Paralelogramma ta'rifi nima. Paralelogramma teoremalari

Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakdir.

Bu ta'rif allaqachon yetarli, chunki parallelogrammaning qolgan xossalari undan kelib chiqadi va teoremalar ko'rinishida isbotlanadi.

Paralelogrammaning asosiy xususiyatlari:
parallelogramma - qavariq to'rtburchak;
Parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari bor, ular juftlikda teng;
Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar juftlikda teng;

Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi.

Paralelogramma - qavariq to'rtburchak Avval bu teoremani isbotlaylik parallelogramma qavariq to'rtburchakdir

. Ko'pburchak qavariq bo'ladi, agar uning qaysi tomoni to'g'ri chiziqqa cho'zilgan bo'lsa, uning boshqa barcha tomonlari shu to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'ladi.

ABCD parallelogrammasi berilsin, bunda AB CD uchun, BC esa AD uchun qarama-qarshi tomondir. Keyin parallelogramma ta'rifidan AB || kelib chiqadi CD, BC || A.D. Parallel chiziqlar yo'q umumiy nuqtalar

, ular kesishmaydi. Bu shuni anglatadiki, CD AB ning bir tomonida joylashgan. BC segmenti AB segmentining B nuqtasini CD segmentining C nuqtasi bilan, AD segmenti esa boshqa AB va CD nuqtalarini bog‘laganligi sababli, BC va AD segmentlari ham CD yotgan AB chizig‘ining bir tomonida yotadi. Shunday qilib, barcha uch tomon - CD, BC, AD - AB ning bir tomonida yotadi.

Xuddi shunday, parallelogrammning boshqa tomonlariga nisbatan qolgan uch tomoni bir tomonda yotishi isbotlangan.

Qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng Paralelogrammaning xossalaridan biri shundaki Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar va qarama-qarshi burchaklar juftlikda tengdir

. Misol uchun, agar ABCD parallelogrammasi berilgan bo'lsa, unda u AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D ga ega. Bu teorema quyidagicha isbotlangan.

Parallelogramma to'rtburchakdir. Bu uning ikkita diagonali borligini anglatadi. Paralelogramma qavariq to'rtburchak bo'lgani uchun ularning har biri uni ikkita uchburchakka ajratadi. ABCD parallelogrammasida AC diagonalini chizish orqali olingan ABC va ADC uchburchaklarini ko'rib chiqing.

Bu uchburchaklarda AB tomoni CD tomoniga, BC tomoni esa AD ga mos keladi. Shuning uchun AB = CD va BC = AD.

B burchagi D burchagiga to'g'ri keladi, ya'ni ∠B = ∠D. Paralelogrammaning A burchagi ikki burchakning yig'indisi - ∠BAC va ∠CAD. C burchagi ∠BCA va ∠ACD ga teng. Burchak juftlari bir-biriga teng bo'lgani uchun ∠A = ∠C bo'ladi.

Shunday qilib, parallelogrammada qarama-qarshi tomonlar va burchaklar teng ekanligi isbotlangan.

Diagonallar yarmiga bo'lingan

Paralelogramma qavariq toʻrtburchak boʻlgani uchun uning ikkita diagonali bor va ular kesishadi. ABCD parallelogrammasi berilsin, uning AC va BD diagonallari E nuqtada kesishsin. Ular tomonidan tuzilgan ABE va CDE uchburchaklarini ko'rib chiqaylik.

Bu uchburchaklarning AB va CD tomonlari parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlariga teng. ABE burchagi CDE burchagiga teng, chunki AB va CD parallel chiziqlari bilan ko'ndalang yotadi. Xuddi shu sababga ko'ra, ∠BAE = ∠DCE. Bu ikki burchakda ∆ABE = ∆CDE va ular orasidagi tomonni bildiradi.

AEB va CED burchaklari vertikal va shuning uchun ham bir-biriga teng ekanligini ham sezishingiz mumkin.

