O'sha to'q sariq plastik ka-ta-fo-sizni eslang - ra-zha-te-lidan yorug'lik, ve-lo-si-ped-no-ning spikerlariga biriktirilgan-la-yu-schi-e-sya. ko-le-sa ketasizmi? Ka-ta-fotni ko-le-saning eng chetiga mahkamlang va uning tra-ek-to-ri-eyiga ergashing. Olingan egri chiziqlar sikloidlar oilasining tepasida joylashgan.

Shu bilan birga, ko-le-so tsiklning pro-dan-a-aylanasi (yoki doirasi) deb ataladi.

Ammo asrimizga qaytib, zamonaviyroq texnologiyaga o'tamiz. Yo'lda ka-mu-shek qulab tushdi, u ko-le-sa oqimiga yopishib qoldi. G'ildirak bilan bir necha doira aylantirib, oqimdan sakrab chiqsangiz, tosh qaerga ketadi? Mototsiklning o'ng tomonidagi harakatiga qarshimi yoki o'ng tomondami?

Ma'lumki, tananing erkin harakati keyinchalik u harakat qilgan traektoriyaga boradigan yo'lda. Tsikl-o-i-degacha bo'lgan ka-sa-tel-naya har doim harakat yo'nalishi bo'yicha o'ng tomonda bo'lib, yuqoridagi ku nuqtasidan atrofdagi hududdan o'tadi. Harakatning o'ng yo'nalishiga ko'ra, bizning ka-mu-shek ham bo'ylab harakatlanadi.

Bolaligingizda orqa qanotsiz velosipedda ko'lmaklardan qanday o'tganingizni eslaysizmi? Sizning orqangizdagi ho'l chiziq - bu endigina re-zul -ta-ta olganligi haqidagi hayot kutishining tasdig'idir.

17-asr tsiklning asridir. Eng yaxshi olimlar uning ajoyib xususiyatlarini o'rganishdi.

Qandaydir tra-ec-to-ria qisqa vaqt ichida tortishish kuchi ta'sirida harakatlanadigan tanani bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga olib keladi? Bu endi va-ri-a-tsi-on-noe-use- raqamiga ega bo'lgan o'sha na-u-kining birinchi vazifalaridan biri edi.

Mi-ni-mi-zi-ro-vat (yoki max-si-mi-zi-ro-vat) sizda turli xil narsalar bo'lishi mumkin - yo'l uzunligi, tezligi, vaqti. Za-da-che-da bra-hi-sto-khron mi-ni-mi-zi-ru-et-sya haqida vaqt keldi (nima jahannam-ki-va-et-sya sa-mime on -name: yunoncha brchistos - eng kam, chrós - vaqt).

Aqlga keladigan birinchi narsa - to'g'ri chiziqli tra-ek-to-ria. Ha, shuningdek, berilgan nuqtaning tepasida joylashgan qaytish nuqtasini ko'rib chiqamiz. Va Ga-li-leo Ga-li-le-emdan keyin - bizning nuqtalarimizni bog'laydigan to'rtta vertikal doira.

Nima uchun Ga-li-leo Ga-li-lei chorak-vertikal doiraga qaradi va bu le time-me-ni tra-ek-to-ria nasli bo'yicha eng yaxshisi deb o'yladi? U unga buzilganlarini yozdi va havolalar soni ko'paygan sari vaqt keyinroq qisqarganini payqadi. Bu yerdan Ga-li-ley tabiiy ravishda aylanaga o'tdi, lekin bu tra-ek -ria barcha mumkin bo'lganlar orasida eng yaxshisi degan noto'g'ri xulosaga keldi. Ko'rib turganimizdek, eng yaxshi tra-ek-to-ri-ey - bu sikl-o-i-da.

Berilgan ikkita nuqta orqali yuqori nuqtada tsiklning qaytish nuqtasi bo'lishi sharti bilan bitta tsikl yaratish mumkin. Va hatto tsiklik ikkinchi nuqtadan o'tish uchun onaning tagiga kelganda ham, u eng tez tushish haqida qichqiradi!

Tsikl-lo-i-da bilan bog'langan yana bir chiroyli za-da-cha - ta-u-to-chron haqida za-da-cha. Yunon tilidan tarjima qilingan tís «xuddi shunday», «vaqt» degan ma'noni anglatadi.

Biz tsikllar shaklida pro-fi-lem bilan uchta yakkama-yakka tepalikni qilamiz, shunda tepaliklarning uchlari tekislanadi va tsiklning yuqori qismiga joylashadi. Turli xil siz-so-sizlar uchun uchta bo-bah o'rnatdik va keling, davom etamiz. Hamma bir kun kelib tushishi ajablanarli haqiqat!

