Matematika bo'yicha muammolarni hal qilish ko'pincha talabalar uchun juda ko'p qiyinchiliklar bilan birga keladi. Talabaga bu qiyinchiliklarni engishga yordam bering, shuningdek, unga bor narsadan foydalanishga o'rgating nazariy bilim"Matematika" fanining barcha bo'limlarida aniq muammolarni hal qilishda - saytimizning asosiy maqsadi.
Mavzuga oid masalalarni yechishni boshlashda talabalar uning koordinatalaridan foydalangan holda tekislikda nuqta qurishni, shuningdek, berilgan nuqtaning koordinatalarini topishni bilishlari kerak.
Tekislikda olingan ikkita A(x A; y A) va B(x B; y B) nuqtalar orasidagi masofani hisoblash formula yordamida amalga oshiriladi. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), bu erda d - tekislikdagi ushbu nuqtalarni bog'laydigan segment uzunligi.
Agar segment uchlaridan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to‘g‘ri kelsa, ikkinchisining koordinatalari M(x M; y M) bo‘lsa, u holda d ni hisoblash formulasi OM = √(x M 2 + y M 2) ko‘rinishini oladi. ).
1. Ushbu nuqtalarning berilgan koordinatalari asosida ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash
1-misol.
ni tutashtiruvchi segment uzunligini toping koordinata tekisligi nuqtalari A(2; -5) va B(-4; 3) (1-rasm).
Yechim.
Masala bayonida aytiladi: x A = 2; x B = -4; y A = -5 va y B = 3. d ni toping.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 formulasini qo‘llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Berilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash
2-misol.
Uchta A(7; -1) va B(-2; 2) va C(-1; -5) nuqtalardan teng masofada joylashgan O 1 nuqtaning koordinatalarini toping.
Yechim.
Masala shartlarini shakllantirishdan O 1 A = O 1 B = O 1 C. O 1 kerakli nuqtaning koordinatalari (a; b) bo lsin. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Keling, ikkita tenglama tizimini yarataylik:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Tenglamalarning chap va o'ng tomonlarini kvadratga aylantirgandan so'ng, biz yozamiz:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Soddalashtirib, yozamiz
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
Tizimni yechib, biz quyidagilarga erishamiz: a = 2; b = -1.
O 1 (2; -1) nuqta bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan shartda ko'rsatilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan. Bu nuqta uchtadan o'tadigan aylananing markazidir berilgan ballar (2-rasm).
3. Abscissa (ordinata) o'qida yotgan va berilgan nuqtadan ma'lum masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.
3-misol.
B(-5; 6) nuqtadan Ox o'qida yotgan A nuqtagacha bo'lgan masofa 10. A nuqtani toping.
Yechim.
Masala shartlarini tuzishdan kelib chiqadiki, A nuqtaning ordinatasi nolga teng va AB = 10.
A nuqtaning abssissasini a bilan belgilab, A(a; 0) ni yozamiz.
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
√((a + 5) 2 + 36) = 10 tenglamani olamiz. Uni soddalashtirib, bizda shunday bo'ladi.
a 2 + 10a - 39 = 0.
Bu tenglamaning ildizlari a 1 = -13; va 2 = 3.
Biz ikkita nuqtani olamiz A 1 (-13; 0) va A 2 (3; 0).
Imtihon:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Olingan ikkala nuqta ham muammoning shartlariga mos keladi (3-rasm).
4. Abscissa (ordinata) o'qi ustida yotgan va berilgan ikkita nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.
4-misol.
Oy o'qida A (6, 12) va B (-8, 10) nuqtalardan bir xil masofada joylashgan nuqtani toping.
Yechim.
Masala shartlari talab qiladigan nuqtaning Oy o'qida yotgan koordinatalari O 1 (0; b) bo'lsin (Oy o'qida yotgan nuqtada abssissa nolga teng). O 1 A = O 1 B shartidan kelib chiqadi.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Bizda √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) yoki 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 tenglamamiz bor.
Soddalashtirilgandan so'ng biz olamiz: b – 4 = 0, b = 4.
O 1 nuqta (0; 4) masala shartlari bilan talab qilinadi (4-rasm).
5. Koordinata o'qlaridan bir xil masofada joylashgan nuqta va ba'zi berilgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.
5-misol.
