Harakat miqdori moddiy nuqta vektor kattalik deb ataladi mV, nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng. Vektor mV harakatlanuvchi nuqtaga qo'llaniladi.

Tizimning harakatlanish miqdori vektor kattalik deb ataladi Q, ga teng geometrik yig'indi(asosiy vektor) tizimning barcha nuqtalarining harakat miqdorlari:

Vektor Q erkin vektor hisoblanadi. SI birliklar tizimida impuls moduli kg m/s yoki N s bilan o'lchanadi.

Qoida tariqasida, tizimning barcha nuqtalarining tezligi har xil (masalan, 6.21-rasmda ko'rsatilgan dumaloq g'ildirak nuqtalarining tezligini taqsimlash) va shuning uchun tenglikning o'ng tomonidagi vektorlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi. (17.2) qiyin. Miqdori yordamida formula topamiz Q hisoblash ancha oson. Tenglikdan (16.4) shundan kelib chiqadiki

Ikkala tomonning vaqt hosilasini olib, biz olamiz Demak, tenglikni hisobga olgan holda (17.2), biz buni topamiz

ya’ni sistemaning impulsi butun sistemaning massasi va uning massa markazi tezligining mahsulotiga teng.

E'tibor bering, vektor Q, statikadagi kuchlarning asosiy vektori kabi, u butun harakatning qandaydir umumlashtirilgan vektor xarakteristikasidir mexanik tizim. Tizim harakatining umumiy holatida uning impulsi Q sistema harakatining massa markazi bilan birga tarjima qismining xarakteristikasi sifatida qaralishi mumkin. Agar tizim (tana) harakatlanayotganda, massa markazi harakatsiz bo'lsa, u holda tizimning harakat miqdori nolga teng bo'ladi. Bu, masalan, jismning atrofida aylanadigan impuls sobit o'q uning massa markazidan o'tadi.

Misol. Mexanik tizimning harakat miqdorini aniqlang (17.1-rasm, A), yukdan iborat A massa t A - 2 kg, bir hil blok IN og'irligi 1 kg va g'ildiraklar D massa m D - 4 kg. Yuk A tezlikda harakat qiladi V A - 2 m/s, g'ildirak D sirg'anmasdan rulonlarda, ip cho'zilmaydi va vaznsizdir. Yechim. Jismlar sistemasining harakat miqdori

Tana A oldinga siljiydi va Q A =m A V A(raqamli Q A= 4 kg m / s, vektor yo'nalishi Q A yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi V A). Bloklash IN majburiyat oladi aylanish harakati uning massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida; shuning uchun, QB- 0. G'ildirak D tekislikni parallel qiladi

harakat; uning oniy tezlik markazi nuqtada TO, shuning uchun uning massa markazining tezligi (nuqta E) ga teng V E = V A /2= 1 m/s. G'ildirak harakati miqdori Q D - m D V E - 4 kg m/s; vektor Q D gorizontal ravishda chapga yo'naltirilgan.

Vektorlarni tasvirlash orqali Q A Va Q D rasmda. 17.1, b, harakat miqdorini toping Q(a) formulasiga muvofiq tizimlar. Miqdorlarning yo'nalishlari va raqamli qiymatlarini hisobga olgan holda biz olamiz Q ~^Q A +Q E=4l/2~ kg m/s, vektor yo'nalishi Q shaklda ko'rsatilgan. 17.1, b.

Shuni hisobga olib a -dV/dt, dinamikaning asosiy qonunining (13.4) tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin

(17.4) tenglama nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir lahzasida nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchga teng. (Aslida, bu Nyuton tomonidan berilgan dinamikaning asosiy qonunining yana bir formulasi.) Agar nuqtada bir nechta kuchlar harakat qilsa, tenglikning o'ng tomonida (17.4) qo'llaniladigan kuchlarning natijasi bo'ladi. moddiy nuqtaga.

Tenglikning ikkala tomoni ko'paytirilsa dt, keyin olamiz

Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi vektor miqdori elementar vaqt ichida tanaga kuch ta'sirini tavsiflaydi. dt bu qiymat belgilanadi dS va qo'ng'iroq qiling elementar kuch impulsi, ya'ni

Puls S kuch F cheklangan vaqt davri uchun /, - / 0 mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisining chegarasi sifatida aniqlanadi, ya'ni.

Maxsus holatda, agar kuch bo'lsa F kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lsa, u holda S = F (t| -/ 0) va S- F(t l -/ 0). Umumiy holda, kuch impulsining kattaligini uning koordinata o'qlariga proektsiyalari bo'yicha hisoblash mumkin:

Endi tenglikning ikkala tomonini (17.5) bilan integratsiyalash T= const, olamiz

(17.9) tenglama nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani chekli (integral) ko'rinishda ifodalaydi: nuqta impulsining ma'lum bir vaqt oralig'ida o'zgarishi, xuddi shu vaqt oralig'ida nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning impulsiga (yoki unga qo'llaniladigan barcha kuchlarning natijaviy impulsiga) teng.

Masalalarni yechishda ushbu teorema tenglamalaridan koordinata o‘qlariga proyeksiyalarda foydalaning

Endi dan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqing n moddiy nuqtalar. Keyin har bir nuqta uchun impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani (17.4) ko'rinishda qo'llashimiz mumkin, bunda tashqi va ichki kuchlar:

Ushbu tengliklarni jamlab, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olsak, biz hosil bo'lamiz.

Chunki ichki kuchlarning tabiatiga ko'ra HF k=0 va impuls ta'rifi bo'yicha ^fn k V/ c = Q, keyin biz nihoyat topamiz

(17.11) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir momentida sistema impulsining vaqt hosilasi barchaning geometrik yig‘indisiga teng. tashqi kuchlar, tizimda harakat qilish.

Tenglikni (17.11) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz

Ikkala tomonni (17.11) ga ko'paytirish dt va integratsiya, biz olamiz

qaerda 0, Q 0 - mos ravishda vaqt momentlarida tizimning harakat miqdori va / 0.

(17.13) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistemaning impulsining istalgan vaqtdagi o'zgarishi bir vaqtning o'zida tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning impulslari yig'indisiga teng.

Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda biz olamiz

Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim natijalarni olish mumkin, ular ifodalanadi. sistema impulsining saqlanish qonuni.

• 1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), u holda (17.11) tenglamadan bu holda shunday xulosa chiqadi Q= const, ya'ni tizimning impuls vektori kattalik va yo'nalishda doimiy bo'ladi.
• 2. Agar sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar ularning istalgan o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa (masalan, I e kx = 0), u holda (17.12) tenglamalardan bu holda shunday bo'ladi Q x = const, ya'ni tizim impulsining bu o'qga proyeksiyasi o'zgarishsiz qoladi.

