Kompleks sonlarni kuchga ko'tarish. Kompleks sonlarni darajalarga ko'tarish Kompleks sonlarni darajalarga ko'tarish

Sevimli kvadratimizdan boshlaylik.

9-misol

Kompleks sonni kvadrat

Bu erda siz ikki yo'l bilan borishingiz mumkin, birinchi usul - darajani omillar mahsuloti sifatida qayta yozish va polinomlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq raqamlarni ko'paytirish.

Ikkinchi usul - qisqartirilgan ko'paytirish uchun taniqli maktab formulasidan foydalanish:

Murakkab son uchun o'z qisqartirilgan ko'paytirish formulasini olish oson:

Xuddi shunday formulani farqning kvadrati uchun ham, yig'indining kubi va farqning kubi uchun ham olish mumkin. Ammo bu formulalar murakkab tahlil muammolari uchun ko'proq mos keladi. Agar murakkab sonni, masalan, 5, 10 yoki 100 darajaga ko'tarish kerak bo'lsa-chi? Bunday nayrangni algebraik shaklda bajarish deyarli mumkin emasligi aniq, masalan, qanday qilib hal qilish haqida o'ylab ko'ring;

Va bu erda murakkab sonning trigonometrik shakli yordamga keladi va shunday deb ataladi Moivre formulasi: Agar kompleks son trigonometrik ko'rinishda ifodalangan bo'lsa, u tabiiy darajaga ko'tarilganda, quyidagi formula to'g'ri keladi:

Bu shunchaki g'alati.

10-misol

Kompleks son berilgan, toping.

Nima qilish kerak? Avval bu raqamni trigonometrik shaklda ko'rsatishingiz kerak. Diqqatli o'quvchilar 8-misolda biz buni allaqachon qilganimizni payqashdi:

Keyin Moivre formulasiga ko'ra:

Xudo saqlasin, siz kalkulyatorga ishonishingiz shart emas, lekin ko'p hollarda burchakni soddalashtirish kerak. Qanday qilib soddalashtirish kerak? Majoziy ma'noda, keraksiz burilishlardan xalos bo'lishingiz kerak. Bir inqilob radian yoki 360 daraja. Keling, bahsda qancha burilish borligini bilib olaylik. Qulaylik uchun biz kasrni to'g'ri qilamiz:, shundan so'ng siz bitta inqilobni kamaytirishingiz mumkinligi aniq ko'rinadi:. Umid qilamanki, bu bir xil burchak ekanligini hamma tushunadi.

Shunday qilib, yakuniy javob quyidagicha yoziladi:

Ko'rsatkichni ko'rsatish masalasining alohida o'zgarishi sof xayoliy sonlarni darajaga ko'tarishdir.

12-misol

Kompleks sonlarni kuchga ko'taring

Bu erda ham hamma narsa oddiy, asosiysi mashhur tenglikni eslashdir.

Agar xayoliy birlik teng quvvatga ko'tarilsa, u holda yechim texnikasi quyidagicha bo'ladi:

Agar xayoliy birlik g'alati quvvatga ko'tarilsa, biz teng quvvatga ega bo'lgan holda bitta "chimchilab" olamiz:

Agar minus (yoki biron bir haqiqiy koeffitsient) bo'lsa, avval uni ajratish kerak:

Kompleks sonlardan ildizlarni ajratib olish. Murakkab ildizli kvadrat tenglama

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Ildizni chiqarib bo'lmaydimi? Agar biz haqiqiy raqamlar haqida gapiradigan bo'lsak, unda bu haqiqatan ham mumkin emas. Kompleks sonlarning ildizini ajratib olish mumkin! Aniqroq aytganda, ikki ildiz:

Ildizlar haqiqatan ham tenglamaning yechimi topildimi? Keling, tekshiramiz:

Bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa.

Qisqartirilgan belgi ko'pincha ishlatiladi, ikkala ildiz ham "bir xil taroq" ostida bir qatorda yoziladi: .

Bu ildizlar ham deyiladi konjugat murakkab ildizlar.

O'ylaymanki, hamma manfiy raqamlardan kvadrat ildizlarni qanday chiqarishni tushunadi: ,,,, va hokazo. Barcha holatlarda bu chiqadi ikki konjugat murakkab ildizlar.

13-misol

Kvadrat tenglamani yechish

Diskriminantni hisoblaymiz:

Diskriminant manfiy va tenglama haqiqiy sonlarda yechimga ega emas. Ammo ildizni murakkab sonlarda chiqarish mumkin!

Taniqli maktab formulalaridan foydalanib, biz ikkita ildiz olamiz: - konjugat murakkab ildizlar

Shunday qilib, tenglama ikkita konjugatli kompleks ildizga ega:,

Endi siz har qanday kvadrat tenglamani echishingiz mumkin!