Koordinata tekisligida koordinata o'qlaridan va A(-2; 1) nuqtadan bir xil masofada joylashgan M nuqtani toping.
Yechim.
Kerakli M nuqta, xuddi A(-2; 1) nuqtasi kabi, ikkinchi koordinata burchagida joylashgan, chunki u A, P 1 va P 2 nuqtalardan teng masofada joylashgan. (5-rasm). M nuqtaning koordinata o'qlaridan masofalari bir xil, shuning uchun uning koordinatalari (-a; a) bo'ladi, bu erda a > 0.
Masala shartlaridan MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
bular. |-a| = a.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
MA = √((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).
Keling, tenglama tuzamiz:
√((-a + 2) 2 + (a – 1) 2) = a.
Kvadratlash va soddalashtirishdan keyin bizda: a 2 – 6a + 5 = 0. Tenglamani yeching, 1 = 1 ni toping; va 2 = 5.
Masalaning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita M 1 (-1; 1) va M 2 (-5; 5) nuqtalarni olamiz. 
6. Abscissa (ordinata) o'qidan va berilgan nuqtadan bir xil belgilangan masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.
6-misol.
M nuqtani topingki, uning ordinata o'qidan va A(8; 6) nuqtadan masofasi 5 ga teng bo'lsin.
Yechim.
Masala shartlaridan kelib chiqadiki, MA = 5 va M nuqtaning abssissasi 5 ga teng. M nuqtaning ordinatasi b ga teng bo'lsin, u holda M(5; b) bo'lsin. (6-rasm).
Formulaga ko'ra d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) bizda:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Keling, tenglama tuzamiz:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Uni soddalashtirib, hosil bo‘ladi: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu tenglamaning ildizlari b 1 = 2; b 2 = 10. Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita nuqta mavjud: M 1 (5; 2) va M 2 (5; 10).
Ma'lumki, ko'plab talabalar mustaqil qaror muammolar ularni hal qilish texnikasi va usullari bo'yicha doimiy maslahatlashuvni talab qiladi. Ko'pincha talaba o'qituvchi yordamisiz muammoni hal qilish yo'lini topa olmaydi. Talaba bizning veb-saytimizda muammolarni hal qilish bo'yicha kerakli maslahatlarni olishi mumkin.
Hali ham savollaringiz bormi? Samolyotdagi ikki nuqta orasidagi masofani qanday topishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!
veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.
Matematika
§2. Tekislikdagi nuqtaning koordinatalari
3. Ikki nuqta orasidagi masofa.
Endi siz va men nuqtalar haqida raqamlar tilida gaplasha olamiz. Misol uchun, biz endi tushuntirishga hojat yo'q: o'qdan uch birlik o'ngda va o'qdan besh birlik pastda joylashgan nuqtani oling. Oddiygina aytish kifoya: nuqtani oling.
Bu ma'lum afzalliklarni yaratishini allaqachon aytgan edik. Shunday qilib, biz nuqtalardan tuzilgan chizmani telegraf orqali uzatishimiz va uni chizmalarni umuman tushunmaydigan, lekin raqamlarni yaxshi tushunadigan kompyuterga etkazishimiz mumkin.
Oldingi paragrafda biz raqamlar orasidagi munosabatlardan foydalanib, tekislikdagi ba'zi nuqtalar to'plamini aniqladik. Endi keling, boshqa geometrik tushuncha va faktlarni izchillik bilan raqamlar tiliga tarjima qilishga harakat qilaylik.
Biz oddiy va umumiy vazifa bilan boshlaymiz.
Tekislikdagi ikkita nuqta orasidagi masofani toping.
Yechim:
Har doimgidek, biz nuqtalar ularning koordinatalari bilan berilgan deb hisoblaymiz va keyin bizning vazifamiz ularning koordinatalarini bilib, nuqtalar orasidagi masofani hisoblashimiz mumkin bo'lgan qoidani topishdir. Ushbu qoidani ishlab chiqishda, albatta, chizmaga murojaat qilishga ruxsat beriladi, lekin qoidaning o'zida chizmaga havolalar bo'lmasligi kerak, faqat berilgan raqamlar bo'yicha qanday harakatlar va qanday tartibda bajarilishi kerakligini ko'rsatishi kerak - koordinatalar nuqtalardan - kerakli raqamni olish uchun - nuqtalar orasidagi masofa.