E'tibor bering, tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema tenglamasida tizimning ichki kuchlari ishtirok etmaydi. Bu kuchlar, garchi ular tizimning alohida nuqtalarining impulslariga ta'sir qilsalar ham, butun tizimning impulsini o'zgartira olmaydilar. Ushbu holatni hisobga olgan holda, muammolarni hal qilishda, ko'rib chiqilayotgan tizimni shunday tanlash tavsiya etiladi noma'lum kuchlar(barchasi yoki bir qismi) ichki holga keltiriladi.

Impulsning saqlanish qonunini tizimning bir qismining tezligini o'zgartirib, uning boshqa qismining tezligini aniqlash kerak bo'lgan hollarda qo'llash qulay.

Muammo 17.1. TO aravacha tortish t x- 12 kg silliq harakatlanadi gorizontal tekislik, nuqtada A silindrsimon ilgak yordamida vaznsiz novda biriktiriladi AD uzunligi /= 0,6 m yuk bilan D massa t 2 - oxirida 6 kg (17.2-rasm). Vaqt / 0 = 0, aravaning tezligi qachon Va () - 0,5 m/s, novda AD o'q atrofida aylana boshlaydi A, tekislikka perpendikulyar chizma, f = (tg/6) (3^2 - 1) rad (/-sekundlarda) qonuniga ko'ra. Belgilang: u=f.

§ 17.3. Massalar markazining harakati haqidagi teorema

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema massalar markazining harakati to'g'risidagi teorema deb ataladigan boshqa shaklda ifodalanishi mumkin.

(17.11) tenglamaga tenglikni qo'yish Q =MV C, olamiz

Agar massa M tizim doimiy, biz olamiz

Qayerda va bilan - tizimning massa markazining tezlashishi.

(17.15) tenglama sistemaning massa markazining harakati haqidagi teoremani ifodalaydi: sistema massasi va uning massa markazi tezlanishi ko'paytmasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

Tenglikni (17.15) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz

Qayerda x c, y c, z c - tizimning massa markazining koordinatalari.

Bu tenglamalar o'qdagi proyeksiyalarda massa markazi harakatining differensial tenglamalaridir Dekart tizimi koordinatalar

Keling, olingan natijalarni muhokama qilaylik. Avval eslaylikki, tizimning massa markazi geometrik nuqta, ba'zan tananing geometrik chegaralaridan tashqarida joylashgan. Mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar (tashqi va ichki) tizimning barcha moddiy nuqtalariga qo'llaniladi. (17.15) tenglamalar tizimning massa markazining harakatini uning alohida nuqtalarining harakatini aniqlamasdan aniqlash imkonini beradi. Moddiy nuqta uchun massalar markazining harakati haqidagi teorema tenglamalarini (17.15) va Nyutonning ikkinchi qonunining (13.5) tenglamalarini taqqoslab, shunday xulosaga kelamiz: mexanik tizimning massa markazi massasi butun sistemaning massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta kabi harakat qiladi va xuddi shu nuqtaga tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar qo'llaniladi. Shunday qilib, berilgan jismni moddiy nuqta sifatida ko'rib, biz oladigan yechimlar ushbu jismning massa markazining harakat qonunini aniqlaydi.

Xususan, agar jism translatsion harakat qilsa, u holda tananing barcha nuqtalari va uning massa markazining kinematik xususiyatlari bir xil bo'ladi. Shunung uchun translyatsion harakatlanuvchi jismni har doim massasi butun tananing massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta sifatida ko'rib chiqish mumkin.

(17.15) dan ko'rinib turibdiki, tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi ichki kuchlar tizimning massa markazining harakatiga ta'sir qilmaydi. Ichki kuchlar tashqi kuchlar ularning ta'siri ostida o'zgargan hollarda massa markazining harakatiga ta'sir qilishi mumkin. Bunga misollar quyida keltiriladi.

Massalar markazining harakati haqidagi teoremadan sistema massalar markazi harakatining saqlanish qonunini ifodalovchi quyidagi muhim natijalarni olish mumkin.

1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), keyin (17.15) tenglamadan kelib chiqadi:

bu haqda nima deyish mumkin a c = 0 yoki V c = const, ya'ni bu tizimning massa markazi

kattalik va yo'nalish bo'yicha doimiy tezlik bilan harakat qiladi (boshqacha aytganda, bir xil va to'g'ri chiziqli). Maxsus holatda, agar dastlab massa markazi tinch holatda bo'lsa ( Vc=0), keyin u tinch holatda qoladi; qayerda

trek Bilasizki, uning kosmosdagi pozitsiyasi o'zgarmaydi, ya'ni. r c = const.

2. Agar sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo'lsa, ularning qandaydir o'qqa (masalan, o'qga) proyeksiyalari yig'indisi. X) nolga teng (?F e kx= 0), u holda (17.16) tenglamadan bu holda shunday bo'ladi x s=0 yoki V Cx =x c = const, ya'ni tizimning massa markazining tezligining ushbu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Maxsus holatda, agar dastlabki daqiqada bo'lsa Vax= 0 bo'lsa, har qanday keyingi vaqtda bu qiymat bir xil bo'lib qoladi va bundan koordinata kelib chiqadi x s tizimning massa markazi o'zgarmaydi, ya'ni. x c - const.

Keling, massalar markazining harakat qonunini ko'rsatadigan misollarni ko'rib chiqaylik.

Misollar. 1. Ta'kidlanganidek, massa markazining harakati faqat tashqi kuchlarga bog'liq bo'lgan ichki kuchlar massa markazining holatini o'zgartira olmaydi; Ammo tizimning ichki kuchlari tashqi ta'sirlarni keltirib chiqarishi mumkin. Shunday qilib, odamning gorizontal yuzada harakati uning oyoq kiyimlari tagligi va yo'l yuzasi o'rtasidagi ishqalanish kuchlari ta'siri ostida sodir bo'ladi. Mushaklarining kuchi (ichki kuchlari) bilan odam oyoqlari bilan yo'l sirtini itarib yuboradi, shuning uchun yo'l bilan aloqa qilish joylarida ishqalanish kuchi (odam uchun tashqi) paydo bo'ladi, uning yo'nalishi bo'yicha. harakat.