ABE va CDE uchburchaklari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, ularning barcha mos keladigan elementlari tengdir. Birinchi uchburchakning AE tomoni ikkinchisining CE tomoniga to'g'ri keladi, bu AE = CE degan ma'noni anglatadi. Xuddi shunday BE = DE. Teng segmentlarning har bir jufti parallelogrammaning diagonalini tashkil qiladi. Shunday qilib, bu isbotlangan Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'linadi.

Parallelogramma qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakdir. Paralelogrammning maydoni uning asosi (a) va balandligi (h) ko'paytmasiga teng. Bundan tashqari, uning maydonini ikki tomon va burchak orqali va diagonallar orqali topishingiz mumkin.

Paralelogrammaning xossalari

1. Qarama-qarshi tomonlar bir xil

Avvalo, diagonalni chizamiz $AC$ . Biz ikkita uchburchakni olamiz: $ABC$ va $ADC$.

$ABCD$ parallelogramm boʻlgani uchun quyidagi toʻgʻri boʻladi:

$AD || BC \O'ng strelka \burchak 1 = \2 burchak$ ko'ndalang yotish kabi.

$AB || CD \O'ng strelka \burchak3 = \burchak 4$ ko'ndalang yotish kabi.

Shuning uchun (ikkinchi mezon bo'yicha: va $AC$ keng tarqalgan).

Va bu degani $\uchburchak ABC = \uchburchak ADC$, keyin $AB = CD$ va $AD = BC$ .

2. Qarama-qarshi burchaklar bir xil

Dalilga ko'ra xususiyatlari 1 buni bilamiz $\burchak 1 = \burchak 2, \burchak 3 = \burchak 4$. Shunday qilib, qarama-qarshi burchaklar yig'indisi: $\burchak 1 + \burchak 3 = \burchak 2 + \burchak 4$. Shuni hisobga olib $\uchburchak ABC = \uchburchak ADC$ biz $\ burchak A = \ burchak C $ , \ (\ burchak B = \ burchak D \) olamiz.

3. Diagonallar kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'linadi

tomonidan mulk 1 qarama-qarshi tomonlar bir xil ekanligini bilamiz: $AB = CD$ . Yana bir bor, ko'ndalang yotgan teng burchaklarga e'tibor bering.

Shunday qilib, bu aniq $\uchburchak AOB = \uchburchak COD$ uchburchaklar tengligining ikkinchi mezoniga ko'ra (ikki burchak va ular orasidagi tomon). Ya'ni, $BO = OD$ (burchaklarga qarama-qarshi $\burchak 2$ va $\burchak 1$ ) va $AO = OC$ (burchaklarga qarama-qarshi $\burchak 3$ va $ \ burchak 4$ mos ravishda).

Paralelogramma belgilari

Agar muammoingizda faqat bitta xususiyat mavjud bo'lsa, unda bu raqam parallelogramma bo'lib, siz ushbu raqamning barcha xususiyatlaridan foydalanishingiz mumkin.

Yaxshiroq yodlash uchun parallelogramma belgisi quyidagi savolga javob berishiga e'tibor bering - "Qanday bilish mumkin?". Ya'ni, berilgan raqam parallelogramm ekanligini qanday aniqlash mumkin.

1. Ikki tomoni teng va parallel boʻlgan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi

$AB = CD$; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- parallelogramm.

Keling, batafsil ko'rib chiqaylik. Nima uchun $AD || BC $?

$\uchburchak ABC = \uchburchak ADC$ tomonidan mulk 1: $AB = CD $ , $\burchak 1 = \burchak 2 $ $AB $ va $CD $ va sekant $AC $ parallel bo'lganda ko'ndalang yotadi.

Lekin agar $\uchburchak ABC = \uchburchak ADC$, keyin $\burchak 3 = \burchak 4 $ (qarama-qarshi yotadi $AD || BC $ ($\burchak 3 $ va $\burchak 4 $ - ko'ndalang yotganlar ham teng).

Birinchi belgi to'g'ri.

2. Qarama-qarshi tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak parallelogrammdir

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ - parallelogramm.