Qishda siz hovlingizda muzli slaydni qurishingiz va bu mulkni jonli ravishda tekshirishingiz mumkin.

Har qanday-bo-go-startdan boshlab, shunday-a-egri chiziqqa-qarashda-bu-chrono-haqida-ha-cha-uchun- Lekin oxir-oqibat, vaqt berilgan nuqtaga tushish bir xil bo'ladi.

Kristian Xyuy-gens surunkali bo'lgan yagona narsa sikl-o-i-da ekanligini biladi.

Albatta, Gay-gen-sa muzli tog'lar bo'ylab tushishni in-t-re-so-val qilmaydi. O'sha paytda olimlarning san'atga bo'lgan muhabbati unchalik katta emas edi. Ha-bu-biz o'rganilganmiz, o'sha davrlarning hayotidan va tarafdorlari uchun. 17-asrda uzoq masofali dengiz sayohatlari allaqachon yakunlangan. Shi-ro-tu dengizlari allaqachon yuztagacha aniq aniqlashga muvaffaq bo'lgan, ammo ajablanarlisi shundaki, ular uzoq vaqt davomida hamma narsani aniqlay olmadilar. Shi-ro-you-dan oldingi la-gav-shih usullaridan biri aniq chro-no-meth ariqning mavjudligiga asoslangan edi.

Ma-yat-no-yangi soatlar yasashni o'ylagan birinchi odam Ga-li-leo Ga-li-ley edi. Biroq, u ularni qayta yaratishni boshlagan paytda, u allaqachon qarib qolgan, u ko'r va qolgan bir yilda olim o'z hayotini yakunlashga ulgurmaydi. U buni o'g'liga aytadi, lekin u ikkilanib, o'limga yaqin bo'lib, o'tirishga vaqt topolmaydi -------------------------- pastga. Keyingi mashhur shaxs Kristian Gyuygens edi.

U ko-le-ba-niya davri odatda ma-yat-ni-ka, ras-smat-ri-vav-she-go-sya Ga-li- le-em, za-vis-sit dan po-lo-zhe-niyaning boshlanishi, ya'ni. dan am-pl-tu-dy. Vaqt unga bog'liq bo'lmasligi uchun yuk harakatining traektoriyasi qanday bo'lishi kerakligi haqida o'ylab -se-lo dan am-pl-tu-dy, u bu-u-to-chron haqida for-da-chu qaror qiladi. Lekin qanday qilib yukni tsiklik harakatga keltira olasiz? Teo-re-ti-che-re-tadqiqotlarini amaliy jihatdan-ti-che-samolyotga tarjima qilish, Guy-gens de-la-et “cheeks” , qaysi on-ma-you-va-et-sya ve- rev-ka ma-yat-no-ka, va yana bir nechta ma-te-ma-ti-che -skih vazifalarini hal qiladi. Uning ta'kidlashicha, "yonoqlar" bir xil tsiklning profiliga ega bo'lishi kerak va shu bilan evo-lyu-bu tsikl-lo-i-dy bir xil pa-ra-met-ra bilan tsikl-lo-i-da ekanligini ko'rsatadi. -mi.

Bundan tashqari, taklif qilingan Gay-gen-so'm qurilishi sikl-lo-va-masofa-lekin-no-go pos-vo-la-et bo'yicha -hisoblash sikllari uzunligi. Agar uzunligi aylanadan siz aytayotgan narsaga teng bo'lgan ko'k nuqta bo'lsa, ipni iloji boricha egib oling, so'ngra uning oxiri "yonoqlar" va tsiklik-and-dy nuqtada bo'ladi. -tra-cross ek-to-rii, ya'ni. tsikl-va-dy-"yonoqlari" ning yuqori qismida. Bu ar-ki sikl-o-i-dy uzunligining yarmi bo'lganligi sababli, to'liq uzunlik sakkizta ra-di-u-sam pro-iz-vo-dyad doirasiga teng.

Xristian-an Huy-gens tsiklik va uzoq ma-yat-nik qildi va u bilan soatlar dengizda pro-ho-di-li-is-py-ta-niya Pu-te-she-stvi- ha, lekin bunga ko'nikmadim. Biroq, bu maqsadlar uchun odatiy ma-yat-nikli soatlar bilan bir xil.

Nega, yakkama-yakka, biz bilan odatda tomirli ma-yat-hech kim o'rtasida hali ham soatlab mo'ynali pastlik bor? Agar qarasangiz, qizil kabi kichik nuqsonlar bilan, "yonoqlar" tsiklik va uzoqqa, lekin uzoqqa deyarli ta'sir qilmaydi. Shunga ko'ra, kichik og'ishlar bilan tsiklik va dumaloq harakat deyarli bir xil, ha, ha.