• 2. Mashina xuddi shunday harakat qiladi. Uning dvigatelidagi ichki bosim kuchlari g'ildiraklarni aylanishga majbur qiladi, lekin ikkinchisi yo'l bilan tortishish xususiyatiga ega bo'lganligi sababli, natijada paydo bo'lgan ishqalanish kuchlari avtomobilni oldinga "itaradi" (natijada g'ildiraklar aylanmaydi, lekin tekislikka parallel ravishda harakat qiladi). . Agar yo'l mutlaqo silliq bo'lsa, u holda avtomobilning massa markazi statsionar bo'ladi (nolda boshlang'ich tezligi) va g'ildiraklar, ishqalanish bo'lmasa, siljiydi, ya'ni aylanish harakatini amalga oshiradi.
• 3. Parvona, parvona yoki eshkaklar yordamida harakatlanish havoning (yoki suvning) ma'lum bir massasini rad etish tufayli sodir bo'ladi. Agar biz tashlangan massa va harakatlanuvchi jismni bitta tizim deb hisoblasak, ular orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki kuchlar sifatida bu tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi. Biroq, bu tizimning har bir qismi, masalan, qayiq oldinga siljiydi va eshkaklar orqaga tashlagan suv.
• 4. Havosiz kosmosda, raketa harakatlanayotganda, "tashlangan massa" "siz bilan birga olib ketilishi" kerak: reaktiv dvigatel raketaga to'ldirilgan yoqilg'ining yonish mahsulotlarini orqaga tashlab, raketaga harakatni beradi.
• 5. Parashyut bilan tushayotganda odam-parashyut tizimining massa markazining harakatini boshqarishingiz mumkin. Agar odam mushaklarning harakatlari bilan parashyut chiziqlarini toraytirsa, shunda uning soyabon shakli yoki havo oqimining hujum burchagi o'zgaradi, bu havo oqimining tashqi ta'sirining o'zgarishiga olib keladi va shu bilan harakatga ta'sir qiladi. butun tizimning.

Muammo 17.2. IN Muammo 17.1 (17.2-rasmga qarang) aniqlang: 1) trolleybus harakati qonuni X (= /)(/), agar vaqtning dastlabki momentida ma'lum bo'lsa t 0 = O sistema tinch holatda edi va koordinatasi x 10 = 0; 2) normal reaksiyaning umumiy qiymatining vaqt bo'yicha o'zgarishi qonuni N (N = N" + N") gorizontal tekislik, ya'ni. N=f 2 (t).

Yechim. Bu erda 17.1-masaladagi kabi biz arava va yukdan iborat tizimni ko'rib chiqamiz D, unga qo'llaniladigan tashqi kuchlar ta'sirida o'zboshimchalik bilan holatda (17.2-rasmga qarang). Koordinata o'qlari Ohoo uni x o'qi gorizontal bo'ladigan tarzda chizing va o'qi da nuqtadan o'tdi A 0, ya'ni nuqtaning joylashuvi A bir vaqtning o'zida t-t 0 - 0.

1. Trolleybusning harakat qonunini aniqlash. X, = /,(0 ni aniqlash uchun sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teoremadan foydalanamiz. Uning x o'qiga proyeksiyada harakatining differensial tenglamasini tuzamiz:

Barcha tashqi kuchlar vertikal bo'lgani uchun T,F e kx = 0, va shuning uchun

Ushbu tenglamani integrallash orqali biz buni topamiz Mx s = B, ya'ni sistemaning massa markazining tezligining x o'qiga proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Vaqtning dastlabki daqiqasidan boshlab

Integratsiya tenglamasi. Mx s= 0, biz olamiz

ya'ni koordinata x s sistemaning massa markazi doimiy.

Keling, ifodani yozamiz Mx s tizimning o'zboshimchalik bilan pozitsiyasi uchun (17.2-rasmga qarang), buni hisobga olgan holda x A - x { , x D - x 2 Va x 2 - x ( - I gunoh f. Bu holda tizimning massa markazining koordinatasini aniqlaydigan (16.5) formulaga muvofiq Mx s - t ( x ( + t 2 x 2".

vaqtning ixtiyoriy nuqtasi uchun

vaqt momenti uchun / () = 0, X (= 0 va

Tenglikka (b) muvofiq, koordinata x s butun tizimning massa markazi o'zgarishsiz qoladi, ya'ni xD^,) = xc(t). Demak, (c) va (d) ifodalarni tenglashtirib, biz x koordinataning vaqtga bog'liqligini olamiz.

Javob: X - 0,2 m, bu erda t- soniyalarda.

2. Reaksiyaning ta’rifi N. Aniqlash uchun N=f 2 (t) vertikal o‘qqa proyeksiyada sistemaning massa markazining harakatining differensial tenglamasini tuzamiz. da(17.2-rasmga qarang):

Demak, belgilovchi N=N+N", olamiz

Ordinatani aniqlaydigan formula bo'yicha y s tizimning massa markazi, Mu s = t (y x + t 2 y 2, bu yerda y, = C1 da,2 da= y D = UA ~ 1 cos F" olamiz

Ushbu tenglikni o'z vaqtida ikki marta farqlash (buni hisobga olgan holda C1 da Va da A miqdorlar doimiy va shuning uchun ularning hosilalari nolga teng), biz topamiz

Ushbu ifodani (e) tenglamaga qo'yib, biz kerakli bog'liqlikni aniqlaymiz N dan t.

Javob: N- 176,4 + 1,13,

Bu erda f = (i/6)(3/ -1), t- soniyalarda, N- Nyutonlarda.

Muammo 17.3. Elektr dvigatelining og'irligi t x poydevorning gorizontal yuzasiga murvatlar bilan biriktirilgan (17.3-rasm). Dvigatel milining bir uchida l uzunlikdagi vaznsiz sterjen aylanish o'qiga to'g'ri burchak ostida o'rnatiladi va sterjenning ikkinchi uchiga nuqta og'irligi o'rnatiladi. A massa t 2. Mil burchak tezligida bir xilda aylanadi c. Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini toping. Yechim. Dvigatel va nuqta og'irligidan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqing A, har qanday holatda. Keling, tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarni tasvirlaymiz: tortishish R x, R 2, poydevorning vertikal kuch ko'rinishidagi reaktsiyasi N va gorizontal kuch R. X o'qini gorizontal ravishda chizamiz.

Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini aniqlash uchun (va u son jihatdan reaktsiyaga teng bo'ladi). R va vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan R ), gorizontal x o'qiga proyeksiyada sistema impulsining o'zgarishi bo'yicha teorema tenglamasini tuzamiz:

Ko'rib chiqilayotgan tizim uchun o'zboshimchalik holatida, dvigatel tanasining impulsi nolga teng ekanligini hisobga olib, biz olamiz Qx = - t 2 U A soc. Shuni hisobga olgan holda V A = a z /, f = co/ (dvigatelning aylanishi bir xil), biz olamiz Q x - - m 2 co/cos co/. Farqlash Qx vaqt ichida va tenglikni (a) almashtirib, topamiz R- m 2 ko 2 /sin ko/.

E'tibor bering, aynan shunday kuchlar majburlanadi (14.3-bandga qarang);

Mustaqil ishlash uchun mashqlar

• 1. Nuqta va mexanik sistemaning impulsi nima deyiladi?
• 2. Aylana bo‘ylab bir tekis harakatlanuvchi nuqtaning impulsi qanday o‘zgaradi?
• 3. Kuch impulsi nima bilan tavsiflanadi?
• 4. Tizimning ichki kuchlari uning impulsiga ta'sir qiladimi? Uning massa markazining harakati haqida?
• 5. Unga taalluqli juft kuchlar sistemaning massalar markazining harakatiga qanday ta'sir qiladi?
• 6. Tizimning massa markazi qanday sharoitda tinch holatda bo'ladi? bir tekis va to'g'ri chiziqda harakat qiladi?