Ehtimol, ba'zi o'quvchilar muammoni hal qilishning bunday yondashuvini g'alati va uzoqqa cho'zishlari mumkin. Oddiyroq, ular aytadilar, nuqtalar hatto koordinatalar bilan ham berilgan. Ushbu nuqtalarni chizing, o'lchagichni oling va ular orasidagi masofani o'lchang.
Bu usul ba'zan unchalik yomon emas. Biroq, siz bilan shug'ullanayotganingizni yana tasavvur qiling kompyuter. Uning o'lchagichi yo'q va u rasm chizmaydi, lekin u shunchalik tez hisoblay oladiki, bu uning uchun umuman muammo emas. E'tibor bering, bizning muammomiz ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash qoidasi mashina tomonidan bajarilishi mumkin bo'lgan buyruqlardan iborat bo'lishi uchun tuzilgan.
Ushbu nuqtalardan biri koordinatalarning boshida joylashganida, birinchi navbatda, maxsus holat uchun qo'yilgan masalani hal qilish yaxshiroqdir. Bir nechtadan boshlang raqamli misollar: nuqtalarning kelib chiqishidan masofani toping; Va .
Eslatma. Pifagor teoremasidan foydalaning.
Endi yozing umumiy formula nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan uzoqligini hisoblash.
Nuqtaning boshlang'ich nuqtasidan masofasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Shubhasiz, ushbu formula bilan ifodalangan qoida yuqorida ko'rsatilgan shartlarga javob beradi. Xususan, u raqamlarni ko'paytirish, ularni qo'shish va kvadrat ildizlarni ajratib olish mumkin bo'lgan mashinalarda hisob-kitoblarda qo'llanilishi mumkin.
Endi umumiy muammoni hal qilaylik
Tekislikdagi ikkita nuqta berilgan, ular orasidagi masofani toping.
Yechim:
Nuqtalar va koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalarini , , , bilan belgilaymiz.
Chiziqlarning kesishish nuqtasini harf bilan belgilaylik. Kimdan to'g'ri uchburchak Pifagor teoremasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:
Lekin segmentning uzunligi segmentning uzunligiga teng. va nuqtalari o'qda yotadi va mos ravishda va koordinatalariga ega. 2-bandning 3-bandida olingan formulaga ko'ra, ular orasidagi masofa tengdir.
Xuddi shunday bahslashsak, biz segmentning uzunligi ga teng ekanligini topamiz. Topilgan qiymatlarni va formulaga almashtirib, biz olamiz.
Ushbu maqolada biz nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofani nazariy jihatdan va aniq muammolar misolidan foydalanib aniqlash usullarini ko'rib chiqamiz. Boshlash uchun, keling, ba'zi ta'riflarni kiritaylik.
Ta'rif 1
Nuqtalar orasidagi masofa mavjud shkala bo'yicha ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. O'lchov uchun uzunlik birligiga ega bo'lish uchun o'lchovni o'rnatish kerak. Shuning uchun, asosan, nuqtalar orasidagi masofani topish masalasi ularning koordinatalarini koordinata chizig'ida, koordinata tekisligida yoki uch o'lchovli fazoda qo'llash orqali hal qilinadi.
Boshlang'ich ma'lumotlar: O x koordinatali chiziq va uning ustida yotgan ixtiyoriy A nuqtasi bitta narsaga ega haqiqiy raqam: A nuqta uchun bu ma'lum bir son bo'lsin x A, u ham A nuqtaning koordinatasidir.
Umuman olganda, ma'lum bir segmentning uzunligi ma'lum miqyosda uzunlik birligi sifatida olingan segmentga nisbatan baholanadi, deb aytishimiz mumkin.
Agar A nuqta butun son haqiqiy songa to'g'ri kelsa, to'g'ri chiziq bo'ylab O nuqtadan nuqtaga ketma-ket O A segmentlarini - uzunlik birliklarini qo'yib, chetga qo'yilgan birlik segmentlarining umumiy sonidan O A segmentining uzunligini aniqlashimiz mumkin.