5. Tsikloidning parametrik tenglamasi va tenglamasi Dekart koordinatalari

Faraz qilaylik, bizga markazi A nuqtada bo'lgan a radiusli aylana hosil qilgan sikloid berilgan.

Agar nuqta o'rnini belgilovchi parametr sifatida prokat boshida AO vertikal holatda bo'lgan radius aylana olgan t=∟NDM burchakni tanlasak, u holda M nuqtaning x va y koordinatalari bo'ladi. quyidagicha ifodalansin:

x= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Shunday qilib parametrik tenglamalar sikloidlar quyidagi shaklga ega:

t -∞ dan +∞ ga o'zgarganda, bu rasmda ko'rsatilgandek cheksiz sonli novdalardan iborat egri chiziq olinadi.

Shuningdek, sikloidning parametrik tenglamasidan tashqari, uning Dekart koordinatalarida ham tenglamasi mavjud:

Bu yerda r sikloidni hosil qiluvchi aylana radiusi.

6. Sikloidning qismlari va sikloid hosil qilgan figuralarni topishga oid masalalar

Vazifa № 1. Tenglamasi parametrik berilgan sikloidning bir yoyi bilan chegaralangan figuraning maydonini toping.

va Ox o'qi.

Yechim. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz integrallar nazariyasidan bilgan faktlardan foydalanamiz, xususan:

Egri sektorning maydoni.

[a, b] da aniqlangan ba'zi r = r(s) funksiyani ko'rib chiqaylik.

s 0 ∈ [a, b] r 0 = r(s 0) ga mos keladi va shuning uchun M 0 (s 0 , r 0) nuqtasi, bu erda s 0,

r 0 - nuqtaning qutb koordinatalari. Agar s o'zgarsa, butun [a, b] bo'ylab "o'tib ketadi", keyin o'zgaruvchan nuqta M berilgan ba'zi AB egri chizig'ini tasvirlaydi

tenglama r = r(s).

Ta'rif 7.4. Egri chiziqli sektor ikki nurlar s = a, s = b va qutbda aniqlangan AB egri chizig'i bilan chegaralangan figuradir.

r = r(s), a ≤ s ≤ b tenglama bo‘yicha koordinatalar.

Quyidagi gaplar haqiqat

Teorema. Agar funktsiya r(s) > 0 bo'lsa va [a, b] da uzluksiz bo'lsa, u holda maydon

egri chiziqli sektor quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bu teorema avvalroq mavzuda isbotlangan edi aniq integral.

Yuqoridagi teoremaga asoslanib, tenglamasi x= a (t – sin t), y= a (1) parametrik parametrlari bilan berilgan sikloidning bir yoyi bilan chegaralangan figuraning maydonini topish muammomiz. – cos t) va Ox o‘qi quyidagi yechimga keltiriladi.

Yechim. egri tenglamadan dx = a(1−cos t) dt. Tsikloidning birinchi yoyi t parametrining 0 dan 2p gacha o'zgarishiga mos keladi. Demak,

Vazifa № 2. Tsikloidning bir yoyi uzunligini toping

Quyidagi teorema va uning natijasi ham integral hisobda o‘rganilgan.

Teorema. Agar AB egri chizig'i y = f(x) tenglama bilan berilgan bo'lsa, bu erda f(x) va f ' (x) uzluksiz bo'lsa, AB to'g'rilanadigan va

Natija. AB parametrik berilgan bo'lsin

L AB = (1)

[a, b] da x(t), y(t) funksiyalar uzluksiz differentsiallansin. Keyin

(1) formulani quyidagicha yozish mumkin

Bu integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirishni amalga oshiramiz x = x(t), keyin y’(x)= ;

dx= x’(t)dt va shuning uchun:

Endi muammomizni hal qilishga qaytaylik.

Yechim. Bizda bor va shuning uchun

Vazifa № 3. Tsikloidning bir yoyi aylanishidan hosil bo'lgan S sirt maydonini topishimiz kerak

L=((x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – xarajat), 0≤ t ≤ 2p)

Integral hisobda segmentda parametrik ravishda aniqlangan egri chiziqning x o'qi atrofida aylanish jismining sirt maydonini topish uchun quyidagi formula mavjud: x=ph(t), y=ps(t) (t) 0 ≤t ≤t 1)

Ushbu formulani sikloid tenglamamizga qo'llasak, biz quyidagilarni olamiz:

Vazifa № 4. Tsikloid yoyni aylantirish natijasida olingan jismning hajmini toping

Ox o'qi bo'ylab.