7. Suv oqimi bo'lmagan statsionar qayiqda kattalar orqa tomonida, bola esa qayiqning kamonida o'tiradi. Agar ular o'rnini almashtirsa, qayiq qaysi yo'nalishda harakatlanadi?

Qaysi holatda qayiqning harakat moduli katta bo'ladi: 1) agar bola kattalarning orqa tomoniga o'tsa; 2) agar kattalar bolaga qayiqning burnida harakat qilsa? Ushbu harakatlar paytida "qayiq va ikki kishi" tizimining massa markazining siljishi qanday bo'ladi?

Teoremada muhokama qilingan tizim har qanday jismlardan tashkil topgan har qanday mexanik tizim bo'lishi mumkin.

Teoremaning bayoni

Mexanik tizimning harakat (impuls) miqdori tizimga kiritilgan barcha jismlarning harakat (impuls) miqdorlarining yig'indisiga teng miqdordir. Sistema jismlariga tasir etuvchi tashqi kuchlar impulsi sistema jismlariga tasir etuvchi barcha tashqi kuchlar impulslarining yigindisidir.

( kg m/s)

Tizimning impuls momentining o'zgarishi haqidagi teorema

Tizim impulsining ma'lum vaqt oralig'ida o'zgarishi, xuddi shu vaqt ichida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning impulsiga teng.

Tizim impulsining saqlanish qonuni

Agar sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlar yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda sistemaning harakat miqdori (impulsi) doimiy kattalikdir.

, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Olingan tenglikning ikkala tomonini ba'zi va o'rtasidagi o'zboshimchalik bilan olingan vaqt oralig'ida birlashtirgan holda, sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini integral shaklda olamiz:

Impulsning saqlanish qonuni (Impulsning saqlanish qonuni) buni bildiradi vektor yig'indisi tizimga ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning vektor yig'indisi nolga teng bo'lsa, tizimning barcha jismlarining impulslari doimiy qiymatdir.

(impuls momenti m 2 kg s -1)

Burchak impulsining markazga nisbatan o'zgarishi haqidagi teorema

impuls vaqtiga nisbatan hosila ( kinetik moment) har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

O'qga nisbatan burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema

har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Moddiy nuqtani ko'rib chiqing M massa m , kuch ta'siri ostida harakat qilish F (3.1-rasm). Burchak momentum vektorini yozamiz va tuzamiz (kinetik impuls) M Markazga nisbatan 0 moddiy nuqta O :

Keling, burchak momentumining ifodasini farqlaylik (kinetik moment k 0) vaqt bo'yicha:

Chunki dr /dt = V , Bu vektor mahsuloti V ⊗ m ⋅ V (kollinear vektorlar V Va m ⋅ V ) nolga teng. Xuddi o'sha payt d (m ⋅ V) /dt = F moddiy nuqtaning impulsi haqidagi teoremaga muvofiq. Shuning uchun biz buni olamiz

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

Qayerda r ⊗F = M 0 (F ) – vektor-kuch momenti F sobit markazga nisbatan O . Vektor k 0 ⊥ tekislik ( r , m ⊗V ) va vektor M 0 (F ) ⊥ samolyot ( r ,F ), biz nihoyat qildik

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Tenglama (3.4) markazga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (burchak impulsining) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas markazga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi bir xil markazga nisbatan nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momentiga teng.

Tenglikni (3.4) Dekart koordinatalari o'qlariga proyeksiya qilib, biz hosil qilamiz

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Tenglik (3.5) o'qqa nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentumining (kinetik momentum) o'zgarishi haqidagi teoremani ifodalaydi: har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan moddiy nuqtaning momentum momentining (kinetik moment) vaqt hosilasi shu o'qga nisbatan ushbu nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning momentiga teng.

(3.4) va (3.5) teoremalardan kelib chiqadigan oqibatlarni ko'rib chiqamiz.

Xulosa 1. Kuch bo'lganda vaziyatni ko'rib chiqing F nuqtaning butun harakati davomida statsionar markazdan o'tadi O (markaziy kuch holati), ya'ni. Qachon M 0 (F ) = 0. U holda (3.4) teoremadan shunday chiqadi k 0 = const ,

bular. markaziy kuch bo'lsa, bu kuchning markaziga nisbatan moddiy nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib qoladi (3.2-rasm).

3.2-rasm

Shartdan k 0 = const shundan kelib chiqadiki, harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasi tekis egri chiziq bo'lib, uning tekisligi bu kuchning markazidan o'tadi.

Xulosa 2. Mayli M z (F ) = 0, ya'ni. kuch o'qni kesib o'tadi z yoki unga parallel. Bunday holda, (3.5) tenglamalarning uchinchi qismidan ko'rinib turibdiki, k z = const ,

bular. agar nuqtaga har qanday qo'zg'almas o'qga nisbatan ta'sir qiluvchi kuch momenti har doim nolga teng bo'lsa, u holda bu o'qga nisbatan nuqtaning burchak momentum (kinetik momenti) doimiy bo'lib qoladi.

Impulsning o'zgarishi haqidagi teoremani isbotlash

Tizim massalari va tezlanishlari bo'lgan moddiy nuqtalardan iborat bo'lsin. Biz tizim jismlariga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni ikki turga ajratamiz:

Tashqi kuchlar - bu ko'rib chiqilayotgan tizimga kirmagan jismlardan ta'sir qiluvchi kuchlar. Raqamli moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning natijasi i belgilaylik

Ichki kuchlar - bu tizim jismlarining o'zi bir-biri bilan o'zaro ta'sir qiladigan kuchlar. Raqam bilan nuqtada qanday kuch i raqam bilan nuqta haqiqiydir k, biz , va ta'sir kuchini belgilaymiz i ustidagi nuqta k nuqta -. Shubhasiz, qachon, keyin

Kiritilgan belgidan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan har bir moddiy nuqta uchun Nyutonning ikkinchi qonunini shaklda yozamiz

Shuni hisobga olib Nyutonning ikkinchi qonunining barcha tenglamalarini jamlab, biz quyidagilarni olamiz:

Ifoda tizimda harakat qiluvchi barcha ichki kuchlarning yig'indisini ifodalaydi. Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, bu yig'indida har bir kuch shunday kuchga to'g'ri keladiki, shuning uchun u ushlab turadi. Butun yig'indi shunday juftliklardan iborat bo'lgani uchun yig'indining o'zi nolga teng. Shunday qilib, biz yozishimiz mumkin

Tizimning impulsi uchun yozuvdan foydalanib, biz olamiz

Tashqi kuchlar impulsining o'zgarishini hisobga olgan holda , sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz:

Shunday qilib, olingan oxirgi tenglamalarning har biri shuni ta'kidlashga imkon beradi: tizim impulsining o'zgarishi faqat tashqi kuchlarning ta'siri natijasida sodir bo'ladi va ichki kuchlar bu qiymatga hech qanday ta'sir ko'rsata olmaydi.

