz
(3) .
Biz allaqachon birinchi tartibli hosilani topdik:
.

A doimiysini hosila belgisidan tashqariga olib, ikkinchi tartibli hosilani topamiz:
.
Xuddi shunday, biz uchinchi va to'rtinchi tartiblarning hosilalarini topamiz:
;

.

Bundan ma'lum bo'ladiki ixtiyoriy n-tartibning hosilasi quyidagi shaklga ega:
.

Shu esta tutilsinki agar a bo'lsa natural son , u holda n-chi hosila doimiy bo'ladi:
.
Keyin barcha keyingi hosilalar nolga teng:
,
da.

Hosilalarni hisoblash misollari

Misol

Funktsiyaning hosilasini toping:
.

Keling, ildizlarni kuchlarga aylantiramiz:
;
.
Keyin asl funktsiya quyidagi shaklni oladi:
.

Kuchlarning hosilalarini topish:
;
.
Doimiyning hosilasi nolga teng:
.