Integral hisoblashda hajmlarni o'rganishda quyidagi izoh mavjud:

Agar chegaralovchi egri chiziq bo'lsa kavisli trapezoid parametrik tenglamalar bilan berilgan va bu tenglamalardagi funksiyalar o‘zgaruvchining ma’lum bir integraldagi o‘zgarishi haqidagi teorema shartlarini qanoatlantirsa, trapetsiyaning Ox o‘qi atrofida aylanish jismining hajmi formula bo‘yicha hisoblanadi.

Keling, kerakli hajmni topish uchun ushbu formuladan foydalanamiz.

Muammo hal qilindi.

Xulosa

Shunday qilib, ushbu ish jarayonida sikloidning asosiy xususiyatlari aniqlandi. Biz sikloidni qanday qurishni ham o'rgandik, men bilib oldim geometrik ma'no sikloidlar. Ma'lum bo'lishicha, sikloid nafaqat matematikada, balki texnologik hisoblar va fizikada ham juda katta amaliy qo'llanmalarga ega. Ammo sikloidning boshqa afzalliklari bor. U 17-asr olimlari tomonidan egri chiziqlarni o'rganish usullarini ishlab chiqishda qo'llanilgan - oxir-oqibat differentsial va integral hisoblarning ixtirosiga olib kelgan usullar. Bu, shuningdek, Nyuton, Leybnits va ularning birinchi tadqiqotchilari yangi kuchli kuchlarning kuchini sinab ko'rgan "tegishli toshlardan" biri edi. matematik usullar. Nihoyat, braxistoxron muammosi hozirgi fiziklar uchun juda zarur bo'lgan o'zgaruvchanlik hisobini ixtiro qilishga olib keldi. Shunday qilib, sikloid matematika tarixidagi eng qiziqarli davrlardan biri bilan uzviy bog'liq bo'lib chiqdi.

Adabiyot

1. Berman G.N. Tsikloid. – M., 1980 yil

2. Verov S.G. Brachistochrone yoki sikloidning boshqa siri // Kvant. – 1975. - 5-son

3. Verov S.G. Tsikloid sirlari // Kvant. – 1975. - 8-son.

4. Gavrilova R.M., Govoruxina A.A., Kartasheva L.V., Kostetskaya G.S., Radchenko T.N. Aniq integralning qo'llanilishi. Ko'rsatmalar Va individual topshiriqlar 1-kurs talabalari uchun Fizika fakulteti. - Rostov n/a: UPL RSU, 1994 yil.

5. Gindikin S.G. Tsikloidning yulduz yoshi // Kvant. – 1985. - 6-son.

6. Fikhtengolts G.M. Differensial va integral hisoblash kursi. T.1. – M., 1969 yil

Ushbu chiziq "konvert" deb ataladi. Har bir egri chiziq uning tangenslarining konvertidir.

Materiya va harakat va ular tashkil etuvchi usul har kimga haqiqatni bilishda o'z imkoniyatlarini ro'yobga chiqarish imkonini beradi. Tafakkurning dialektik-materialistik shaklini rivojlantirish metodologiyasini ishlab chiqish va shunga o'xshash bilish usulini o'zlashtirish inson qobiliyatlarini rivojlantirish va amalga oshirish muammosini hal qilish yo'lidagi ikkinchi qadamdir. Fragment XX Imkoniyatlar...

Bunday holatda nevrasteniya rivojlanishi mumkin - nevroz, uning klinik ko'rinishi astenik holatdir. Nevrasteniya holatida ham, nevrastenik psixopatiyaning dekompensatsiyasi holatida ham aqliy (psixologik) himoyaning mohiyati qiyinchiliklardan vegetativ disfunktsiyalar bilan asabiy zaiflikka chekinishda namoyon bo'ladi: yoki odam ongsiz ravishda hujumga ko'proq "kurashadi". ..

Har xil turlar faoliyat; rivojlanish fazoviy tasavvur va fazoviy tasvirlar, majoziy, fazoviy, mantiqiy, mavhum fikrlash maktab o'quvchilari; turli amaliy masalalarni yechish uchun geometrik-grafik bilim va ko'nikmalarni qo'llash qobiliyatini rivojlantirish; bosqichlarning mazmuni va ketma-ketligi bilan tanishish loyiha faoliyati texnik va ... sohasida

Yoylar. Spirallar ham yopiq egri chiziqlarning involventlari, masalan, aylana involventi. Ayrim spirallarning nomlari qutb tenglamalarining dekart koordinatalaridagi egri chiziqlar tenglamalari bilan oʻxshashligi bilan beriladi, masalan: · parabolik spiral (a - r)2 = bj, · giperbolik spiral: r = a/j. · Rod: r2 = a/j · si-ci-spiral, parametrik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega: , )