Olingan tenglikning ikkala tomonini baʼzi va lar oʻrtasidagi ixtiyoriy qabul qilingan vaqt oraligʻida integrallab, tizim impulsining oʻzgarishi haqidagi teoremaning integral koʻrinishida ifodasini olamiz:

bu erda va vaqt momentlaridagi tizimning harakat miqdorining qiymatlari va mos ravishda va ma'lum vaqt oralig'idagi tashqi kuchlarning impulsi. Yuqorida aytilganlarga va kiritilgan belgilarga muvofiq,

(Matematik simfoniyadan parchalar)

Kuch impulsi bilan Nyuton dinamikasining asosiy tenglamasi oʻrtasidagi bogʻliqlik moddiy nuqta impulsining oʻzgarishi haqidagi teorema orqali ifodalanadi.

Teorema. Moddiy nuqta impulsining ma'lum vaqt oralig'idagi o'zgarishi, xuddi shu vaqt oralig'ida moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning () impulsiga teng. Bu teoremaning matematik isbotini matematik simfoniyaning parchasi deb atash mumkin. Mana u.

Moddiy nuqtaning differensial impulsi moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning elementar impulsiga teng. Moddiy nuqtaning differensial impulsi uchun integrallash ifodasi (128) bizda mavjud

(129)

Teorema isbotlangan va matematiklar o'z missiyasini tugallangan deb hisoblashadi, ammo taqdiri matematiklarga muqaddas ishonish bo'lgan muhandislarda isbotlangan tenglamadan foydalanishda savollar tug'iladi (129). Lekin ular mustahkamlik va go'zallik bilan qattiq bloklangan matematik operatsiyalar(128 va 129), bu sizni hayratda qoldiradi va ularni matematik simfoniyaning bir parchasi deb atashga undaydi. Qanchadan-qancha muhandislar avlodlari matematiklar bilan kelishib, ularning matematik belgilarining siridan hayratda edilar! Ammo keyin bir muhandis bor edi, u matematiklarning fikriga qo'shilmagan va ularga savollar bergan.

Hurmatli matematiklar! Nima uchun darsliklaringizning hech birida yo'q nazariy mexanika simfonik natijangizni (129) amalda qo'llash jarayoni, masalan, avtomobilni tezlashtirish jarayonini tavsiflashda hisobga olinmaydimi? (129) tenglamaning chap tomoni juda aniq. Avtomobil tezlashishni tezlikdan boshlaydi va uni, masalan, tezlikda tugatadi. (129) tenglamaning paydo bo'lishi tabiiydir

Va darhol birinchi savol tug'iladi: (130) tenglamadan avtomobil ta'sirida 10 m / s tezlikka tezlashtirilgan kuchni qanday aniqlash mumkin? Bu savolga javob nazariy mexanika bo'yicha son-sanoqsiz darsliklarning hech birida topilmaydi. Keling, davom etaylik. Tezlashtirilgandan keyin avtomobil 10 m/s tezlikda bir tekis harakatlana boshlaydi. Mashinani qanday kuch harakatga keltiradi?????????? Matematiklar bilan birga qizarib ketishdan boshqa ilojim yo‘q. Nyuton dinamikasining birinchi qonuni shuni ko'rsatadiki, avtomobil bir tekis harakatlansa, unga hech qanday kuchlar ta'sir qilmaydi va avtomobil, majoziy ma'noda, bu qonunni aksiradi, benzin iste'mol qiladi va ishlaydi, masalan, 100 km masofani bosib o'tadi. Avtomobilni 100 km ga siljitish uchun ish qilgan kuch qayerda? Simfonik matematik tenglama (130) jim, lekin hayot davom etadi va javob talab qiladi. Biz uni qidirishni boshlaymiz.

Avtomobil to'g'ri chiziqli va bir tekis harakat qilganligi sababli, uni harakatlantiruvchi kuch kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lib, tenglama (130) bo'ladi.

(131)

Demak, (131) tenglama bu holda jismning tezlashtirilgan harakatini tavsiflaydi. Quvvat nimaga teng? Vaqt o'tishi bilan uning o'zgarishini qanday ifodalash mumkin? Matematiklar bu savolga javob izlashlari kerak, deb hisoblab, bu savolni chetlab o'tishni va uni muhandislarga topshirishni afzal ko'radilar. Muhandislarda faqat bitta imkoniyat qoldi - agar tananing tezlashtirilgan harakatini tugatgandan so'ng, doimiy kuchning ta'siri bilan birga keladigan bir tekis harakat fazasi boshlansa, moment uchun (131) tenglamani keltiring. tezlashtirilgandan tezlashtirilganga o'tish yagona harakat bu shaklda

(132)

Bu tenglamadagi strelka bu tenglamani integrallash natijasini emas, balki uning integral shaklidan soddalashtirilgan shaklga o'tish jarayonini bildiradi. Ushbu tenglamadagi kuch tananing impulsini noldan yakuniy qiymatga o'zgartirgan o'rtacha kuchga teng. Xullas, aziz matematiklar va nazariy fiziklar, sizning impulsingizning kattaligini aniqlash uchun usulingiz yo'qligi bizni kuchni aniqlash tartibini soddalashtirishga majbur qiladi va bu kuchning ta'sir qilish vaqtini aniqlash usulining yo'qligi bizni odatda shunday qiladi. umidsiz pozitsiyasi va biz tananing momentumini o'zgartirish jarayonini tahlil qilish uchun bir ifodadan foydalanishga majburmiz. Natijada, kuch qancha uzoq vaqt harakat qilsa, uning impulsi shunchalik katta bo'ladi. Bu uning ta'sir qilish muddati qanchalik qisqa bo'lsa, kuch impulsi shunchalik katta bo'ladi, degan uzoq vaqtdan beri mavjud g'oyaga aniq zid keladi.

Moddiy nuqtaning (kuch impulsi) tezlashtirilgan harakati davomida impulsining o‘zgarishi Nyuton kuchi va harakatga qarshilik kuchlari ta’sirida, mexanik qarshiliklar natijasida hosil bo‘ladigan kuchlar shaklida va inertsiya kuchi. Ammo Nyuton dinamikasi ko'pgina muammolarda inersiya kuchini e'tiborsiz qoldiradi va Mexanodinamikaning ta'kidlashicha, jismning tezlashtirilgan harakati paytida impulsning o'zgarishi Nyuton kuchining harakatga qarshilik kuchlaridan, shu jumladan jismdan ortiqcha bo'lishi tufayli sodir bo'ladi. inersiya kuchi.

Jism sekin harakatda harakat qilganda, masalan, vites o'chirilgan mashinada Nyuton kuchi bo'lmaydi va avtomobil impulsining o'zgarishi harakatga qarshilik kuchlarining harakatlanuvchi inertial kuchdan ortiqcha bo'lishi tufayli sodir bo'ladi. mashina sekin harakat qilganda.