Masalan, A nuqtasi 3 raqamiga to'g'ri keladi - O nuqtadan unga o'tish uchun siz uchta birlik segmentini ajratishingiz kerak bo'ladi. Agar A nuqtasi koordinatasiga ega bo'lsa - 4, birlik segmentlari shunga o'xshash tarzda, lekin boshqacha, salbiy yo'nalishda joylashtiriladi. Shunday qilib, birinchi holda, O A masofasi 3 ga teng; ikkinchi holatda O A = 4.
Agar A nuqta koordinata sifatida ratsional songa ega bo'lsa, u holda koordinata boshidan (O nuqta) biz birlik segmentlarining butun sonini, keyin esa uning zarur qismini chizamiz. Ammo geometrik jihatdan har doim ham o'lchov qilish mumkin emas. Misol uchun, 4 111 kasrni koordinata chizig'iga solish qiyin ko'rinadi.
Yuqoridagi usuldan foydalanib, uni tekis chiziqqa qo'ying irratsional son va mutlaqo mumkin emas. Masalan, A nuqtaning koordinatasi 11 bo'lganda. Bunda abstraksiyaga o'tish mumkin: agar A nuqtaning berilgan koordinatasi noldan katta bo'lsa, O A = x A (son masofa sifatida qabul qilinadi); agar koordinata noldan kichik bo'lsa, u holda O A = - x A . Umuman olganda, bu gaplar har qanday haqiqiy x A soni uchun to'g'ri.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak: koordinata chizig'idagi haqiqiy songa to'g'ri keladigan nuqtadan boshlang'ich nuqtagacha bo'lgan masofa quyidagilarga teng:
- 0, agar nuqta koordinatali nuqtaga to'g'ri kelsa;
- x A, agar x A > 0 bo'lsa;
- - x A, agar x A< 0 .
Bunday holda, segment uzunligining o'zi salbiy bo'lishi mumkin emasligi aniq, shuning uchun modul belgisidan foydalanib, biz O nuqtadan A nuqtagacha bo'lgan masofani koordinata bilan yozamiz. xA: O A = x A
Quyidagi bayonot to'g'ri bo'ladi: bir nuqtadan ikkinchisiga masofa koordinatalar farqining moduliga teng bo'ladi. Bular. har qanday joylashuv uchun bir xil koordinata chizig'ida yotgan va mos keladigan koordinatalarga ega bo'lgan A va B nuqtalari uchun xA Va x B: A B = x B - x A.
Dastlabki ma'lumotlar: tekislikda yotgan A va B nuqtalari to'rtburchaklar tizimi koordinatalari O x y berilgan koordinatalar bilan: A (x A, y A) va B (x B, y B).
A va B nuqtalar orqali O x va O y koordinata o'qlariga perpendikulyar o'tkazamiz va natijada proyeksiya nuqtalarini olamiz: A x, A y, B x, B y. A va B nuqtalarining joylashuviga qarab, quyidagi variantlar mumkin:
Agar A va B nuqtalari mos tushsa, ular orasidagi masofa nolga teng;
Agar A va B nuqtalar O x o'qiga (abscissa o'qi) perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa, nuqtalar bir-biriga to'g'ri keladi va | A B | = | A y B y | . Nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalari farqining moduliga teng bo lganligi uchun A y B y = y B - y A, demak, A B = A y B y = y B - y A bo ladi.
Agar A va B nuqtalar O y o'qiga (ordinata o'qi) perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa - oldingi paragrafga o'xshash: A B = A x B x = x B - x A
Agar A va B nuqtalar koordinata o‘qlaridan biriga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqda yotmasa, ular orasidagi masofani hisoblash formulasini keltirib topamiz:
Biz A B C uchburchakning konstruktsiyasi to'rtburchak ekanligini ko'ramiz. Bunda A C = A x B x va B C = A y B y. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz tenglikni yaratamiz: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 va keyin uni o'zgartiramiz: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Olingan natijadan xulosa chiqaramiz: tekislikdagi A nuqtadan B nuqtagacha bo'lgan masofa ushbu nuqtalarning koordinatalari yordamida formuladan foydalangan holda hisoblash yo'li bilan aniqlanadi.