Keling, ushbu belgini ko'rib chiqaylik. Yana $AC$ diagonalini chizamiz.

tomonidan mulk 1$\uchburchak ABC = \uchburchak ACD$.

Bundan kelib chiqadiki: $\burchak 1 = \burchak 2 \O'ng strelka AD || BC $ Va $\burchak 3 = \burchak 4 \O'ng strelka AB || CD $, ya'ni $ABCD$ parallelogrammdir.

Ikkinchi belgi to'g'ri.

3. Qarama-qarshi burchaklari teng bo'lgan to'rtburchak parallelogramma deyiladi

$\ burchak A = \ burchak C $, $\B burchak = \D burchak \O'ng tomon ABCD$- parallelogramm.

$2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) $(chunki $\ burchak A = \ burchak C $ , \ (\ burchak B = \ burchak D \) shart bo'yicha).

Ma'lum bo'lishicha, . Lekin $\alfa $ va $\beta $ sekantda ichki bir tomonlama bo'ladi $AB $ .

Va nima $\alfa + \beta = 180^(\circ) $ shuningdek, $AD || BC $ aytadi.

1. Parallelogramma ta’rifi.

Agar biz bir juft parallel to'g'ri chiziqni boshqa bir juft parallel to'g'ri chiziq bilan kesib o'tsak, qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchakni olamiz.

ABDC va EFNM to'rtburchaklarida (224-rasm) VD || AC va AB || CD;

EF || MN va EM || FN.

Qarama-qarshi tomonlari juft boʻlib parallel boʻlgan toʻrtburchak parallelogramma deyiladi.

2. Paralelogrammaning xossalari.

Teorema. Paralelogrammaning diagonali uni ikkita teng uchburchakka ajratadi.

ABDC parallelogrammasi (225-rasm) bo'lsin, unda AB || CD va AC || VD.

Diagonal uni ikkita teng uchburchakka bo'lishini isbotlashingiz kerak.

ABDC parallelogrammasida CB diagonalini chizamiz. Keling, $\Delta$CAB = $\Delta$SDV ekanligini isbotlaylik.

Yon SH bu uchburchaklar uchun umumiydir; ∠ABC = ∠BCD, parallel AB va CD va sekant CB bilan ichki ko'ndalang burchaklar sifatida; ∠ACB = ∠SVD, shuningdek, parallel AC va BD va sekant CB bilan ichki ko'ndalang burchaklar kabi.

Demak, $\Delta$CAB = $\Delta$SDV.

Xuddi shu tarzda, AD diagonali parallelogrammani ikkita teng ACD va ABD uchburchaklariga bo'lishini isbotlash mumkin.

Oqibatlari:

1 . Paralelogrammaning qarama-qarshi burchaklari bir-biriga teng.

∠A = ∠D, bu CAB va CDB uchburchaklarining tengligidan kelib chiqadi.

Xuddi shunday, ∠C = ∠B.

2. Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari bir-biriga teng.

AB = CD va AC = BD, chunki bular teng uchburchaklarning tomonlari va bir xil burchaklarga qarama-qarshi yotadi.

Teorema 2. Paralelogrammaning diagonallari kesishgan nuqtada yarmiga bo'linadi.

BC va AD parallelogrammaning diagonallari ABC bo'lsin (226-rasm). AO = OD va CO = OB ekanligini isbotlaymiz.

Buning uchun bir-biriga qarama-qarshi joylashgan uchburchak juftlarini solishtiring, masalan, $\Delta$AOB va $\Delta$SOD.

Bu uchburchaklarda AB = CD, parallelogrammning qarama-qarshi tomonlari kabi;

∠1 = ∠2, ichki burchaklar parallel AB va CD va AD sekantlari bilan ko'ndalang yotadi;

∠3 = ∠4 xuddi shu sababga ko'ra, chunki AB || CD va SV ularning sekantlaridir.

Bundan kelib chiqadiki, $\Delta$AOB = $\Delta$SOD. Va ichida teng uchburchaklar teng burchaklarga qarama-qarshi yotadi teng tomonlar. Shuning uchun AO = OD va CO = OB.