Va umuman olganda, "n" darajali polinomli har qanday tenglama teng ildizlarga ega, ularning ba'zilari murakkab bo'lishi mumkin.

O'zingiz hal qilish uchun oddiy misol:

14-misol

Tenglamaning ildizlarini toping va kvadrat binomni koeffitsient qiling.

Faktorizatsiya yana standart maktab formulasi bo'yicha amalga oshiriladi.

Sevimli kvadratimizdan boshlaylik.

9-misol

Kompleks sonni kvadrat

Bu erda siz ikki yo'l bilan borishingiz mumkin, birinchi usul - darajani omillar mahsuloti sifatida qayta yozish va polinomlarni ko'paytirish qoidasiga muvofiq raqamlarni ko'paytirish.

Ikkinchi usul - qisqartirilgan ko'paytirish uchun taniqli maktab formulasidan foydalanish:

Murakkab son uchun o'z qisqartirilgan ko'paytirish formulasini olish oson:

Bu shunchaki g'alati.

10-misol

Kompleks son berilgan, toping.

Nima qilish kerak? Avval bu raqamni trigonometrik shaklda ko'rsatishingiz kerak. Diqqatli o'quvchilar 8-misolda biz buni allaqachon qilganimizni payqashdi:

Keyin Moivre formulasiga ko'ra:

Shunday qilib, yakuniy javob quyidagicha yoziladi:

Ko'rsatkichni ko'rsatish masalasining alohida o'zgarishi sof xayoliy sonlarni darajaga ko'tarishdir.

12-misol

Kompleks sonlarni kuchga ko'taring

Bu erda ham hamma narsa oddiy, asosiysi mashhur tenglikni eslashdir.

Agar xayoliy birlik teng quvvatga ko'tarilsa, u holda yechim texnikasi quyidagicha bo'ladi:

Agar xayoliy birlik g'alati quvvatga ko'tarilsa, biz teng quvvatga ega bo'lgan holda bitta "chimchilab" olamiz:

Agar minus (yoki biron bir haqiqiy koeffitsient) bo'lsa, avval uni ajratish kerak:

Kompleks sonlardan ildizlarni ajratib olish. Murakkab ildizli kvadrat tenglama

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Ildizni chiqarib bo'lmaydimi? Agar biz haqiqiy raqamlar haqida gapiradigan bo'lsak, unda bu haqiqatan ham mumkin emas. Kompleks sonlarning ildizini ajratib olish mumkin! Aniqroq aytganda, ikki ildiz:

Ildizlar haqiqatan ham tenglamaning yechimi topildimi? Keling, tekshiramiz:

Bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa.

Qisqartirilgan belgi ko'pincha ishlatiladi, ikkala ildiz ham "bir xil taroq" ostida bir qatorda yoziladi: .

Bu ildizlar ham deyiladi konjugat murakkab ildizlar.

O'ylaymanki, hamma manfiy raqamlardan kvadrat ildizlarni qanday chiqarishni tushunadi: ,,,, va hokazo. Barcha holatlarda bu chiqadi ikki konjugat murakkab ildizlar.

Kalkulyatordan foydalanish

Ifodani baholash uchun baholash uchun satrni kiritishingiz kerak. Raqamlarni kiritishda butun va kasr qismlar orasidagi ajratuvchi nuqta hisoblanadi. Qavslardan foydalanishingiz mumkin. Kompleks sonlar ustidagi amallar koʻpaytirish (*), boʻlish (/), qoʻshish (+), ayirish (-), darajaga chiqarish (^) va boshqalar. Kompleks sonlarni yozish uchun ko'rsatkichli va algebraik shakllardan foydalanish mumkin. Xayoliy birlikni kiriting i ko'paytirish belgisisiz mumkin, boshqa hollarda, ko'paytirish belgisi, masalan, qavslar orasida yoki son va doimiy o'rtasida talab qilinadi; Konstantalardan ham foydalanish mumkin: p soni pi, ko'rsatkich sifatida kiritiladi e, indikatordagi har qanday ifodalar qavslar bilan o'ralgan bo'lishi kerak.

Hisoblash uchun misol qatori: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), bu \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\] ifodasiga mos keladi

Kalkulyator doimiylar, matematik funktsiyalar, qo'shimcha operatsiyalar va murakkabroq ifodalardan foydalanishi mumkin, siz ushbu saytdagi kalkulyatorlardan foydalanishning umumiy qoidalari sahifasida ushbu xususiyatlar bilan tanishishingiz mumkin;

Sayt qurilmoqda, ba'zi sahifalar mavjud bo'lmasligi mumkin.