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Olingan formula, shuningdek, nuqtalarning mos kelishi holatlari yoki nuqtalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziqlarda yotgan holatlar uchun ilgari tuzilgan bayonotlarni tasdiqlaydi. Demak, agar A va B nuqtalari mos kelsa, tenglik to'g'ri bo'ladi: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
A va B nuqtalari x o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqda joylashgan vaziyat uchun:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
A va B nuqtalar ordinata o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Dastlabki ma'lumotlar: A (x A, y A, z A) va B (x B, y B, z B) koordinatalari berilgan, ixtiyoriy nuqtalari bo'lgan O x y z to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Bu nuqtalar orasidagi masofani aniqlash kerak.
A va B nuqtalar koordinata tekisliklaridan biriga parallel tekislikda yotmagan umumiy holatni ko‘rib chiqamiz. A va B nuqtalar orqali koordinata o‘qlariga perpendikulyar tekisliklarni o‘tkazamiz va tegishli proyeksiya nuqtalarini olamiz: A x, A y, A z, B x, B y, B z.
A va B nuqtalari orasidagi masofa hosil bo'lgan parallelepipedning diagonalidir. Ushbu parallelepipedning o'lchovlari qurilishiga ko'ra: A x B x, A y B y va A z B z.
Geometriya kursidan bilamizki, parallelepiped diagonalining kvadrati uning o'lchamlari kvadratlari yig'indisiga teng. Ushbu bayonotga asoslanib, biz tenglikni olamiz: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Oldin olingan xulosalardan foydalanib, biz quyidagilarni yozamiz:
A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A.
Keling, ifodani o'zgartiramiz:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Final fazodagi nuqtalar orasidagi masofani aniqlash formulasi quyidagicha ko'rinadi:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Olingan formula quyidagi hollarda ham amal qiladi:
Nuqtalar mos keladi;
Ular bir koordinata o'qida yoki koordinata o'qlaridan biriga parallel to'g'ri chiziqda yotadi.
Nuqtalar orasidagi masofani topishga oid masalalar yechishga misollar
1-misolDastlabki ma'lumotlar: A (1 - 2) va B (11 + 2) koordinatalari berilgan koordinatali chiziq va uning ustida joylashgan nuqtalar berilgan. Boshlanish nuqtasi O dan A nuqtagacha va A va B nuqtalar orasidagi masofani topish kerak.
Yechim
- Yo'naltiruvchi nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa bu nuqta koordinatasi moduliga teng, mos ravishda O A = 1 - 2 = 2 - 1
- A va B nuqtalari orasidagi masofani ushbu nuqtalarning koordinatalari orasidagi farq moduli sifatida aniqlaymiz: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Javob: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
2-misol
Dastlabki ma'lumotlar: to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va uning ustida joylashgan ikkita nuqta A (1, - 1) va B (l + 1, 3) berilgan. l - qandaydir haqiqiy son. Bu raqamning A B masofasi 5 ga teng bo'lgan barcha qiymatlarini topish kerak.
Yechim
A va B nuqtalari orasidagi masofani topish uchun A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 formulasidan foydalanish kerak.
Haqiqiy koordinatalar qiymatlarini almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: A B = (l + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = l 2 + 16
Biz A B = 5 bo'lgan mavjud shartdan ham foydalanamiz va keyin tenglik to'g'ri bo'ladi:
l 2 + 16 = 5 l 2 + 16 = 25 l = ± 3
Javob: A B = 5, agar l = ± 3 bo'lsa.
3-misol
Dastlabki ma'lumotlar: ko'rsatilgan uch o'lchovli bo'shliq to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasida O x y z va unda yotgan A (1, 2, 3) va B - 7, - 2, 4 nuqtalari.
Yechim
Masalani yechish uchun A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 formulasidan foydalanamiz.
Haqiqiy qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Javob: | A B | = 9
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Matematika bo'yicha muammolarni hal qilish ko'pincha talabalar uchun juda ko'p qiyinchiliklar bilan birga keladi. Talabaga ushbu qiyinchiliklarni yengishda yordam berish, shuningdek, “Matematika” fanidan kursning barcha bo‘limlari bo‘yicha aniq masalalarni yechishda mavjud nazariy bilimlarini qo‘llashga o‘rgatish saytimizning asosiy maqsadi hisoblanadi.
Mavzuga oid masalalarni yechishni boshlashda talabalar uning koordinatalaridan foydalangan holda tekislikda nuqta qurishni, shuningdek, berilgan nuqtaning koordinatalarini topishni bilishlari kerak.