Teorema 3. Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan burchaklar yig'indisi ga teng 180°.

ABCD parallelogrammasida AC diagonalini chizamiz va ikkita ABC va ADC uchburchaklarini olamiz.

Uchburchaklar teng, chunki ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (parallel chiziqlar uchun kesishgan burchaklar) va AC tomoni umumiydir.
$\Delta$ABC = $\Delta$ADC tengligidan AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D ekanligi kelib chiqadi.

Bir tomonga ulashgan burchaklar yig'indisi, masalan, A va D burchaklari, parallel chiziqlar uchun bir tomonlama burchaklar sifatida 180 ° ga teng.

Ta'rif

Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Paralelogramma diagonallarining kesishish nuqtasi deyiladi markaz.

Paralelogrammaning xossalari:

Paralelogrammaning har qanday ikkita qoʻshni burchagi yigʻindisi $180^(\circ)$, qarama-qarshi burchaklari esa teng.
Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari teng.
Paralelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasida kesishadi va ikkiga bo'linadi.

Isbot

$ABCD$ parallelogrammasi berilgan bo'lsin.

1. E'tibor bering, parallelogrammning qo'shni $A$ va $B$ burchaklari $AD$ va $BC$ parallel to'g'rilar va $AB$ sekantli bir tomonlama ichki burchaklardir, ya'ni ularning yig'indisi $180^ ga teng. \circ$. Boshqa burchak juftlari uchun ham xuddi shunday.

Agar $\angle A + \angle B=180^\circ$ va $\angle C + \angle B=180^\circ$ bo'lsa, $\angle A = \angle C$. Xuddi shunday, $\angle B = \angle D$.

2. $ABC$ va $CDA$ uchburchaklarini ko'rib chiqing. Paralelogrammaning qarama-qarshi tomonlari parallelligidan $\angle BAC=\angle DCA$ va $\angle BCA=\angle DAC$ kelib chiqadi. $AC$ umumiy boʻlganligi sababli, $ABC$ va $CDA$ uchburchaklari ikkinchi mezon boʻyicha teng boʻladi. Uchburchaklar tengligidan $AB=CD$ va $BC=AD$ kelib chiqadi.

3. Paralelogramma qavariq to‘rtburchak bo‘lgani uchun uning diagonallari kesishadi. $O$ kesishish nuqtasi bo'lsin. Paralelogrammaning $BC$ va $AD$ tomonlari parallelligidan $\angle OAD=\angle OCB$ va $\angle ODA=\angle OBC$ kelib chiqadi. $BC=AD$ tengligini hisobga olsak, $AOD$ va $COB$ uchburchaklari ikkinchi mezon bo'yicha teng ekanligini olamiz. Shuning uchun, kerak bo'lganda, $AO=CO$ va $DO=BO$.

Paralelogramma belgilari:

Agar to'rtburchakda ikkita qo'shni burchaklar yig'indisi $180^(\circ)$ bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Agar to'rtburchakda qarama-qarshi burchaklar juft bo'lib teng bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Agar to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlar juftlikda teng bo'lsa, bu to'rtburchak parallelogrammdir.
Agar to'rtburchakning ikki tomoni teng va parallel bo'lsa, to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.
Agar to'rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasi bilan ikkiga bo'lingan bo'lsa, u holda to'rtburchak parallelogramm bo'ladi.

Isbot

$ABCD$ to'rtburchak bo'lsin.

1. E'tibor bering, qo'shni $A$ va $B$ burchaklar $AD$ va $BC$ to'g'ri chiziqlar va ko'ndalang $AB$ bo'lgan bir tomonlama ichki burchaklardir. Ularning yig'indisi $180^\circ$ bo'lgani uchun $AD$ va $BC$ chiziqlari parallel. Xuddi shunday, boshqa juft chiziqlar uchun, ya'ni $ABCD$ ta'rifi bo'yicha parallelogrammdir.