Endi qanday qilib qayd etilgan "simfonik" matematik harakatlar natijalarini (128) sabab-oqibat munosabatlarining asosiy oqimiga qaytarishimiz mumkin? Faqat bitta yo'l bor - "kuch impulsi" va "zarba kuchi" tushunchalarining yangi ta'rifini topish. Buning uchun (132) tenglamaning ikkala tomonini t vaqtga bo'ling. Natijada biz ega bo'lamiz

. (133)

mV/t ifodasi moddiy nuqta yoki jism impulsining o‘zgarish tezligi (mV/t) ekanligiga e’tibor qarataylik. Agar V/t tezlanish ekanligini hisobga olsak, u holda mV/t jismning harakat miqdorini o‘zgartiruvchi kuchdir. Teng belgining chap va o'ng tomonidagi bir xil o'lcham bizga F kuchini zarba kuchi deb atash va uni belgi bilan, S impulsini esa zarba impulsi va uni belgi bilan belgilash huquqini beradi. Bu zarba kuchining yangi ta'rifiga olib keladi. Moddiy nuqta yoki jismga ta’sir etuvchi ta’sir kuchi moddiy nuqta yoki jism impulsining o‘zgarishining shu o‘zgarish vaqtiga nisbatiga teng.

Avtomobil tezligini noldan maksimalga o'zgartirgan zarba impulsini (134) hosil qilishda faqat Nyuton kuchi ishtirok etishiga alohida e'tibor qarataylik - , shuning uchun (134) tenglama butunlay Nyuton dinamikasiga tegishli. Tezlikning kattaligini eksperimental tarzda aniqlash tezlanishni aniqlashdan ancha oson bo'lgani uchun (134) formula hisob-kitoblar uchun juda qulaydir.

Bu noodatiy natija (134) tenglamadan kelib chiqadi.

Mexanodinamikaning yangi qonunlariga ko'ra, moddiy nuqta yoki jismning tezlashtirilgan harakati paytida kuch impulsining generatori Nyuton kuchi ekanligiga e'tibor qaratamiz. Bu nuqta yoki jism harakatining tezlashishini hosil qiladi, bunda avtomatik ravishda Nyuton kuchiga qarama-qarshi yo'naltirilgan inertial kuch paydo bo'ladi va Nyuton kuchi inertial kuchning ta'sirini engib o'tishi kerak, shuning uchun inersiya kuchi quyidagicha ifodalanishi kerak. (134) tenglamaning chap tomonidagi kuchlar muvozanati. Inersiya kuchi nuqta yoki jismning massasini u hosil qilgan sekinlashuvga ko‘paytirilganiga teng bo‘lgani uchun (134) tenglama hosil bo‘ladi.

(136)

Hurmatli matematiklar! U qanday shaklda bo'lganini ko'ring matematik model, ta'sirlangan tananing harakatini nol tezlikdan maksimal V gacha tezlashtiradigan zarba impulsini tavsiflovchi (11). Endi keling, uning SShG ning 2-energetika blokini ishga tushirgan zarba kuchiga teng bo'lgan zarba impulsini aniqlashda ishini tekshiramiz (120-rasm) va biz sizni foydasiz tenglama (132) bilan qoldiramiz. Taqdimotni murakkablashtirmaslik uchun (134) formulani hozircha yolg'iz qoldiramiz va kuchlarning o'rtacha qiymatlarini beradigan formulalardan foydalanamiz. Muayyan muammoni hal qilishga urinayotgan muhandisni qanday lavozimga qo'yganingizni ko'rasiz.

Nyuton dinamikasidan boshlaylik. Mutaxassislar 2-energetika bloki 14 m balandlikka ko'tarilganligini aniqladilar. U tortishish maydonida ko'tarilganligi sababli, h = 14 m balandlikda uning potentsial energiyasi teng bo'lib chiqdi.

va o'rtacha kinetik energiya teng edi

Guruch. 120. Falokatdan oldingi turbinali xonaning fotosurati

Kinetik (138) va potentsial (137) energiyalarning tengligidan kelib chiqadi o'rtacha tezlik quvvat blokini ko'tarish (121, 122-rasm)

Guruch. 121. Falokatdan keyin turbina xonasining fotoni

Mexanodinamikaning yangi qonunlariga ko'ra, quvvat blokining ko'tarilishi ikki fazadan iborat edi (123-rasm): birinchi faza OA - tezlashtirilgan ko'tarilish va ikkinchi faza AB - sekin ko'tarilish , , .

Ularning harakat vaqti va masofasi taxminan teng (). Keyin quvvat blokini ko'tarishning tezlashtirilgan fazasining kinematik tenglamasi quyidagicha yoziladi:

. (140)

Guruch. 122. Falokatdan keyin quvvat blokining qudug'i va quvvat blokining o'zi ko'rinishi

Birinchi bosqichda quvvat blokining ko'tarilish tezligining o'zgarishi qonuni shaklga ega

. (141)

Guruch. 123. Energiya blokining parvoz tezligi V o'zgarishining muntazamligi

Vaqtni (140) tenglamadan (141) tenglamaga almashtirsak, biz bor

. (142)

Birinchi bosqichda blokni ko'tarish vaqti (140) formula bo'yicha aniqlanadi.

. (143)

Keyin quvvat blokini 14 m balandlikka ko'tarishning umumiy vaqti ga teng bo'ladi. Quvvat bloki va qopqog'ining massasi 2580 tonnani tashkil qiladi. Nyuton dinamikasiga ko'ra, quvvat blokini ko'targan kuch tengdir

Hurmatli matematiklar! Biz simfonik matematik natijalaringizga amal qilamiz va 2-quvvat blokini ishga tushirgan zarba pulsini aniqlash uchun Nyuton dinamikasidan kelib chiqqan holda formulangizni (129) yozamiz.

va asosiy savolni so'rang: 2-quvvat blokini ishga tushirgan zarba pulsining davomiyligini qanday aniqlash mumkin????????????

Azizlarim!!! Esingizda bo'lsin, sizning hamkasblaringizning avlodlari tomonidan qora taxtalarga qancha bo'r yozilgan, talabalarga zarba impulsini qanday aniqlashni o'rgatishgan va hech kim har bir aniq holatda zarba impulsining davomiyligini qanday aniqlashni tushuntirmagan. Siz zarba zarbasining davomiyligi quvvat blokining tezligini noldan o'zgartirish vaqt oralig'iga teng, deb aytasiz, biz maksimal qiymat 16,75 m / s (139) ni qabul qilamiz. U (143) formulada va 0,84 s ga teng. Biz hozircha siz bilan rozimiz va zarba impulsining o'rtacha qiymatini aniqlaymiz

Darhol savol tug'iladi: nima uchun zarba impulsining kattaligi (146) Nyuton kuchidan 50600 tonnadan kam? Siz, aziz matematiklar, javobingiz yo'q. Keling, davom etaylik.