Tekislikda olingan ikkita A(x A; y A) va B(x B; y B) nuqtalar orasidagi masofani hisoblash formula yordamida amalga oshiriladi. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), bu erda d - tekislikdagi ushbu nuqtalarni bog'laydigan segment uzunligi.
Agar segment uchlaridan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to‘g‘ri kelsa, ikkinchisining koordinatalari M(x M; y M) bo‘lsa, u holda d ni hisoblash formulasi OM = √(x M 2 + y M 2) ko‘rinishini oladi. ).
1. Ushbu nuqtalarning berilgan koordinatalari asosida ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash
1-misol.
Koordinata tekisligidagi A(2; -5) va B(-4; 3) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma uzunligini toping (1-rasm).
Yechim.
Masala bayonida aytiladi: x A = 2; x B = -4; y A = -5 va y B = 3. d ni toping.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2 formulasini qo‘llagan holda, biz quyidagilarni olamiz:
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Berilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash
2-misol.
Uchta A(7; -1) va B(-2; 2) va C(-1; -5) nuqtalardan teng masofada joylashgan O 1 nuqtaning koordinatalarini toping.
Yechim.
Masala shartlarini shakllantirishdan O 1 A = O 1 B = O 1 C. O 1 kerakli nuqtaning koordinatalari (a; b) bo lsin. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Keling, ikkita tenglama tizimini yarataylik:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Tenglamalarning chap va o'ng tomonlarini kvadratga aylantirgandan so'ng, biz yozamiz:
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Soddalashtirib, yozamiz
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
Tizimni yechib, biz quyidagilarga erishamiz: a = 2; b = -1.
O 1 (2; -1) nuqta bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan shartda ko'rsatilgan uchta nuqtadan teng masofada joylashgan. Bu nuqta berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi aylana markazidir (2-rasm).
3. Abscissa (ordinata) o'qida yotgan va berilgan nuqtadan ma'lum masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.
3-misol.
B(-5; 6) nuqtadan Ox o'qida yotgan A nuqtagacha bo'lgan masofa 10. A nuqtani toping.
Yechim.
Masala shartlarini tuzishdan kelib chiqadiki, A nuqtaning ordinatasi nolga teng va AB = 10.
A nuqtaning abssissasini a bilan belgilab, A(a; 0) ni yozamiz.
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
√((a + 5) 2 + 36) = 10 tenglamani olamiz. Uni soddalashtirib, bizda shunday bo'ladi.
a 2 + 10a - 39 = 0.
Bu tenglamaning ildizlari a 1 = -13; va 2 = 3.
Biz ikkita nuqtani olamiz A 1 (-13; 0) va A 2 (3; 0).
Imtihon:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Olingan ikkala nuqta ham muammoning shartlariga mos keladi (3-rasm).
4. Abscissa (ordinata) o'qi ustida yotgan va berilgan ikkita nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtaning abssissasini (ordinatasini) hisoblash.
4-misol.
Oy o'qida A (6, 12) va B (-8, 10) nuqtalardan bir xil masofada joylashgan nuqtani toping.
Yechim.
Masala shartlari talab qiladigan nuqtaning Oy o'qida yotgan koordinatalari O 1 (0; b) bo'lsin (Oy o'qida yotgan nuqtada abssissa nolga teng). O 1 A = O 1 B shartidan kelib chiqadi.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Bizda √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) yoki 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 tenglamamiz bor.
Soddalashtirilgandan so'ng biz olamiz: b – 4 = 0, b = 4.
O 1 nuqta (0; 4) masala shartlari bilan talab qilinadi (4-rasm).
5. Koordinata o'qlaridan bir xil masofada joylashgan nuqta va ba'zi berilgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.
5-misol.
Koordinata tekisligida koordinata o'qlaridan va A(-2; 1) nuqtadan bir xil masofada joylashgan M nuqtani toping.
Yechim.
Kerakli M nuqta, xuddi A(-2; 1) nuqtasi kabi, ikkinchi koordinata burchagida joylashgan, chunki u A, P 1 va P 2 nuqtalardan teng masofada joylashgan. (5-rasm). M nuqtaning koordinata o'qlaridan masofalari bir xil, shuning uchun uning koordinatalari (-a; a) bo'ladi, bu erda a > 0.