2. E'tibor bering, $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Agar $\angle A = \angle C$ va $\angle B = \angle D$ bo'lsa, $\angle A + \angle B=180^\circ$ va shunga o'xshash boshqa qo'shni burchaklar juftlari uchun. Keyin oldingi belgidan foydalanamiz.

3. $ABC$ va $CDA$ uchburchaklarini ko'rib chiqing. $AC$ umumiy boʻlgani uchun parallelogrammaning qarama-qarshi tomonlari tengligidan $ABC$ va $CDA$ uchburchaklari uchinchi mezon boʻyicha teng ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, $\angle BAC=\angle DCA$ va $\angle BCA=\angle DAC$, bu qarama-qarshi tomonlarning parallelligini bildiradi.

4. $BC$ va $AD$ teng va parallel bo‘lsin. $ABC$ va $CDA$ uchburchaklarini ko'rib chiqing. Chiziqlar parallelizmidan $\angle BCA=\angle DAC$ kelib chiqadi. $AC$ umumiy va $BC=AD$ boʻlgani uchun $ABC$ va $CDA$ uchburchaklari birinchi mezon boʻyicha teng boʻladi. Shuning uchun $AB=CD$. Keyin oldingi belgidan foydalanamiz.

5. $O$ diagonallarning kesishish nuqtasi bo'lsin va $AO=CO$, va $DO=BO$ vertikal burchaklarning tengligini hisobga olib, $AOD$ va $COB$ uchburchaklar ekanligini olamiz. birinchi mezon bo'yicha teng. Shuning uchun $\angle OAD=\angle OCB$, bu $BC$ va $AD$ parallelligini bildiradi. Boshqa juft tomonlar uchun ham xuddi shunday.

Ta'rif

Uchta to'g'ri burchakka ega bo'lgan to'rtburchak deyiladi to'rtburchak.

To'rtburchaklar xususiyatlari:

To'rtburchakning diagonallari teng.

Isbot

$ABCD$ to'rtburchak berilgan bo'lsin. To'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun uning qarama-qarshi tomonlari teng. Keyin to'g'ri uchburchaklar$ABD$ va $DCA$ ikki oyoqda teng, ya'ni $BD=AC$.

To'rtburchakning xususiyatlari:

Agar parallelogramma to'g'ri burchakka ega bo'lsa, bu parallelogramm to'rtburchakdir.
Agar parallelogrammning diagonallari teng bo'lsa, bu parallelogramma to'rtburchakdir.

Isbot

1. Agar parallelogrammning burchaklaridan biri to'g'ri bo'lsa, u holda qo'shni burchaklar yig'indisi $180^(\circ)$ ekanligini hisobga olsak, qolgan burchaklar ham to'g'ri ekanligiga erishamiz.

2. $AC$ va $BD$ diagonallari $ABCD$ parallelogrammasida teng boʻlsin. $AB$ va $DC$ qarama-qarshi tomonlarning tengligini hisobga olsak, uchinchi mezon bo'yicha $ABD$ va $DCA$ uchburchaklari teng ekanligini olamiz. Shuning uchun $\angle BAD=\angle CDA$, ya'ni ular to'g'ri. Oldingi belgidan foydalanish qoladi.

Ta'rif

Barcha tomonlari teng bo'lgan to'rtburchak deyiladi olmos

Rombning xususiyatlari:

Rombning diagonallari o'zaro perpendikulyar va uning burchaklarining bissektrisalaridir.

Isbot

$ABCD$ rombidagi $AC$ va $BD$ diagonallari $O$ nuqtada kesishsin. Romb parallelogramm bo'lgani uchun $AO=OC$. Keling, ko'rib chiqaylik teng yonli uchburchak$ABC$. $AO$ asosga chizilgan mediana bo'lgani uchun u bissektrisa va balandlikdir, bu talab qilingan narsadir.

Olmosning belgilari:

Agar parallelogrammning diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lsa, bu parallelogramm rombdir.
Agar parallelogrammning diagonali uning burchagi bissektrisasi bo'lsa, bu parallelogramm rombdir.