Nyuton dinamikasiga ko'ra, quvvat blokining ko'tarilishiga qarshilik ko'rsatadigan asosiy kuch tortishish edi. Ushbu kuch quvvat blokining harakatiga qarshi yo'naltirilganligi sababli, u tezlanishga teng bo'lgan sekinlashuvni hosil qiladi. erkin tushish. Keyin yuqoriga qarab uchayotgan quvvat blokiga ta'sir qiluvchi tortishish kuchi teng bo'ladi

Nyuton dinamikasi 50600 tonnalik Nyuton kuchining ta'siriga to'sqinlik qilgan boshqa kuchlarni hisobga olmaydi (144), va mexanodinamikada ta'kidlanishicha, quvvat blokining ko'tarilishiga teng inertial kuch ham qarshilik ko'rsatdi.

Darhol savol tug'iladi: quvvat blokining harakatida sekinlashuv miqdorini qanday topish mumkin? Nyuton dinamikasi jim, lekin mexanodinamika javob beradi: quvvat blokini ko'targan Nyuton kuchining ta'siri paytida unga qarshilik ko'rsatdi: tortishish kuchi va inersiya kuchi, shuning uchun kuchga ta'sir qiluvchi kuchlarning tenglamasi. o'sha paytdagi birlik quyidagicha yoziladi.

Nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

Nuqtaning massasi oʻzgarmas boʻlgani uchun uning tezlanishi dinamikaning asosiy qonunini ifodalovchi tenglamani koʻrinishda ifodalash mumkin.

Tenglama bir vaqtning o'zida nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqt hosilasi nuqta impulsi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

Keling, bu tenglamani integrallashtiramiz. Massani ko'rsating m, kuch ta'sirida harakatlanayotgan (15-rasm), hozirgi vaqtda mavjud t=0 tezlik va ayni paytda t 1-tezlik.

15-rasm

Keling, tenglikning ikkala tomonini ko'paytiramiz va ulardan olamiz aniq integrallar. Bu holda, vaqt o'tishi bilan integratsiya sodir bo'ladigan o'ng tomonda, integrallarning chegaralari 0 va bo'ladi. t 1 va chap tomonda, tezlik birlashtirilgan joyda, integral chegaralari tezlikning mos keladigan qiymatlari va . ning integralidan boshlab teng , natijada biz quyidagilarni olamiz:

.

O'ngdagi integrallar ta'sir qiluvchi kuchlarning impulslarini ifodalaydi. Shunday qilib, biz nihoyat ega bo'lamiz:

.

Tenglama nuqta momentumining o'zgarishi haqidagi teoremani yakuniy shaklda ifodalaydi: nuqta impulsining ma'lum bir vaqt oralig'idagi o'zgarishi bir xil vaqt oralig'ida nuqtaga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning impulslarining geometrik yig'indisiga teng ( guruch. 15).

Masalalarni yechishda vektor tenglamalar o‘rniga ko‘pincha proyeksiyalardagi tenglamalar qo‘llaniladi.

Eksa bo'ylab to'g'ri chiziqli harakat sodir bo'lganda Oh teorema bu tenglamalarning birinchisi bilan ifodalanadi.

9-misol. Moddiy massa nuqtasining harakat qonunini toping m, eksa bo'ylab harakatlanadi X moduldagi kuch doimiysi ta'sirida F(16-rasm) dastlabki sharoitlarda: , da .

16-rasm

Yechim. Proyeksiyadagi nuqtaning o‘qga harakati uchun differensial tenglama tuzamiz X: . Ushbu tenglamani integrallash orqali biz quyidagilarni topamiz: . Doimiy tezlik uchun dastlabki shartdan aniqlanadi va ga teng. Nihoyat

.

Bundan tashqari, v = ekanligini hisobga olgan holda dx/dt, biz differentsial tenglamaga kelamiz: , biz qo'lga kiritgan integratsiya

Konstanta nuqta koordinatasi uchun dastlabki shartdan aniqlanadi. Bu teng. Binobarin, nuqtaning harakat qonuni shaklga ega

10-misol. Og'irlik yuki R(17-rasm) kuch ta'sirida tinch holatdan silliq gorizontal tekislik bo'ylab harakatlana boshlaydi. F = kt. Yukning harakat qonunini toping.

17-rasm

Yechim. Keling, koordinatalar tizimining kelib chiqishini tanlaylik HAQIDA yukning dastlabki holatida va o'qni yo'naltiring X harakat yo'nalishi bo'yicha (17-rasm). Keyin dastlabki shartlar quyidagi shaklga ega bo'ladi: x(t = 0) = 0,v( t = 0) = 0. Kuchlar yukga ta'sir qiladi F,P va tekis reaksiya kuchi N. Bu kuchlarning o'qga proyeksiyalari X ma'nolarga ega Fx = F = kt, Rx = 0, Nx= 0, shuning uchun mos keladigan harakat tenglamasini quyidagicha yozish mumkin: . Ushbu differensial tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib, so'ngra integrallash orqali biz quyidagilarga erishamiz: v = gkt 2 /2P + C 1. Dastlabki ma'lumotlarni almashtirish ( v(0) = 0), biz buni topamiz C 1 = 0, va biz tezlikni o'zgartirish qonunini olamiz .

Oxirgi ifoda, o'z navbatida, differentsial tenglama bo'lib, biz moddiy nuqtaning harakat qonunini topamiz: . Bu yerga kiritilgan konstanta ikkinchi dastlabki shartdan aniqlanadi X(0) = 0. Buni tekshirish oson. Nihoyat

11-misol. Masofadagi gorizontal silliq tekislikda (17-rasmga qarang) dam olayotgan yukda a kelib chiqishidan boshlab, da harakat qila boshlaydi ijobiy yo'nalish boltalar x kuch F = k 2 (P/g)x, Qayerda R - yuk og'irligi. Yukning harakat qonunini toping.

Yechim. Ko'rib chiqilayotgan yukning (moddiy nuqta) o'qga proyeksiyada harakatlanish tenglamasi X

(1) tenglamaning boshlang'ich shartlari quyidagi ko'rinishga ega: x(t = 0) = a, v( t = 0) = 0.

(1) tenglamaga kiritilgan tezlikning vaqt hosilasini quyidagicha ifodalaymiz:

.

Ushbu ifodani (1) tenglamaga qo'yish va (1) ga kamaytirish P/g), olamiz

Oxirgi tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib, biz buni topamiz. Ikkinchisini birlashtirib, bizda: . Dastlabki shartlardan foydalanish , biz olamiz, va shuning uchun,

, . (2)

Kuch yukga eksa musbat yo'nalishida ta'sir qilganligi sababli X, keyin u xuddi shu yo'nalishda harakat qilishi kerakligi aniq. Shuning uchun (2) yechimda ortiqcha belgisi tanlanishi kerak. Keyinchalik ikkinchi ifodadagi (2) ni bilan almashtirib, yukning harakat qonunini aniqlash uchun differentsial tenglamani olamiz. Bu erdan, o'zgaruvchilarni ajratib, biz bor

.