Masala shartlaridan MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
bular. |-a| = a.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) formulasidan foydalanib, topamiz:
MA = √((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).
Keling, tenglama tuzamiz:
√((-a + 2) 2 + (a – 1) 2) = a.
Kvadratlash va soddalashtirishdan keyin bizda: a 2 – 6a + 5 = 0. Tenglamani yeching, 1 = 1 ni toping; va 2 = 5.
Masalaning shartlarini qanoatlantiradigan ikkita M 1 (-1; 1) va M 2 (-5; 5) nuqtalarni olamiz.
6. Abscissa (ordinata) o'qidan va berilgan nuqtadan bir xil belgilangan masofada joylashgan nuqtaning koordinatalarini hisoblash.
6-misol.
M nuqtani topingki, uning ordinata o'qidan va A(8; 6) nuqtadan masofasi 5 ga teng bo'lsin.
Yechim.
Masala shartlaridan kelib chiqadiki, MA = 5 va M nuqtaning abssissasi 5 ga teng. M nuqtaning ordinatasi b ga teng bo'lsin, u holda M(5; b) bo'lsin. (6-rasm).
Formulaga ko'ra d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) bizda:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Keling, tenglama tuzamiz:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Uni soddalashtirib, hosil bo‘ladi: b 2 – 12b + 20 = 0. Bu tenglamaning ildizlari b 1 = 2; b 2 = 10. Demak, masalaning shartlarini qanoatlantiruvchi ikkita nuqta mavjud: M 1 (5; 2) va M 2 (5; 10).
Ma'lumki, ko'pgina talabalar mustaqil ravishda muammolarni hal qilishda ularni echish texnikasi va usullari bo'yicha doimiy maslahatlarga muhtoj. Ko'pincha talaba o'qituvchi yordamisiz muammoni hal qilish yo'lini topa olmaydi. Talaba bizning veb-saytimizda muammolarni hal qilish bo'yicha kerakli maslahatlarni olishi mumkin.
Hali ham savollaringiz bormi? Samolyotdagi ikki nuqta orasidagi masofani qanday topishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!
blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola kerak.
Tekislikning har bir A nuqtasi uning koordinatalari (x, y) bilan tavsiflanadi. Ular 0 A vektorining koordinatalari bilan mos keladi, 0 nuqtadan chiqadi - koordinatalarning kelib chiqishi.
A va B koordinatalari (x 1 y 1) va (x 2, y 2) bo‘lgan tekislikning ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin.
Keyin AB vektori aniq koordinatalarga ega (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ma'lumki, vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yig'indisiga teng. Shuning uchun A va B nuqtalar orasidagi d masofa yoki bir xil bo'lgan AB vektorining uzunligi shartdan aniqlanadi.
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$
Olingan formula, agar bu nuqtalarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, tekislikdagi istalgan ikkita nuqta orasidagi masofani topishga imkon beradi.
Har safar tekislikdagi muayyan nuqtaning koordinatalari haqida gapirganda, biz aniq belgilangan x0y koordinata tizimini nazarda tutamiz. Umuman olganda, tekislikdagi koordinatalar tizimini turli usullar bilan tanlash mumkin. Demak, x0y koordinata tizimi o‘rniga eski koordinata o‘qlarini atrofida aylantirish natijasida olingan xִy koordinata tizimini ko‘rib chiqishimiz mumkin. boshlang'ich nuqtasi 0 soat miliga teskari burchakdagi o'qlar α .
Agar x0y koordinata tizimidagi tekislikning qaysidir nuqtasi koordinatalariga (x, y) ega bo‘lsa, unda yangi tizim koordinatalar xִy, u turli koordinatalarga ega bo'ladi (x, y).
Misol tariqasida, 0x o'qida joylashgan va 0 nuqtadan 1 masofada ajratilgan M nuqtasini ko'rib chiqing.
Shubhasiz, x0y koordinatalar tizimida bu nuqta koordinatalariga ega (cos α , gunoh α ), xִy koordinatalar tizimida esa koordinatalar (1,0) ga teng.
A va B tekislikdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalari ushbu tekislikda koordinatalar tizimi qanday ko'rsatilganiga bog'liq. Lekin bu nuqtalar orasidagi masofa koordinata tizimini ko'rsatish usuliga bog'liq emas .
Boshqa materiallar