Isbot

$ABCD$ parallelogrammasi $AC$ va $BD$ diagonallari $O$ nuqtasida kesishsin. $ABC$ uchburchagini ko'rib chiqing.

1. Agar diagonallar perpendikulyar bo'lsa, $BO$ uchburchakning medianasi va balandligi.

2. Agar $BD$ diagonali $ABC$ burchakning bissektrisasini o‘z ichiga olsa, u holda $BO$ uchburchakning medianasi va bissektrisasidir.

Ikkala holatda ham $ABC$ uchburchagi teng yonli va parallelogrammada qoʻshni tomonlar teng ekanligini topamiz. Shuning uchun, bu rombdir, bu talab qilingan narsadir.

Ta'rif

Ikki qo'shni tomoni teng bo'lgan to'rtburchak deyiladi kvadrat.

Kvadrat belgilari:

Agar romb to'g'ri burchakka ega bo'lsa, u holda bu romb kvadratdir.
Agar rombning diagonallari teng bo'lsa, u holda romb kvadratdir.

Isbot

Agar parallelogramma to'g'ri burchakli yoki teng diagonallarga ega bo'lsa, u to'rtburchakdir. Agar to'rtburchak to'rtburchak va romb bo'lsa, u kvadratdir.

Ta'rif

Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

1-rasmda $A B C D, A B\|C D, B C\| parallelogrammasi ko'rsatilgan D$.

Paralelogrammaning xossalari

Paralelogrammada qarama-qarshi tomonlar teng: $A B=C D, B C=A D$ (1-rasm).
Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ ga teng (1-rasm).
Paralelogrammaning kesishish nuqtasidagi diagonallari yarmiga bo'linadi $A O=O C, B O=O D$ (1-rasm).
Paralelogrammaning diagonali uni ikkita teng uchburchakka ajratadi.

Bir tomoniga tutashgan parallelogramm burchaklarining yig'indisi $180^(\circ)$:

$$\burchak A+\burchak B=180^(\doira), \burchak B+\burchak C=180^(\circ)$$

$$\burchak C+\burchak D=180^(\circ), \burchak D+\burchak A=180^(\circ)$$

Paralelogrammaning diagonallari va tomonlari quyidagi munosabat bilan bog'lanadi:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

Paralelogrammada balandliklar orasidagi burchak unga teng o'tkir burchak: $\burchak K B H=\burchak A$.
Paralelogrammaning bir tomoniga tutashgan burchaklarning bissektrisalari oʻzaro perpendikulyar.
Parallelogrammaning ikkita qarama-qarshi burchagining bissektrisalari parallel.

Paralelogramma belgilari

$ABCD$ to'rtburchak parallelogramm bo'lsa

$A B=C D$ va $A B \| C D$
$A B=C D$ va $B C=A D$
$A O=O C$ va $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ va $\angle B=\angle D$

Paralelogrammaning maydonini quyidagi formulalardan biri yordamida hisoblash mumkin:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

Muammoni hal qilishga misollar

Misol

Mashq qilish. Paralelogrammaning ikkita burchagi yig'indisi $140^(\circ)$. Parallelogrammaning eng katta burchagini toping.

Yechim. Paralelogrammada qarama-qarshi burchaklar teng. Paralelogrammaning katta burchagini $\alpha$, kichikroq burchagini $\beta$ deb belgilaymiz. $\alpha$ va $\beta$ burchaklarining yigʻindisi $180^(\circ)$ ga teng, shuning uchun $140^(\circ)$ ga teng berilgan summa qarama-qarshi ikki burchakning yigʻindisi, keyin $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. Shunday qilib, kichikroq burchak $ \ beta = 70 ^ (\ circ) $. Munosabatdan $\alpha$ kattaroq burchakni topamiz:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

Javob.$\alfa=110^(\circ)$

Misol

Mashq qilish. Parallelogrammning tomonlari 18 sm va 15 sm, qisqa tomoniga chizilgan balandligi esa 6 sm parallelogrammning boshqa balandligini toping.

Yechim. Keling, rasm chizamiz (2-rasm)