Ikkinchisini birlashtirib, biz quyidagilarni topamiz: . Konstantani topgach, biz nihoyat olamiz

12-misol. To'p M ommaviy m(18-rasm) tortishish kuchi ta'sirida dastlabki tezliksiz tushadi. To'p tushganda, u qarshilikni boshdan kechiradi, qaerda – doimiy qarshilik koeffitsienti. To'pning harakat qonunini toping.

18-rasm

Yechim. Keling, koordinatalar tizimini to'pning joylashuv nuqtasida kelib chiqishi bilan tanishtiramiz t = 0, o'qni yo'naltirish da vertikal pastga (18-rasm). Differensial tenglama to'pning o'qga proyeksiyada harakati da keyin shaklga ega bo'ladi

To'p uchun dastlabki shartlar quyidagicha yoziladi: y(t = 0) = 0, v( t = 0) = 0.

(1) tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratish

va integratsiyalash, biz topamiz: , qaerda . Yoki doimiyni topgandan keyin

yoki . (2)

Bundan kelib chiqadiki, maksimal tezlik, ya'ni. da tezlik , ga teng.

Harakat qonunini topish uchun (2) tenglamadagi v ni bilan almashtiring dy/dt. Keyin, dastlabki shartni hisobga olgan holda olingan tenglamani integrallash, biz nihoyat topamiz

.

13-misol. Sferik shakli va massasi bo'yicha tadqiqot suv osti kemasi m= = 1,5×10 5 kg gorizontal tezlikka ega bo'lgan dvigatellar o'chirilgan holda sho'ng'iy boshlaydi v X 0 = 30 Xonim va salbiy suzuvchanlik R 1 = 0.01mg, Qayerda – Arximed suzuvchi kuchining vektor yig‘indisi Q va tortishish mg, qayiqda harakat qilish (20-rasm). Suvga chidamlilik kuchi , kg/s. Qayiqning harakat tenglamalarini va uning traektoriyasini aniqlang.

Ko‘rish: Maqola 14066 marta o'qildi

Pdf Til tanlang... Ruscha ukraincha inglizcha

Qisqacha ma'lumot

To'liq material tilni tanlagandan so'ng yuqorida yuklab olinadi

Harakat miqdori

Moddiy nuqtaning momenti - nuqta massasi va uning tezligi vektorining ko'paytmasiga teng vektor kattalik.

Impulsning o'lchov birligi (kg m / s).

Mexanik tizim impulsi - mexanik tizim impulsining geometrik yig'indisiga (bosh vektor) teng vektor kattalik butun tizim massasi va uning massa markazi tezligining mahsulotiga teng.

Agar tana (yoki tizim) uning massa markazi harakatsiz bo'ladigan tarzda harakat qilsa, u holda tananing harakat miqdori nolga teng bo'ladi (masalan, tananing massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida aylanishi). ).

Murakkab harakat holatida tizimning harakat miqdori massa markazi atrofida aylanayotganda harakatning aylanish qismini tavsiflamaydi. Ya'ni, harakat miqdori faqat tizimning translatsiya harakatini (massa markazi bilan birga) tavsiflaydi.

Impuls kuchi

Kuchning impulsi ma'lum vaqt davomida kuchning harakatini tavsiflaydi.

Cheklangan vaqt oralig'idagi kuch impulsi mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

(differensial shakllarda e ):

Moddiy nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtalarga ta'sir etuvchi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

(V integral shakli ):

Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi shu vaqt oralig‘ida nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlar impulslarining geometrik yig‘indisiga teng.

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema

(differensial shaklda ):

Tizim impulsining vaqt hosilasi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.

(integral shaklda ):

Ma'lum vaqt oralig'ida tizim impulsining o'zgarishi, bu vaqt oralig'ida tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlar impulslarining geometrik yig'indisiga teng.

Teorema aniq noma'lum ichki kuchlarni ko'rib chiqishdan chiqarib tashlashga imkon beradi.

Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema va massa markazining harakati haqidagi teorema ikkitadir. turli shakllarda bitta teorema.

Tizim impulsining saqlanish qonuni

1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizim momentumining vektori yo'nalish va kattalik bo'yicha doimiy bo'ladi.
2. Agar barcha ta'sir etuvchi tashqi kuchlarning har qanday ixtiyoriy o'qqa proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lsa, impulsning bu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir.

Xulosa:

1. Saqlanish qonunlari shuni ko'rsatadiki, ichki kuchlar tizimning umumiy harakat miqdorini o'zgartira olmaydi.
2. Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema mexanik tizimning aylanish harakatini emas, balki faqat translyatsion harakatini tavsiflaydi.

Misol keltiriladi: Ma'lum massali diskning burchak tezligi va o'lchami ma'lum bo'lsa, uning impulsini aniqlang.

Tishli uzatmani hisoblash misoli
Tishli uzatmani hisoblash misoli. Materialni tanlash, ruxsat etilgan kuchlanishlarni hisoblash, aloqa va bükme kuchini hisoblash amalga oshirildi.

Nurni egish masalasini yechish misoli
Misolda, ko'ndalang kuchlar va egilish momentlarining diagrammalari tuzilgan, xavfli uchastka topilgan va I-nur tanlangan. Muammo differensial bog'liqliklar yordamida diagrammalarni qurish tahlil qilindi, amalga oshirildi qiyosiy tahlil har xil kesmalar nurlar.

Milning burilish muammosini echish misoli
Vazifa - berilgan diametrda, materialda va ruxsat etilgan kuchlanishda po'lat milning mustahkamligini tekshirish. Yechish vaqtida momentlar, kesish kuchlanishlari va burilish burchaklarining diagrammalari tuziladi. Milning o'z vazni hisobga olinmaydi

Rodning kuchlanish-siqish masalasini yechish misoli
Vazifa - belgilangan ruxsat etilgan kuchlanishlarda po'lat barning mustahkamligini tekshirish. Yechish jarayonida diagrammalar tuziladi uzunlamasına kuchlar, normal kuchlanishlar va siljishlar. Rodning o'z vazni hisobga olinmaydi

Kinetik energiyaning saqlanish teoremasini qo'llash
Saqlanish teoremasi yordamida masalani yechishga misol kinetik energiya mexanik tizim

Berilgan harakat tenglamalari yordamida nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlash
Nuqtaning tezligi va tezlanishini aniqlashga oid masalani yechish misoli berilgan tenglamalar harakat

Tekis-parallel harakat paytida qattiq jism nuqtalarining tezliklari va tezlanishlarini aniqlash.
Nuqtalarning tezligi va tezlanishini aniqlashga oid masalani yechish misoli qattiq tekis-parallel harakatda

Yassi trussning panjaralarida kuchlarni aniqlash
Ritter usuli va tugunlarni kesish usuli yordamida tekis truss novdalarida kuchlarni aniqlash masalasini hal qilish misoli.

Burchak momentining o'zgarishi haqidagi teoremaning qo'llanilishi
Aniqlash uchun burchak momentining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, masalani yechish misoli burchak tezligi qo'zg'almas o'q atrofida aylanadigan jism.